三角形中位線訓(xùn)練試題解答題

1、三角形中位線訓(xùn)練試題一.解答題（共30小題）1. （2013常德）已知兩個(gè)共一個(gè)頂點(diǎn)的等腰RtzABC, RtACEF. NABC=NCEF=90° ,連接 AF, M是AF的中點(diǎn)，連接MB、ME.（1）如圖1,當(dāng)CB與CE在同一直線上時(shí)，求證：MBCF：（2）如圖 1,若 CB=a, CE=2a,求 BX, ME 的長(zhǎng)；（1）如圖1, E為線段DC上任意一點(diǎn)，將線段DE繞點(diǎn)D逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得到線段DF,連 接CF,過(guò)點(diǎn)F作FH1.FC,交直線AB于點(diǎn)H.判斷FH與FC的數(shù)量關(guān)系并加以證明；（2）如圖2,若E為線段DC的延長(zhǎng)線上任意一點(diǎn)，（1）中的其他條件不變，你在（1）

2、中 得出的結(jié)論是否發(fā)生改變，直接寫(xiě)出你的結(jié)論，不必證明.3.（2008黃石）如圖，NABM為直角，點(diǎn)C為線段BA的中點(diǎn)，點(diǎn)D是射線BM上的一個(gè)動(dòng) 點(diǎn)（不與點(diǎn)B重合），連接AD,作BEJ_AD,垂足為E,連接CE,過(guò)點(diǎn)E作EF_LCE,交BD于 F.（1）求證:BF=FD；（2） NA在什么范圍內(nèi)變化時(shí)，四邊形ACFE是梯形，并說(shuō)明理由：（3）NA在什么范闈內(nèi)變化時(shí)，線段DE上存在點(diǎn)G,滿足條件DG4DA,并說(shuō)明理由.44 .（2008延慶縣二模）（1）如圖所示，BD, CE分別是4ABC的外角平分線，過(guò)點(diǎn)A作AF1BD, AG_LCE,垂足分別為F, G,連接FG,延長(zhǎng)AF, AG,與直線BC

3、分別交于點(diǎn)M、N,那么線段 FG與AABC的周長(zhǎng)之間存在的數(shù)量關(guān)系是什么？ 即：FG二 （AB-BC+AC）（直接寫(xiě)出結(jié)果即可）（2）如圖，若BD, CE分別是aABC的內(nèi)角平分線：其他條件不變，線段FG與AABC三邊之 間又有怎樣的數(shù)量關(guān)系？請(qǐng)寫(xiě)出你的猜想，并給予證明.（3）如圖，若BD為ABC的內(nèi)角平分線，CE為aABC的外角平分線，其他條件不變，線段 FG與AABC三邊又有怎樣的數(shù)量關(guān)系？直接寫(xiě)出你的猜想即可.不需要證明.答：線段FG 與aABC三邊之間數(shù)量關(guān)系是.5 . （2013春西城區(qū)期末）如圖，在ABC中，AC>AB, D點(diǎn)在AC上，AB=CD, E、F分別是 BC、AD的

4、中點(diǎn)，連結(jié)EF并延長(zhǎng)，與BA的延長(zhǎng)線交于點(diǎn)G,若NEFC=60° ,聯(lián)結(jié)GD,判斷 AGD的形狀并證明.6 .如圖所示，已知 AB=CD, AN=ND> BM=CM,求證：Z1=Z2.7 .己知：如圖，ABC中，ZA>ZB. CR是NACB的平分線且交AB于R, AQJ_CR,垂足為 Q, P為AB的中點(diǎn)，求證：PQj(BC-AC).8 .如圖所示.在四邊形ABCD中，CD>AB, AB與CD不平行，E, F分別是AC, BD的中點(diǎn).求 證：EF>i (CD-AB) .乙9 .如圖，在AABC中，D為BC的中點(diǎn)，點(diǎn)E、F分別在邊AC、AB上，并且NABE二NA

5、CF, BE、 CF交于點(diǎn)0.過(guò)點(diǎn)0作OPLAC, OQJ_AB, P、Q為垂足.求證：DP二DQ.10 .如圖，在凸四邊形ABCD中，M為邊AB的中點(diǎn)，且MC=MD,分別過(guò)C, D兩點(diǎn)，作邊BC, AD的垂線，設(shè)兩條垂線的交點(diǎn)為P.求證：ZPAD=ZPBC.11 .如圖，某房地產(chǎn)開(kāi)發(fā)公司購(gòu)得一塊三角形地塊，在靠近NB的內(nèi)部有一千年的古樟樹(shù)要 加以保護(hù)，市政府規(guī)定要過(guò)P點(diǎn)劃一三角形的保護(hù)區(qū)，你怎樣劃這條線才能使被劃去的4BDE 的面積最??？為什么？12 .已知AABC中，DEBC交AB于D,交AC于E, AM為BC邊上的中線，與DE相交于N, 求證：DN=NE.13 .操作1：如圖1, 一三角

6、形紙片ABC,分別取AB、AC的中點(diǎn)D、E,連接DE,沿DE將紙 片剪開(kāi)，并將其中的4ADE紙片繞點(diǎn)E旋轉(zhuǎn)180°后可拼合（無(wú)重疊無(wú)縫隙）成平行四邊形 紙片BCFD.操作2：如圖2, 一平行四邊形紙片ABCD, E、F、G、H分別是AB、BC、CD、AD邊的中點(diǎn)， 沿EF剪開(kāi)并將其中的ABFE紙片繞點(diǎn)E旋轉(zhuǎn)180°到ARE位置:沿HG剪開(kāi)并將其中的DGH 紙片繞點(diǎn)H旋轉(zhuǎn)180°到AG】H位置：沿FG剪開(kāi)并將4CFG紙片放置于AFG的位置，此 時(shí)四張紙片恰好拼合（無(wú)重疊無(wú)縫隙）成四邊形FFGG.則四邊形FF：G6的形狀操作、思考并探究：（1）如圖3,如果四邊形ABC

7、D是任意四邊形（不是梯形或平行四邊形）的紙片，E、F、G、 H分別是AB、BC、CD、AD的中點(diǎn).依次沿EF、FG、GH、HE剪開(kāi)得到四邊形紙片EFGH.請(qǐng)判 斷四邊形紙片EFGH的形狀，并說(shuō)明理由.（2）你能將上述四邊形紙片ABCD經(jīng)過(guò)恰當(dāng)?shù)丶羟泻笃春希o(wú)重疊無(wú)縫隙）成一個(gè)平行四邊 形紙片？請(qǐng)?jiān)趫D4上畫(huà)出對(duì)應(yīng)的示意圖.(3)如圖5, E、F、G、H分別是四邊形ABCD各邊的中點(diǎn)，若aAEH、BEF、ACFG. ADGH 的面積分別為Si、S,、S3、So且S尸2, S3=5,則四邊形ABCD是面積是.(不 要求說(shuō)明理由)14 . (2014春張家港市校級(jí)期末)如圖，點(diǎn)D、E是RtABC兩直角

8、邊AB、AC上的一點(diǎn)， 連接BE,已知點(diǎn)F、G、H分別是DE、BE、BC的中點(diǎn).(1)求NFGH度數(shù);(2)連CD,取CD中點(diǎn)M,連接GM,若BD=8, CE=6,求GM的長(zhǎng).15 . (2014春團(tuán)風(fēng)縣校級(jí)期中)如圖所示.aABC中，ZB, NC的平分線BE, CF相交于0, AG_LBE 于 G, AH_LCF 于 H.(1)求證：GHBC：(2)若AB=9厘米，AC=14厘米，BC=18厘米，求GH.16 . (2012春萍鄉(xiāng)校級(jí)期中)己知：如圖，AB=AC, AD_LBC于D, DFAE.求證：CE=2DF.17 . (2011秋江都市期末)如圖(1), BD、CE分別是AABC的外角

9、平分線，過(guò)點(diǎn)A作AF_LBD, AG_LCE,垂足分別為F、G,連接FG,延長(zhǎng)AF、AG,與直線BC相交于M、N.(1)試說(shuō)明：FG(AB+BC+AC)；2(2)如圖(2), BD、CE分別是AABC的內(nèi)角平分線；如圖(3), BD為aABC的內(nèi)角平 分線，CE為aABC的外角平分線.則在圖（2）、圖（3）兩種情況下，線段FG與aABC三邊又有怎樣的數(shù)量關(guān)系？請(qǐng)寫(xiě)出你的 猜想，并對(duì)其中的一種情況說(shuō)明理由.18 . （2010秋茶陵縣校級(jí)期末）如圖，已知在口ABCD中，EFBC,分別交AB、CD于E、F 兩點(diǎn)，DE、AF交于M, CE、BF交于N.求證：MNAB.19 .（2010秋儀征市校級(jí)期

10、末）如圖1, BD、CE分別是ABC的外角平分線，過(guò)點(diǎn)A作AF1BD, AG1CE,垂足分別為F、G,連接FG,延長(zhǎng)AF、AG,與直線BC相交于M、N.（1）試說(shuō)明:FG=1 （AB+BC+AC）； 2（2）如圖2,若BD、CE分別是AABC的內(nèi)角平分線，則線段FG與ABC三邊又有怎樣的數(shù) 量關(guān)系？請(qǐng)寫(xiě)出你的猜想，并對(duì)其中的一種情況說(shuō)明理由；（3）如圖3,若BD為aABC的內(nèi)角平分線，CE為AABC的外角平分線，則線段FG與aABC 三邊的數(shù)量關(guān)系是.20 . (2007江蘇)如圖，已知 AD 與 BC 相交于 E, Z1=Z2=Z3, BD=CD, ZADB=90° , CH_LA

11、B 于H, CH交AD于F.(1)求證：CDAB：(2)求證：BDEgZXACE；(3)若0為AB中點(diǎn)，求證：0FjBE.2O H21 . (2014春江漢區(qū)期中)如圖，已知aABC是等邊三角形，點(diǎn)D, F分別在線段BC, AB 上，連接 FC, AD, DEFC, EFDC(1)若D, F分別是BC, AB的中點(diǎn)，連接FD,求證：EF=FD：23 . (2016春梅河口市校級(jí)月考)如圖，在四邊形ABCD中，AB=DC, P是對(duì)角線AC的中點(diǎn), M是AD的中點(diǎn)，N是BC的中點(diǎn).(1)若AB=6,求PM的長(zhǎng)；(2)若NPMN=20° ,求NMPN 的度數(shù).24 . (2014宿遷)如圖

12、，在AABC中，點(diǎn)D, E, F分別是AB, BC, CA的中點(diǎn)，AH是邊BC 上的高.(1)求證：四邊形ADEF是平行四邊形；(2)求證：NDHF=NDEF.25 .（2014鞍山一模）（1）如圖1,在四邊形ABCD中，E、F分別是BC、AD的中點(diǎn)，連接 EF并延長(zhǎng)，分別與BA、CD的延長(zhǎng)線交于點(diǎn)M、N,則NBME=NCNE,求證：AB=CD.（提示取 BD的中點(diǎn)H,連接FH, HE作輔助線）（2）如圖2,在AABC中，且0是BC邊的中點(diǎn)，D是AC邊上一點(diǎn)，E是AD的中點(diǎn)，直線 0E交BA的延長(zhǎng)線于點(diǎn)G,若AB=DC二5, N0EC=60° ,求0E的長(zhǎng)度.26 . （2011秋武

13、漢月考）兩只大小不同的含45°角的三角板ABC和DBE如圖擺放，直角頂 點(diǎn)重合，連接AE, CD, F, M, N, G分別為線段AC, CD, ED, AE的中點(diǎn).（1）如圖，若三角形的兩直角重合，判斷四邊形FMNG的形狀，并證明你的結(jié)論；（2）從（1）開(kāi)始，三角板繞B點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)角度a （00 <« <360° ）時(shí)，（1）中的結(jié) 論是否仍然成立，若成立，畫(huà)出一種情形，給出證明：若不成立，請(qǐng)說(shuō)明理由.（若畫(huà)出 a=180°的情形，并正確答題得2分；若畫(huà)出。二90°的情形，并正確答題得4分：若畫(huà) 出其它的情形并正確答題得6分.請(qǐng)自

14、主選擇.）27 .已知：如圖，梯形ABCD, ABCD,以AC、AD為邊向外作口ACED,聯(lián)結(jié)BE,點(diǎn)F是BE 的中點(diǎn)，聯(lián)結(jié)CF.求證：CF/AB.28 .在四邊形ABCD中，ACBD相交于0點(diǎn)，AC=BD, E、F分別是AB, CD的中點(diǎn)，連接EF分 別交AC、BD于比N,判斷三角形M0N的形狀，并說(shuō)明理由.29 .如圖，四邊形ABCD中，AB=CD,5N、E、F分別是BD、AC, BC、MN的中點(diǎn)，求證：EF_LMN.30 .如圖，在ABC中，BC=a.若D，瓦分別是AB, AC的中點(diǎn)，則DE型若力,E。分別 2是DB E：C的中點(diǎn)，則D艮（3+a）=百型若D3, E3分別是DE，后

15、63;的中點(diǎn)，貝ij 2 24D3E3=-X（并）+& =，若DE分別是D,底瓦工的中點(diǎn)，則DE的長(zhǎng)是多少（n>b且n為整數(shù)，結(jié)果用含a, n的代數(shù)式表示）？2016年05月30日wx98wx的初中數(shù)學(xué)組卷參考答案與試題解析一.解答題(共30小題)1. (2013常德)已知兩個(gè)共一個(gè)頂點(diǎn)的等腰RtzABC, RtACEF. ZABC=ZCEF=90° AF, M是AF的中點(diǎn)，連接MB、ME.(1)如圖1,當(dāng)CB與CE在同一直線上時(shí)，求證：MBCF：(2)如圖 1,若 CB二a, CE=2a,求 BX, ME 的長(zhǎng)；如答圖la,延長(zhǎng)AB交CF于點(diǎn)D, 則易知aABC與4B

16、CD均為等腰直角三角形, AAB=BC=BD,點(diǎn)B為線段AD的中點(diǎn)， 又點(diǎn)X為線段AF的中點(diǎn)， BM為AADF的中位線， ，BMCF.證法二：如答圖1b,延長(zhǎng)BM交EF于D,V ZABC=ZCEF=90° ,AAB1CE, EF_LCE,，ABEF,A ZBAM=ZDFM, M是AF的中點(diǎn), ，AM 二 MF, 在ABX和FDX中， /BAM 二 NDFM，AM二FM,ZxM/IB=ZFMD AAABMAFDM (ASA),，AB=DF,VBE=CE - BC, DE=EF-DF, ，BE二DE,BDE是等腰直角三角形，A ZEBM=45° ,;在等腰直角4CEF中，NEC

17、F=45° ,A /EB仁NECF,，MBCF：（2）解法一：如答圖2a所示，延長(zhǎng)AB交CF于點(diǎn)D,則易知4BCD與AABC為等腰直角三角形, AAB=BC=BD=a, AC=CD=Va,.點(diǎn)B為AD中點(diǎn)，又點(diǎn)X為AF中點(diǎn)，abm=1df.2分別延長(zhǎng)FE與CA交于點(diǎn)G,則易知4CEF與4CEG均為等腰直角三角形，/. CE=EF二GE二2a, CG二CF二 2血a,.點(diǎn)E為FG中點(diǎn)，又點(diǎn)M為AF中點(diǎn)，27CG=CF=2V2a, CA=CD二心，AAG=DF=V2a>解法二：如答圖lb.VCB=a, CE=2a,/ BE=CE - CB=2a - a=a,VAABMAFDM,二

18、DM,又. ABED是等腰直角三角形，.BEX是等腰直角三角形，22（3）證法一：如答圖3a,延長(zhǎng)AB交CE于點(diǎn)D,連接DF,則易知AABC與4BCD均為等腰直角三角形, AAB=BC=BD, AC=CD,，點(diǎn)B為AD中點(diǎn)，又點(diǎn)M為AF中點(diǎn)，2延長(zhǎng)FE與CB交于點(diǎn)G,連接AG,則易知4CEF與4CEG均為等腰直角三角形， ACE=EF=EG, CF=CG,點(diǎn)E為FG中點(diǎn)，又點(diǎn)弘為AF中點(diǎn)，近二犯.在4ACG與4DCF中,AC=CD, ZACG=ZDCF=45",CG=CFAAACGADCF (SAS),，DF 二 AG,二 ME.證法二：如答圖3b,延長(zhǎng)BM交CF于D,連接BE、DE

19、,V ZBCE=45° ,A ZACD=45° X2+45° =135°A ZBAC+ZACF=45° +135° = 180° ,，ABCF,A NBAM = NDFM,是AF的中點(diǎn),，AM=FM,在ABX和FDX中，二 NDFM，AM二FM,NMIB 二 NFMDAAABMAFDM (ASA),，AB二DF, BM=DM,AAB=BC=DF,在4BCE和4DFE中，BC=DF, ZBCE=ZDFE=45c ,CE=FEAABCEADFE (SAS),，BE=DE, /BEC=NDEF,，/BED=NBEC+NCED=ND

20、EF+NCED=NCEF=90° ,/. ABDE是等腰直角三角形，XVBM=DM,BM 二 ME jfiD,2故 BM=ME.CD答圖3bGC 答圖la2. （2010順義區(qū)）在ABC中，AC=BC, NAC即90° ,點(diǎn)D為AC的中點(diǎn).（1）如圖1, E為線段DC上任意一點(diǎn)，將線段DE繞點(diǎn)D逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得到線段DF,連 接CF,過(guò)點(diǎn)F作FHJ_FC,交直線AB于點(diǎn)H.判斷FH與FC的數(shù)量關(guān)系并加以證明；（2）如圖2,若E為線段DC的延長(zhǎng)線上任意一點(diǎn)，（1）中的其他條件不變，你在（1）中 得出的結(jié)論是否發(fā)生改變，直接寫(xiě)出你的結(jié)論，不必證明.【解答】解：FH與

21、FC的數(shù)量關(guān)系是：FH=FC. 證明如下：延長(zhǎng)DF交AB于點(diǎn)G,由題意，知/EDF=NACB=90° , DE=DF, ，DGCB, 點(diǎn)D為AC的中點(diǎn)，點(diǎn)G為AB的中點(diǎn)，且DCAC， 2 .DG為AABC的中位線，DGBC乙VAC=BC,，DC=DG,ADC - DERG - DF, 即 EC=FG. ZEDF=90° , FH±FC, .Z1+ZCFD=9O° , N2+NCFD=90° , AZ1=Z2.DEF與aADG都是等腰直角三角形, A ZDEF=ZDGA=45° ,A ZCEF=ZFGH=135° , AACE

22、FAFGH, ACF=FH.(2) FH與FC仍然相等.理由：由題意可得出：DF二DE,A ZDFE=ZDEF=45° ,VAC=BC,A ZA=ZCBA=45° ,DFBC,A ZCBA=ZFGB=45° ,A ZFGH=ZCEF=45° ,點(diǎn)D為AC的中點(diǎn)，DFBC,ADG=1bC, DC&C, 22，DG=DC,，EC 二 GF,V ZDFC=ZFCB,NGFH二NFCE,在4FCE和HFG中/CEF 二 NFGH，EC二GF,ZECF=ZGFHAAFCEAHFG (ASA),AHF=FC.3.（2008黃石）如圖，NABM為直角，點(diǎn)C為線

23、段BA的中點(diǎn)，點(diǎn)D是射線BM上的一個(gè)動(dòng) 點(diǎn)（不與點(diǎn)B重合），連接AD,作BEJ_AD,垂足為E,連接CE,過(guò)點(diǎn)E作EF_LCE,交BD于 F.（1）求證：BF=FD；（2） NA在什么范圍內(nèi)變化時(shí)，四邊形ACFE是梯形，并說(shuō)明理由：（3）NA在什么范圍內(nèi)變化時(shí)，線段DE上存在點(diǎn)G,滿足條件DG衛(wèi)DA,并說(shuō)明理由.4【解答】(1)證明：在RtaAEB中，VAC=BC,，ce=1ab,2，CB=CE,A ZCEB=ZCBE.V ZCEF=ZCBF=90° ,A NBEF二NEBF, AEF=BF.V ZBEF+ZFED=90° , ZEBD+ZEDB=90° , A

24、ZFED=ZEDF.ABF=FD：(2)解:由(1) BF=FD,而 BOCA, ，CFAD,即 AECF.若 ACEF,則 AC=EF, ABC=BF. ABA=BD, ZA=45° . A0° <ZA<90°且NAH45°時(shí)，四邊形ACFE為梯形;(3)解：作GHLBD,垂足為H,則GHAB.vdgda,4 adh=Adb.4又F為BD中點(diǎn)， ,.H為DF的中點(diǎn).，GH為DF的中垂線.，NGDF=NGFD. 點(diǎn)G在ED上， NEFD2NGFD.V ZEFD+ZFDE+ZDEF=180° , ，NGFD+NFDE+NDEFW180

25、 度. ，3NEDF<180 度. NEDFW60 度.又/A+NEDF=90° , ，30° WNAV90。. ，當(dāng) 30° WNAV90。時(shí)，DE上存在點(diǎn)G,滿足條件DGDA.44.（2008延慶縣二模）（1）如圖所示，BD. CE分別是4ABC的外角平分線，過(guò)點(diǎn)A作AF_LBD, AG_LCE,垂足分別為F, G,連接FG,延長(zhǎng)AF, AG,與直線BC分別交于點(diǎn)M、N,那么線段 FG與AABC的周長(zhǎng)之間存在的數(shù)量關(guān)系是什么？即：FG= A （AB+BCAC）（直接寫(xiě)出結(jié)果即可）（2）如圖，若BD, CE分別是AABC的內(nèi)角平分線：其他條件不變，線段FG

26、與AABC三邊之 間又有怎樣的數(shù)量關(guān)系？請(qǐng)寫(xiě)出你的猜想，并給予證明.（3）如圖，若BD為ABC的內(nèi)角平分線，CE為AABC的外角平分線，其他條件不變，線段 FG與AABC三邊又有怎樣的數(shù)量關(guān)系？直接寫(xiě)出你的猜想即可.不需要證明.答：線段FG 與aABC三邊之間數(shù)量關(guān)系是 GF：4（AC+BC - AB）.(2)答：FG(AB+AC-BC)：2證明：延長(zhǎng)AG交BC于N,延長(zhǎng)AF交BC于MVAF1BD, AG±CE,A ZAGC=ZCGN=90° , ZAFB=ZBFM=90° 在 RtAAGC 和 RtACGN 中 ZAGC=ZCGN=90° , CG=C

27、G, ZACG=ZNCG AAAGCRtANGC ，AC二CN, AG=NG 同理可證：AF=FM, AB=BM.GF是AMN的中位線 AGF=-i«N.2/AB+AC=MB+CN=BN+MN+CM+MN, BC=BN+MN+CM /AB+AC - BC=MN agf=1mn=1 (AB+AC -BO：2 2(3)線段FG與AABC三邊之間數(shù)量關(guān)系是：GF(AC+BC-AB). 25. （2013春西城區(qū)期末）如圖，在AABC中，AC>AB, D點(diǎn)在AC上，AB=CD, E、F分別是 BC、AD的中點(diǎn)，連結(jié)EF并延長(zhǎng)，與BA的延長(zhǎng)線交于點(diǎn)G,若NEFC=60° ,聯(lián)結(jié)

28、GD,判斷 AGD的形狀并證明.【解答】解：判斷：4AGD是直角三角形. 證明：連接BD,取BD的中點(diǎn)H,連接HF、HE, ,.F是AD的中點(diǎn)，HFAB, HFjAB, 2AZ1=Z3,同理，HECD, HECD, 2AZ2=ZEFC,VAB=CD,，HF二HE, AZ1=Z2,，N3 = NEFC,V ZEFC=60° ,A Z3=ZEFC=ZAFG=60° ,/ AAGF是等邊三角形,AAF=FG,VAF=FD,，GF=FD,A ZFGD=ZFDG=30° ,A ZAGD=90° ,即ZAGD是直角三角形.，ZGNM=ZGME.AZ1=Z2.6.如圖

29、所示，已知 AB=CD, AN=ND, BM=CM,求證：Z1=Z2.取BD的中點(diǎn)G,連接MG, NGG、N、M均為中點(diǎn)，A GN是AADB的AB對(duì)的中位線，GM是ABCD的CD對(duì)的中位線,ANG/AB, NG=-1AB, GMCD, GD,AZ1=ZGNM, N2=NGME, 又 TAB = CD,AMG=NG.7.己知：如圖，ZXABC中，ZA>ZB. CR是NACB的平分線且交AB于R, AQ_LCR,垂足為Q, P 為 AB 的中點(diǎn)，求證：PqJL (BC-AC).2【解答】解：延長(zhǎng)AQ與BC交于D. ；CR是NACB的平分線， ，NACQ=NDCQ.V ZAQC=ZDQC=90

30、° , CQ=CQ, AAACQADCQ. (ASA) ，AQ=QD, AC=CD,/.BC - CD=BC - AC=BD.P是AB的中點(diǎn)，且AQ二QD, PQ是三角形ABD的中位線.-.pq=1bd.(BC-AC).8 .如圖所示.在四邊形ABCD中，CD>AB, AB與CD不平行，E, F分別是AC, BD的中點(diǎn).求 證：EF昌（CD-AB） .【解答】證明：取AD中點(diǎn)G,連接EG, FG,在4ACD中，EG是它的中位線（已知E是AC的中點(diǎn)）,所以EGCD2同理，由F, G分別是BD和AD的中點(diǎn)，從而，F(xiàn)G是AABD的中位線,所以FG 2在AEEG 中，EF>EG-

31、FG.由，得 EF>（CD - AB）9 .如圖，在AABC中，D為BC的中點(diǎn)，點(diǎn)E、F分別在邊AC、AB上，并且NABE二NACF, BE、 CF交于點(diǎn)0.過(guò)點(diǎn)。作OP_LAC, OQ±AB, P、Q為垂足.求證：DP=DQ.【解答】證明：如圖，取0B中點(diǎn)X, 0C中點(diǎn)N,連接MD, MQ, DN, PN. 為BC的中點(diǎn)，DMOC, DM=10C, DNOB, 22在 RtZXBOQ 和 RtZXOCP 中，PN二）C.22二PN, QM=DN. ZQMD= ZQM0+ ZOMD=2ZABO-ZFOB,ZPND=ZPN0+Z0ND=2 ZACO+ZEOC.V ZAB0=ZAC

32、0, /FOB=NEOC,，/QMD=NPND.AAQNOADNP,ADQ=DP.A10.如圖，在凸四邊形ABCD中，M為邊AB的中點(diǎn)，且MCAD,分別過(guò)C, D兩點(diǎn)，作邊BC, AD的垂線，設(shè)兩條垂線的交點(diǎn)為P.求證：NPAD=NPBC.【解答】證明：如圖：取AP, BP的中點(diǎn)分別為F, E：并連接DF, MF, EC, ME：根據(jù)三角形的中位線定理得：班=1bP=PE, ME衛(wèi)AP=PF, 22四邊形MFPE為平行四邊形，NMFP二NMEP.VPD1AD, PC_LBC,A ZADP=ZBCP=90° ,在 RtZkAPD 與 RtZiBPC 中，DF二AF二PFjPA, CE=

33、BE二PEBP, 22ADF=EM=PF, FM=PE=CE,TMC 二 MD, /.MDFACME (SSS), ?. /DB仁 NMEC, A NDFP二NCEP, AFA=FD, CE=BE, ，NDAF=NFDA, NECB二NCBE, A ZDFP=2ZDAP, ZCEP=2ZCBP, V NDFP 二 NCEP,ZPAD=ZPBC.D11 .如圖，某房地產(chǎn)開(kāi)發(fā)公司購(gòu)得一塊三角形地塊，在靠近NB的內(nèi)部有一千年的古樟樹(shù)要 加以保護(hù)，市政府規(guī)定要過(guò)P點(diǎn)劃一三角形的保護(hù)區(qū)，你怎樣劃這條線才能使被劃去的4BDE 的面積最?。繛槭裁?？【解答】解：過(guò)P作直線GFAB,交BC于G,交AC于F,在B

34、C上取點(diǎn)E, 使GE=BG,延長(zhǎng)EP交AB于點(diǎn)D,則ABDE的面積最小.若過(guò)P任作一直線，交BC于M,交AB于N,過(guò)D作DKBC,交MN于K,GPAB, BG=GE,ADP： PE=BG： GE,，PD 二 PE,XVDKBC,，NKDP=NMEP, NPKD=NPME,AAMPFAKPG,Sc>S4MPF，Sa.BMN>Sz：JFG，A ABDE的面積最小.12 .已知AABC中，DEBC交AB于D,交AC于E, AM為BC邊上的中線，與DE相交于N, 求證：DN=NE.【解答】證明:在ZABC中,VDE/BCAAADNAABM,且AENs/CX, AN DN 日 AN ENAN

35、 BM AN CM.DN EN ,"9BN CMM是BC的中點(diǎn),所以BM=CM, ADN=NE.13.操作1：如圖1, 一三角形紙片ABC,分別取AB、AC的中點(diǎn)D、E,連接DE,沿DE將紙 片剪開(kāi)，并將其中的4ADE紙片繞點(diǎn)E旋轉(zhuǎn)180°后可拼合（無(wú)重疊無(wú)縫隙）成平行四邊形 紙片BCFD.操作2：如圖2, 一平行四邊形紙片ABCD, E、F、G、H分別是AB、BC、CD、AD邊的中點(diǎn)， 沿EF剪開(kāi)并將其中的ABFE紙片繞點(diǎn)E旋轉(zhuǎn)180°到位置:沿HG剪開(kāi)并將其中的DGH 紙片繞點(diǎn)H旋轉(zhuǎn)180°到AG】H位置：沿FG剪開(kāi)并將4CFG紙片放置于AFG的位置

36、，此 時(shí)四張紙片恰好拼合（無(wú)重疊無(wú)隙）成四邊形FFGG.則四邊形FF6G的形狀是 平行四操作、思考并探究：（1）如圖3,如果四邊形ABCD是任意四邊形（不是梯形或平行四邊形）的紙片，E、F、G、H分別是AB、BC、CD、AD的中點(diǎn).依次沿EF、FG、GH、HE剪開(kāi)得到四邊形紙片EFGH.請(qǐng)判 斷四邊形紙片EFGH的形狀，并說(shuō)明理由.（2）你能將上述四邊形紙片ABCD經(jīng)過(guò)恰當(dāng)?shù)丶羟泻笃春希o(wú)重疊無(wú)縫隙）成一個(gè)平行四邊 形紙片？請(qǐng)?jiān)趫D4上畫(huà)出對(duì)應(yīng)的示意圖.（3）如圖5, E、F、G、H分別是四邊形ABCD各邊的中點(diǎn)，若AEH、ABEF. ACFG. ADGH 的面積分別為I、&、S3、Sv

37、且S尸2, S3=5,則四邊形ABCD是面積是28.（不要求說(shuō)解：操作2：連接BD.根據(jù)三角形的中位線定理，得EHBD, EHBD, FGBD, FGjBD,22根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì),得F：G1EH, F：GkEH.所以 FGFG, FiGfFG,所以四邊形FF66的形狀是平行四邊形.(1)連接BD.根據(jù)三角形的中位線定理，得EHBD, EHjBD, FGBD, FGBD, 22則 EHFG, EH=FG, 則四邊形紙片EFGH的形狀是平行四邊形. (2)見(jiàn)上述操作2：(3) 28.14. (2014春張家港市校級(jí)期末)如圖，點(diǎn)D、E是RtZXABC兩直角邊AB、AC上的一點(diǎn), 連接BE,已知點(diǎn)F、

38、G、H分別是DE、BE、BC的中點(diǎn).(1)求NFGH度數(shù);(2)連CD,取CD中點(diǎn)M,連接GM,若BD=8, CE=6,求GM的長(zhǎng).【解答】解：(1) VF. G、H分別是DE、BE、BC的中點(diǎn),FGDB, GHEC.，/DBE=NFGE, NEHG=NAEG.ZFGH=ZFGE+ZEGH=ZABE+ZBEA=180° - NA= 180, - 90° =90° .(2)如圖所示：連接FM、HM.M、H分別是BC和DC的中點(diǎn),MN8D.2同理：GFBD, GF=AbD. 2 .四邊形FGHM為平行四邊形. G. H、見(jiàn)分別是BE、BC、DC的中點(diǎn)， PH日eC=3

39、，二4， 乙乙由(1)可知:NFGH=90° , .四邊形FGHM為矩形.A ZGHM=900 .'gm=VgH2+HM2=V32+42=5 -15. (2014春團(tuán)風(fēng)縣校級(jí)期中)如圖所示.aABC中，ZB, NC的平分線BE, CF相交于0, AG_LBE 于 G, AH_LCF 于 H.(1)求證：GHBC：(2)若AB=9厘米，AC=14厘米，BO18厘米，求GH.【解答】解：(1)證明：分別延長(zhǎng)AG, AH交BC于M, N,在aABM中，由已知，BG平分NABM, BGJ_AM,所以ABGg/MBG (ASA).從而，G是AM的中點(diǎn).同理可證ACHgZNCH (ASA

40、),從而，H是AN的中點(diǎn).所以GH是AMN的中位線，從而，HGMN,即HGBC.（2）解：由（1）知，ABG0ZMBG 及aACH也/XNCH, 所以AB=BM=9厘米，AC=CN=14厘米.X BC=18 厘米，所以 BN=BC - CN=18 - 14=4 （厘米），MC=BC - BM=18 - 9=9 （厘米）.從而 MN= 18 -4-9=5 （厘米），B16. (2012春萍鄉(xiāng)校級(jí)期中)已知：如圖，2AC, ADJ_BC于D, DFAE.求證：CE=2DF.【解答】證明：VAB=AC> AD_LBC于D,，BD 二 CD,VDF/AE,ABF=EF,.DF是ABEC的中位線,

41、ACE=2DF.17. (2011秋江都市期末)如圖(1), BD、CE分別是AABC的外角平分線，過(guò)點(diǎn)A作AF1BD, AG_LCE,垂足分別為F、G,連接FG,延長(zhǎng)AF、AG,與直線BC相交于M、N.(1)試說(shuō)明:FgJ (AB+BC+AC)； 2(2)如圖(2), BD、CE分別是AABC的內(nèi)角平分線；如圖(3), BD為ABC的內(nèi)角平 分線，CE為aABC的外角平分線.則在圖(2)、圖(3)兩種情況下，線段FG與ABC三邊又有怎樣的數(shù)量關(guān)系？請(qǐng)寫(xiě)出你的 猜想，并對(duì)其中的一種情況說(shuō)明理由.【解答】解：(1)證明:VAFXBD, ZABF=ZMBF,，NBAF二NBMF,AMB=AB>

42、;AAF=MF,同理可說(shuō)明:CN=AC, AG=NG.FG是AAMN的中位線，AFG=AmN (NfB+BC+CN)(AB-BC+AC)222(2)解：圖 中，F(xiàn)G=A (AB+AC - BC) 2圖(3)中，F(xiàn)G(AC+BC-AB)2如圖(2),延長(zhǎng)AF、AG,與直線BC相交于見(jiàn)、N,由(1)中可知,MB二AB, AF=MF, CN=AC, AG=NG,(BM+CN -BC)&(AB-AC - BC),2 22如圖(3)延長(zhǎng)AF、AG,與直線BC相交于M、N,同樣由(1)中可知，MB=AB, AF=MF, CWAC,AG=NG, FG=iMN(CN+BC-BM) (AC-BC-AB)

43、,解答正確一種即可18. (2010秋茶陵縣校級(jí)期末)如圖，己知在oABCD中，EFBC,分別交AB、CD于E、F 兩點(diǎn)，DE、AF交于M, CE、BF交于N.求證：MNAB.【解答】證明：:平行四邊形ABCD,CDAB, ADBC,EFBC,，EFBCAD,.四邊形ADFE、CFEB是平行四邊形,AFM=AM, FN二BN,，mn=1ab.219.(2010秋儀征市校級(jí)期末)如圖1, BD、CE分別是AABC的外角平分線，過(guò)點(diǎn)A作AF±BD> AG_LCE,垂足分別為F、G,連接FG,延長(zhǎng)AF、AG,與直線BC相交于M、N.(1)試說(shuō)明：FG&(AB-BC+AC)；

44、2(2)如圖2,若BD、CE分別是aABC的內(nèi)角平分線，則線段FG與AABC三邊又有怎樣的數(shù) 量關(guān)系？請(qǐng)寫(xiě)出你的猜想，并對(duì)其中的一種情況說(shuō)明理由；(3)如圖3,若BD為&(：的內(nèi)角平分線，CE為aABC的外角平分線，則線段FG與aABC 三邊的數(shù)量關(guān)系是FG=1 (AC+BC - AB).【解答】解：(1) BDLAF,A ZAFB=ZMFB=90° ,在ABF和MBF中二 NMFB，即二BF,NABF 二 NMBFAAABFAMBF (ASA)MB = ABAAF=MF,同理：CN=AC, AG二NG,.FG是A'N的中位線afg=1mn,2,(MB+BC+CN),

45、2(AB+BC+AC).2(2)圖(2)中，F(xiàn)G(AB+AC-BC) 2解：如圖(2),延長(zhǎng)AF、AG,與直線BC相交于M、N,VAF1BD. NABF=NMBF,，NBAF=NBMF,在aABF和MBF中"NAFB 二/MFBV BF二BF ,/ABF =/MBFAAABFAMBF (ASA)二AB, AF=MF,同理：CN=AC, AG=NGafg=Amn,2(BM+CN-BC),2(AB+AC-BC), 2答：線段FG與AABC三邊的數(shù)量關(guān)系是FG=1 (AB+AC-BC). 2解：FG=1 (AC+BC-AB), 2理由是：VAF1BD, NABF=NMBF, NBAF=NB

46、MF,在aABF和aMBF中 "/AFB 二 NMFBV BF二BF,ZABF=ZMBFAAABFAMBF (ASA) 二AB, AF=MF, 同理：CN=AC, AG=NG afg=Amn,2(CN+BC-BM),2(AC+BC-AB).2故答案為：FG(AC+BC -2,CH1AB20. (2007江蘇)如圖，已知 AD 與 BC 相交于 E, Z1=Z2=Z3, BD=CD, ZADB=90° 于H, CH交AD于F.(1)求證：CDAB：(2)求證：BDEgZkACE；(3)若0為AB中點(diǎn)，求證：0FjBE.2D：.ZBCD=Z1；VZ1=Z2,/. ZBCD=Z2

47、：，CDAB.(2) VCD/AB, AZCDA=Z3./ /BCD=N2=N3, ，BE = AE.且 NCDA = NBCD,ADE=CE.在4BDE和AACE中，"DE二CE:ZDEB=ZCEA.BE 二 AEAABDEAACE (SAS)：(3) VABDEAACE,AZ4=Z1, NACE=/BDE二90°，NACH=900 - ZBCH：又CH_LAB,A Z2=900 - ZBCH：Z. ZACH=Z2=Z1=Z4,AAF=CF；V ZAEC=90° - Z4, NECF=900 - ZACH,又,: NACH=N4,A ZAEC=ZECF：ACF=

48、EF；，EF 二 AF；O為AB中點(diǎn)，OF為AABE的中位線：OFBE. 221. (2014春江漢區(qū)期中)如圖，已知aABC是等邊三角形，點(diǎn)D, F分別在線段BC, AB 上，連接 FC, AD, DEFC, EFDC(1)若D, F分別是BC, AB的中點(diǎn)，連接FD,求證：EF=FD：(2)連接AE,若BF=CD,求證：ZkAED是等邊三角形.A，四邊形CDEF是平行四邊形,，EF 二 CD,VD, F分別是BC, AB的中點(diǎn),AAD1BC, CF1AB, BF=CiHaB,2又二BFAB,2，F(xiàn)D 二 CD,，EF 二 FD：(2)證明：:ABC是等邊三角形，A ZB=ZACD=60&#

49、176; , BC=AC,BC=AC在4BCF 和 AACD 中， ZB=ZACD，BF=CDAABCFAACD (SAS),，CF二AD, ZCAD=ZBCF,V VDEFC, EFDC,四邊形CDEF是平行四邊形，ACF=DE,VDEAFC,A NBCF=NBDE,由三角形的外角性質(zhì)得，NCAD+NACB=NBDE+NADE,A ZADE=ZACB=60° ,A AAED是等邊三角形.22. （2013春富順縣校級(jí)月考）如圖，M、N分別為AD、BC的中點(diǎn)，且AB=CD,求證：Z1=Z2.G【解答】證明：連接AC,取AC的中點(diǎn)G,連接NG和MG.是AC的中點(diǎn)，M是BC的中點(diǎn)，即MG

50、是AABC的中位線, ，mg=1ab,且 MGAB.2AZ2=ZNMG,同理，GNCD, NGCD,2AZ1=ZMNG,又'AB = CD,，MG二NG,工 /MNG=NNMG,AZ1=Z2.23. (2016春梅河口市校級(jí)月考)如圖，在四邊形ABCD中,AB=DC, P是對(duì)角線AC的中點(diǎn), M是AD的中點(diǎn)，N是BC的中點(diǎn).(1)若AB=6,求PM的長(zhǎng)；(2)若NPMN=20° ,求NMPN 的度數(shù).【解答】解：(1)7AB=DC, AB=6,，DC=6,點(diǎn)P是AC的中點(diǎn)，點(diǎn)M是AD的中點(diǎn)，APM=1dC=Ax6=3；2 2（2） 點(diǎn)P是AC的中點(diǎn),點(diǎn)N是BC的中點(diǎn),apn=

51、1bc, 2VAB=DC,APM=PN,A ZPNM=ZPMN=20° ,A ZMPN=1800 - NPMN - NPNM= 1400 .24. （2014宿遷）如圖，在ABC中，點(diǎn)D, E, F分別是AB, BC, CA的中點(diǎn)，AH是邊BC 上的高.（1）求證：四邊形ADEF是平行四邊形；（2）求證：ZDHF=ZDEF.【解答】證明:（1） ;點(diǎn)D, E, F分別是AB, BC, CA的中點(diǎn)，DE、EF都是AABC的中位線，EFAB, DE/AC,.四邊形ADEF是平行四邊形：（2） .四邊形ADEF是平行四邊形，A NDEF : NBAC,VD, F分別是AB, CA的中點(diǎn)，AH是邊BC上的高，DH=AD, FH=AF,，NDAH二NDHA, ZFAH=ZFHA,V NDAH+NFAH=NBAC,NDHA+NFHA =/DHF,/. NDHF二NBAC,，NDHF=NDEF.25. （2014鞍山一模）（1）如圖1,在四邊形ABCD中，E、F分別是BC、AD的中點(diǎn)，連接 EF并延長(zhǎng)，分別與BA、CD的延長(zhǎng)線交于點(diǎn)M、N,則NBME=NCNE,求證：AB=CD.（提示取 BD的中點(diǎn)H,連接FH, HE作輔助線）（2）如圖2,在AABC中，且0是BC邊的中點(diǎn)，D是AC邊上一點(diǎn)，E是AD的中點(diǎn)，直線 0E交BA的延長(zhǎng)線于點(diǎn)G,若AB=DC