解析幾何與曲面方程

1、第一節(jié)、第一節(jié)、空間解析幾何空間解析幾何 與曲面方程與曲面方程 1. 空間解析幾何簡(jiǎn)介空間解析幾何簡(jiǎn)介一、空間點(diǎn)的直角坐標(biāo)一、空間點(diǎn)的直角坐標(biāo)二、空間兩點(diǎn)間的距離二、空間兩點(diǎn)間的距離 第六章第六章 x橫軸橫軸y縱軸縱軸z豎軸豎軸 定點(diǎn)定點(diǎn)o空間直角坐標(biāo)系空間直角坐標(biāo)系 三個(gè)坐標(biāo)軸的正方向三個(gè)坐標(biāo)軸的正方向符合符合右手系右手系.即以右手握住即以右手握住z軸，軸，當(dāng)右手的四個(gè)手指當(dāng)右手的四個(gè)手指從正向從正向x軸以軸以2 角角度轉(zhuǎn)向正向度轉(zhuǎn)向正向y軸軸時(shí)，大拇指的指向時(shí)，大拇指的指向就是就是z軸的正向軸的正向.一、空間點(diǎn)的直角坐標(biāo)一、空間點(diǎn)的直角坐標(biāo)機(jī)動(dòng) 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 xyozxoy

2、面面yoz面面zox面面空間直角坐標(biāo)系共有空間直角坐標(biāo)系共有八個(gè)卦限八個(gè)卦限機(jī)動(dòng) 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 空間的點(diǎn)空間的點(diǎn)有序數(shù)組有序數(shù)組),(zyx 11特殊點(diǎn)特殊點(diǎn)(及對(duì)稱點(diǎn)及對(duì)稱點(diǎn))的表示：的表示：)0 , 0 , 0(O),(zyxM xyzo)0 , 0 ,(xP)0 , 0(yQ), 0 , 0(zR)0 ,(yxA), 0(zyB),(zoxC坐標(biāo)軸上的點(diǎn)坐標(biāo)軸上的點(diǎn),P,Q,R坐標(biāo)面上的點(diǎn)坐標(biāo)面上的點(diǎn),A,B,C機(jī)動(dòng) 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 坐標(biāo)軸 : 軸x00zy00 xz軸y軸z00yx坐標(biāo)面 :面yox0 z面zoy0 x面xoz0 y機(jī)動(dòng) 目錄 上頁 下頁

3、返回 結(jié)束 xyzo設(shè)設(shè)),(1111zyxM、),(2222zyxM為為空空間間兩兩點(diǎn)點(diǎn)xyzo 1MPNQR 2M?21 MMd在在直直角角21NMM 及及 直直 角角PNM1 中中，使使用用勾勾股股定定理理知知,222212NMPNPMd 二、空間兩點(diǎn)間的距離二、空間兩點(diǎn)間的距離機(jī)動(dòng) 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 ,121xxPM ,12yyPN ,122zzNM 22221NMPNPMd .21221221221zzyyxxMM 空間兩點(diǎn)間距離公式空間兩點(diǎn)間距離公式特殊地：若兩點(diǎn)分別為特殊地：若兩點(diǎn)分別為,),(zyxM)0 , 0 , 0(OOMd .222zyx xyzo 1MPN

4、QR 2M機(jī)動(dòng) 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 四、二次曲面四、二次曲面五、平面一、曲面方程的概念一、曲面方程的概念二、旋轉(zhuǎn)曲面二、旋轉(zhuǎn)曲面 三、柱面三、柱面機(jī)動(dòng) 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 2. 曲面及其方程 難點(diǎn) 一、曲面方程的概念求到兩定點(diǎn)A(1,2,3) 和B(2,-1,4)等距離的點(diǎn)的222)3()2() 1(zyx07262zyx化簡(jiǎn)得即說明說明: 動(dòng)點(diǎn)軌跡為線段 AB 的垂直平分面.引例引例: :顯然在此平面上的點(diǎn)的坐標(biāo)都滿足此方程, 不在此平面上的點(diǎn)的坐標(biāo)不滿足此方程.222)4() 1()2(zyx解解: :設(shè)軌跡上的動(dòng)點(diǎn)為, ),(zyxM,BMAM 則軌跡方程. 機(jī)動(dòng) 目

5、錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 定義1. 0),(zyxFSzyxo如果曲面 S 與方程 F( x, y, z ) = 0 有下述關(guān)系:(1) 曲面 S 上的任意點(diǎn)的坐標(biāo)都滿足此方程;則 F( x, y, z ) = 0 叫做曲面曲面 S 的的方程方程, 曲面 S 叫做方程 F( x, y, z ) = 0 的圖形圖形.兩個(gè)基本問題兩個(gè)基本問題 : :(1) 已知一曲面作為點(diǎn)的幾何軌跡時(shí),(2) 不在曲面 S 上的點(diǎn)的坐標(biāo)不滿足此方程,求曲面方程.(2) 已知方程時(shí) , 研究它所表示的幾何形狀( 必要時(shí)需作圖 ). 機(jī)動(dòng) 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 故所求方程為例1. 求動(dòng)點(diǎn)到定點(diǎn)求動(dòng)點(diǎn)到定點(diǎn))

6、,(zyxM),(0000zyxM方程. 特別,當(dāng)M0在原點(diǎn)時(shí),球面方程為解解: 設(shè)軌跡上動(dòng)點(diǎn)為RMM0即依題意距離為 R 的軌跡xyzoM0M222yxRz表示上(下)球面 .Rzzyyxx202020)()()(2202020)()()(Rzzyyxx2222Rzyx機(jī)動(dòng) 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 例2. 研究方程研究方程042222yxzyx解解: : 配方得5, )0, 2, 1(0M此方程表示:說明說明: : 如下形式的三元二次方程 ( A 0 )都可通過配方研究它的圖形.其圖形可能是的曲面. . 表示怎樣半徑為的球面.0)(222GFzEyDxzyxA球心為 一個(gè)球面球面, 或

7、點(diǎn)點(diǎn) , 或虛軌跡虛軌跡.5)2() 1(222zyx機(jī)動(dòng) 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 定義定義2. . 一條平面曲線二、旋轉(zhuǎn)曲面 繞其平面上一條定直線定直線旋轉(zhuǎn)一周所形成的曲面叫做旋轉(zhuǎn)曲面旋轉(zhuǎn)曲面.該定直線稱為旋轉(zhuǎn)旋轉(zhuǎn)軸軸 . .例如例如 :機(jī)動(dòng) 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 建立建立yoz面上曲線面上曲線C 繞繞 z 軸旋轉(zhuǎn)所成曲面軸旋轉(zhuǎn)所成曲面的的方程方程:故旋轉(zhuǎn)曲面方程為, ),(zyxM當(dāng)繞 z 軸旋轉(zhuǎn)時(shí),0),(11zyf,), 0(111CzyM若點(diǎn)給定 yoz 面上曲線 C: ), 0(111zyM),(zyxM1221,yyxzz則有0),(22zyxf則有該點(diǎn)轉(zhuǎn)到0),(

8、zyfozyxC機(jī)動(dòng) 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 思考：當(dāng)曲線當(dāng)曲線 C 繞繞 y 軸旋轉(zhuǎn)時(shí)，方程如何？軸旋轉(zhuǎn)時(shí)，方程如何？0),(:zyfCoyxz0),(22zxyf機(jī)動(dòng) 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 例3. 試建立頂點(diǎn)在原點(diǎn)試建立頂點(diǎn)在原點(diǎn), 旋轉(zhuǎn)軸為旋轉(zhuǎn)軸為z 軸軸, 半頂角為半頂角為的圓錐面方程. 解解: 在yoz面上直線L 的方程為cotyz 繞z 軸旋轉(zhuǎn)時(shí),圓錐面的方程為cot22yxz)(2222yxazcota令xyz兩邊平方L), 0(zyM機(jī)動(dòng) 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 xy例4. 求坐標(biāo)面求坐標(biāo)面 xoz 上的雙曲線上的雙曲線12222czax分別繞 x軸和 z

9、軸旋轉(zhuǎn)一周所生成的旋轉(zhuǎn)曲面方程. 解解: :繞 x 軸旋轉(zhuǎn)122222czyax繞 z 軸旋轉(zhuǎn)122222czayx這兩種曲面都叫做旋轉(zhuǎn)雙曲面.所成曲面方程為所成曲面方程為z機(jī)動(dòng) 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 xyz三、柱面引例引例. 分析方程表示怎樣的曲面 .的坐標(biāo)也滿足方程222Ryx解解: :在 xoy 面上，表示圓C, 222Ryx222Ryx沿曲線C平行于 z 軸的一切直線所形成的曲面稱為圓圓故在空間中222Ryx過此點(diǎn)作柱面柱面. .對(duì)任意 z ,平行 z 軸的直線 l ,表示圓柱面圓柱面oC在圓C上任取一點(diǎn) , )0 ,(1yxMlM1M),(zyxM點(diǎn)其上所有點(diǎn)的坐標(biāo)都滿足此方

10、程,機(jī)動(dòng) 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 xyzxyzol定義3.平行定直線并沿定曲線 C 移動(dòng)的直線 l 形成的軌跡叫做柱面柱面. 表示拋物柱面拋物柱面,母線平行于 z 軸;準(zhǔn)線為xoy 面上的拋物線. z 軸的橢圓柱面橢圓柱面.xy2212222byaxz 軸的平面平面.0 yx表示母線平行于 C(且 z 軸在平面上)表示母線平行于C 叫做準(zhǔn)線準(zhǔn)線, l 叫做母線母線.xyzoo機(jī)動(dòng) 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 xzy2l一般地一般地, ,在三維空間在三維空間柱面,柱面,平行于 x 軸;平行于 y 軸;平行于 z 軸;準(zhǔn)線 xoz 面上的曲線 l3.母線柱面,準(zhǔn)線 xoy 面上的曲線 l1

11、.母線準(zhǔn)線 yoz 面上的曲線 l2. 母線表示方程0),(yxF表示方程0),(zyG表示方程0),(xzHxyz3l機(jī)動(dòng) 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 xyz1l四、二次曲面三元二次方程 適當(dāng)選取直角坐標(biāo)系可得它們的標(biāo)準(zhǔn)方程,下面僅 就幾種常見標(biāo)準(zhǔn)型的特點(diǎn)進(jìn)行介紹 .研究二次曲面特性的基本方法: 截痕法截痕法 其基本類型有: 橢球面、拋物面、雙曲面、錐面的圖形通常為二次曲面二次曲面. FzxEyxDxyCzByAx2220JIzHyGx(二次項(xiàng)系數(shù)不全為 0 )機(jī)動(dòng) 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 zyx1. 橢球面),(1222222為正數(shù)cbaczbyax(1)范圍：czbyax,(2)

12、與坐標(biāo)面的交線：橢圓,012222zbyax,012222xczby 012222yczax機(jī)動(dòng) 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 1222222czbyax與)(11czzz的交線為橢圓：1zz (4) 當(dāng) ab 時(shí)為旋轉(zhuǎn)橢球面;同樣)(11byyy的截痕）（axxx11及也為橢圓.當(dāng)abc 時(shí)為球面.(3) 截痕:1)()(212221222222zcyzcxcbcacba,(為正數(shù))機(jī)動(dòng) 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 z2. 拋物面zqypx2222(1) 橢圓拋物面( p , q 同號(hào))(2) 雙曲拋物面（鞍形曲面）zqypx2222zyx特別,當(dāng) p = q 時(shí)為繞 z 軸的旋轉(zhuǎn)拋物面.

13、( p , q 同號(hào))zyx機(jī)動(dòng) 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 3. 雙曲面(1)(1)單葉雙曲面單葉雙曲面by 1) 1上的截痕為平面1zz 橢圓.時(shí), 截痕為22122221byczax(實(shí)軸平行于x 軸；虛軸平行于z 軸）1yy zxy),(1222222為正數(shù)cbaczbyax1yy 平面 上的截痕情況:機(jī)動(dòng) 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 雙曲線: 虛軸平行于x 軸）by 1)2時(shí), 截痕為0czax)(bby或by 1)3時(shí), 截痕為22122221byczax(實(shí)軸平行于z 軸;1yy zxyzxy機(jī)動(dòng) 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 相交直線: 雙曲線: 0(2) 雙葉雙曲面),(

14、1222222為正數(shù)cbaczbyax上的截痕為平面1yy 雙曲線上的截痕為平面1xx 上的截痕為平面)(11czzz橢圓注意單葉雙曲面與雙葉雙曲面的區(qū)別: 雙曲線zxyo222222czbyax單葉雙曲面11雙葉雙曲面P18 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 圖形圖形4. 橢圓錐面),(22222為正數(shù)bazbyax上的截痕為在平面tz 橢圓在平面 x0 或 y0 上的截痕為過原點(diǎn)的兩直線 .zxyo1)()(2222t byt axtz ,可以證明, 橢圓上任一點(diǎn)與原點(diǎn)的連線均在曲面上.(橢圓錐面也可由圓錐面經(jīng) x 或 y 方向的伸縮變換得到)xyz機(jī)動(dòng) 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 五、平面

15、的一般方程設(shè)有三元一次方程 以上兩式相減 , 得平面的點(diǎn)法式方程此方程稱為平面的一般平面的一般0DzCyBxA任取一組滿足上述方程的數(shù),000zyx則0)()()(000zzCyyBxxA0000DzCyBxA顯然方程與此點(diǎn)法式方程等價(jià), )0(222CBA),(CBAn 的平面, 因此方程的圖形是法向量為 方程方程.機(jī)動(dòng) 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 特殊情形 當(dāng) D = 0 時(shí), A x + B y + C z = 0 表示 通過原點(diǎn)通過原點(diǎn)的平面; 當(dāng) A = 0 時(shí), B y + C z + D = 0 的法向量平面平行于 x 軸;當(dāng) B= 0 時(shí), A x+C z+D = 0 表示當(dāng) C= 0 時(shí), A x+B y+D = 0 表示當(dāng) A=B= 0 時(shí), C z + D = 0 表示當(dāng) B=C= 0 時(shí), A x + D =0 表示當(dāng) A=C= 0 時(shí), B y + D =0 表示0DCzByAx)0(222CBA平行于 y 軸的平面平行于 z 軸的平面平行于 xoy 面 的平面平行于 yoz 面 的平面平行于 zox 面 的平面,), 0(iCBn機(jī)動(dòng) 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 內(nèi)容小結(jié)1. 空間曲面三元方程0),(zyxF 球面2202020)()()(Rzzyyxx 旋轉(zhuǎn)曲面如,