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文檔簡介
1、條件條件(tiojin)概率全概公式貝葉斯公式概率全概公式貝葉斯公式第一頁,共49頁。 在解決許多概率問題時,往往需要求在解決許多概率問題時,往往需要求(yoqi)在有某些附加信息在有某些附加信息(條件條件)下事件發(fā)生的概率。下事件發(fā)生的概率。一、條件一、條件(tiojin)概率概率1. 條件概率條件概率(gil)的概念的概念通常記事件通常記事件B發(fā)生的條件下發(fā)生的條件下, 事件事件A發(fā)生的概發(fā)生的概率為率為P(A|B)。 一般情況下,一般情況下, P(A|B) P(A) 。 第一章第三節(jié) 條件概率第1頁/共49頁第二頁,共49頁。P(A )=1/6,例如例如(lr):擲一顆均勻骰子,:擲一顆
2、均勻骰子,A=擲出擲出2點點, B=擲出偶數(shù)擲出偶數(shù)(u sh)點點,P(A|B)=?擲骰子擲骰子 已知事件已知事件B發(fā)生,此時試驗所有可能發(fā)生,此時試驗所有可能結(jié)果構(gòu)成的集合結(jié)果構(gòu)成的集合(jh)就是就是B。于是,于是,P(A|B)= 1/3。 B中共有中共有3個元素,每個元素出現(xiàn)個元素,每個元素出現(xiàn)是等可能的,且其中只有是等可能的,且其中只有1個個(2點點)在集合在集合A中。中。 容易看到:容易看到:。)()(636131BPABP P(A|B)第2頁/共49頁第三頁,共49頁。P(A )=3/10, 又如:又如:10件產(chǎn)品中有件產(chǎn)品中有7件正品件正品(zhngpn),3件次品件次品; 7
3、件正品件正品(zhngpn)中有中有3件一等品件一等品, 4件二等品?,F(xiàn)從這件二等品?,F(xiàn)從這10件中任取一件,記件中任取一件,記B=取到正品取到正品(zhngpn),A=取到一等品取到一等品,P(A|B)。)()(10710373BPABP 第3頁/共49頁第四頁,共49頁。P(A )=3/10, B=取到正品取到正品(zhngpn),P(A|B)=3/7。 本例中,計算本例中,計算P(A)時,依據(jù)時,依據(jù)(yj)前提條件是前提條件是10件產(chǎn)品中件產(chǎn)品中一等品的比例。一等品的比例。A=取到一等品取到一等品, 計算計算P(A|B)時,這個前提條件未變,只是時,這個前提條件未變,只是(zhsh)加
4、上加上“事件事件B已發(fā)生已發(fā)生”這個新的條件。這個新的條件。 這好象給了我們一個這好象給了我們一個“情報情報”,使我們得以,使我們得以在某個縮小了的范圍內(nèi)來考慮問題。在某個縮小了的范圍內(nèi)來考慮問題。第4頁/共49頁第五頁,共49頁。 若事件若事件B已發(fā)生已發(fā)生, 則為使則為使 A也發(fā)生也發(fā)生 , 試驗結(jié)果必須是既在試驗結(jié)果必須是既在 B 中又在中又在A中的樣本中的樣本(yngbn)點點 , 即此點必屬于即此點必屬于AB。 由于由于我們已經(jīng)知道我們已經(jīng)知道B已發(fā)生已發(fā)生, 故故B就變成了新的樣本就變成了新的樣本(yngbn)空間空間 , 于是于是 就有就有(1)。設(shè)設(shè)A、B是兩個事件,且是兩個事
5、件,且P(B)0,則稱,則稱 (1)()()|(BPABPBAPABAB2. 條件概率條件概率(gil)的定義的定義為在事件為在事件(shjin)B發(fā)生條件下,事件發(fā)生條件下,事件(shjin)A的條件概率。的條件概率。第5頁/共49頁第六頁,共49頁。3. 條件條件(tiojin)概率的概率的性質(zhì)性質(zhì)設(shè)設(shè)B是一事件是一事件(shjin),且,且P(B)0,則則1. 對任一事件對任一事件(shjin)A,0P(A|B)1; 2. P(|B)=1P(|B)=1;3. 設(shè)設(shè)A1,An ,互不相容,則互不相容,則 P(A1+An +)| B = P(A1|B)+ +P(An|B)+而且,前面對概率所
6、證明的一切性質(zhì),也都而且,前面對概率所證明的一切性質(zhì),也都適用于條件概率。適用于條件概率。第6頁/共49頁第七頁,共49頁。例如例如(lr)(lr):對任意事件:對任意事件A1A1和和A2 ,A2 ,有有 P(A1A2|B)=P(A1|B)+P(A2|B)- P(A1A2|B) P(A1A2|B)=P(A1|B)+P(A2|B)- P(A1A2|B)等。等。其他性質(zhì)其他性質(zhì)(xngzh)請同學(xué)們自請同學(xué)們自行寫出。行寫出。第7頁/共49頁第八頁,共49頁。 2)從加入從加入(jir)條件后改變了的情況去算條件后改變了的情況去算 4. 條件概率條件概率(gil)的計的計算算1) 用定義用定義(d
7、ngy)計算計算:,)()()|(BPABPBAPP(B)0。 擲骰子擲骰子例:例:A=擲出擲出2點點, B=擲出偶數(shù)點擲出偶數(shù)點,P(A|B)=31B發(fā)生后的發(fā)生后的縮減樣本空間縮減樣本空間所含樣本點總數(shù)所含樣本點總數(shù)在縮減樣本空間在縮減樣本空間中中A所含樣本點所含樣本點個數(shù)個數(shù)第8頁/共49頁第九頁,共49頁。例例1 :擲兩顆均勻骰子:擲兩顆均勻骰子(tu z), 已知第一顆擲出已知第一顆擲出6點點,問問“擲出點數(shù)之和不小于擲出點數(shù)之和不小于10”的概率是多少的概率是多少? 解法解法(ji f)1: )()()|(BPABPBAP解法解法(ji f)2: 。2163)|( BAP解解: 設(shè)
8、設(shè)A=擲出點數(shù)之和不小于擲出點數(shù)之和不小于10, B=第一顆擲出第一顆擲出6點點。應(yīng)用定義應(yīng)用定義在在B發(fā)生后的發(fā)生后的縮減樣本空間縮減樣本空間中計算中計算。21366363 第9頁/共49頁第十頁,共49頁。例例2: 設(shè)某種動物由出生算起活到設(shè)某種動物由出生算起活到20年以上的年以上的概率概率(gil)為為0.8,活到,活到25年以上的概率年以上的概率(gil)為為0.4。問現(xiàn)年。問現(xiàn)年20歲的這種動物,它能歲的這種動物,它能活到活到25歲以上的概率歲以上的概率(gil)是多少?是多少?解解:設(shè)設(shè)A=能活能活20年以上年以上(yshng), B=能活能活25年以上年以上(yshng),依題意
9、依題意(t y), P(A)=0.8, P(B)=0.4,所求為所求為P(B|A) 。)()()|(APABPABP。5 . 08 . 04 . 0)()( APBP第10頁/共49頁第十一頁,共49頁。條件條件(tiojin)概率概率P(A|B)與與P(A)的區(qū)別的區(qū)別 每一個隨機每一個隨機(su j)試驗都是在一定條件下進行的,試驗都是在一定條件下進行的,設(shè)設(shè)A是隨機是隨機(su j)試驗的一個事件,則試驗的一個事件,則P(A)是在該是在該試驗條件下事件試驗條件下事件A發(fā)生的可能性大小。發(fā)生的可能性大小。P(A)與與P(A |B)的區(qū)別在于兩者發(fā)生的條件不同的區(qū)別在于兩者發(fā)生的條件不同,它
10、們它們是兩個不同的概念是兩個不同的概念,在數(shù)值在數(shù)值(shz)上一般也不同。上一般也不同。 而條件概率而條件概率P(A|B)是在原條件下又添加是在原條件下又添加“B發(fā)生發(fā)生”這個條件時這個條件時A發(fā)生的可能性大小,即發(fā)生的可能性大小,即P(A|B)仍是概率。仍是概率。第11頁/共49頁第十二頁,共49頁。由條件由條件(tiojin)概率概率的定義:的定義:即即 若若P(B)0, 則則 P(AB)=P(B)P(A|B) , (2),)()()|(BPABPBAP 而而 P(AB)=P(BA),二、二、 乘法乘法(chngf)公式公式在已知在已知P(B), P(A|B)時時, 可反解出可反解出P(
11、AB)。將將A、B的位置的位置(wi zhi)對調(diào),有對調(diào),有故故 P(A)0,則則P(AB)=P(A)P(B|A) 。 (3)若若 P(A)0, 則則P(BA)=P(A)P(B|A) , (2)和和(3)式都稱為乘法公式式都稱為乘法公式, 利用利用它們可計算兩個事件同時發(fā)生的概率。它們可計算兩個事件同時發(fā)生的概率。第12頁/共49頁第十三頁,共49頁。例例3: 甲、乙兩廠共同甲、乙兩廠共同(gngtng)生產(chǎn)生產(chǎn)1000個零件,其個零件,其中中300件是乙廠生產(chǎn)的。而在這件是乙廠生產(chǎn)的。而在這300個零件中,有個零件中,有189個是標(biāo)準件,現(xiàn)從這個是標(biāo)準件,現(xiàn)從這1000個零件中任取一個,問
12、這個個零件中任取一個,問這個零件是乙廠生產(chǎn)的標(biāo)準件的概率是多少?零件是乙廠生產(chǎn)的標(biāo)準件的概率是多少?所求為所求為P(AB)。甲、乙共生產(chǎn)甲、乙共生產(chǎn)(shngchn)1000 個個189個是個是標(biāo)準件標(biāo)準件300個個乙廠生產(chǎn)乙廠生產(chǎn)(shngchn)設(shè)設(shè)B=零件是乙廠生產(chǎn)零件是乙廠生產(chǎn),A=是標(biāo)準件是標(biāo)準件,第13頁/共49頁第十四頁,共49頁。所求為所求為P(AB) 。設(shè)設(shè)B=零件零件(ln jin)是乙廠是乙廠生產(chǎn)生產(chǎn),A=是標(biāo)準件是標(biāo)準件,若改為若改為(i wi)“發(fā)現(xiàn)它是乙廠生產(chǎn)的發(fā)現(xiàn)它是乙廠生產(chǎn)的,問它是標(biāo)準件的概率是多少問它是標(biāo)準件的概率是多少?”求的是求的是 P(A|B) 。B發(fā)
13、生發(fā)生, 在在P(AB)中作為中作為(zuwi)結(jié)結(jié)果果; 在在P(A|B)中作為中作為(zuwi)條件。條件。甲、乙共生產(chǎn)甲、乙共生產(chǎn)1000 個個189個個是是標(biāo)準件標(biāo)準件300個個乙廠生產(chǎn)乙廠生產(chǎn)第14頁/共49頁第十五頁,共49頁。當(dāng)當(dāng)P(A1A2An-1)0時,有時,有P (A1A2An)=P(A1)P(A2|A1) P(An| A1A2An-1)。推廣到多個推廣到多個(du )事件的乘法公式事件的乘法公式:第15頁/共49頁第十六頁,共49頁。解解:例例 4:4: 一批燈泡(dngpo)共100只,其中10只是次品,其余為正品,作不放回抽取,每次取一只,求:第三次才取到正品的概率。
14、 設(shè)Ai =第i次取到正品(zhngpn), i=1,2,3。 A=第三次才取到正品(zhngpn)。 則:。故,故,0083.0989099910010)|()|()()()(,213121321321 AAAPAAPAPAAAPAPAAAA第16頁/共49頁第十七頁,共49頁。解解:例例5: : 袋中有同型號小球b+r個,其中b個是黑球(hi qi),r個是紅球。每次從袋中任取一球,觀其顏色后放回,并再放入同顏色,同型號的小球c個。若B=第一,第三次取到紅球,第二次取到黑球(hi qi),求P(B)。設(shè)設(shè)A Ai i=第第i i次取到紅球次取到紅球, i=1,2,3, , i=1,2,3,
15、 則則: :第17頁/共49頁第十八頁,共49頁。 一場精彩的足球賽將要舉行一場精彩的足球賽將要舉行, 但但5個球迷只搞到一張個球迷只搞到一張球票,但大家都想去。沒辦法,只好用抽簽球票,但大家都想去。沒辦法,只好用抽簽(chu qin)的方法來確定球票的歸屬。的方法來確定球票的歸屬。球票球票5張同樣張同樣(tngyng)的卡片,只有一張上寫有的卡片,只有一張上寫有“球票球票”,其余的什么也沒寫,其余的什么也沒寫. 將它們放在一起,洗勻,讓將它們放在一起,洗勻,讓5個人依次抽取。個人依次抽取。先抽的人比后抽的人抽到球票的機會先抽的人比后抽的人抽到球票的機會(j hu)大嗎?大嗎?后抽的人比先抽的
16、人吃虧嗎?后抽的人比先抽的人吃虧嗎? 請回答:請回答:第18頁/共49頁第十九頁,共49頁。到底誰說的對呢?讓我們到底誰說的對呢?讓我們(w men)用概率論的知識來計算一下用概率論的知識來計算一下,每個人抽到每個人抽到“入場券入場券”的概率到底的概率到底有多大有多大?“大家大家(dji)不必爭,你們一個一個按次序來,不必爭,你們一個一個按次序來,誰抽到誰抽到入場券入場券的機會都一樣大。的機會都一樣大。”“先抽的人當(dāng)然要比后抽的人抽到的人機會大。先抽的人當(dāng)然要比后抽的人抽到的人機會大。”第19頁/共49頁第二十頁,共49頁。 我們用Ai表示(biosh)“第i個人抽到入場券”, i1,2,3,
17、4,5。顯然,顯然,P(A1)=1/5,P( )4/5,1A第第1個人個人(grn)抽到入場券的概率是抽到入場券的概率是1/5。也就是說,也就是說,iA 則則 表示表示“第第i個人未抽到入場券個人未抽到入場券”,第20頁/共49頁第二十一頁,共49頁。因為因為(yn wi)若第若第2個人抽到個人抽到入場券時,第入場券時,第1個人個人肯定沒抽到??隙]抽到。也就是要想第也就是要想第2個人個人(grn)抽到入場券,必抽到入場券,必須第須第1個人個人(grn)未抽到,未抽到,),|()()(1212AAPAPAP ,212AAA 由于由于由乘法由乘法(chngf)公式,公式, 得得 計算得:計算得:
18、 P(A2)= (4/5)(1/4)= 1/5。第21頁/共49頁第二十二頁,共49頁。)|()|()()()(2131213213AAAPAAPAPAAAPAP 這就是有關(guān)抽簽這就是有關(guān)抽簽(chu qin)順序問題的正確解順序問題的正確解答答 同理,第同理,第3個人個人(grn)要抽到要抽到“入場券入場券”,必,必須第須第1、第、第2個人個人(grn)都沒有抽到。因此,都沒有抽到。因此,=(4/5)(3/4)(1/3)=1/5, 繼續(xù)做下去繼續(xù)做下去(xi q)就會發(fā)現(xiàn)就會發(fā)現(xiàn), 每個人抽到每個人抽到“入入場券場券” 的概率都是的概率都是1/5。抽簽不必爭先恐后。抽簽不必爭先恐后。第22頁
19、/共49頁第二十三頁,共49頁。 全概率公式和貝葉斯公式主要用于計算全概率公式和貝葉斯公式主要用于計算比較復(fù)雜事件的概率比較復(fù)雜事件的概率, 它們實質(zhì)上是加法它們實質(zhì)上是加法(jif)公式和乘法公式的綜合運用。公式和乘法公式的綜合運用。 綜合綜合(zngh)運用運用加法加法(jif)公式公式P(A+B)=P(A)+P(B)A、B互斥互斥乘法公式乘法公式P(AB)= P(A)P(B|A)P(A)0 三、全概率公式和貝葉斯公式三、全概率公式和貝葉斯公式第23頁/共49頁第二十四頁,共49頁。例例6: 有三個箱子,分別編號為有三個箱子,分別編號為1,2,3,1號箱號箱裝有裝有1個紅球個紅球4個白球,
20、個白球,2號箱裝有號箱裝有2紅紅3白球,白球,3號箱裝有號箱裝有3紅球。某人從三箱中任取一箱,紅球。某人從三箱中任取一箱,從中任意摸出一球,求取得從中任意摸出一球,求取得(qd)紅球的概紅球的概率。率。解:記解:記 Ai=球取自球取自i號箱號箱, i=1,2,3; B =取得取得(qd)紅紅球球。即即 B= A1B+A2B+A3B, 且且 A1B、A2B、A3B兩兩互斥。兩兩互斥。B發(fā)生發(fā)生(fshng)總是伴隨著總是伴隨著A1,A2,A3 之一同時發(fā)生之一同時發(fā)生(fshng),P(B)=P( A1B)+P(A2B)+P(A3B)運用加法公式得123第24頁/共49頁第二十五頁,共49頁。將
21、此例中所用的方法推廣將此例中所用的方法推廣(tugung)到一般到一般的情形,就得到在概率計算中常用的全概率的情形,就得到在概率計算中常用的全概率公式。公式。對求和中的每一項運用(ynyng)乘法公式得P(B)=P( A1B)+P(A2B)+P(A3B), )()(31 iiiABPAP代入數(shù)據(jù)代入數(shù)據(jù)(shj)計算得:計算得:P(B)=8/15。第25頁/共49頁第二十六頁,共49頁。設(shè)A1,A2,An是兩兩互斥的事件,且P(Ai)0, i =1,2,n, 另有一事件B, 它總是與A1, A2, ,An之一同時(tngsh)發(fā)生,則 niiiABPAPBP1)()()(全概率全概率(gil)
22、公式公式:第26頁/共49頁第二十七頁,共49頁。 niiiABPAPBP1)()()(稱滿足上述條件的稱滿足上述條件的A1,A2,An為完備為完備(wnbi)事件組。事件組。,1niiA則對任一事件則對任一事件(shjin)B,有,有在一些在一些(yxi)教科書中,常將全概率公式敘述為:教科書中,常將全概率公式敘述為: 設(shè)設(shè) 為隨機試驗的樣本空間,為隨機試驗的樣本空間,A1,A2,An是是兩兩互斥的事件,且有兩兩互斥的事件,且有P(Ai)0,i =1,2,n, 第27頁/共49頁第二十八頁,共49頁。在較復(fù)雜情況下,直接計算在較復(fù)雜情況下,直接計算P(B)不容易不容易, 但但總可以適當(dāng)總可以
23、適當(dāng)(shdng)地構(gòu)造一組兩兩互斥地構(gòu)造一組兩兩互斥的的Ai ,使,使B伴隨著某個伴隨著某個Ai的出現(xiàn)而出現(xiàn),且的出現(xiàn)而出現(xiàn),且每個每個 容易計算。可用所有容易計算??捎盟?之之和計算和計算P(B)。 niiiABPAPBP1)()()(由上式不難看出由上式不難看出:“全部全部(qunb)”概率概率P(B)可分成許多可分成許多“部分部分”概率概率 之和。之和。它的理論和實用它的理論和實用(shyng)意意義在于義在于:)(BAPi第28頁/共49頁第二十九頁,共49頁。 某一事件某一事件B的發(fā)生有各種可能的原因的發(fā)生有各種可能的原因Ai (i=1,2,n),如果,如果(rgu)B是由原因是
24、由原因Ai所引起,所引起,則則B發(fā)生的概率是發(fā)生的概率是 每一原因都可能導(dǎo)致每一原因都可能導(dǎo)致B發(fā)生,故發(fā)生,故B發(fā)生的概率是各原因引起發(fā)生的概率是各原因引起(ynq)B發(fā)發(fā)生概率的總和,即全概率公式。生概率的總和,即全概率公式。P(AiB)=P(Ai)P(B |Ai)全概率全概率(gil)公公式。式。我們還可以從另一個角度去理解我們還可以從另一個角度去理解第29頁/共49頁第三十頁,共49頁。 由此可以形象地把全概率公式看成是由此可以形象地把全概率公式看成是“由原因推結(jié)果由原因推結(jié)果”,每個原因?qū)Y(jié)果的發(fā)生,每個原因?qū)Y(jié)果的發(fā)生有一定的有一定的“作用作用”,即結(jié)果發(fā)生的可能性與,即結(jié)果發(fā)生的
25、可能性與各種原因的各種原因的“作用作用”大小有關(guān)。全概率公式大小有關(guān)。全概率公式表達了因果表達了因果(yngu)之間的關(guān)系之間的關(guān)系 。A1A2A3A4A5A6A7A8B諸諸Ai是原因是原因(yunyn)B是結(jié)果是結(jié)果第30頁/共49頁第三十一頁,共49頁。 例例 7: 甲、乙、丙三人同時對飛機進行射擊甲、乙、丙三人同時對飛機進行射擊(shj), 三人擊中的概率分別為三人擊中的概率分別為0.4、0.5、0.7。飛。飛 機被一人機被一人擊中而擊落的概率為擊中而擊落的概率為0.2, 被兩人擊中而擊落的概率為被兩人擊中而擊落的概率為0.6, 若三人都擊中若三人都擊中, 飛機必定被擊落飛機必定被擊落,
26、 求飛機被擊落求飛機被擊落的概率。的概率。 設(shè)設(shè)B=飛機飛機(fij)被擊落被擊落, Ai=飛機飛機(fij)被被i人擊中人擊中, i=1,2,3。 由全概率由全概率(gil)公式,公式, 得得 P(B)=P(A1)P(B |A1)+ P(A2)P(B|A2) + P(A3)P(B |A3)則則 B=A1B+A2B+A3B,解解:依題意,依題意,P(B|A1)=0.2, P(B|A2)=0.6, P(B|A3)=1。第31頁/共49頁第三十二頁,共49頁??汕蟮每汕蟮?為求為求P(Ai ) , 設(shè)設(shè) Hi=飛機飛機(fij)被第被第i人擊中人擊中, i=1,2,3。 ),()(32132132
27、11HHHHHHHHHPAP ),()(3213213212HHHHHHHHHPAP 。)()(3213HHHPAP 將數(shù)據(jù)將數(shù)據(jù)(shj)代入計算,得代入計算,得P(A1)=0.36; P(A2)=0.41; P(A3)=0.14。第32頁/共49頁第三十三頁,共49頁。于是于是(ysh) , P(B)=P(A1)P(B |A1)+ P(A2)P(B|A2) +P(A3)P(B |A3)=0.458, =0.360.2+0.41 0.6+0.14 1即飛機被擊落即飛機被擊落(jlu)的概率為的概率為0.458。第33頁/共49頁第三十四頁,共49頁。該球取自哪號箱的可能性該球取自哪號箱的可能
28、性大些大些?實際中還有下面一類實際中還有下面一類(y li)問題問題已知結(jié)果求原已知結(jié)果求原因因 這一類問題在實際這一類問題在實際(shj)中更為常見,它中更為常見,它所求的是條件概率,是已知某結(jié)果發(fā)生條件所求的是條件概率,是已知某結(jié)果發(fā)生條件下,求各原因發(fā)生可能性大小。下,求各原因發(fā)生可能性大小。 某人從任一箱中任意摸出某人從任一箱中任意摸出一球一球,發(fā)現(xiàn)發(fā)現(xiàn)(fxin)是紅球是紅球, 求求該球是取自該球是取自1號箱的概率。號箱的概率。1231紅紅4白白或者問或者問:第34頁/共49頁第三十五頁,共49頁。接下來我們介紹解決接下來我們介紹解決(jiju)這類問題的這類問題的貝葉斯公式貝葉斯公
29、式(gngsh)第35頁/共49頁第三十六頁,共49頁。 有三個箱子,編號分別為有三個箱子,編號分別為1,2,3,1號箱裝有號箱裝有1個紅個紅球球4個白球,個白球,2號箱裝有號箱裝有2紅球紅球3白球,白球,3號箱裝有號箱裝有3紅球紅球.。某人從三箱中任取一箱,從中任意摸出一。某人從三箱中任取一箱,從中任意摸出一球,發(fā)現(xiàn)球,發(fā)現(xiàn)(fxin)是紅球是紅球,求該球是取自求該球是取自1號箱的概號箱的概率率 。1231紅紅4白白?第36頁/共49頁第三十七頁,共49頁。某人從任一箱中任意某人從任一箱中任意(rny)摸出摸出一球,發(fā)現(xiàn)是紅球,求該一球,發(fā)現(xiàn)是紅球,求該球是取自球是取自1號箱的概率。號箱的概
30、率。 )()()|(11BPBAPBAP記記 Ai=球取自球取自i號箱號箱, i=1,2,3; B =取得取得(qd)紅球紅球。求求P(A1|B)。3111kkkABPAPABPAP)()()|()(運用運用(ynyng)全概率公式全概率公式計算計算P(B)將這里得到的公式一般化,就得到將這里得到的公式一般化,就得到貝葉斯公式貝葉斯公式1231紅紅4白白?第37頁/共49頁第三十八頁,共49頁。njjjiiiABPAPABPAPBAP1)()()()()|( 該公式于該公式于1763年由貝葉斯年由貝葉斯(Bayes)給出。給出。 它是它是在觀察到事件在觀察到事件(shjin)B已發(fā)生的條件下,
31、尋找已發(fā)生的條件下,尋找導(dǎo)致導(dǎo)致B發(fā)生的每個原因的概率。發(fā)生的每個原因的概率。貝葉斯公式貝葉斯公式(gngsh): 設(shè)A1,A2,An是兩兩互斥的事件(shjin),且P(Ai)0,i=1,2,n, 另有一事件(shjin)B,它總是與A1,A2,An 之一同時發(fā)生,則 。ni, 2 , 1 第38頁/共49頁第三十九頁,共49頁。 貝葉斯公式貝葉斯公式(gngsh)在實際中有很多應(yīng)用,在實際中有很多應(yīng)用,它可以幫助人們確定某結(jié)果(事件它可以幫助人們確定某結(jié)果(事件 B)發(fā)生)發(fā)生的最可能原因的最可能原因. 第39頁/共49頁第四十頁,共49頁。例例 8: 某一地區(qū)患有癌癥的人占某一地區(qū)患有癌
32、癥的人占0.005,患者對,患者對一種試驗反應(yīng)是陽性一種試驗反應(yīng)是陽性(yngxng)的概率為的概率為0.95,正常人對這種試驗反應(yīng)是陽性正常人對這種試驗反應(yīng)是陽性(yngxng)的概的概率為率為0.04,現(xiàn)抽查了一個人,試驗反應(yīng)是陽性,現(xiàn)抽查了一個人,試驗反應(yīng)是陽性(yngxng),問此人是癌癥患者的概率有多大,問此人是癌癥患者的概率有多大?則則 表示表示“抽查的人不患癌癥抽查的人不患癌癥”. C求解求解(qi ji)如下如下:設(shè)設(shè) C=抽查的人患有癌癥抽查的人患有癌癥, A=試驗試驗(shyn)結(jié)果是陽性結(jié)果是陽性,求求P(C|A)。已知已知: P(C)=0.005, P(A|C)=0.9
33、5, 第40頁/共49頁第四十一頁,共49頁。現(xiàn)在來分析現(xiàn)在來分析(fnx)一下結(jié)果的意一下結(jié)果的意義義由由貝葉斯公式貝葉斯公式,得,得 )|()()|()()|()()|(CAPCPCAPCPCAPCPACP代入數(shù)據(jù)代入數(shù)據(jù)(shj), 計算得計算得 P(CA)= 0.1066。 2. 檢出陽性是否一定檢出陽性是否一定(ydng)患有癌癥患有癌癥? 1. 這種試驗對于診斷一個人是否患有癌癥這種試驗對于診斷一個人是否患有癌癥 有無意義?有無意義?第41頁/共49頁第四十二頁,共49頁。如果不做試驗如果不做試驗(shyn), 抽查一人抽查一人, 他是患者他是患者的概率的概率 P(C)=0.005
34、 。 患者陽性反應(yīng)的概率是患者陽性反應(yīng)的概率是0.95,若試驗后得陽性反,若試驗后得陽性反應(yīng),則根據(jù)試驗得來應(yīng),則根據(jù)試驗得來(d li)的信息,此人是患的信息,此人是患者的概率為者的概率為 P(CA)= 0.1066 。 說明這種試驗說明這種試驗(shyn)對于診斷一個人是否患有癌對于診斷一個人是否患有癌癥有意義。癥有意義。從從0.005增加到增加到0.1066, 將近增加約將近增加約21倍。倍。1. 這種試驗對于診斷一個人是否患有癌癥這種試驗對于診斷一個人是否患有癌癥 有無意義?有無意義?第42頁/共49頁第四十三頁,共49頁。2. 檢出陽性是否檢出陽性是否(sh fu)一定患有癌一定患有
35、癌癥癥? 試驗結(jié)果為陽性試驗結(jié)果為陽性(yngxng),此人確患癌癥此人確患癌癥的概率為的概率為 P(CA)=0.1066。 即使你檢出陽性,尚可不必即使你檢出陽性,尚可不必(bb)過早下過早下結(jié)論你有癌癥,這種可能性只有結(jié)論你有癌癥,這種可能性只有10.66% (平平均來說,均來說,1000個人中大約只有個人中大約只有107人確患癌人確患癌癥癥),此時醫(yī)生常要通過再試驗來確認。,此時醫(yī)生常要通過再試驗來確認。第43頁/共49頁第四十四頁,共49頁。 njiiiiiABPAPABPAPBAP1)()()()()|(貝葉斯公式貝葉斯公式(gngsh)在貝葉斯公式中,在貝葉斯公式中,P(Ai)和和
36、P(Ai |B)分別稱為分別稱為(chn wi)原因的驗前概率和驗后概率。原因的驗前概率和驗后概率。P(Ai)(i=1,2,n)是在沒有進一步信息是在沒有進一步信息(不不知道事件知道事件(shjin)B是否發(fā)生是否發(fā)生)的情況下的情況下, 人人們對諸事件們對諸事件(shjin)發(fā)生可能性大小的認發(fā)生可能性大小的認識。識。 當(dāng)有了新的信息當(dāng)有了新的信息(知道知道B發(fā)生發(fā)生), 人們對諸事件人們對諸事件發(fā)生可能性大小發(fā)生可能性大小P(Ai | B)有了新的估計。有了新的估計。貝葉斯公式從數(shù)量上刻劃了這種變化。貝葉斯公式從數(shù)量上刻劃了這種變化。第44頁/共49頁第四十五頁,共49頁。 8 8支步槍中有支步槍中有5 5支已校準過支已校準過,3,3支未校準。一名支未校準。一名射手用校準過的槍射擊射手用校準過的槍射擊(shj)(shj)時時, ,中靶的概率為中靶的概率為0.
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