專題17 存在性-正方形（解析版）

1、中考數(shù)學(xué)壓軸題-二次函數(shù)-存在性問題第17節(jié) 正方形的存在性方法點(diǎn)撥正方形ABCD，M為對角線AC與BD的交點(diǎn)，則M的坐標(biāo)為（）或者（）解題方法：（在平行四邊形的基礎(chǔ)上增加對角線垂直且相等）（1）選一定點(diǎn)，再將這一定點(diǎn)與另外點(diǎn)的連線作為對角線，分類討論；（2）利用中點(diǎn)坐標(biāo)公式列方程：；（3）對角線垂直：， 例題演練1如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，直線yx4與x軸交于點(diǎn)A，與y軸交于點(diǎn)B，過A，B兩點(diǎn)的拋物線交x軸于另一點(diǎn)C（2，0）（1）求拋物線解析式；（2）如圖1，點(diǎn)F是直線AB下方拋物線上一動點(diǎn)，連接FA，F(xiàn)B，求出四邊形FAOB面積最大值及此時點(diǎn)F的坐標(biāo)（3）如圖2，在（2）問的條件下

2、，點(diǎn)Q為平面內(nèi)y軸右側(cè)的一點(diǎn)，是否存在點(diǎn)Q及平面內(nèi)任意一點(diǎn)M使得以A，F(xiàn)，Q，M為頂點(diǎn)的四邊形是正方形？若存在，直接寫出點(diǎn)Q的坐標(biāo)；若不存在，說明理由【解答】解：（1）直線yx4與x軸交于點(diǎn)A，與y軸交于點(diǎn)B，點(diǎn)A（4，0），點(diǎn)B（0，4），拋物線交x軸于點(diǎn)A（4，0），點(diǎn)C（2，0）設(shè)拋物線解析式為：ya（x+2）（x4）ax22ax8a，拋物線交y軸于點(diǎn)B（0，4），48a，a，拋物線解析式為：yx22×x8×x2x4；（2）如圖，過點(diǎn)F作FEy軸，交AB于點(diǎn)E，設(shè)點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為t，則P（t，t2t4），直線AB的解析式為yx4，E（t，t4），SBFAOAEF

3、5;（40）×（t4t2+t+4）t2+4t，SBOAOAOB×4×48，S四邊形FAOBSBFA+SBOAt2+4t+8（t2）2+12，當(dāng)t2時，S四邊形FAOB有最大值12，t2t44此時點(diǎn)F的坐標(biāo)為（2，4）；（3）當(dāng)AF為為邊時，如圖，過點(diǎn)F作FSx軸于點(diǎn)S，過點(diǎn)作Q1Tx軸于點(diǎn)T，點(diǎn)A（4，0），點(diǎn)F的坐標(biāo)為（2，4），AF2，SF4，AS422，四邊形AQ1Q2F是正方形，AQ1AF2，F(xiàn)AQ190°，SFA+SAF90°，SAF+TAQ190°，SFATAQ1，F(xiàn)SAATQ190°，F(xiàn)SAATQ1，ATSF4

4、，TQ1AS2，OTOA+AT8，Q1（8，2）；同理可得：Q1HQ2ATQ1，Q1HAT4，Q2HTQ12，OKOTKT826，Q2KHT4+26，Q2（6，6）；四邊形AFED是正方形時，點(diǎn)D在y軸上，點(diǎn)E在y軸左邊，不合題意；連接AE，F(xiàn)D交于點(diǎn)Q3，連接AQ2、FQ1交于點(diǎn)Q4，此時，AF為對角線，四邊形AQ3FQ4是正方形，如圖：Q4是FQ1的中點(diǎn)，Q1（8，2），F(xiàn)（2，4），5，3，Q4（5，3）；Q3是FD的中點(diǎn)，D（0，2），F(xiàn)（2，4），1，1，Q3（1，1）存在，點(diǎn)Q的坐標(biāo)Q1（8，2），Q2（6，6），Q3（1，1），Q4（5，3）2如圖所示，拋物線yax2+bx3交x

5、軸交于A（1，0），B（3，0）兩點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)C（1）求拋物線的解析式；（2）如圖，直線BC下方的拋物線上有一點(diǎn)D，過點(diǎn)D作DEBC于點(diǎn)E，作DF平行x軸交直線BC點(diǎn)F，求DEF周長的最大值；（3）已知點(diǎn)M是拋物線的頂點(diǎn)，點(diǎn)N是y軸上一點(diǎn)，點(diǎn)Q是坐標(biāo)平面內(nèi)一點(diǎn)，若點(diǎn)P是拋物線上一點(diǎn)，且位于拋物線對稱軸的右側(cè)，是否存在以點(diǎn)P、M、N、Q為頂點(diǎn)且以PM為邊的正方形？若存在，請直接寫出點(diǎn)P的橫坐標(biāo)；若不存在，請說明理由【解答】解：（1）拋物線yax2+bx3交x軸交于A（1，0），B（3，0）兩點(diǎn)，解得：拋物線的解析式為yx22x3（2）拋物線yx22x3與y軸交于點(diǎn)C點(diǎn)C坐標(biāo)為（0，3）直線B

6、C解析式為：yx3點(diǎn)B（3，0），點(diǎn)C（0，3）OBOC3，OBCOCB45°DFAB，EFD45°OBC，DEBC，EFDEDF45°，DEEF，DFEF，EFDEDF，DEF周長DE+EF+DF（1+）DF，設(shè)點(diǎn)D（a，a22a3），則F（a22a，a22a3）DFaa2+2aa2+3a（a）2+當(dāng)a時，DF有最大值為，即DEF周長有最大值為（1+）×，（3）存在，如圖1，過點(diǎn)M作GHOC，過點(diǎn)P作PHGH，連接MN，PM，拋物線的解析式為yx22x3（x1）24點(diǎn)M（1，4）以點(diǎn)P、M、N、Q為頂點(diǎn)且以PM為邊的正方形，PMMN，PMN90

7、6;，PMH+NMG90°，且PMH+MPH90°，NMGMPH，且MNPM，HNGM90°，MNGPMH（AAS）GMPH1，點(diǎn)P的縱坐標(biāo)為3，3x22x3x0（不合題意舍去），x2，點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為2，如圖2，過點(diǎn)P作GHAB，過點(diǎn)N作NGGH，過點(diǎn)M作MHGH，易證：NGPPHM，可得NGPH，GPMH，設(shè)點(diǎn)P橫坐標(biāo)為a，（a1）NGPHa，點(diǎn)P縱坐標(biāo)為4+a，4+aa22a3x（不合題意舍去），x綜上所述：點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為2或3如圖，拋物線yax2+bx+c關(guān)于直線x1對稱，與坐標(biāo)軸交于A，B，C三點(diǎn)，且AB4，點(diǎn)D（2，）在拋物線上，直線l是一次函數(shù)ykx2

8、（k0）的圖象，點(diǎn)O是坐標(biāo)原點(diǎn)（1）求拋物線的解析式；（2）若直線l平分四邊形OBDC的面積，求k的值；（3）在拋物線上是否存在一點(diǎn)P，使得點(diǎn)Q在x軸上，點(diǎn)M在坐標(biāo)平面內(nèi)，四邊形CQPM是正方形，若存在求點(diǎn)P的橫坐標(biāo)，若不存在，請說明理由【解答】解：（1）拋物線關(guān)于直線x1對稱，AB4，A（1，0），B（3，0），設(shè)拋物線的解析式為ya（x+1）（x3），點(diǎn)D（2，）在拋物線上，a×3×（1），解得a，拋物線解析式為：y（x+1）（x3）x2+x+（2）拋物線解析式為：yx2+x+，令x0，得y，C（0，），D（2，），CDOB，直線CD解析式為yS四邊形OBDC（CD+O

9、B）OC（2+3）×當(dāng)直線l解析式為ykx2過點(diǎn)D時，2k2，k，直線l的解析式為yx2，令y0，x20，x，E（，0），OE，S四邊形OCDE（+2）××，直線l必和線段CD相交，令y0，得x；令y，得x；如答圖1所示，設(shè)直線l分別與OB、CD交于點(diǎn)E、F，則E（，0），F(xiàn)（，），OE，BE3，CF，DF2直線l平分四邊形OBDC的面積，S梯形OEFCS梯形FDBE，（OE+CF）OC（FD+BE）OC，OE+CFFD+BE，即：+（3）+（2），解方程得：k，經(jīng)檢驗k是原方程的解且符合題意，k；（3）當(dāng)Q點(diǎn)的橫坐標(biāo)小于1時，如圖2，過點(diǎn)P作PFx軸于F，PQF

10、+QPF90°，四邊形CQPM是正方形，CQPQ，CQP90°，CQO+PQF90°，CQOQPF，COQQFP（AAS），OQPF，QFOC，PFOF+QFOF+，設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為（t，t2+t+），t2+t+t，t（舍）或t點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為，當(dāng)Q點(diǎn)的橫坐標(biāo)大于3時，如圖3，同的方法得，點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為2+，當(dāng)Q點(diǎn)的橫坐標(biāo)在1到3之間時，如答圖2，同的方法得，點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為2，即：點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為或2或2+4如圖所示，拋物線yax2+bx3與x軸交于A（1，0），B（3，0）兩點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)C（1）求拋物線的解析式；（2）如圖所示，直線BC下方的拋物線上有一點(diǎn)P，過點(diǎn)

11、P作PEBC于點(diǎn)E，作PF平行于x軸交直線BC于點(diǎn)F，求PEF周長的最大值；（3）已知點(diǎn)M是拋物線的頂點(diǎn)，點(diǎn)N是y軸上一點(diǎn)，點(diǎn)Q是坐標(biāo)平面內(nèi)一點(diǎn)，若點(diǎn)P是拋物線上一點(diǎn)，且位于拋物線的對稱軸右側(cè)，是否存在以P、M、N、Q為頂點(diǎn)且以PM為邊的正方形？若存在，直接寫出點(diǎn)P的橫坐標(biāo)；若不存在，說明理由【解答】解：（1）把A（1，0），B（3，0）兩點(diǎn)坐標(biāo)代入拋物線yax2+bx3，得到，解得，拋物線的解析式為yx22x3（2）如圖1中，連接PB、PC設(shè)P（m，m22m3），B（3，0），C（0，3），OBOC，OBC45°，PFOB，PFEOBC45°，PEBC，PEF90

12、6;，PEF是等腰直角三角形，PE最大時，PEF的面積中點(diǎn)，此時PBC的面積最大，則有SPBCSPOB+SPOCSBOC3（m2+2m+3）+3m（m）2+，m時，PBC的面積最大，此時PEF的面積也最大，此時P（，），直線BC的解析式為yx3，F(xiàn)（，），PF，PEF是等腰直角三角形，EFEP，CPEF最大值+（3）如圖2中，當(dāng)N與C重合時，點(diǎn)N關(guān)于對稱軸的對稱點(diǎn)P，此時思想MNQP是正方形，易知P（2，3）點(diǎn)P橫坐標(biāo)為2，如圖3中，當(dāng)四邊形PMQN是正方形時，作PFy軸于N，MEx軸，PEy軸易知PFNPEM，PFPE，設(shè)P（m，m22m3），M（1，4），mm22m3（4），m或（舍棄），

13、P點(diǎn)橫坐標(biāo)為所以滿足條件的點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為2或5如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，A（1，0）、B（0，2）且RtAOBRtCDA，拋物線yax2+ax2經(jīng)過點(diǎn)C（1）求拋物線的解析式；（2）若點(diǎn)P是x軸上一點(diǎn)，且PCPB，求P點(diǎn)的坐標(biāo)；（3）在拋物線上是否存在兩點(diǎn)E、F，使四邊形ABEF是正方形？若存在，求點(diǎn)E、F的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由【解答】解：（1）A（1，0）、B（0，2）且RtAOBRtCDA，OA1，ADBO2，ODAO+AD2+13，D90°，CDODCD1，C點(diǎn)坐標(biāo)為（3，1），拋物線經(jīng)過點(diǎn)C，1a（3）2+a（3）2，a，拋物線的解析式為yx2+x2；（2）設(shè)OPx，R

14、tAOBRtCDA，CADABO，BAO+ABO90°，CAD+BAO90°，CAB90°，ACB是直角三角形，BC，PCPB，CPB90°，BPC是直角三角形，PB2+PC2BC2，PB2OP2+BO2，PC2CD2+DP2，OP2+BO2+CD2+DP2BC2，即x2+22+12+（3x）210，解得：x1或2，由題意可知：P在x的負(fù)半軸，P的坐標(biāo)為（1，0）或（2，0）；（3）存在，在拋物線上存在點(diǎn)E、F，使四邊形ABEF是正方形以AB為邊在AB的右側(cè)作正方形ABEF，過E作EHOB于H，F(xiàn)Gx軸于G，可證EHBAFGBAO，HEAGBO2，BHF

15、GAO1，E點(diǎn)坐標(biāo)為（2，1），F(xiàn)點(diǎn)坐標(biāo)為（1，1）由（1）拋物線yx2+x2，當(dāng)x2時，y1；當(dāng)x1時，y1E、F在拋物線上故在拋物線上存在點(diǎn)E（2，1）、F（1，1），使四邊形ABPQ是正方形6如圖，平面直角坐標(biāo)系中，拋物線yax2+bx+c交x軸于A（3，0），B（4，0），交y軸于點(diǎn)C（0，4）（1）求拋物線的函數(shù)表達(dá)式；（2）直線yx+與拋物線交于A、D兩點(diǎn)，與直線BC交于點(diǎn)E若點(diǎn)M（m，0）是線段AB上的動點(diǎn)，過點(diǎn)M作x軸的垂線，交拋物線于點(diǎn)F，交直線AD于點(diǎn)G，交直線BC于點(diǎn)H當(dāng)SEOGSAOE時，求m的值；在平面內(nèi)是否存在點(diǎn)P，使四邊形EFHP為正方形？若存在，請求出點(diǎn)P的坐標(biāo)

16、，若不存在，請說明理由【解答】解：（1）由題意得：，解得，yx2+x+4；（2）當(dāng)點(diǎn)G在點(diǎn)E的左側(cè)時，如圖1，B（4，0），C（0，4），設(shè)BC的解析式為：ykx+n，則，解得，BC的解析式為：yx+4，x+4x+，解得：x1，E（1，3），M（m，0），且MHx軸，G的橫坐標(biāo)為m，SEOGSAOE，×ON×（xExG）××ON×（xExG），即xE+xA2xG，即132m，解得m1；當(dāng)點(diǎn)G在點(diǎn)E的右側(cè)時，同理可得：×ON×（xGxE）×ON×（xExA），即（m1）×（1+3），解得m3，綜上

17、，m3或1；存在，由知：E（1，3），四邊形EFHP是正方形，F(xiàn)HEF，EFHFHPHPE90°，M（m，0），且MHx軸，H（m，m+4），F(xiàn)（m，m2+m+4），分兩種情況：i）當(dāng)3m1時，如圖2，點(diǎn)F在EP的左側(cè)，F(xiàn)H（m+4）（m2+m+4）m2m，EFFH，m2m1m，解得：m（舍去正值），H（，），P（1，），ii）當(dāng)1m4時，點(diǎn)F在PE的右邊，如圖3，同理得m2m1+m，解得：m（舍去負(fù)值），同理得P（1，）；綜上，點(diǎn)P的坐標(biāo)為：（1，）或（1，）7如圖，點(diǎn)B、C分別在x，y軸的正半軸上，OB，OC的長分別為x28x+120的兩個根，且OCOB，將COB繞點(diǎn)O逆時針旋轉(zhuǎn)

18、90°，點(diǎn)C落在x軸負(fù)半軸上的點(diǎn)A處，點(diǎn)B落在y軸正半軸的點(diǎn)D處，連接AC（1）求過A，B，C三點(diǎn)的拋物線的函數(shù)解析式；（2）直接寫出tanCAD的值；（3）點(diǎn)P從點(diǎn)C以每秒2個單位長度的速度沿CA運(yùn)動到點(diǎn)A，點(diǎn)Q從點(diǎn)O以每秒1個單位長度的速度沿OC運(yùn)動到點(diǎn)C，連接PQ求SCPQ的最大值，及此時點(diǎn)P的坐標(biāo)；（4）M是第二象限內(nèi)一點(diǎn)，在平面內(nèi)是否存在點(diǎn)N，使得以A，D，M，N為頂點(diǎn)的四邊形是正方形？若存在，請直接寫出點(diǎn)N的坐標(biāo)，若不存在，請說明理由【解答】解：（1）解x28x+120得：x6或2，故點(diǎn)B（2，0）、點(diǎn)C（0，6），由圖象的旋轉(zhuǎn)知，點(diǎn)A、D的坐標(biāo)分別為（6，0）、（0，2

19、）；設(shè)拋物線的解析式為yax2+bx+c，將點(diǎn)A、B、C的坐標(biāo)代入拋物線解析式中得，解得，故拋物線的表達(dá)式為yx22x+6；（2）過點(diǎn)D作DHAC于點(diǎn)H，則SACD×CD×AO×AC×HD，即×4×6××HD，解得HD2，根據(jù)勾股定理得，AH4，故tanCAD；（3）OAOC，則ACO45°，由題意得：PC2t，CQ6t，則|xP|PCcos45°t，則SCPQ×CQ×|xP|×t（6t）（t26t），0，故SCPQ有最大值，當(dāng)t3時，其最大值為，當(dāng)t3時，PC6，

20、點(diǎn)P的縱坐標(biāo)為63，故點(diǎn)P（3，63）；（4）當(dāng)AD是正方形的對角線時，則正方形為ANDM，設(shè)MN交AD于R，交x軸于點(diǎn)H，則點(diǎn)R是AD的中點(diǎn)，則點(diǎn)R（3，1），在RtAOD中，tanDAO，則tanRHA3，則設(shè)直線MN的表達(dá)式為y3x+b，將點(diǎn)R的坐標(biāo)代入上式并解得b8，故直線MN的表達(dá)式為y3x8，設(shè)點(diǎn)N（m，3m8），過點(diǎn)N作x軸的平行線交過點(diǎn)A與y軸的平行線于點(diǎn)G，交y軸于點(diǎn)K，DNK+ANG90°，ANG+NAG90°，NAGDNK，NGADKN90°，ANDN，NGADKN（AAS），GNDK，即m+62+3m+8，解得m2，故點(diǎn)N的坐標(biāo)為（2，2）；當(dāng)AD是正方形的邊時，當(dāng)DN是邊時，同理可得：DSNAOD（AAS），N'SOD2，DSAO6，故點(diǎn)N（2，8）；當(dāng)AN是邊時，點(diǎn)