理論力學(xué)第三章

1、理論力學(xué)理論力學(xué)中南大學(xué)土木工程學(xué)院中南大學(xué)土木工程學(xué)院1理論力學(xué)理論力學(xué)中南大學(xué)土木工程學(xué)院中南大學(xué)土木工程學(xué)院2一、力在坐標(biāo)軸上的投影一、力在坐標(biāo)軸上的投影3-1 3-1 空間匯交力系空間匯交力系yxzFFxFyFzikj若已知力與正交坐標(biāo)系若已知力與正交坐標(biāo)系Oxyz三軸間的夾角，則用三軸間的夾角，則用直接投影法直接投影法cos()cos()cos()xyzFFFFFFFiFjFk，1 1、直接投影法、直接投影法理論力學(xué)理論力學(xué)中南大學(xué)土木工程學(xué)院中南大學(xué)土木工程學(xué)院3理論力學(xué)理論力學(xué)中南大學(xué)土木工程學(xué)院中南大學(xué)土木工程學(xué)院4當(dāng)力與坐標(biāo)軸當(dāng)力與坐標(biāo)軸Ox 、Oy間的夾角不易確定時(shí)，可把力

2、間的夾角不易確定時(shí)，可把力F先投影到坐標(biāo)平面先投影到坐標(biāo)平面Oxy上，上，得到矢量得到矢量Fxy(力在平面上的投影力在平面上的投影為矢量為矢量)，然后再把這個(gè)矢量，然后再把這個(gè)矢量Fxy投影到投影到x 、y軸上，這叫軸上，這叫二二次（間接）投影法次（間接）投影法。coscossincoscos sinsinsinsincosxyzFFFFFFFFF2 2、二次（間接）投影法、二次（間接）投影法yxzFFxFyFzFxy 理論力學(xué)理論力學(xué)中南大學(xué)土木工程學(xué)院中南大學(xué)土木工程學(xué)院5理論力學(xué)理論力學(xué)中南大學(xué)土木工程學(xué)院中南大學(xué)土木工程學(xué)院6例例三棱柱底面為直角等腰三角形，在其側(cè)平面三棱柱底面為直角等

3、腰三角形，在其側(cè)平面ABED上作用上作用有一力有一力F，力，力F與與OAB平面夾角為平面夾角為300，求力，求力F在三個(gè)坐標(biāo)軸上在三個(gè)坐標(biāo)軸上的投影。的投影。 理論力學(xué)理論力學(xué)中南大學(xué)土木工程學(xué)院中南大學(xué)土木工程學(xué)院71 1、合成、合成將平面匯交力系合成結(jié)果推廣到空間匯交力系得：將平面匯交力系合成結(jié)果推廣到空間匯交力系得：R12niFFFFF 合力的大小和方向?yàn)椋汉狭Φ拇笮『头较驗(yàn)椋?22R()()()xyzFFFF RRRRRRcos()cos()cos()yxzFFFFFFFiFjFk，RRRRxyzxyzFF iFjF kF iF jF k 或或二二、空間匯交力系的合成與平衡空間匯交力系

4、的合成與平衡理論力學(xué)理論力學(xué)中南大學(xué)土木工程學(xué)院中南大學(xué)土木工程學(xué)院82 2、平衡、平衡空間匯交力系平衡的必要與充分條件是：該力系的合力等于零?？臻g匯交力系平衡的必要與充分條件是：該力系的合力等于零。R0i FF以解析式表示為：以解析式表示為：000 xyzFFF 空間匯交力系平衡的必要與充分條件是：該力系中所有空間匯交力系平衡的必要與充分條件是：該力系中所有各力在三個(gè)坐標(biāo)軸上投影的代數(shù)和分別等于零。各力在三個(gè)坐標(biāo)軸上投影的代數(shù)和分別等于零。理論力學(xué)理論力學(xué)中南大學(xué)土木工程學(xué)院中南大學(xué)土木工程學(xué)院9例例圖示起重機(jī)吊起重物。起重桿的圖示起重機(jī)吊起重物。起重桿的A端用球鉸鏈固定在地面上，端用球鉸鏈

5、固定在地面上，B端用端用繩繩CB和和DB拉住，兩繩分別系在墻上的拉住，兩繩分別系在墻上的C點(diǎn)和點(diǎn)和D點(diǎn)，連線點(diǎn)，連線CD平行于平行于x軸。軸。已知已知CE=EB=DE，角，角a a =30o ，CDB平面與水平面間的夾角平面與水平面間的夾角EBF= 30o，重物重物G=10kN。如不計(jì)起重桿的重量，求起重桿所受的力和繩子的拉力。如不計(jì)起重桿的重量，求起重桿所受的力和繩子的拉力。解：解：1、取桿取桿AB與重物為研究與重物為研究對(duì)象，受力分析如圖。對(duì)象，受力分析如圖。G正視圖正視圖G理論力學(xué)理論力學(xué)中南大學(xué)土木工程學(xué)院中南大學(xué)土木工程學(xué)院102、列平衡方程列平衡方程1212120sin45sin4

6、500sin30cos45 cos30cos45 cos3000cos45 sin30cos45 sin30cos300 xyAzAFFFFFFFFFFFG 3、聯(lián)立求解聯(lián)立求解123.54 kN8.66 kNAFFF，G理論力學(xué)理論力學(xué)中南大學(xué)土木工程學(xué)院中南大學(xué)土木工程學(xué)院11理論力學(xué)理論力學(xué)中南大學(xué)土木工程學(xué)院中南大學(xué)土木工程學(xué)院12xyzOFMO(F)rA(x，y，z)hB 空間力對(duì)點(diǎn)的矩的作用效果取決空間力對(duì)點(diǎn)的矩的作用效果取決于：力矩的大小、轉(zhuǎn)向和力矩作用面于：力矩的大小、轉(zhuǎn)向和力矩作用面方位。這三個(gè)因素可用一個(gè)矢量方位。這三個(gè)因素可用一個(gè)矢量MO(F)表示，如圖。其模表示力矩的大

7、小；表示，如圖。其模表示力矩的大小；指向表示力矩在其作用面內(nèi)的轉(zhuǎn)向指向表示力矩在其作用面內(nèi)的轉(zhuǎn)向(符符合右手螺旋法則合右手螺旋法則)；方位表示力矩作用；方位表示力矩作用面的法線。由于力矩與矩心的位置有面的法線。由于力矩與矩心的位置有關(guān)，所以力矩矢的始端一定在矩心關(guān)，所以力矩矢的始端一定在矩心O處，處，是是定位矢量定位矢量。3-23-2 力對(duì)點(diǎn)的矩和力對(duì)軸的矩力對(duì)點(diǎn)的矩和力對(duì)軸的矩一、力對(duì)點(diǎn)的矩以矢量表示力矩矢一、力對(duì)點(diǎn)的矩以矢量表示力矩矢力可沿作用線滑動(dòng)，力可沿作用線滑動(dòng)，所以是所以是滑動(dòng)矢量滑動(dòng)矢量。理論力學(xué)理論力學(xué)中南大學(xué)土木工程學(xué)院中南大學(xué)土木工程學(xué)院13以以r表示矩心到力作用線的矢徑，

8、則表示矩心到力作用線的矢徑，則()OMFrF以矩心以矩心O為原點(diǎn)建立坐標(biāo)系，則為原點(diǎn)建立坐標(biāo)系，則xyzxyzFFFrijkFijkxyzOFMO(F)rA(x，y，z)hBjik()OxyzxyzFFFijkMFrF()()()( )( )( )zyxzyxOxOyOzyFzFzFxFxFyFijkM FiM FjM Fk理論力學(xué)理論力學(xué)中南大學(xué)土木工程學(xué)院中南大學(xué)土木工程學(xué)院14力對(duì)力對(duì)軸軸的的矩定義矩定義為力在與該軸垂直面上為力在與該軸垂直面上的投影對(duì)該軸與此垂直平面交點(diǎn)的矩。的投影對(duì)該軸與此垂直平面交點(diǎn)的矩。()()2zOxyxyOabMMF hA FF 力對(duì)軸的矩是度量力使剛體繞該軸

9、轉(zhuǎn)力對(duì)軸的矩是度量力使剛體繞該軸轉(zhuǎn)動(dòng)效應(yīng)的，是一個(gè)動(dòng)效應(yīng)的，是一個(gè)代數(shù)量。代數(shù)量。xyzOFFxyhBAab符號(hào)規(guī)定：從符號(hào)規(guī)定：從z軸正向看，若力使剛體逆時(shí)針轉(zhuǎn)動(dòng)取正號(hào)，軸正向看，若力使剛體逆時(shí)針轉(zhuǎn)動(dòng)取正號(hào)，反之取負(fù)。也可按右手螺旋法則確定其正負(fù)號(hào)。反之取負(fù)。也可按右手螺旋法則確定其正負(fù)號(hào)。由定義可知：由定義可知：當(dāng)力的作用線與軸平行或相交當(dāng)力的作用線與軸平行或相交(共面共面)時(shí)，力對(duì)軸的矩等于零。時(shí)，力對(duì)軸的矩等于零。當(dāng)力沿作用線移動(dòng)時(shí)，對(duì)軸的當(dāng)力沿作用線移動(dòng)時(shí)，對(duì)軸的矩不變。矩不變。二、力對(duì)軸的矩二、力對(duì)軸的矩1 1、力對(duì)軸之矩的定義、力對(duì)軸之矩的定義理論力學(xué)理論力學(xué)中南大學(xué)土木工程學(xué)院

10、中南大學(xué)土木工程學(xué)院15理論力學(xué)理論力學(xué)中南大學(xué)土木工程學(xué)院中南大學(xué)土木工程學(xué)院16理論力學(xué)理論力學(xué)中南大學(xué)土木工程學(xué)院中南大學(xué)土木工程學(xué)院17()()()()zOxyOxOyyxMMMMxFyFFFFF設(shè)力設(shè)力F在三個(gè)坐標(biāo)在三個(gè)坐標(biāo)軸軸上的投影分別為上的投影分別為Fx，F(xiàn)y，F(xiàn)z，力作用點(diǎn)力作用點(diǎn)A的坐標(biāo)為的坐標(biāo)為(x，y，z)，則則同理可得其它兩式。故有同理可得其它兩式。故有()()()xzyyxzzyxMyFzFMzFxFMxFyFFFF2 2、力對(duì)軸之矩的解析表達(dá)式、力對(duì)軸之矩的解析表達(dá)式xyzOFxFyFzA(x，y，z)BFxFyFxyabxyF理論力學(xué)理論力學(xué)中南大學(xué)土木工程學(xué)院

11、中南大學(xué)土木工程學(xué)院18比較力對(duì)點(diǎn)的矩和力對(duì)通過該點(diǎn)軸的矩的解析表達(dá)式得：比較力對(duì)點(diǎn)的矩和力對(duì)通過該點(diǎn)軸的矩的解析表達(dá)式得：即：力對(duì)點(diǎn)的矩矢即：力對(duì)點(diǎn)的矩矢在通過該點(diǎn)的某軸在通過該點(diǎn)的某軸上的投影，上的投影， 等于力對(duì)該軸的矩。等于力對(duì)該軸的矩。()()()()()()OxxOyyOzzMMMMFFMFFMFF3 3、力對(duì)點(diǎn)的矩與力、力對(duì)點(diǎn)的矩與力對(duì)過該點(diǎn)的軸對(duì)過該點(diǎn)的軸的矩的關(guān)系的矩的關(guān)系力對(duì)點(diǎn)的矩矢力對(duì)點(diǎn)的矩矢在不通過該點(diǎn)的某軸在不通過該點(diǎn)的某軸上的投影，上的投影，不等于力對(duì)該軸的矩。不等于力對(duì)該軸的矩。理論力學(xué)理論力學(xué)中南大學(xué)土木工程學(xué)院中南大學(xué)土木工程學(xué)院19理論力學(xué)理論力學(xué)中南大學(xué)土

12、木工程學(xué)院中南大學(xué)土木工程學(xué)院20解：解：222coscosxFaFFabc222cos sinyFbFFabc222sinzFcFFabc ()0yMF()()()()zzxzyzzyMMMMF a FFFF例例求力求力F在三軸上的投影和對(duì)三軸的矩。在三軸上的投影和對(duì)三軸的矩。yxzF bcaFxy22222cosababc22cosaab()()()()xxxxyxzyMMMMF c FFFF合力矩定理合力矩定理理論力學(xué)理論力學(xué)中南大學(xué)土木工程學(xué)院中南大學(xué)土木工程學(xué)院21解：解：()()ACCACMFMF22()cosCFbaFaabMF22222()() cosACCFabcMababc

13、FMF例例如圖所示，長方體棱長為如圖所示，長方體棱長為a、b、c，力，力F 沿沿BD，求力，求力F 對(duì)對(duì)AC之矩。之矩。F bcaABCD MC(F)理論力學(xué)理論力學(xué)中南大學(xué)土木工程學(xué)院中南大學(xué)土木工程學(xué)院223-3 3-3 空間力偶空間力偶一、力偶的矢量表示一、力偶的矢量表示性質(zhì)：力偶由一個(gè)平面平行移至剛體另一個(gè)平行平面不影響性質(zhì)：力偶由一個(gè)平面平行移至剛體另一個(gè)平行平面不影響它對(duì)剛體的作用效應(yīng)。它對(duì)剛體的作用效應(yīng)。AFFFRBOF2A1F1B1F2F1FR理論力學(xué)理論力學(xué)中南大學(xué)土木工程學(xué)院中南大學(xué)土木工程學(xué)院23圖示兩力偶不等效圖示兩力偶不等效1212FFFF空間力偶的三要素空間力偶的三

14、要素（1 1） 大?。毫εc力偶臂的乘積；大?。毫εc力偶臂的乘積；（3 3） 作用面：力偶作用面。作用面：力偶作用面。 （2 2） 方向：轉(zhuǎn)動(dòng)方向；方向：轉(zhuǎn)動(dòng)方向；OrArBrBA00( )()ABBAABMMFMFrFrFrFrF 力力偶偶矩矩矢矢理論力學(xué)理論力學(xué)中南大學(xué)土木工程學(xué)院中南大學(xué)土木工程學(xué)院24力偶矩矢為一自由矢量。力偶矩矢為一自由矢量?？臻g力偶的等效條件是：作用在同一剛體上的兩個(gè)力偶，空間力偶的等效條件是：作用在同一剛體上的兩個(gè)力偶，如果力偶矩矢相等，則兩力偶等效。如果力偶矩矢相等，則兩力偶等效。FMF二、空間力偶等效定理二、空間力偶等效定理 由力偶的性質(zhì)可知：力偶的作用效應(yīng)取決

15、于力偶矩的大由力偶的性質(zhì)可知：力偶的作用效應(yīng)取決于力偶矩的大小、力偶的轉(zhuǎn)向和力偶作用面的方位。因此可用一矢量小、力偶的轉(zhuǎn)向和力偶作用面的方位。因此可用一矢量M 表表示：用示：用M 的模表示力偶矩的大?。坏哪１硎玖ε季氐拇笮?；M 的指向按右手螺旋法則的指向按右手螺旋法則表示力偶的轉(zhuǎn)向；表示力偶的轉(zhuǎn)向；M 的作用線與力偶作用面的法線方位相同。的作用線與力偶作用面的法線方位相同。如圖所示，如圖所示，M 稱為力偶矩矢。稱為力偶矩矢。力偶對(duì)某點(diǎn)的矩等于力偶矩矢，力偶對(duì)某點(diǎn)的矩等于力偶矩矢，力偶對(duì)某軸的矩等于力偶矩矢力偶對(duì)某軸的矩等于力偶矩矢在該軸上的投影！在該軸上的投影！理論力學(xué)理論力學(xué)中南大學(xué)土木工程

16、學(xué)院中南大學(xué)土木工程學(xué)院25理論力學(xué)理論力學(xué)中南大學(xué)土木工程學(xué)院中南大學(xué)土木工程學(xué)院26理論力學(xué)理論力學(xué)中南大學(xué)土木工程學(xué)院中南大學(xué)土木工程學(xué)院27力偶作用面不在同一平面內(nèi)的力偶系稱為空間力偶系。力偶作用面不在同一平面內(nèi)的力偶系稱為空間力偶系。三、空間力偶系的合成與平衡三、空間力偶系的合成與平衡1 1、合成、合成12ni MMMMM 空間力偶系合成的最后結(jié)果為一個(gè)合力偶，合力偶空間力偶系合成的最后結(jié)果為一個(gè)合力偶，合力偶矩矢等于各分力偶矩矢的矢量和。即：矩矢等于各分力偶矩矢的矢量和。即：根據(jù)合矢量投影定理：根據(jù)合矢量投影定理：xxyyzzMMMMMM ，于是合力偶矩的大小和方向可由下式確定：于

17、是合力偶矩的大小和方向可由下式確定：222()()()xyzMMMM cos()cos()cos()xyzMMMMMMMiMjMk，理論力學(xué)理論力學(xué)中南大學(xué)土木工程學(xué)院中南大學(xué)土木工程學(xué)院28例例工件如圖所示，它的四個(gè)面上同時(shí)鉆五個(gè)孔，每個(gè)孔所受的切削力偶工件如圖所示，它的四個(gè)面上同時(shí)鉆五個(gè)孔，每個(gè)孔所受的切削力偶矩均為矩均為80Nm。求工件所受合力偶的矩在。求工件所受合力偶的矩在x，y，z軸上的投影軸上的投影Mx，My，Mz，并求合力偶矩矢的大小和方向。并求合力偶矩矢的大小和方向。解：將作用在四個(gè)面上的力偶解：將作用在四個(gè)面上的力偶用力偶矩矢表示，并平移到用力偶矩矢表示，并平移到A點(diǎn)點(diǎn)。34

18、52145cos45cos45193.1N m80N mcos45cos45193.1 N mxyzMMMMMMMMMM 所以合力偶矩矢的大小所以合力偶矩矢的大小222284.6 N mxyzMMMM合力偶矩矢的方向余弦合力偶矩矢的方向余弦cos0.6786cos0.2811cos0.6786 ，MiMjMk理論力學(xué)理論力學(xué)中南大學(xué)土木工程學(xué)院中南大學(xué)土木工程學(xué)院29 空間力偶系可以合成一合力偶，所以空間力偶系平衡的空間力偶系可以合成一合力偶，所以空間力偶系平衡的必要與充分條件是：合力偶矩矢等于零。即：必要與充分條件是：合力偶矩矢等于零。即：因?yàn)椋阂驗(yàn)椋?22()()()xyzMMMM 所以：

19、所以：000 xyzMMM上式即為空間力偶系的平衡方程。上式即為空間力偶系的平衡方程。2 2、平衡、平衡120ni MMMMM理論力學(xué)理論力學(xué)中南大學(xué)土木工程學(xué)院中南大學(xué)土木工程學(xué)院30 例例 已知兩圓盤半徑均為已知兩圓盤半徑均為200mm，AB =800mm，圓盤面圓盤面O1垂直于垂直于z軸，圓軸，圓盤面盤面O2垂直于垂直于x軸，兩盤面上作用有力偶，軸，兩盤面上作用有力偶，F(xiàn)1=3N， F2=5N，構(gòu)件自重不，構(gòu)件自重不計(jì)，求軸承計(jì)，求軸承A、B處的約束力。處的約束力。解：取整體，受力圖如圖所示。解：取整體，受力圖如圖所示。204008000 xAzMFF 104008000zAxMFF 1

20、.5N2.5NAxBxAzBzFFFF 解得解得理論力學(xué)理論力學(xué)中南大學(xué)土木工程學(xué)院中南大學(xué)土木工程學(xué)院31 空間力系向點(diǎn)空間力系向點(diǎn)O簡化得到一空間匯交力系和一空間簡化得到一空間匯交力系和一空間力偶系，如圖。力偶系，如圖。(1 2)()iiiOiiiin，F(xiàn)FMMFrFFnF1F2yzxOF1FnF2MnM2M1zyxOMOFROxyz一、空間任意力系向一點(diǎn)的簡化一、空間任意力系向一點(diǎn)的簡化3-4 3-4 空間任意力系的簡化空間任意力系的簡化理論力學(xué)理論力學(xué)中南大學(xué)土木工程學(xué)院中南大學(xué)土木工程學(xué)院32理論力學(xué)理論力學(xué)中南大學(xué)土木工程學(xué)院中南大學(xué)土木工程學(xué)院33空間匯交力系可合成一合力空間匯交

21、力系可合成一合力FR：Rii FFF力系中各力的矢量和稱為空間力系的力系中各力的矢量和稱為空間力系的主矢主矢。主矢與簡化中心的位置無關(guān)。主矢與簡化中心的位置無關(guān)。MOFROxyz空間力偶系可合成為一合力偶，其矩矢空間力偶系可合成為一合力偶，其矩矢MO：力系中各力對(duì)簡化中心之矩矢的矢量和稱為力系對(duì)簡化力系中各力對(duì)簡化中心之矩矢的矢量和稱為力系對(duì)簡化中心的中心的主矩主矩。主矩一般與簡化中心的位置有關(guān)。主矩一般與簡化中心的位置有關(guān)。()()OOiii MMFrF 空間力系向任一點(diǎn)空間力系向任一點(diǎn)O簡化，可得一力和一力偶，這個(gè)力簡化，可得一力和一力偶，這個(gè)力的大小和方向等于該力系的主矢，作用線通過簡化

22、中心的大小和方向等于該力系的主矢，作用線通過簡化中心O；這個(gè)力偶的矩矢等于該力系對(duì)簡化中心的主矩。這個(gè)力偶的矩矢等于該力系對(duì)簡化中心的主矩。理論力學(xué)理論力學(xué)中南大學(xué)土木工程學(xué)院中南大學(xué)土木工程學(xué)院34理論力學(xué)理論力學(xué)中南大學(xué)土木工程學(xué)院中南大學(xué)土木工程學(xué)院35 有效推進(jìn)力有效推進(jìn)力RxF飛機(jī)向前飛行飛機(jī)向前飛行RyF 有效升力有效升力飛機(jī)上升飛機(jī)上升RzF 側(cè)向力側(cè)向力飛機(jī)側(cè)移飛機(jī)側(cè)移OxM 滾轉(zhuǎn)力矩滾轉(zhuǎn)力矩飛機(jī)繞飛機(jī)繞x軸滾轉(zhuǎn)軸滾轉(zhuǎn)OyM 偏航力矩偏航力矩飛機(jī)轉(zhuǎn)彎飛機(jī)轉(zhuǎn)彎OzM 俯仰力矩俯仰力矩飛機(jī)仰頭飛機(jī)仰頭理論力學(xué)理論力學(xué)中南大學(xué)土木工程學(xué)院中南大學(xué)土木工程學(xué)院36 1 1、空間任意力系

23、簡化為一合力偶的情形、空間任意力系簡化為一合力偶的情形 FR=0，MO0簡化結(jié)果為一個(gè)與原力系等效的合力偶，其合力偶矩矢等簡化結(jié)果為一個(gè)與原力系等效的合力偶，其合力偶矩矢等于對(duì)簡化中心的主矩。此時(shí)力偶矩矢與簡化中心位置無關(guān)。于對(duì)簡化中心的主矩。此時(shí)力偶矩矢與簡化中心位置無關(guān)。 FR 0，MO = 0簡化結(jié)果為與原力系等效的合力，合力的作用線過簡化中簡化結(jié)果為與原力系等效的合力，合力的作用線過簡化中心心O，其大小和方向等于原力系的主矢。，其大小和方向等于原力系的主矢。2 2、空間任意力系簡化為一合力的情形、空間任意力系簡化為一合力的情形二、二、空間任意力系的簡化結(jié)果分析空間任意力系的簡化結(jié)果分析

24、理論力學(xué)理論力學(xué)中南大學(xué)土木工程學(xué)院中南大學(xué)土木工程學(xué)院37 FR 0，MO0 ，且，且FR MO此時(shí)無法進(jìn)一步合成，這就是簡化的最后結(jié)果。這種力與力偶此時(shí)無法進(jìn)一步合成，這就是簡化的最后結(jié)果。這種力與力偶作用面垂直的情形稱為作用面垂直的情形稱為力螺旋力螺旋。FR與與MO同方向時(shí)，稱為同方向時(shí)，稱為右手右手螺旋螺旋； FR與與MO反向時(shí)，稱為反向時(shí)，稱為左手螺旋左手螺旋。圖示為一右手螺旋。圖示為一右手螺旋。MOFROOFR3 3、空間任意力系簡化為力螺旋的情形、空間任意力系簡化為力螺旋的情形理論力學(xué)理論力學(xué)中南大學(xué)土木工程學(xué)院中南大學(xué)土木工程學(xué)院38 簡化后為與原力系等效的合力，其大小和方向等

25、于原力系的主簡化后為與原力系等效的合力，其大小和方向等于原力系的主矢，合力的作用線離簡化中心矢，合力的作用線離簡化中心O的距離為的距離為ROdFM FR 0，MO0 ，且，且FR MOMOFROFRFRFROOdFROO理論力學(xué)理論力學(xué)中南大學(xué)土木工程學(xué)院中南大學(xué)土木工程學(xué)院39理論力學(xué)理論力學(xué)中南大學(xué)土木工程學(xué)院中南大學(xué)土木工程學(xué)院40理論力學(xué)理論力學(xué)中南大學(xué)土木工程學(xué)院中南大學(xué)土木工程學(xué)院41FR 0，MO0 ，同時(shí)兩者既不平行，又不垂直，此時(shí)可，同時(shí)兩者既不平行，又不垂直，此時(shí)可將將MO分解為兩個(gè)分力偶分解為兩個(gè)分力偶MO和和MO，它們分別垂直于，它們分別垂直于FR和和平行于平行于FR，

26、則，則MO和和FR可用作用于點(diǎn)可用作用于點(diǎn)O的力的力FR來代替，來代替，最終得一通過點(diǎn)最終得一通過點(diǎn)O的力螺旋。的力螺旋。MOFROMOFROMOFROOMO4 4、空間任意力系簡化為平衡的情形、空間任意力系簡化為平衡的情形當(dāng)空間任意力系向一點(diǎn)簡化時(shí)出現(xiàn)當(dāng)空間任意力系向一點(diǎn)簡化時(shí)出現(xiàn) 主矢主矢FR=0，主矩主矩MO = 0 ，這是空間任意力系平衡的情形。，這是空間任意力系平衡的情形。理論力學(xué)理論力學(xué)中南大學(xué)土木工程學(xué)院中南大學(xué)土木工程學(xué)院42一、一、空間任意力系的平衡方程空間任意力系的平衡方程FR=0，MO = 0 000()0()0()0 xyzxyzFFFMMMFFF，空間任意力系平衡的必

27、要與充分條件為：空間任意力系平衡的必要與充分條件為：力系中各力在三個(gè)力系中各力在三個(gè)坐標(biāo)軸上投影的代數(shù)和等于零，且各力對(duì)三個(gè)軸的矩的代數(shù)坐標(biāo)軸上投影的代數(shù)和等于零，且各力對(duì)三個(gè)軸的矩的代數(shù)和也等于零。和也等于零。上式即為空間任意力系的平衡方程。上式即為空間任意力系的平衡方程。3-5 3-5 空間任意力系的平衡空間任意力系的平衡理論力學(xué)理論力學(xué)中南大學(xué)土木工程學(xué)院中南大學(xué)土木工程學(xué)院430()0()0zxyFMM，F(xiàn)F二、空間平行力系的平衡方程二、空間平行力系的平衡方程理論力學(xué)理論力學(xué)中南大學(xué)土木工程學(xué)院中南大學(xué)土木工程學(xué)院44二、二、空間約束類型空間約束類型理論力學(xué)理論力學(xué)中南大學(xué)土木工程學(xué)院

28、中南大學(xué)土木工程學(xué)院45理論力學(xué)理論力學(xué)中南大學(xué)土木工程學(xué)院中南大學(xué)土木工程學(xué)院46例例圖示三輪小車，自重圖示三輪小車，自重G=8kN，作用于，作用于E點(diǎn)，荷載點(diǎn)，荷載F1=10kN，作用于，作用于C點(diǎn)。點(diǎn)。求小車靜止時(shí)地面對(duì)車輪的約束力。求小車靜止時(shí)地面對(duì)車輪的約束力。解：以小車為研究對(duì)象，主動(dòng)力和約束反力組成空間平行力系，受力解：以小車為研究對(duì)象，主動(dòng)力和約束反力組成空間平行力系，受力分析如圖。分析如圖。1110000.2m1.2m2.2m000.8m0.6m0.6m1.2m0zABDxDyDBFFGFFFMFGFMFGFFFF解方程得解方程得5.8 kN7.777 kN4.423 kND

29、BAFFF，列平衡方程列平衡方程理論力學(xué)理論力學(xué)中南大學(xué)土木工程學(xué)院中南大學(xué)土木工程學(xué)院47例例圖中膠帶的拉力圖中膠帶的拉力F2=2F1，曲柄上作用有鉛垂力，曲柄上作用有鉛垂力F=2kN。已知膠帶輪的直徑已知膠帶輪的直徑D=400mm，曲柄長，曲柄長R=300mm，膠帶，膠帶1和膠和膠帶帶2與鉛垂線間夾角分別為與鉛垂線間夾角分別為a a 和和 ，a a =30o， =60o，其它尺寸其它尺寸如圖所示，求膠帶拉力和軸承約束力。如圖所示，求膠帶拉力和軸承約束力。理論力學(xué)理論力學(xué)中南大學(xué)土木工程學(xué)院中南大學(xué)土木工程學(xué)院48解：以整個(gè)軸為研究對(duì)象，受力圖如圖所示，列平衡方程。解：以整個(gè)軸為研究對(duì)象，受

30、力圖如圖所示，列平衡方程。1221120cos300.2mcos600.2m0.2m0.4m00020sin300.2msin600.2m0.4m0 xBzyzBxMFFFFDMFRFFMFFFFFF12120sin30sin6000cos30cos600 xAxBxzAzBzFFFFFFFFFFF注意到注意到 F2=2F1解方程得解方程得123kN6kN10.04kN9.40kN3. 35kN1.80kNAxAzBxBzFFFFFF ，理論力學(xué)理論力學(xué)中南大學(xué)土木工程學(xué)院中南大學(xué)土木工程學(xué)院49例例圖示為車床主軸。車床對(duì)工件的切削力為：徑向切削力圖示為車床主軸。車床對(duì)工件的切削力為：徑向切削

31、力Fx=4.25kN，縱向切削力縱向切削力Fy=6.8kN，主切削力，主切削力Fz=17kN，方向如圖所示。，方向如圖所示。Ft與與Fr分別為分別為作用在直齒輪作用在直齒輪C上的切向力和徑向力，且上的切向力和徑向力，且Fr=0.36Ft。齒輪齒輪C的節(jié)圓半徑為的節(jié)圓半徑為R=50mm，被切削工件的半徑為，被切削工件的半徑為r =30mm?？ūP及工件等自重不計(jì)，其余?？ūP及工件等自重不計(jì)，其余尺寸如圖。求尺寸如圖。求: (1)齒輪嚙合力齒輪嚙合力Ft及及Fr；(2)徑向軸承徑向軸承A和止推軸承和止推軸承B的約束力。的約束力。理論力學(xué)理論力學(xué)中南大學(xué)土木工程學(xué)院中南大學(xué)土木工程學(xué)院50 解：以整體

32、為研究對(duì)象，主動(dòng)力解：以整體為研究對(duì)象，主動(dòng)力和約束力組成空間任意力系。和約束力組成空間任意力系。列平衡方程列平衡方程tr000000 xBxAxxyByyzBzAzzFFFFFFFFFFFFFtrt00048876 mm76mm388mm0048876 mm76mm30mm388mm0yzxBzzzBxyxMF RF rMFFFMFFFFFFF由題意有由題意有rt0.36FFtr10.2kN3.67kN15.64kN31.87kN1.19 kN6.8kN11.2kNAxAzBxByBzFFFFFFF ，解方程得解方程得理論力學(xué)理論力學(xué)中南大學(xué)土木工程學(xué)院中南大學(xué)土木工程學(xué)院51例例 一等邊三

33、角形板邊長為一等邊三角形板邊長為a , 用六根桿支承成水平位置如用六根桿支承成水平位置如圖所示，若在板內(nèi)作用一力偶其矩為圖所示，若在板內(nèi)作用一力偶其矩為M。求各桿的約束力。求各桿的約束力。ABC16425330o30o30oABCM理論力學(xué)理論力學(xué)中南大學(xué)土木工程學(xué)院中南大學(xué)土木工程學(xué)院52ABC16425330o30o30oABCMF1F2F3F4F5F66()033022BBMMaFF643MFa 433()0022CCMMaFF443MFa 533()0022AAMMaFF543MFa 解：取等邊三角形板解：取等邊三角形板為研究對(duì)象畫受力圖。為研究對(duì)象畫受力圖。理論力學(xué)理論力學(xué)中南大學(xué)土

34、木工程學(xué)院中南大學(xué)土木工程學(xué)院53ABC16425330o30o30oABCM14()03310222BCMa FaFF123MFa25331()00222ACMa FaFF223MFa36331()00222ABMa FaFF323MFaF1F2F3F4F5F6理論力學(xué)理論力學(xué)中南大學(xué)土木工程學(xué)院中南大學(xué)土木工程學(xué)院54例例圖示均質(zhì)長方板由六根直桿支持于水平位置，直桿兩端圖示均質(zhì)長方板由六根直桿支持于水平位置，直桿兩端用球鉸鏈與板和地面連接。板重為用球鉸鏈與板和地面連接。板重為G，在，在A處作用一水平力處作用一水平力F，且且F = 2G。求各桿的內(nèi)力。求各桿的內(nèi)力。理論力學(xué)理論力學(xué)中南大學(xué)土

35、木工程學(xué)院中南大學(xué)土木工程學(xué)院55解：解：1、取工件為研究取工件為研究對(duì)象，對(duì)象，受力分析如圖。受力分析如圖。2、列平衡方程列平衡方程654612222300200000020020cos4502ABAEACEFFGBCaMF aGMFMFaaMGF aFbabbMGFbF bbMGF bFbFFFF3、聯(lián)立求解聯(lián)立求解6123021.52 2GFFFGFG ，理論力學(xué)理論力學(xué)中南大學(xué)土木工程學(xué)院中南大學(xué)土木工程學(xué)院56一、平行力系中心一、平行力系中心平行力系中心是平行力系合力通平行力系中心是平行力系合力通過的一個(gè)點(diǎn)。平行力系合力作用點(diǎn)的過的一個(gè)點(diǎn)。平行力系合力作用點(diǎn)的位置僅與各平行力的大小和

36、作用點(diǎn)的位置僅與各平行力的大小和作用點(diǎn)的位置有關(guān)，而與各平行力的方向無關(guān)。位置有關(guān)，而與各平行力的方向無關(guān)。稱該點(diǎn)為此稱該點(diǎn)為此平行力系的中心平行力系的中心。F1FRF2yzxOACBr1rCr2i iCiFFrr3-6 3-6 重重 心心R1Cn1nrFrFrF000R11CnnFFFrFrFrF000R1 1()()Cn ni iFFFFrFrrFrF理論力學(xué)理論力學(xué)中南大學(xué)土木工程學(xué)院中南大學(xué)土木工程學(xué)院57 重力是地球重力是地球?qū)ξ矬w的吸引力，如果將物體看成由無數(shù)對(duì)物體的吸引力，如果將物體看成由無數(shù)的質(zhì)點(diǎn)組成的質(zhì)點(diǎn)組成，則重力便構(gòu)成空間匯交力系。由于物體的尺，則重力便構(gòu)成空間匯交力系。

37、由于物體的尺寸比地球小得多，因此可近似地認(rèn)為重力是個(gè)平行力系，寸比地球小得多，因此可近似地認(rèn)為重力是個(gè)平行力系，這力系的合力就是物體的重量。不論物體如何放置，其重這力系的合力就是物體的重量。不論物體如何放置，其重力的合力作用線相對(duì)于物體總是通過一個(gè)確定的點(diǎn)，這個(gè)力的合力作用線相對(duì)于物體總是通過一個(gè)確定的點(diǎn)，這個(gè)點(diǎn)稱為點(diǎn)稱為物體的重心物體的重心。iiiiiiCCCiiiPxPyPzxyzPPP，二、重心二、重心i iCiFFrriiiiiiCCCiiiFxF yFzxyzFFF，投影為投影為理論力學(xué)理論力學(xué)中南大學(xué)土木工程學(xué)院中南大學(xué)土木工程學(xué)院58 上述公式為物體的幾何形狀中心，即上述公式為物

38、體的幾何形狀中心，即形心的形心的坐標(biāo)公式，坐標(biāo)公式，可見可見均質(zhì)物體的重心就是幾何中心，即形心。非均質(zhì)物體，均質(zhì)物體的重心就是幾何中心，即形心。非均質(zhì)物體，幾何形狀中心不是物體的重心。幾何形狀中心不是物體的重心。 對(duì)于均質(zhì)物體、均質(zhì)板或均質(zhì)桿，其重心坐標(biāo)分別為：對(duì)于均質(zhì)物體、均質(zhì)板或均質(zhì)桿，其重心坐標(biāo)分別為：dddVVVCCCx Vy Vz VxyzVVV，dddAAACCCx Ay Az AxyzAAA，dddlllCCCx ly lz lxyzlll，理論力學(xué)理論力學(xué)中南大學(xué)土木工程學(xué)院中南大學(xué)土木工程學(xué)院591 1、簡單幾何形狀物體的重心、簡單幾何形狀物體的重心 如果均質(zhì)物體有對(duì)稱面，或

39、對(duì)稱軸，或?qū)ΨQ中心，則如果均質(zhì)物體有對(duì)稱面，或?qū)ΨQ軸，或?qū)ΨQ中心，則該物體的重心必相應(yīng)地在這個(gè)對(duì)稱面，或?qū)ΨQ軸，或?qū)ΨQ該物體的重心必相應(yīng)地在這個(gè)對(duì)稱面，或?qū)ΨQ軸，或?qū)ΨQ中心上。簡單形狀物體的重心可從工程手冊(cè)上查到。中心上。簡單形狀物體的重心可從工程手冊(cè)上查到。三、確定物體重心的方法三、確定物體重心的方法2 2、用組合法求重心、用組合法求重心分割法分割法 如果一個(gè)物體由幾個(gè)簡單形狀的物體組合而成，而這些如果一個(gè)物體由幾個(gè)簡單形狀的物體組合而成，而這些物體的重心是已知的，那么整個(gè)物體的重心可由下式求出。物體的重心是已知的，那么整個(gè)物體的重心可由下式求出。iiiiiiCCCiiiPxPyPzxyzP

40、PP，iiCiiCCCiiAxA yxyAA，理論力學(xué)理論力學(xué)中南大學(xué)土木工程學(xué)院中南大學(xué)土木工程學(xué)院60負(fù)面積法負(fù)面積法 若在物體或薄板內(nèi)切去一部分（例如有空穴或孔的物若在物體或薄板內(nèi)切去一部分（例如有空穴或孔的物體），則這類物體的重心，仍可應(yīng)用與分割法相同的公式體），則這類物體的重心，仍可應(yīng)用與分割法相同的公式求得，只是切去部分的體積或面積應(yīng)取負(fù)值。求得，只是切去部分的體積或面積應(yīng)取負(fù)值。 例例 圖示均質(zhì)等厚物塊，其橫截面積由半徑為圖示均質(zhì)等厚物塊，其橫截面積由半徑為R的圓弧的圓弧AMB與弦與弦AB所圍成的弓形，試求其重心在其對(duì)稱面中的位置。所圍成的弓形，試求其重心在其對(duì)稱面中的位置。 ABM 解解 1、在物塊的對(duì)稱面上建立圖示直角坐標(biāo)系、在物塊的對(duì)稱面上建立圖示直角坐標(biāo)系Oxy，由對(duì)稱性知，弓形體物塊的重心必在由對(duì)稱性知，弓形體物塊的重心必在x軸上，故軸上，故yC=0。xyO CR 2、圖示弓形面積可看成由扇形、圖示弓形面積可看成由扇形OAMB去去掉三角形掉三角形OAB得到，由負(fù)面積法可求得弓形得到，由負(fù)面積法可求得弓形的重心。扇形和三角