補(bǔ)充一階隱式微分方程

1、1一階隱式微分方程一階隱式微分方程一階顯式微分方程一階顯式微分方程),(yxfy 一階隱式微分方程一階隱式微分方程0),( yyxF例例 求解微分方程求解微分方程. 0)()(2xydxdyyxdxdy2解：方程右端分解因式，得解：方程右端分解因式，得. 0)(ydxdyxdxdy, 0 xdxdy從而得到兩個方程從而得到兩個方程. 0 ydxdy故原方程的通解可以表示為故原方程的通解可以表示為,2112Cxy.2xeCy 通解也可以表示為通解也可以表示為. 0)(21(212xeCyCxy. 0)()(2xydxdyyxdxdy3一、不顯含一、不顯含 x 或或 y 的方程與參數(shù)法的方程與參數(shù)

2、法若方程若方程 ( , ,)0F x y y的左端不顯含的左端不顯含x，( ,)0F y ypy解法：引進(jìn)參數(shù)解法：引進(jìn)參數(shù)則方程變?yōu)閯t方程變?yōu)?0),(pyF引入?yún)?shù)引入?yún)?shù) t 將上式將上式用參數(shù)曲線表示為用參數(shù)曲線表示為( )ph t),(ty就可以得出微分方程用參數(shù)形式表示的解。就可以得出微分方程用參數(shù)形式表示的解。下面只須求出下面只須求出 x 關(guān)于關(guān)于 t 的參數(shù)方程的參數(shù)方程),(tx4( )( )( )ttdtCh t由參數(shù)的微分法知由參數(shù)的微分法知 ,)()()(ttdxdyypth故故 積分得積分得 ,)()()(thtt).(,)()(tyCdtthtx方程方程 的解為的解

3、為( ,)0F y y( )ph t),(ty),(tx5例例( (參數(shù)法參數(shù)法) ) 求微分方程求微分方程 解：令解：令 tanyt22t 解得解得 sinxt由于由于 tan cosdyy dxttdt積分得積分得 sincosytdttC 故原方程參數(shù)形式的通解為故原方程參數(shù)形式的通解為sincosxtytC 消去此參數(shù)消去此參數(shù) t t , ,得到通解為得到通解為22()1xycyyx2)(16二、可解出二、可解出y 或或x 的方程與微分法的方程與微分法從方程中解出從方程中解出( ,)yf x y得到得到y(tǒng)這里設(shè)這里設(shè) 有連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)有連續(xù)偏導(dǎo)數(shù), , ( ,)f x y關(guān)于關(guān)于 yx,

4、py解法：引進(jìn)參數(shù)解法：引進(jìn)參數(shù)則方程變?yōu)閯t方程變?yōu)?( , )yf x p將上式兩邊對將上式兩邊對x求導(dǎo)，得求導(dǎo)，得dxdpppxfxpxfy),(),(7若求出方程的通解為若求出方程的通解為 ( , )px c代入原方程得通解為代入原方程得通解為 ( , ( , )yf xx c若還有解若還有解 ( )pu x代入得特解代入得特解( , ( )yf x u x情形情形1 1：情形情形2 2：( , )( , )f x pf x pdppxpdx( ,)yf x ypy( , )yf x p8情形情形3 3：若能求出通積分，若能求出通積分，同理若解出同理若解出x，完全類似。，完全類似。, 0

5、),(CpxF則得到參數(shù)形式的通積分則得到參數(shù)形式的通積分).,(, 0),(pxfyCpxF其中其中 是參數(shù)。是參數(shù)。p則得到參數(shù)形式的解則得到參數(shù)形式的解, 0),(pxG).,(, 0),(pxfypxG( , )( , )f x pf x pdppxpdx( ,)yf x ypy( , )yf x p如果還有解如果還有解9例例( (微分法微分法) )：求解方程：求解方程22()2xyyxy解：令解：令 yp則原方程可寫成則原方程可寫成 222xypxp兩邊對兩邊對 x 求導(dǎo)得到求導(dǎo)得到2()dpdppppxxdxdx整理化簡后得方程整理化簡后得方程 10(1)(2)0dppxdx對對

6、10dpdx 積分得該方程的通解為積分得該方程的通解為 pxc得原方程的一個解得原方程的一個解 222xyCxC又從又從 20px 得另一個解得另一個解 2xp 又得方程的一個解又得方程的一個解 24xy 11Clairaut方程方程 ()yxyy特點(diǎn)：關(guān)于特點(diǎn)：關(guān)于y能解出的一階隱式方程，能解出的一階隱式方程，)(z二階連續(xù)可微，且二階連續(xù)可微，且. 0)( z利用微分法求解此方程利用微分法求解此方程. 令令 yp, ,對對x 求導(dǎo)得求導(dǎo)得 ( )dpdpppxpdxdx( )0dpxpdx( )yCxC當(dāng) 0dpdx時時, ,有有pC, ,因此通解為因此通解為 ( )( )( )xpyp

7、pp 時時, ,得到方程的一個特解得到方程的一個特解 ( )0 xp當(dāng)當(dāng) 12曲線族的包絡(luò)：曲線族的包絡(luò)：是指這樣的曲線，它本身并不包含在曲線族中，但過這條曲線上的每一點(diǎn)，有曲線族中的一條曲線與其在此點(diǎn)相切。奇解：奇解：在有些微分方程中，存在一條特殊的積分曲線，它并不屬于這個方程的積分曲線族，但在這條特殊的積分曲線上的每一點(diǎn)處，都有積分曲線族中的一條曲線與其在此點(diǎn)相切。這條特殊的積分曲線所對應(yīng)的解稱為方程的奇解奇解。 注注：奇解上每一點(diǎn)都有方程的另一解存在。三、奇解與包絡(luò)三、奇解與包絡(luò)13例 單參數(shù)曲線族222Rycx )(R是常數(shù)，c是參數(shù)。xyo顯然，Ry是曲線族 的包絡(luò)。 222Rycx

8、 )(一般的曲線族并不一定有包絡(luò)，如同心圓族，平行線族等都是沒有包絡(luò)的。14求奇解（包絡(luò)線）的方法求奇解（包絡(luò)線）的方法l C-判別曲線法判別曲線法l P-判別曲線法判別曲線法設(shè)一階方程0),(yyxF的通積分為。0),(Cyx1 C-判別曲線法判別曲線法結(jié)論結(jié)論：通積分作為曲線族的包絡(luò)線（奇解）包含在下列方程組00),(),(CyxCyxC消去 C 而得到的曲線中。1500),(),(CyxCyxC設(shè)由能確定出曲線為)(),(:CyyCxxL 則0),(),(CCyCx對參數(shù) C 求導(dǎo)數(shù)0),(),()(),(),()(),(),(CCyCxCyCCyCxCxCCyCxCyx從而得到恒等式0

9、)(),(),()(),(),(CyCCyCxCxCCyCxyx160)(),(),()(),(),(CyCCyCxCxCCyCxyx當(dāng)),(),(CyxCyxyx至少有一個不為零時有,),(),(),(),()()(CCyCxCCyCxCxCyyx或,),(),(),(),()()(CCyCxCCyCxCyCxxy這表明曲線 L 在其上每一點(diǎn) (x(C), y(C) ) 處均與曲線族中對應(yīng)于C的曲線 相切。0),(Cyx注意：注意： C-判別曲線中除了包絡(luò)外，還有其他曲線，尚需判別曲線中除了包絡(luò)外，還有其他曲線，尚需檢驗(yàn)。檢驗(yàn)。17例例1 求直線族0pyxsincos的包絡(luò)，這里 是參數(shù)，p

10、 是常數(shù)。解：解：對參數(shù) 求導(dǎo)數(shù)0cossinyx聯(lián)立0pyxsincos0cossinyx022222cossincossinxyyx222222pxyyxcossinsincos相加，得222pyx，經(jīng)檢驗(yàn)，其是所求包絡(luò)線。xyop18例例2 求直線族03232)()(cxcy的包絡(luò)，這里 c 是參數(shù)。解：解：對參數(shù) c 求導(dǎo)數(shù)02)(cxcy聯(lián)立03232)()(cxcy02)(cxcy得0323)()(cxcx從 得到0cxxy 從 得到92 xy032 )(cx因此， C-判別曲線中包括了兩條曲線，易檢驗(yàn)， 是所求包絡(luò)線。92 xy19xyoxy 92 xy202 p-判別曲線判別曲線結(jié)論結(jié)論：方程 的奇解包含在下列方程組00),(),(pyxFpyxFp0),(yyxF消去 p 而得到的曲線中。注意：注意： p-判別曲線中除了包絡(luò)外，還有其他曲線，尚需判別曲線中除了包絡(luò)外，還有其他曲線，尚需檢驗(yàn)。檢驗(yàn)。21例例3 求方程0122ydxdy的奇解。解：解： 從消去 p，得到 p-判別曲線經(jīng)檢驗(yàn)，它們是方程的奇解。020122pyp1y因?yàn)橐浊蟮迷匠痰耐ń鉃?sin(cxy而 是方程的解，且正好是通解的包絡(luò)。1y22例例4