基本積分方法

1、1 利用直接積分法求出的不定積分是很有限的.一一.湊微分法湊微分法例例 cos2xdx分析分析:此不定積分的被積函數(shù)是復(fù)合函數(shù),在積分表中查不到.5.3 5.3 基本積分法基本積分法為了求出更多函數(shù)的不定積分, 下面建立一些有效地積分法.這是因?yàn)楸环e函數(shù)cos2x的變量是“2x” , 與積分變量“x”不同.但如果能把被積表達(dá)式改變一下, 使得被積函數(shù)的變量與積分變量變得相同, 那么就可用公式cossinuduuC求出此不定積分. (u是x的函數(shù))21cos 2cos 2(2 )2xdxxdx12cos2uxudu令1cos 2(2 )2xdx1sin2uC1sin 22uxC回代注注: : 這

2、種方法的實(shí)質(zhì)是當(dāng)被積函數(shù)為復(fù)合函數(shù)時(shí)這種方法的實(shí)質(zhì)是當(dāng)被積函數(shù)為復(fù)合函數(shù)時(shí), ,可采用可采用 恒等變形將原來的微分恒等變形將原來的微分dx湊成新的微分湊成新的微分d d ( (x x) )(可不必?fù)Q元可不必?fù)Q元) ),使原積分變成一個(gè)可直接用積分公式來計(jì)算使原積分變成一個(gè)可直接用積分公式來計(jì)算. .這種方法稱為湊微分法. 其理論依據(jù)為122dxdx解3定理定理4 4 ( )( ), ( ),f u duF uCux設(shè)且具有連續(xù)導(dǎo)數(shù) 則 ( )( ) ( ).fx dxFxC證證 利用不定積分的定義及復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則即可. ( ( )( ( )( )uxFxCFufxx注注1.1.定理定理4

3、4中中, ,若若u u為自變量時(shí)為自變量時(shí), ,當(dāng)然有當(dāng)然有 ( )( )f u duF uC當(dāng)當(dāng)u 換為換為 (x)時(shí)時(shí), , 就有就有 ( )( ) ( )fx dxFxC成立成立. 不定積分的這一性質(zhì)稱為積分形式的不變性不定積分的這一性質(zhì)稱為積分形式的不變性. .注注2.2. 湊微分法的關(guān)鍵是湊微分法的關(guān)鍵是“湊湊”, , 湊的目的是把被積函數(shù)的湊的目的是把被積函數(shù)的中間變量變得與積分變量相同中間變量變得與積分變量相同. . 即即 ( )( )fxx dx湊 ( )( ).fx dx成立成立.4(1)根據(jù)被積函數(shù)是復(fù)合函數(shù)的特點(diǎn)和基本積分公式的形式,依據(jù)恒等變形的原則, 把 dx湊成d(

4、x) . 如 22211(2 ).22xxxe dxe dxeC(2)把被積函數(shù)中的某一因子與dx湊成一個(gè)新的微分d(x) .如“湊微分湊微分”的方法有的方法有:ln xdxx方法1較簡(jiǎn)單, 而方法2則需一定的技巧, 請(qǐng)同學(xué)們務(wù)必記牢以下常見的湊微分公式！322lnln(ln )3xdxxC51 1.()dxd axa112.(1),1x dxdx 1()( ,0)d axb a baa為常數(shù)24.(arcsin )(arccos )1dxdxdxx 1(2)dxdxx 3.,lnxxaa dxda,xxe dxde()xxeedxd25.(arctan )(cot )1dxdxd arcxx

5、 6.ln ,dxdxxln(1)1dxdxx7.sincos ,cossinxdxdxxdxdx 6例例8 求下列各式的不定積分321(2).xedx1( 2 )(1)32232dxdxxx 解332211322(2)13xxedxedx 解（）結(jié)論結(jié)論1:1()() ()f axb dxf axb d axba8.(sincos )( cossin )xx dxdxx29.(21)()xdx d xx210.tancosdxdxx211.cotsindxdxx 1(32 )232dxx 1ln3 22xC32123xeC (1) ;32dxx722(3)dxax111 2dxaaxax解

6、原式1111()()22d axd axaaxaax11lnln22axaxCaa1ln2axCaax22(4) (0)dxaax22(1( ) )dxxaa解原式2( )(1( ) )xa daxaa2( )(1( ) )xdaxaarcsinxCa822(5)dxax22(1( ) )dxxaa解原式22( )11( )xa daxaa2( )11arctan1( )xdxaCxaaaa例例9 求下列各式的不定積分2332(1)23xdxxx33(23) 23d xxxx解 原式3ln23xxC結(jié)論結(jié)論2:( )ln( )( )fxdxf xCf x(2) tan xdxsincosxdx

7、x解原式coscosdxx ln cosln sec.xCxC 9同理可得cotln sinln cscxdxxCxC 1ln(3)xdxx 1lnlnxdx解 原式1ln(1ln )xdx322(1ln )3xC例例10 求下列各式的不定積分(4)1xxedxe (1)1xxd ee解 原式21xeC 2(1)34xdxx 221 234dxx解 原式221(34)32 34dxx21343xC10結(jié)論結(jié)論3:11()() ()nnnnxf axb dxf axb d axbansin(4)xdxx232(2)(1)xxdx3231(1)(1)3xd x解原式331(1)9xC211(3)c

8、os dxxx11cos( )dxx 解原式1sinCx 2 sinxd x解 原式2cos xC11(5) secxdx1cosdxx解原式或原式tansecsectansecxxxdxxx同理可得cscln csccotxdxxxC22cossincos1 sinxdxdxxx11 sinln21 sinxCx211sinln2cosxCx2sec tansectansecxxxdxxx(sectan )tansecdxxxxln sectanxxCln sectanxxC122(1) sin xdx1cos22xdx解原式1cos22dxxdx11cos2(2 )24dxxdx11sin

9、224xxC例例11 求下列各式的不定積分同理可得211cossin224xdxxxC結(jié)論結(jié)論4: 一般地, 對(duì)形如sin, cosnnxdxxdx3(2) sin xdx2sincosxdxx 解 原式2(cos1) cosxdx31coscos.3xxc這樣的不定積分13當(dāng)n為偶數(shù)時(shí)應(yīng)先降次后再積分；當(dāng)n為奇數(shù)時(shí)應(yīng)先湊微分再積分；2(3) sincosxxdx231sinsinsin3xdxxC解原式sincosnmxxdx一般地,對(duì)形如這樣的不定積分若nm，且一奇一偶時(shí)，則應(yīng)湊奇次冪的三角函數(shù)；若同為偶，則化為sin, cosnnxdxxdx 來積分.1sin22nnmx dx若，則化為

10、 （） 來積分.14(4) sinsinmxnxdx1cos()cos() 2mn xmn x dx解原式對(duì)形如這樣的不定積分應(yīng)先積化和差后再積分.sin()sin()2()2()mn xmn xCmnmn15課堂練習(xí): 求下列各式321. 12;2. ;3. 3;xexxxdxedxx edx122324. ;5. cos;6. sincos;xadxxxdxxxdx16222217.;sincos8.;16259.;49dxxxdxxdxx210.;1 cosarcsin11.;1cot12.sindxxxdxxd17注:對(duì)于同一個(gè)不定積分,采用的方法不同,有時(shí)得到的原函數(shù)的表達(dá)式就完全不

11、同,但這些不同的表達(dá)式之間僅相差一個(gè)常數(shù).如21sincossinsinsin2xxdxxdxxC21sincoscoscoscos2xxdxsxdxxC 111sincossin2sin22s2244xxdxxdxxd xcoxC 法一:法二:法三:18二二.換元法換元法1 xdxx例12 求注注:用直接積分和湊微分法是不易計(jì)算此積分的.但作變換1(0)xt t2 1xt 即2dxtdt2 21ttdtt原式( )f x dx ( )( )ftt dt從而222122 111tdtdttt22arctan212arctan1tttCxxC 回代注:這種經(jīng)過適當(dāng)選擇變量代換x=(t)將積分求出

12、此積分后回代t .稱此方法為換元積分法.化為積分19定理5 設(shè)函數(shù)(x)連續(xù), x=(t)單調(diào)可微, 且 ,而( )0t ( )( )( ),ftt dtF tC1( )( )f x dxFxC證明 ( )( )( ), ( ) ( )( ),ftt dtF tCF tftt則1( ) ( ) .F ttx由和復(fù)合而成1 ( ) ( )txFxCF tt即1( )( )f x dxFxC只是在此方法中要注意兩個(gè)問題: ( )( )ftt1.函數(shù) 的原函數(shù)存在.2 .要求代換式x=(t)的反函數(shù)存在且唯一.1 ( )Fx而，由復(fù)合函數(shù)和反函數(shù)求導(dǎo)法則得1( )tF tx1 ( )( )( ( )

13、( )( )fttftf xt1( ) ( ) .Fxf x則是的一個(gè)原函數(shù)則20注1:換元積分法是先換元,再積分,最后回代.這與湊微分法(先湊后換元)不一樣.naxb2222,.nnaxxa2222,.axxa注2: 本節(jié)利用換元積分法來求解被積函數(shù)為無理函數(shù)的不定積分.換元的目的是將無理函數(shù)的不定積分轉(zhuǎn)換為有理函數(shù)的積分.分兩類講分兩類講:1.根號(hào)里是一次式的,即2.根號(hào)里是二次式的,即主要講1.被積函數(shù)含有 的因子時(shí),可令 (0, )naxb an為正整數(shù),ntaxb例13 求下列各式化簡(jiǎn)函數(shù)后再積分.211(1)11xdxx222112 ,1(1)xtdttxdxxtt 解令則2 11

14、2xtxtdxtdt 解 令22 2 11tttdtdttt原式21 1122 (1)11tdttdttt 22(1)ln 1( 11)ln 11ttCxxC22222(1)22(1)1t ttdtt dttt 原式212 11dtt 11(2)xdxxx221111112ln2ln21211xtxxtCCtxxx 434 224,xtxtdxt dt 令則4(3)22dxxx()請(qǐng)同學(xué)們自行求解3(4)dxxx322241 14411t dtt dttdttttt 原式14 (1)1tdtt 214ln(1)2tttC 441422ln(21)2xxxC2322ax22ax22xa sin

15、() ,22xatt 令2222 (1tan)sec .axatat則2222 (sec1)tan .xaatat則2222 (1 sin)cos .axatat則 tan () ,22xatt 令 sec (0) ,2xatt 令但在具體求解時(shí)要根據(jù)被積函數(shù)所含二次根式的不同情況作不同的三角代換,作法如下：2222,(0)axxaa2.被積函數(shù)含有 的因子時(shí),可作三角變換,利用三角函數(shù)恒等式使二次根式有理化.24 sin () arcsin,22xxattta但令則22(1)ax dx22222 axtxat 解若令2222coscoscosax dxat atdtatdt21cos22ta

16、dt222(0)2tdttdtdxxxat 若cosdxatdt221(sin2 )(sin cos )222aattCtttC例14 求下列各式25tax22ax222(arcsin)2taxxaxCaaa回代原式sinxta22cosaxta如圖2221arcsin.22axx axCa262 tan () sec22xattdxatdt 解 令則tax22ax222secsecsecdxatdttdtatxa1ln sectanttC如圖tanxta22cosatax22(2)dxxa221lnaxxCaa221ln(ln ).xaxCCa2722sectansectandxattdtt

17、dtatxa sec (0) sectan2xattdxattdt解 令則ta22xax22(3)dxxa22221lnlnxxaCxxaCaa1ln sectanttC283.倒代換 當(dāng)被積函數(shù)的分母的次數(shù)與分子的次數(shù)之差大于1時(shí),利用倒代換可消去被積函數(shù)分母中的變量因子x.例例15 求241xdxx211 , . xdxdttt 解 令則從而122(1)ttdt 24 1xdxx12221(1)(1)2td t 224111()1tdttt332222311 (1)(1)33xtCCx 29例16 求2(0)1dxxx x法一: 三角代換令sectansectanttdtdttCtt 法二

18、: 根式代換令法三:湊微分法,原式=2221( )111 ( )1 ( )ddxxxxx 2221,11tdttxtt t 原式原式=sec (0),2xtt 2arctan1dttCtt21x x11arccosCx2arctan1xC 1arcsinCx 30法四: 倒代換令2221111( )1dtdttttt 原式1tx1arcsinCx 回代arcsintC 解 由題意知( )arctanf x dxxC則2221(1)(1) (1)2xfxdxfxdx 21arctan(1)2xC 例17(1) 設(shè)函數(shù)(x)的一個(gè)原函數(shù)是arctanx,求不定積分2(1).xfxdx31(2) 若

19、己知 ( )( )f x dxF xC, 求：22()xxef edx22 ()xxef edx故 ( )( )f x dxF xC解 因21()2xF eC 221()2xxf ede 211(3)( )( ),( )( ),( )( ), ( )( ) ()1, ( ).4F xf xG xf xF xGxf xf xff x設(shè)且求2( )( )F xGx解 222( )1( )( )2( )( )fxfxfxfxfx而222( )( )1( )1fxfxfx由已知322( )1( )fx dxdxfx2( )arctan( )1( )df xf xxCfx()104fC又代入上式得( )

20、tanf xx2( ) 11( )fxfx故兩端積分,得通過上述幾種積分方法的學(xué)習(xí),可將以下幾個(gè)公式補(bǔ)充在基本積分表里： tanln cosln secxxCxC cotln sinln cscxdxxCxC 33secln sectanxdxxxCcscln csccotxdxxxC222221arcsin22axax dxx axCa2222lndxxxaCxa221ln2dxaxCaaxax34ln, arctan,sinxxdxxdxexdx定理5 設(shè)函數(shù)u=u(x)及v=v(x)具有連續(xù)的導(dǎo)數(shù),則udvuvvdu三三.分部積分法分部積分法直接積分和換元積分法可以解決大量的不定積分的計(jì)

21、算問題;但對(duì)形如等類型的不定積分,采用這兩種方法卻無法.換元積分法是在復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法則的基礎(chǔ)上得到的,下面利用兩個(gè)函數(shù)乘積的求導(dǎo)法則來推得分部積分法.證 由 d(uv)=vdu+udv, 得 udv= d(uv)vdu ,對(duì)此式兩邊同時(shí)求不定積分, 得35而不定積分 易于計(jì)算,udvvdu則可采用分部積分公式,使計(jì)算大為簡(jiǎn)化.udvuvvduuv dxuvvu dx注1:不定積分 不易計(jì)算,例15 求(1) ln(2)xdxarctgxdx解 (1) 設(shè)u=lnx,dv=dx,則v=x ,由分部積分公式得lnlnlnxdxxxxdx(2)arctanarctanxxxdx原式1lnlnxxxd

22、xxxxCx2arctan1xxxdxx21arctanln(1)2xxxC36(2). 要比 容易積出.( ) ( ).f x g x dxvduudv一般按“反對(duì)冪指三”的順序,后者先湊入的方法確定u和v .注2:分部積分法是基本積分法之一,常用于被積函數(shù)是兩種不同類型函數(shù)乘積的積分這類積分在具體計(jì)算過程中,如何正確地選定u和v卻顯得非常重要.一般說來要考慮以下兩點(diǎn):(1). V要容易求得;例18 求cosxxdx cossinxxdxxdx解sinsinsincosxxxdxxxxC37比原積分更難積出.例19 求下列不定積分(1)(2)arctanxxe dxxxdxxxxe dxxd

23、e(1)解21 (2)arctan2xdx原式否則若 2221coscoscossin222xxxxdxxdxxxdxxxxxxee dxxeeC221arctanarctan 2xxx dx2221arctan21xxxdxx222111arctan21xxxdxx21arctanarctan .2xxxxC3822ln(1)1xdxxxxx2(3) ln(1)xxdx22ln(1)ln(1)xxxxdxx解原式222212 1ln(1)1xxxxxxdxxx2221(1)ln(1)21dxxxxx1222ln(1)(1)xxxxC391122lnln2 lnxdxxxdxxdxx解ln(4

24、).xdxx2ln2lnxxxdx122ln2xxxdx練習(xí)：22(1)(2) (2)cosxx e dxxxdx2ln4.xxxC40例20 求sinxexdx sinsinxxexdxxde解這是一個(gè)關(guān)于 的方程,移項(xiàng)并兩邊同除以2,得sinxexdx1sin(sincos )2xxexdxexxC注:有些不定積分需要將積分的幾種方法綜合起來使用.sinsinxxexe dxsincosxxexexdxsincosxxexxdesincossinxxxexexexdx413cos(2)sinxxdxx例21 求(1)xedx解 令2, ,2xtxtdxtdt則2tetdt原式2ttde22ttteeC22tttee dt22111csc2sin2xdxdxx 3sin sinxdxx解 原式221( csccsc)2xxxdx 21( csccot )2xxxC 22xxxeeC42arcsin2arcsin(3)1xx edxxarcsinarcsinarcsinxx edx解 原式arcsinarcsinxxdearcsinarcsinarcsinarcsinxxxeedxarcsinarcsinarcsinxxxeeC(4)設(shè) f(x) 有連