第11章 壓桿穩(wěn)定

1、第一節(jié)第一節(jié) 基本概念基本概念第二節(jié)第二節(jié) 細長壓桿的臨界壓力細長壓桿的臨界壓力第三節(jié)第三節(jié) 壓桿的臨界應力壓桿的臨界應力第四節(jié)第四節(jié) 壓桿穩(wěn)定計算壓桿穩(wěn)定計算11.1 基本概念基本概念動畫：兩端鉸接細長桿動畫：兩端鉸接細長桿一、穩(wěn)定性概念一、穩(wěn)定性概念穩(wěn)定的平衡穩(wěn)定的平衡不穩(wěn)定的平衡不穩(wěn)定的平衡穩(wěn)定性：穩(wěn)定性：承載物體在外界干擾下保持原有平衡狀態(tài)的能力。承載物體在外界干擾下保持原有平衡狀態(tài)的能力。 二、二、 彈性細長受壓直桿的穩(wěn)定性彈性細長受壓直桿的穩(wěn)定性一旦干擾力撤去，一旦干擾力撤去，壓桿仍可回到原來的直壓桿仍可回到原來的直線平衡狀態(tài)。線平衡狀態(tài)。（2 2）當）當軸向力軸向力P 較大較大時

2、，時，如有一如有一微小的側(cè)向干微小的側(cè)向干擾力，壓桿產(chǎn)生彎曲變形；擾力，壓桿產(chǎn)生彎曲變形；此時，原來的直線平衡狀態(tài)是此時，原來的直線平衡狀態(tài)是穩(wěn)定穩(wěn)定的的此時，原來的直線平衡狀態(tài)是此時，原來的直線平衡狀態(tài)是不穩(wěn)定不穩(wěn)定的的當側(cè)向力去掉后，當側(cè)向力去掉后，桿不能回到原來的直線桿不能回到原來的直線平衡狀態(tài)。而是處于曲線平衡狀態(tài)。平衡狀態(tài)。而是處于曲線平衡狀態(tài)。穩(wěn)定的平衡穩(wěn)定的平衡不穩(wěn)定的平衡不穩(wěn)定的平衡失穩(wěn)（曲屈）失穩(wěn)（曲屈）使桿件保持穩(wěn)使桿件保持穩(wěn)定平衡狀態(tài)的定平衡狀態(tài)的最大壓力最大壓力crF臨界載荷臨界載荷（1 1）當）當軸向力軸向力P 較小較小時，其時，其平衡形態(tài)為直線平衡形態(tài)為直線。cr(

3、)PFcr()PF細長壓桿失穩(wěn)細長壓桿失穩(wěn)時的應力一般時的應力一般都小于強度破都小于強度破壞時的應力。壞時的應力。研究壓桿穩(wěn)研究壓桿穩(wěn)定性的關(guān)鍵定性的關(guān)鍵是確定是確定臨界臨界載荷載荷。11.1 基本概念基本概念動畫：連桿失穩(wěn) 三、三、 工程中常見的壓桿工程中常見的壓桿11.1 基本概念基本概念11.1 基本概念基本概念 三、三、 工程中常見的壓桿工程中常見的壓桿11.1 基本概念基本概念 三、三、 工程中常見的壓桿工程中常見的壓桿11.2 11.2 細長壓桿的臨界壓力細長壓桿的臨界壓力一、兩端鉸支細長壓桿的臨界載荷一、兩端鉸支細長壓桿的臨界載荷yFxyOlxFM( )( )M xFy x yx

4、y將其代入撓曲線近似微分方程：將其代入撓曲線近似微分方程：22ddyFyxEI 引入記號：引入記號：2/kF EI222d0dyk yx此方程的通解：此方程的通解：( )sincosy xAkxBkx邊界條件：邊界條件：0,0 xy0BsinyAkx撓曲線是一條撓曲線是一條正弦曲線正弦曲線0sinklA,nkl , 2 , 1 , 0n/knl2/kF EI又), 2 , 1 , 0(n222lEInF,0 xly2cr2EIFl兩端鉸支細長壓桿的臨界載荷兩端鉸支細長壓桿的臨界載荷Fcr的計算公式的計算公式: 兩端鉸支壓兩端鉸支壓桿的桿的歐拉公式。歐拉公式。說明：說明：( 1 ) Fcr與與

5、EI 成正比，與桿長成正比，與桿長 l 成成反比；反比；( 2 ) 如果截面對于不同軸的慣性矩如果截面對于不同軸的慣性矩 I 不同，確定臨界壓力需根據(jù)最小慣不同，確定臨界壓力需根據(jù)最小慣性矩性矩 Imin 計算計算。即失穩(wěn)總是在抗彎即失穩(wěn)總是在抗彎能力最小的縱向平面內(nèi)；能力最小的縱向平面內(nèi)；( 3 ) Fcr與與 桿件的支承條件有關(guān)。桿件的支承條件有關(guān)。yFxyOlx11.2 11.2 細長壓桿的臨界壓力細長壓桿的臨界壓力例例1：圖示兩端鉸支矩形截面細長壓桿，圖示兩端鉸支矩形截面細長壓桿，b=40mm，h=30mm，l =1.5m，材料為，材料為Q235鋼，鋼，s=235MPa, E=206G

6、Pa，試按歐拉，試按歐拉公式計算其臨界壓力。公式計算其臨界壓力。解：解：由于兩端鉸支壓桿，各個方向約束相同，由于兩端鉸支壓桿，各個方向約束相同，故必在最小剛度平面內(nèi)失穩(wěn)。故必在最小剛度平面內(nèi)失穩(wěn)。由截面形狀可知：由截面形狀可知：yIImin344849 10 mm9 10 m12bh 代入歐拉公式，有代入歐拉公式，有2cr2yEIFl381.3 10 N81.3kN若使連桿壓縮屈服，則軸力為：若使連桿壓縮屈服，則軸力為：ssFA60.04 0.03 235 10282kN說明壓桿的承壓能力還是由穩(wěn)定性決定的。說明壓桿的承壓能力還是由穩(wěn)定性決定的。二、其他支座條件下細長壓桿的臨界載荷二、其他支座

7、條件下細長壓桿的臨界載荷11.2 11.2 細長壓桿的臨界壓力細長壓桿的臨界壓力三、歐拉臨界壓力公式的普遍形式三、歐拉臨界壓力公式的普遍形式2cr2()EIFl相當長度（為把壓桿折算成兩端鉸支壓桿的長度）相當長度（為把壓桿折算成兩端鉸支壓桿的長度）: l: 長度系數(shù)，長度系數(shù)，與約束性質(zhì)有關(guān)。與約束性質(zhì)有關(guān)。127 . 05 . 011.2 11.2 細長壓桿的臨界壓力細長壓桿的臨界壓力動畫：細長壓桿失穩(wěn)動畫：細長壓桿失穩(wěn)11.2 11.2 細長壓桿的臨界壓力細長壓桿的臨界壓力例例2：長方形截面細長壓桿，長方形截面細長壓桿，b/h=1/2；如果將；如果將 b改為改為 h 后仍為細長桿，臨界力后

8、仍為細長桿，臨界力Fcr是原來的多少倍？是原來的多少倍？解：解：2cr212yEIFl 232212lhbE242384lEh2cr222EIFl 232212lhhE24248lEh242cr224cr1248384EhFlEhFl8Fcrbhzyhh例例3：圓截面的細長壓桿，材料、桿長和桿端約束保持不變，若圓截面的細長壓桿，材料、桿長和桿端約束保持不變，若將壓桿的直徑縮小一半，則其臨界壓力為原壓桿的；將壓桿的直徑縮小一半，則其臨界壓力為原壓桿的；若將壓桿的橫截面改變?yōu)槊娣e相同的正方形截面，則其臨界力為若將壓桿的橫截面改變?yōu)槊娣e相同的正方形截面，則其臨界力為原壓桿的。原壓桿的。解：解：2cr

9、2()EIFl24264Edl()（1）（2）crcrFF正圓2222EIlEIl正圓()()II正圓641244da64124422dd3161為原壓桿的為原壓桿的16/13/例例4：圖示兩桁架中各桿的材料和截面均相同，設(shè)圖示兩桁架中各桿的材料和截面均相同，設(shè)P1和和P2分別為這兩個桁架穩(wěn)定的最大載荷，則分別為這兩個桁架穩(wěn)定的最大載荷，則 (A) P1=P2 (B) P1P2 (D) 不能斷定不能斷定P1和和P2的關(guān)系的關(guān)系(a)(b)解：解：對圖（對圖（a），），節(jié)點節(jié)點B：ABFBDFB00ABBDFF節(jié)點節(jié)點A：ACFADF1PxyA10sin0 xADFPF0cos0yACADFFF

10、1PFAC（受拉）（受拉）12PFAD（受壓）（受壓）節(jié)點節(jié)點D：ADFCDFDFDxy0cos0 xCDADFFF1PFCD（受拉）（受拉）先分析各桿的內(nèi)力先分析各桿的內(nèi)力對圖（對圖（a）中受壓桿件作穩(wěn)定性分析）中受壓桿件作穩(wěn)定性分析12PFAD桿桿AD：（受壓）（受壓）12PFAD222aEI22122aEIP對圖（對圖（b）類似于圖（類似于圖（a）的分析，可得：）的分析，可得：桿桿AB、BD受壓受壓2PFFBDAB由歐拉公式，得由歐拉公式，得BDABFF22aEI222aEIP比較得比較得12PP (a)(b)作 業(yè)P31211-4，11-5問題的提出問題的提出 能不能應用能不能應用歐拉

11、公式計算歐拉公式計算四根壓桿的臨四根壓桿的臨界載荷？界載荷？ 四根壓桿是四根壓桿是不是都會發(fā)生不是都會發(fā)生彈性屈曲？彈性屈曲？材料和直材料和直徑均相同徑均相同11.3 11.3 壓桿的臨界應力壓桿的臨界應力crcrFA22)( lAEI臨界應力：臨界應力：將將I I 用截面的用截面的慣性半徑慣性半徑 i 表示：表示：AiI222cr2()Ei AAl22ilE反映桿端約束情況、桿長、截面形狀和反映桿端約束情況、桿長、截面形狀和尺寸等因素對臨界應力的影響尺寸等因素對臨界應力的影響2cr2E歐拉臨界應力公式歐拉臨界應力公式il令令稱為壓桿的稱為壓桿的柔度柔度或或細長比細長比，無量綱量無量綱量一、臨

12、界應力、柔度或細長比一、臨界應力、柔度或細長比11.3 11.3 壓桿的臨界應力壓桿的臨界應力二、二、 歐拉公式的適用范圍歐拉公式的適用范圍2cr2Ep即：即：2pE記：記：2ppE歐拉公式的適用范圍為：歐拉公式的適用范圍為：滿足此式的壓桿，稱為滿足此式的壓桿，稱為大柔度桿大柔度桿或或細長桿。細長桿。p僅與材料的性質(zhì)有關(guān)，如，僅與材料的性質(zhì)有關(guān)，如，Q235鋼：鋼：2pp100Ep11.3 11.3 壓桿的臨界應力壓桿的臨界應力當柔度小于當柔度小于 時，采用經(jīng)驗公式計算臨界應力。時，采用經(jīng)驗公式計算臨界應力。p合金鋼，鑄鐵與松木等材料合金鋼，鑄鐵與松木等材料crab其中：其中：a 、b 為與材

13、料有關(guān)的常數(shù)。為與材料有關(guān)的常數(shù)。適用范圍：適用范圍：crabsb 塑性材料塑性材料 脆性材料脆性材料sb()ab 01、直線公式、直線公式直線公式的適用范圍：直線公式的適用范圍：p0稱稱中柔度桿中柔度桿或或中長桿中長桿p11.3 11.3 壓桿的臨界應力壓桿的臨界應力三、三、 中、小柔度桿的臨界應力中、小柔度桿的臨界應力2、拋物線公式、拋物線公式2cr11ab結(jié)構(gòu)鋼，低合金鋼等材料結(jié)構(gòu)鋼，低合金鋼等材料其中：其中：a1 、b1 為與材料有關(guān)的常數(shù)。為與材料有關(guān)的常數(shù)。0若若稱為稱為小柔度桿小柔度桿或或短粗桿短粗桿。 此時壓桿一般不發(fā)生失穩(wěn)，其此時壓桿一般不發(fā)生失穩(wěn)，其破壞大多由強度不夠引起：

14、破壞大多由強度不夠引起：scrbp(0)11.3 11.3 壓桿的臨界應力壓桿的臨界應力psp02cr2Ecrabcrs大柔度桿大柔度桿中柔度桿中柔度桿小柔小柔度桿度桿crOABCD2ppEs0ab拋物線公式拋物線公式2cr11abp11.3 11.3 壓桿的臨界應力壓桿的臨界應力四、四、 臨界應力總圖臨界應力總圖彈性屈曲彈性屈曲彈塑性屈曲彈塑性屈曲不屈曲，不屈曲，發(fā)生屈服發(fā)生屈服例例5 求矩形截面桿的臨界壓力。已知：求矩形截面桿的臨界壓力。已知：b=40, h=75, L=2100, L1=2000, E=206GPa, p=200MPa. 材料為材料為Q235鋼，鋼，a=304MPa，b=

15、1.12MPa。解：解： （1） 求柔度求柔度。在在x-y平面內(nèi)，兩端鉸平面內(nèi)，兩端鉸支，有支，有在在x-z平面內(nèi)，兩端固支，有平面內(nèi)，兩端固支，有31221.65mm2 3bhzzIhiAbh9765.21210011zziL31211.55mm2 3b hyyIbiAbh6 .8655.1120005 . 02yyiL因為：因為：yz故在故在xoy面內(nèi)失穩(wěn)。面內(nèi)失穩(wěn)。例例5 求矩形截面桿的臨界壓力。已知：求矩形截面桿的臨界壓力。已知：b=40, h=75, L=2100, L1=2000, E=206GPa, p=200MPa. 材料為材料為Q235鋼，鋼，a=304MPa，b=1.12M

16、Pa。（2）判斷桿件類型。）判斷桿件類型。2pp101E0p97z故屬于故屬于中柔度桿中柔度桿，按直線公式計算。，按直線公式計算。6 .6112. 12353040bas（3）計算臨界應力）計算臨界應力cr304 1.12 97195.36 MPazabcrcr586.0kNFA1. 壓桿的臨界載荷計算壓桿的臨界載荷計算對大柔度桿：對大柔度桿：2cr2()EIFl對中柔度桿：對中柔度桿：Aba)(crcrFA2. 壓桿的穩(wěn)定性條件壓桿的穩(wěn)定性條件稱為壓桿的稱為壓桿的穩(wěn)定性條件穩(wěn)定性條件用用應力應力表示的壓桿穩(wěn)定性條件表示的壓桿穩(wěn)定性條件crststn為壓桿的為壓桿的穩(wěn)定安全系數(shù)穩(wěn)定安全系數(shù)st

17、ncrstFnnFcrF為壓桿的為壓桿的臨界壓力臨界壓力11.4 11.4 壓桿的穩(wěn)定計算壓桿的穩(wěn)定計算3. 穩(wěn)定系數(shù)法穩(wěn)定系數(shù)法 st 穩(wěn)定條件為：穩(wěn)定條件為：crstFnnF2cr2()EIFl其中：其中：影響壓桿穩(wěn)定性因素：影響壓桿穩(wěn)定性因素：（2）橫截面的形狀；）橫截面的形狀；（4）壓桿的長度。）壓桿的長度。（3）約束條件；）約束條件；（1）材料的性能；）材料的性能；4. 壓桿的合理設(shè)計壓桿的合理設(shè)計第四節(jié)第四節(jié) 壓桿穩(wěn)定條件與合理設(shè)計壓桿穩(wěn)定條件與合理設(shè)計 為許用壓應力為許用壓應力1, 稱為稱為穩(wěn)定系數(shù)穩(wěn)定系數(shù)st為穩(wěn)定許用壓應力為穩(wěn)定許用壓應力( 1 ) 合理選擇壓桿的材料合理選擇

18、壓桿的材料a 對對大柔度桿大柔度桿，臨界壓力與材料的彈性模量，臨界壓力與材料的彈性模量E有關(guān)，而不同金有關(guān)，而不同金屬屬 E 相差不大，故相差不大，故選擇優(yōu)質(zhì)鋼材對提高穩(wěn)定意義不大選擇優(yōu)質(zhì)鋼材對提高穩(wěn)定意義不大;b 對對中柔度桿中柔度桿，臨界壓力與材料的強度有關(guān)，故，臨界壓力與材料的強度有關(guān)，故選擇高強度選擇高強度優(yōu)質(zhì)鋼材對提高穩(wěn)定具有一定意義優(yōu)質(zhì)鋼材對提高穩(wěn)定具有一定意義。( 2 ) 選擇合理的截面形狀選擇合理的截面形狀a 在同樣的截面面積情況下，增大截面慣性矩在同樣的截面面積情況下，增大截面慣性矩 I 的值，如：的值，如：IAlil第四節(jié)第四節(jié) 壓桿穩(wěn)定條件與合理設(shè)計壓桿穩(wěn)定條件與合理設(shè)計

19、( 3 ) 改變壓桿的約束條件改變壓桿的約束條件一般地，增強壓桿的約束，可大大提高壓桿的穩(wěn)定性。一般地，增強壓桿的約束，可大大提高壓桿的穩(wěn)定性。b 在選擇截面形狀與尺寸時在選擇截面形狀與尺寸時, 還要考慮失穩(wěn)的方向性還要考慮失穩(wěn)的方向性.壓桿兩端為球形鉸或固定端時，盡量選擇截面壓桿兩端為球形鉸或固定端時，盡量選擇截面壓桿兩端柱狀鉸時，一般壓桿兩端柱狀鉸時，一般 .zyII zyII AIlAIlyyzzyyzzIlIl或或( 4 ) 改變壓桿的長度改變壓桿的長度此時，理想的設(shè)計是使壓桿此時，理想的設(shè)計是使壓桿在兩個方向的柔度相等，即：在兩個方向的柔度相等，即：第四節(jié)第四節(jié) 壓桿穩(wěn)定條件與合理設(shè)

20、計壓桿穩(wěn)定條件與合理設(shè)計例例6：圖示托架，圖示托架，AB 桿外徑桿外徑 D=50mm，內(nèi)徑，內(nèi)徑d=40mm，兩端為球鉸，材料為，兩端為球鉸，材料為Q235鋼，鋼，E=206MPa，p=100，穩(wěn)定安全系數(shù)，穩(wěn)定安全系數(shù)nst=3，試，試確定托架的許可載荷確定托架的許可載荷P。解：解：分析桿分析桿AB 的受力的受力FAB 0CM05 . 130sin2ABFPPFAB38桿桿AB 的慣性半徑：的慣性半徑：AIi 442222()644()4DdDdDdmm164405022桿桿AB 的長度：的長度：15001730mmcos30ABl桿桿AB 的柔度：的柔度：1 1.731080.016lip

21、桿桿AB 為大柔度桿為大柔度桿(細長桿細長桿)30ABCD1500500P30BCD1500500P2cr2ABEIFl212449273. 110)4050(10206N1054.1213桿桿AB 的穩(wěn)定性條件：的穩(wěn)定性條件：crstABFFncrst83FPncrst38FPn31054.121833P315.2 10 N15.2kN30ABCD1500500PFAB30BCD1500500P例例6：圖示托架，圖示托架，AB 桿外徑桿外徑 D=50mm，內(nèi)徑，內(nèi)徑d=40mm，兩端為球鉸，材料為，兩端為球鉸，材料為Q235鋼，鋼，E=206MPa，p=100，穩(wěn)定安全系數(shù)，穩(wěn)定安全系數(shù)ns

22、t=3，試，試確定托架的許可載荷確定托架的許可載荷P。例例7：五根直徑都為五根直徑都為 d 的細長圓桿鉸接構(gòu)成平面正方形桿系的細長圓桿鉸接構(gòu)成平面正方形桿系A(chǔ)BCD，如各桿材料相同，彈性模量為如各桿材料相同，彈性模量為E。求圖。求圖 (a)、(b)所示兩種載荷作用下所示兩種載荷作用下桿系所能承受的最大載荷。桿系所能承受的最大載荷。(a)PPABCD(b)PPABCD22cr2222EIEIFaamaxcrPF234222128EIEdaa2cr2EIFa桿桿BD受壓，其余桿受拉受壓，其余桿受拉解：解：對于對于(a)BD桿的臨界壓力為：桿的臨界壓力為：故桿系所能承受的最大載荷為：故桿系所能承受的

23、最大載荷為：對于對于(b)桿桿BD受拉，其余桿受壓受拉，其余桿受壓四根受壓桿的臨界壓力為：四根受壓桿的臨界壓力為：maxcr2PF264342Eda故桿系所能承受的最大載荷為：故桿系所能承受的最大載荷為：例例8：圖示梁、柱結(jié)構(gòu)，梁用圖示梁、柱結(jié)構(gòu)，梁用16號工字號工字鋼，柱由兩根鋼，柱由兩根636310mm的角鋼組的角鋼組成。材料均為成。材料均為Q235鋼，鋼，E=200GPa，s=240MPa，p=100，0=57，規(guī)定強度，規(guī)定強度安全系數(shù)安全系數(shù) ns=1.4，穩(wěn)定安全系數(shù)，穩(wěn)定安全系數(shù)nst=2，試校核結(jié)構(gòu)是否安全。試校核結(jié)構(gòu)是否安全。zz解：解：由型鋼表查得：由型鋼表查得：16號工字鋼號工字鋼4cm1130zI3cm141zW636310角鋼組成的柱：角鋼組成的柱：2cm314.23657.112A4cm18.8209.412zI求解超靜定問題：梁的支座及桿求解超靜定問題：梁的支座及桿 CD 的受力的受力CDFCFDCDl選擇圖基本靜定結(jié)構(gòu)，選擇圖基本靜定結(jié)構(gòu)， 變形協(xié)調(diào)條件為變形協(xié)調(diào)條件為CDClf34538448CCzzF lqlfEIEICDCDCCDE