線(xiàn)性代數(shù) 線(xiàn)代復(fù)習(xí)

1、編輯課件矩陣矩陣1. 矩陣的定義矩陣的定義一些特殊的矩陣：一些特殊的矩陣：零矩陣、行矩陣、列矩陣、方陣、零矩陣、行矩陣、列矩陣、方陣、對(duì)角陣、數(shù)量陣、單位陣對(duì)角陣、數(shù)量陣、單位陣編輯課件2. 矩陣的基本運(yùn)算矩陣的基本運(yùn)算矩陣相等矩陣相等: :同型矩陣：同型矩陣：兩個(gè)矩陣的行數(shù)相等、列數(shù)也相等兩個(gè)矩陣的行數(shù)相等、列數(shù)也相等兩個(gè)矩陣同型，且對(duì)應(yīng)元素相等兩個(gè)矩陣同型，且對(duì)應(yīng)元素相等矩陣加（減）法、數(shù)與矩陣相乘矩陣加（減）法、數(shù)與矩陣相乘矩陣與矩陣相乘：矩陣與矩陣相乘：乘法滿(mǎn)足乘法滿(mǎn)足);()(BCACAB );(),()()(為數(shù)為數(shù)其中其中 BABAAB ;)(,)(CABAACBACABCBA

2、矩陣乘法不滿(mǎn)足：交換律、消去律矩陣乘法不滿(mǎn)足：交換律、消去律編輯課件 A是是n 階方陣，階方陣， 個(gè)個(gè)kkAAAA 方陣的冪：方陣的冪：方陣的多項(xiàng)式：方陣的多項(xiàng)式：0111)(axaxaxaxfkkkk 0111)(aAaAaAaAfkkkk Emkm kA AA kmmkAA 并且并且（m,k為正整數(shù)）為正整數(shù)）方陣的行列式：方陣的行列式：三種基本計(jì)算方法三種基本計(jì)算方法滿(mǎn)足滿(mǎn)足: : ;1AAT ;2AAn BAAB 3編輯課件10220310020130120210310212123211)11D，求設(shè)BAAAAA,2,)232133解解312132,AAAA132cc B21cc 32

3、13,AAA.63A3122132,AAAAAB其中nnDn121) 3 !112112) 1(1nnnnnn編輯課件轉(zhuǎn)置矩陣轉(zhuǎn)置矩陣: :一些特殊的矩陣一些特殊的矩陣: 把矩陣把矩陣 的行換成同序數(shù)的列得到的的行換成同序數(shù)的列得到的 新矩陣，叫做新矩陣，叫做 的轉(zhuǎn)置矩陣，記作的轉(zhuǎn)置矩陣，記作 . . AAA滿(mǎn)足：滿(mǎn)足： ;1AATT ;2TTTBABA ;3TTAA .4TTTABAB 對(duì)稱(chēng)矩陣和反對(duì)稱(chēng)矩陣：對(duì)稱(chēng)矩陣和反對(duì)稱(chēng)矩陣：AAA ATTAA 是是反反對(duì)對(duì)稱(chēng)稱(chēng)矩矩陣陣是是對(duì)對(duì)稱(chēng)稱(chēng)矩矩陣陣編輯課件伴隨矩陣：伴隨矩陣： nnnnnnAAAAAAAAAA212221212111.EAAAAA

4、 |,.|AAA AAAA110| |.nAA1,()1,0,nr A 若若();r An 若若( )1;r An若若( )1.r An 編輯課件3. 逆矩陣逆矩陣定義：定義：A為為n階方陣，若存在階方陣，若存在n階方陣階方陣,使得使得ABBAE 則稱(chēng)矩陣則稱(chēng)矩陣A是可逆的（非奇異的、非退化的、滿(mǎn)秩的）是可逆的（非奇異的、非退化的、滿(mǎn)秩的）矩陣矩陣B稱(chēng)為矩陣稱(chēng)為矩陣A的逆矩陣。的逆矩陣。唯一性：唯一性： 若若A是可逆矩陣，則是可逆矩陣，則A的逆矩陣是唯一的的逆矩陣是唯一的.判定定理判定定理:n階方陣階方陣A可逆可逆0A 11AAA 且且推論：推論：設(shè)設(shè)A、B為同階方陣，若為同階方陣，若,ABE

5、 則則A、B都可逆，且都可逆，且11ABBA ，編輯課件111111111, (0)()(), ()()TTAAAAAAAA 滿(mǎn)足規(guī)律：滿(mǎn)足規(guī)律：逆矩陣求法：逆矩陣求法： （1）伴隨矩陣法）伴隨矩陣法（2）推論法）推論法（3）初等變換法）初等變換法分塊矩陣的運(yùn)算規(guī)則與普通矩陣的運(yùn)算規(guī)則相類(lèi)似分塊矩陣的運(yùn)算規(guī)則與普通矩陣的運(yùn)算規(guī)則相類(lèi)似4. 分塊矩陣分塊矩陣編輯課件5. 5. 初等變換初等變換對(duì)換變換、倍乘變換、倍加變換對(duì)換變換、倍乘變換、倍加變換三種初等變換都是可逆的，且其逆變換是同一類(lèi)型的三種初等變換都是可逆的，且其逆變換是同一類(lèi)型的初等變換初等變換矩陣的等價(jià)：矩陣的等價(jià)：如果矩陣如果矩陣A

6、經(jīng)過(guò)有限次初等變換變成矩陣經(jīng)過(guò)有限次初等變換變成矩陣B,就稱(chēng)矩陣就稱(chēng)矩陣A與矩陣與矩陣B等價(jià)。記作等價(jià)。記作AB初等矩陣：初等矩陣： 由單位矩陣由單位矩陣E E經(jīng)過(guò)一次初等變換得到的方陣經(jīng)過(guò)一次初等變換得到的方陣 稱(chēng)為初等矩陣稱(chēng)為初等矩陣. . 與矩陣的相似、合同相互比較與矩陣的相似、合同相互比較定理：定理：左乘變行，右乘變列左乘變行，右乘變列編輯課件AXB 解矩陣方程的初等變換法解矩陣方程的初等變換法(A、B可逆可逆)(BA)(1BAE 初初等等行行變變換換BAX1 矩陣方程矩陣方程解解BAX1 BAX1 BCAX11 BAX BXA CAXB 編輯課件、秩（、秩（A）：）：A的不等于的不等

7、于0的子式的最高階數(shù)。的子式的最高階數(shù)。、秩的基本關(guān)系式：、秩的基本關(guān)系式：BAABAAAAnmATnm秩秩秩秩秩秩秩,min3002;,min1、關(guān)于秩的重要結(jié)論：、關(guān)于秩的重要結(jié)論： PAQAQPAAnmAnmQP秩秩秩秩則矩陣是階可逆矩陣，階、分別是、設(shè)矩陣的秩；矩陣的初等變換不改變216、矩陣的秩編輯課件、秩的求法：、秩的求法：1）初等變法：）初等變法：TA階梯形2）若）若P可逆，則可逆，則 AAP秩秩 003AnAAAnAnA秩可逆階方陣，則秩是設(shè)4 ),m nn pAB當(dāng)當(dāng) 時(shí)，時(shí)，0AB ( )( )r Ar Bn0( )( )0Arr Ar BB5 )6) ()()()r AB

8、r Ar B 3) A有有r階子式不為階子式不為0所有所有r+1階子式全為階子式全為0 ()r Ar 編輯課件例題例題2 2 設(shè)設(shè) A、B 都是都是 n 階方陣，則階方陣，則 2222)(BABABAa e成立時(shí)當(dāng),BAAB ABBAn1階的時(shí)候成立是當(dāng)1A成立時(shí)當(dāng),BAAB BAABBAAB ABBAb 1:, 1AthenAIfc )(22BABABAd BAABe編輯課件, 1, 23,. 3BABA階方陣，如果都是設(shè) 計(jì)算*2 BAABABAAAA計(jì)算設(shè),3321321解解 1*352A 3221,3ABAABA3221,4ABAA12124,4321321ABAAAA *1,41AA

9、計(jì)算 114141AA413A*13,128141AA編輯課件 BARBAAR求，若此時(shí)求、例,011101110876565434321,4000064204321A可逆，B 2ARBAR解：解：R(A)=2編輯課件41312114321 TA例例5,4 , 3 , 2 , 1 ,41,31,21, 1 , TA ,TBNnARABAnn),(,求解解13424431233213212413121143214131211TB 4.4)()(11AAnTnTn1)(nAR編輯課件一一. 向量組的線(xiàn)性相關(guān)性向量組的線(xiàn)性相關(guān)性1. 向量間的線(xiàn)性運(yùn)算：加法、數(shù)乘。向量間的線(xiàn)性運(yùn)算：加法、數(shù)乘。2.

10、線(xiàn)性組合、線(xiàn)性表示線(xiàn)性組合、線(xiàn)性表示(1) 判斷向量判斷向量 可由向量組可由向量組 線(xiàn)性表示的常用方法線(xiàn)性表示的常用方法 12,m 方法方法1：向量組的線(xiàn)性相關(guān)性向量組的線(xiàn)性相關(guān)性,21nmR設(shè)向量組.,21線(xiàn)性表示可由則稱(chēng)向量m使使如如果果存存在在,21Rkkkm mmkkk2211是否非零無(wú)要求是否非零無(wú)要求 關(guān)鍵：存在某組關(guān)鍵：存在某組 使上式成立，使上式成立，mkkk,21編輯課件(2) 在判斷或證明中，常用到的兩個(gè)重要結(jié)論在判斷或證明中，常用到的兩個(gè)重要結(jié)論結(jié)論結(jié)論1： 向量向量 可由向量組可由向量組 線(xiàn)性表示線(xiàn)性表示 12,m 1212(,)(,)mmrr 結(jié)論結(jié)論2： 若向量組若

11、向量組12,m 線(xiàn)性無(wú)關(guān)，線(xiàn)性無(wú)關(guān)，而向量組而向量組12,m 線(xiàn)性相關(guān)，線(xiàn)性相關(guān)，則向量則向量 必能由向量組必能由向量組 線(xiàn)性表示，線(xiàn)性表示， 12,m 且表示式唯一。且表示式唯一。方法方法2：證下列非齊次線(xiàn)性方程組有解證下列非齊次線(xiàn)性方程組有解AX 即：即：利用矩陣的初等行變換利用矩陣的初等行變換12(,)m 行最簡(jiǎn)形矩陣行最簡(jiǎn)形矩陣編輯課件3. 線(xiàn)性相關(guān)性的判別方法線(xiàn)性相關(guān)性的判別方法(1) 一般方法：設(shè)數(shù)一般方法：設(shè)數(shù)12,mk kk使得使得11220mmkkk 成立成立求系數(shù)是有非零解還是只有零解的問(wèn)題。求系數(shù)是有非零解還是只有零解的問(wèn)題。(2) 利用向量組的秩判斷：利用向量組的秩判斷

12、：設(shè)向量組設(shè)向量組12,m 的秩為的秩為r當(dāng)當(dāng) 時(shí)，時(shí)， 線(xiàn)性相關(guān)；線(xiàn)性相關(guān)；rm 12,m 當(dāng)當(dāng) 時(shí)，時(shí)， 線(xiàn)性無(wú)關(guān)。線(xiàn)性無(wú)關(guān)。rm 12,m (3) 利用常用結(jié)論：利用常用結(jié)論：1個(gè)零向量線(xiàn)性相關(guān)；一個(gè)非零向量線(xiàn)性無(wú)關(guān)。個(gè)零向量線(xiàn)性相關(guān)；一個(gè)非零向量線(xiàn)性無(wú)關(guān)。2個(gè)非零向量線(xiàn)性相關(guān)個(gè)非零向量線(xiàn)性相關(guān)對(duì)應(yīng)分量成比例對(duì)應(yīng)分量成比例編輯課件4. 最大無(wú)關(guān)組的選取或證明最大無(wú)關(guān)組的選取或證明(1) 初等變換法（最常用）初等變換法（最常用）將列向量組寫(xiě)成矩陣將列向量組寫(xiě)成矩陣初等行變換初等行變換行階梯或行最簡(jiǎn)形矩陣行階梯或行最簡(jiǎn)形矩陣的一個(gè)極大無(wú)關(guān)組，的一個(gè)極大無(wú)關(guān)組，例例6：求向量組求向量組1234

13、5(1, 1,2,4),(0,3,1,2),(3,0,7,14),(1, 1,2,0),(2,1,5,6) 并把其余向量用該極大無(wú)關(guān)組線(xiàn)性表示。并把其余向量用該極大無(wú)關(guān)組線(xiàn)性表示。n1個(gè)個(gè)n維向量線(xiàn)性相關(guān)。維向量線(xiàn)性相關(guān)。部分相關(guān)部分相關(guān) 整體相關(guān)；整體無(wú)關(guān)整體相關(guān)；整體無(wú)關(guān) 部分無(wú)關(guān)。部分無(wú)關(guān)。短的無(wú)關(guān)，長(zhǎng)的也無(wú)關(guān)；短的無(wú)關(guān)，長(zhǎng)的也無(wú)關(guān)；長(zhǎng)的相關(guān)，短的也相關(guān)。長(zhǎng)的相關(guān)，短的也相關(guān)。編輯課件解：解：124, 是一個(gè)極大無(wú)關(guān)組是一個(gè)極大無(wú)關(guān)組并且并且31251243111考慮：還有那些極大無(wú)關(guān)組？考慮：還有那些極大無(wú)關(guān)組？125134135, 初等行變換初等行變換1031210301130110

14、1101217250001142140600000A 編輯課件二二. 矩陣的秩、向量組的秩的求法矩陣的秩、向量組的秩的求法初等變換后，看非零行的行數(shù)。初等變換后，看非零行的行數(shù)。三三. 關(guān)于向量組的秩、矩陣的秩的證明關(guān)于向量組的秩、矩陣的秩的證明關(guān)于向量組的秩的兩個(gè)重要定理：關(guān)于向量組的秩的兩個(gè)重要定理：（1）若向量組）若向量組可以由向量組可以由向量組12,t 線(xiàn)性表示，則線(xiàn)性表示，則12,s 1212(,)(,)strr 12,s 那么那么 線(xiàn)性相關(guān)。線(xiàn)性相關(guān)。(3)(3)(三秩相等三秩相等) ) 矩陣矩陣A的秩的秩A的行秩的行秩A的列秩。的列秩。（2）若向量組）若向量組 可以由向量組可以由

15、向量組12,t 線(xiàn)性表示，并且線(xiàn)性表示，并且12,s , ts 編輯課件向量空間的概念：向量空間的概念： 向量的集合對(duì)加法及數(shù)乘兩種運(yùn)算封閉向量的集合對(duì)加法及數(shù)乘兩種運(yùn)算封閉； 由向量組生成的向量空間由向量組生成的向量空間子空間的概念子空間的概念向量空間的基，維數(shù)和坐標(biāo)；向量空間的基，維數(shù)和坐標(biāo)；求向量空間基和維數(shù)的方法（生成子空間）；求向量空間基和維數(shù)的方法（生成子空間）； 求向量在給定基底下的坐標(biāo)。求向量在給定基底下的坐標(biāo)。四四. 向量空間向量空間編輯課件五五. 正交化與正交矩陣正交化與正交矩陣1. 正交化、單位化正交化、單位化2. 正交矩陣正交矩陣ATA AE 1TAA A的的n個(gè)列（行

16、）向量組為單位正交向量組個(gè)列（行）向量組為單位正交向量組1A TA也是正交矩陣也是正交矩陣是正交矩陣，則是正交矩陣，則 也是正交矩陣也是正交矩陣,A BAB 編輯課件定理1 設(shè)有非齊次線(xiàn)性方程組(1)0,XAnm 有解；則如果1,2ArAr 無(wú)解；則如果1,1ArAr 有惟一解；則有解時(shí)，如果1, nAr 有無(wú)窮多解；則如果1, nAr定理2 設(shè)有齊次線(xiàn)性方程組（2）0XAnm設(shè)r(A)=r,則 僅有零解；則如果2,1nr 必有非零解；則如果2,2nr 線(xiàn)性方程組的解法與解的結(jié)構(gòu)編輯課件定理1 設(shè)有齊次線(xiàn)性方程組（2）方程組的通解、基礎(chǔ)解系0XAnm 必有非零解；方程組 21 則設(shè), nrAr

17、個(gè)解向量；基礎(chǔ)解系中含rn2可構(gòu)成基礎(chǔ)解系。個(gè)線(xiàn)性無(wú)關(guān)的解向量均任意rn3 的通解為：則的基礎(chǔ)解系是設(shè)2,2,421rnRkkkkkkXrnrnrn,212211編輯課件定理2 設(shè)有非齊次線(xiàn)性方程組（1）0,XAnm 則如果設(shè),nrArArrAr必有無(wú)窮多解；方程組AX1的通解為：則的基礎(chǔ)解系是設(shè)的一個(gè)特解是設(shè)AXAXAXrn,0,221RkkkkkkXrnrnrn,212211編輯課件例例7 7、的基礎(chǔ)解系，是線(xiàn)性方程組設(shè)0,4321AX 的解向量？是不是，014321AX 解解1）是；2） 1044332211xxxx設(shè)0144433322211txtxtxtx即0443332221141

18、xtxxtxxtxtxx即是基礎(chǔ)解系，因?yàn)?321,144433322211tttt，設(shè) 線(xiàn)性無(wú)關(guān)？，滿(mǎn)足什么條件時(shí)，43212t 的基礎(chǔ)解系？也是，滿(mǎn)足什么條件時(shí)，034321AXt線(xiàn)性無(wú)關(guān)。故故4321,編輯課件043332221141xxtxxtxxtxtx即000043322141xxtxxtxxtxtx因?yàn)橄禂?shù)行列式3）是基礎(chǔ)解系，個(gè)解向量因?yàn)?3214由（2）即得條件是實(shí)數(shù)，所以因?yàn)閠 線(xiàn)性無(wú)關(guān)，僅有零解，此時(shí)時(shí)當(dāng)線(xiàn)性相關(guān)，有非零解，此時(shí)時(shí)當(dāng)41411, 0,11, 0,1DtDt線(xiàn)性無(wú)關(guān)，4321411111tttttD編輯課件1 1、特征值的求法、特征值的求法個(gè)特征值的就是，的

19、根nAEAn2102 2、特征向量的求法、特征向量的求法riiXEA, 0,1得基礎(chǔ)解系解對(duì)特征值所對(duì)應(yīng)的特征向量為i不全為零rrrkkkk,111特征值和特征向量特征值和特征向量3、對(duì)角化、對(duì)角化看清要求的是可逆矩陣還是正交矩陣。看清要求的是可逆矩陣還是正交矩陣。方陣方陣 與對(duì)角矩陣與對(duì)角矩陣 相似的條件相似的條件: :A充要條件充要條件: :充分條件充分條件: : 有有n 個(gè)個(gè)不同特征值不同特征值; ;或或 A為實(shí)對(duì)稱(chēng)矩陣為實(shí)對(duì)稱(chēng)矩陣編輯課件填空題填空題已知三階方陣已知三階方陣的三個(gè)特征值為，則的三個(gè)特征值為，則| |A| |（ ），），的特征值為（的特征值為（ ），），的特征值為（的特征值為（ ），），的特征值為（的特征值為（ ）設(shè)設(shè)k=0，k是正整數(shù)，則是正整數(shù)，則的特征值為（的特征值為（ ） 若若，則，則的特征值為（的特征值為（ ） ，-1/2, 1/3，4, 1, 1600, 1編輯課件4設(shè)設(shè)A是是3階方陣，已知方陣階方陣，已知方陣，都不可逆，則都不可逆，則的特征值為（的特征值為（ ）已知三階矩陣已知三階矩陣A的特征值為，的特征值為，則則（ ）。）。1, -1, 3-726E 、單單位位矩矩陣陣 的的特特征征值值，特特征征向