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文檔簡(jiǎn)介
1、 1925年年7月初,海森伯終于完成了題為月初,海森伯終于完成了題為“從量子理論重新從量子理論重新解釋運(yùn)動(dòng)學(xué)和力學(xué)關(guān)系解釋運(yùn)動(dòng)學(xué)和力學(xué)關(guān)系”的論文。建立了的論文。建立了矩陣力學(xué)矩陣力學(xué)。 1926年,蘇黎世大學(xué)的奧地利科學(xué)家歐文年,蘇黎世大學(xué)的奧地利科學(xué)家歐文薛定諤發(fā)展了薛定諤發(fā)展了另一種形式的量子力學(xué)另一種形式的量子力學(xué)波動(dòng)力學(xué)波動(dòng)力學(xué)。 薛定諤的波動(dòng)力學(xué)和海森伯的矩陣力學(xué)的出發(fā)點(diǎn)不同,而薛定諤的波動(dòng)力學(xué)和海森伯的矩陣力學(xué)的出發(fā)點(diǎn)不同,而且是通過(guò)不同的思維過(guò)程發(fā)展而來(lái)的,但是用這兩種理論處理且是通過(guò)不同的思維過(guò)程發(fā)展而來(lái)的,但是用這兩種理論處理同一問(wèn)題時(shí),卻得到了相同的結(jié)果。包括薛定諤本人在
2、內(nèi)的許同一問(wèn)題時(shí),卻得到了相同的結(jié)果。包括薛定諤本人在內(nèi)的許多人已經(jīng)證明了量子力學(xué)的這兩種形式彼此完全等價(jià)。海森伯多人已經(jīng)證明了量子力學(xué)的這兩種形式彼此完全等價(jià)。海森伯的理論比薛定諤提出的早一些,可是科學(xué)家們?cè)诮邮苎Χㄖ@的的理論比薛定諤提出的早一些,可是科學(xué)家們?cè)诮邮苎Χㄖ@的波動(dòng)力學(xué)時(shí)卻顯得迅速得多。波動(dòng)力學(xué)時(shí)卻顯得迅速得多。 歷史回顧:歷史回顧: 量子力學(xué)的建立量子力學(xué)的建立-矩陣力學(xué)和波動(dòng)力學(xué)的提出矩陣力學(xué)和波動(dòng)力學(xué)的提出第七章第七章 量子力學(xué)的矩陣形式與表象變換量子力學(xué)的矩陣形式與表象變換NMNNMMAAAAAAAAAA212222111211 矩陣MN 矩陣元nmA, 2 , 1NnM
3、m, 2 , 1方陣:行數(shù)與列數(shù)相等的矩陣。矩陣簡(jiǎn)介矩陣簡(jiǎn)介 1、定義、定義BA nmnmBABACnmnmnmBAC2、兩矩陣相等、兩矩陣相等(行列數(shù)相等)3、兩矩陣相加、兩矩陣相加(行列數(shù)相等)4、兩矩陣相乘、兩矩陣相乘( 一個(gè)n列的矩陣A與一個(gè)n行的矩陣B相乘)23222113121123222113121122211211CCCCCCBBBBBBAAAA232213212222122121221121231213112212121121121111BABABABABABABABABABABABA BAAB BAAB (1)稱A、B矩陣相互不對(duì)易稱A、B矩陣相互對(duì)易(2))()(BCAC
4、ABABC()AB CABBC(3)(4)ABAC,但B=C不一定成立(5) AB=0,但A=0,B=0不一定成立(6) A2=0,但A=0不一定成立5、對(duì)角矩陣、對(duì)角矩陣:除對(duì)角元外其余為零4321000000000000AAAAA6、單位矩陣、單位矩陣1000010000100001I單位矩陣與任何矩陣A的乘積仍為A:IA=A并且與任何矩陣都是可對(duì)易的:IA=AI 把矩陣A的行和列互相調(diào)換,所得出的新矩陣稱為A的轉(zhuǎn)置矩陣。 A7、轉(zhuǎn)置矩陣、轉(zhuǎn)置矩陣:232221131211AAAAAAA231322122111AAAAAAA*23*13*22*12*21*11AAAAAAA共軛矩陣:8、厄
5、密矩陣、厄密矩陣:如果一個(gè)矩陣A和它的共軛矩陣相等 則稱A矩陣為厄密矩陣AA 00iiA*0)(0iiA00iiAABAB)(ABCDABCD)(表象理論表象理論根據(jù)量子力學(xué)的基本原理,微觀粒子的量子態(tài)用波函數(shù)描述,根據(jù)量子力學(xué)的基本原理,微觀粒子的量子態(tài)用波函數(shù)描述,力學(xué)量用線性厄密算符描述。前面所使用的波函數(shù)及力學(xué)量力學(xué)量用線性厄密算符描述。前面所使用的波函數(shù)及力學(xué)量算符均以坐標(biāo)為變量而寫(xiě)出其具體表達(dá)形式的。是否有其它算符均以坐標(biāo)為變量而寫(xiě)出其具體表達(dá)形式的。是否有其它描述方法?(即以其它力學(xué)量的本征值譜為變量)描述方法?(即以其它力學(xué)量的本征值譜為變量) 回答是:不僅有,而且非常必要!因
6、為恰當(dāng)選擇描述體系回答是:不僅有,而且非常必要!因?yàn)榍‘?dāng)選擇描述體系的具體形式(自變量)可給運(yùn)算帶來(lái)很多方便。的具體形式(自變量)可給運(yùn)算帶來(lái)很多方便。量子力學(xué)中狀態(tài)和力學(xué)量的具體表示方式量子力學(xué)中狀態(tài)和力學(xué)量的具體表示方式表象表象常用表象:坐標(biāo)表象,動(dòng)量表象,能量表象,角動(dòng)量表象等常用表象:坐標(biāo)表象,動(dòng)量表象,能量表象,角動(dòng)量表象等。一個(gè)定義:一個(gè)定義:表象的定義表象的定義 二個(gè)表示:二個(gè)表示:態(tài)(波函數(shù))在任意表象中的表示態(tài)(波函數(shù))在任意表象中的表示 力學(xué)量(算符)在任意表象中的表示力學(xué)量(算符)在任意表象中的表示三個(gè)公式:三個(gè)公式:平均值公式平均值公式 本征值方程本征值方程 薛定諤方程
7、薛定諤方程 在任意表象中的表示在任意表象中的表示表象理論中采用的數(shù)學(xué)工具主要是矩陣表象理論中采用的數(shù)學(xué)工具主要是矩陣 矩陣力學(xué)矩陣力學(xué)(海森堡(海森堡 Heisenberg )7.1 量子態(tài)的不同表象量子態(tài)的不同表象F討論分立譜的情況討論分立譜的情況的本征值為:的本征值為: F1, F 2, ., F n,.,相應(yīng)本征函數(shù):相應(yīng)本征函數(shù): 構(gòu)成正交歸一完備系構(gòu)成正交歸一完備系 在坐標(biāo)表象中在坐標(biāo)表象中設(shè)設(shè)力學(xué)量算符力學(xué)量算符 若體系狀態(tài)用歸一化波函數(shù)若體系狀態(tài)用歸一化波函數(shù) (x,t) 描述,有:描述,有:1)(),(22nntadxtx,),(),(),(21xxxn nnnxtatx)()
8、(),( dxtxxtann),()()(* 說(shuō)明說(shuō)明:給出量子態(tài)在給出量子態(tài)在t時(shí)刻測(cè)量粒子坐標(biāo)為時(shí)刻測(cè)量粒子坐標(biāo)為x 的概率密度的概率密度2),(tx(1)| an (t) | 2 表示在表示在 (x,t)所描述的狀態(tài)中測(cè)量所描述的狀態(tài)中測(cè)量F得得Fn的的概率密度概率密度二者從不同角度對(duì)同一量子態(tài)給予描述二者從不同角度對(duì)同一量子態(tài)給予描述, 物理意義是等物理意義是等價(jià)的價(jià)的,數(shù)學(xué)上也是等價(jià)的數(shù)學(xué)上也是等價(jià)的. (2) an (t)一般不再是坐標(biāo)一般不再是坐標(biāo) x的函數(shù)而是力學(xué)量的函數(shù)而是力學(xué)量F的本征值的本征值Fn的函數(shù),即量子數(shù)的函數(shù),即量子數(shù)n的函數(shù),隨的函數(shù),隨 n的不同取不同復(fù)數(shù)值
9、的不同取不同復(fù)數(shù)值 .)(),(tatxn 結(jié)論:結(jié)論:an(t)與與 (x,t)描述體系的同一個(gè)態(tài),描述體系的同一個(gè)態(tài), (x,t)是這一是這一狀態(tài)在坐標(biāo)表象中的表示,而數(shù)列狀態(tài)在坐標(biāo)表象中的表示,而數(shù)列an(t)是這同一狀態(tài)在是這同一狀態(tài)在F表象中的表示。我們可以把數(shù)列表象中的表示。我們可以把數(shù)列an(t)寫(xiě)成列矩陣的形式,寫(xiě)成列矩陣的形式,用用 F標(biāo)記:標(biāo)記:12( )( )( )Fna ta ta t把矩陣把矩陣 F稱為稱為 (x,t)所描寫(xiě)的狀態(tài)在所描寫(xiě)的狀態(tài)在F表表象中的波函數(shù)象中的波函數(shù) F的共軛矩陣是一個(gè)行矩陣,用的共軛矩陣是一個(gè)行矩陣,用 +F標(biāo)記標(biāo)記*12( )( )( )
10、Fna ta ta t若用矩陣表示歸一化,有:若用矩陣表示歸一化,有: FF )()()()()()(21*2*1tatatatatatann*( )( )nnna t a t1綜上所述,量子力學(xué)中體系的同一狀態(tài)可以用不同力學(xué)量表象綜上所述,量子力學(xué)中體系的同一狀態(tài)可以用不同力學(xué)量表象中的波函數(shù)來(lái)描寫(xiě)。所取表象不同,波函數(shù)的形式也不同。我中的波函數(shù)來(lái)描寫(xiě)。所取表象不同,波函數(shù)的形式也不同。我們可以根據(jù)處理問(wèn)題的需要選用適當(dāng)?shù)谋硐笠苑奖闱蠼?。們可以根?jù)處理問(wèn)題的需要選用適當(dāng)?shù)谋硐笠苑奖闱蠼狻?例例:若給出:若給出: 中心力場(chǎng)能量表象為:中心力場(chǎng)能量表象為:02100212110121211210
11、200100tEitEiEeeaaaaatEitEiee21102111002121tEitEieYReYRtr2110112100102121),(Hilbert(希耳伯特)空間希耳伯特)空間:態(tài)矢量所在的無(wú)限維空間:態(tài)矢量所在的無(wú)限維空間 量子力學(xué)中,態(tài)的表象這一概念與幾何學(xué)中選取不同的坐標(biāo)系量子力學(xué)中,態(tài)的表象這一概念與幾何學(xué)中選取不同的坐標(biāo)系來(lái)表示同一矢量的概念十分相似。在量子力學(xué)中,我們可以建來(lái)表示同一矢量的概念十分相似。在量子力學(xué)中,我們可以建立一個(gè)立一個(gè)n維(維(n可以是無(wú)窮大)空間,把波函數(shù)可以是無(wú)窮大)空間,把波函數(shù) 看成是這個(gè)空看成是這個(gè)空間中的一個(gè)矢量,稱為間中的一個(gè)矢量
12、,稱為態(tài)矢量態(tài)矢量。選取一個(gè)特定力學(xué)量。選取一個(gè)特定力學(xué)量F表象,表象,相當(dāng)于選取特定的坐標(biāo)系。該坐標(biāo)系是以力學(xué)量相當(dāng)于選取特定的坐標(biāo)系。該坐標(biāo)系是以力學(xué)量F的本征函數(shù)的本征函數(shù)系系,),(),(),(21xxxn 為基矢,態(tài)矢量在各基矢上的分量為基矢,態(tài)矢量在各基矢上的分量則為展開(kāi)系數(shù)則為展開(kāi)系數(shù)),(,),(),(21tatatan可用這組分量來(lái)表示??捎眠@組分量來(lái)表示。,在,在F表象中態(tài)矢量表象中態(tài)矢量 F表象的基矢有無(wú)限多個(gè),所以態(tài)矢量所在的空間是一個(gè)表象的基矢有無(wú)限多個(gè),所以態(tài)矢量所在的空間是一個(gè)無(wú)限維的抽象的函數(shù)空間,稱為無(wú)限維的抽象的函數(shù)空間,稱為Hilbert空間。空間。 nn
13、nxtatx)()(),( 7.2 力學(xué)量力學(xué)量(算符算符)的矩陣表示的矩陣表示力學(xué)量算符的具體形式應(yīng)該與波函數(shù)的具體形式相對(duì)應(yīng),力學(xué)量算符的具體形式應(yīng)該與波函數(shù)的具體形式相對(duì)應(yīng),以保證對(duì)波函數(shù)的作用有意義。以保證對(duì)波函數(shù)的作用有意義。F表象中的算符表示(表象中的算符表示(分立譜的情況)分立譜的情況) :設(shè)量子態(tài)設(shè)量子態(tài) 經(jīng)過(guò)算符經(jīng)過(guò)算符運(yùn)算后變成另一個(gè)態(tài)運(yùn)算后變成另一個(gè)態(tài) :LL在以力學(xué)量完全集在以力學(xué)量完全集F的本征態(tài)的本征態(tài) k為基矢的表象(為基矢的表象(F表象表象)中,)中,上式變成:上式變成:kkkkkkba L*( )jx*( ) (1)jxdx式以以左乘上式兩邊并對(duì)左乘上式兩邊并
14、對(duì)x積分,積分范圍是積分,積分范圍是x變化的變化的整個(gè)區(qū)域得整個(gè)區(qū)域得(,)jkjkLL表成矩陣的形式則為:表成矩陣的形式則為:1111211221222212mmnnnnmnbLLLabLLLabLLLa kkkjkkkjjaLadxLb)(* jkLL 在在F表象中的矩陣表示,而矩陣表象中的矩陣表示,而矩陣左邊的一列矩陣和右邊的一列矩陣分別是波函數(shù)左邊的一列矩陣和右邊的一列矩陣分別是波函數(shù) 和波函數(shù)和波函數(shù)中中的表示。的表示。即算符即算符FL則有:則有: 用用表示這個(gè)矩陣表示這個(gè)矩陣FFFL1111211221222212mmnnnnmnbLLLabLLLabLLLa在在F表象表象L的性質(zhì)
15、的性質(zhì)討論:討論: F表象中力學(xué)量算符表象中力學(xué)量算符1、算符在自身表象中是一對(duì)角矩陣,對(duì)角元素就是算符在自身表象中是一對(duì)角矩陣,對(duì)角元素就是 算符的本征值。算符的本征值。120000nFFFFnmmmnmmmnmnnmFdxFdxFdxFF *證明證明:2、力學(xué)量算符用厄密矩陣表示、力學(xué)量算符用厄密矩陣表示即即L矩陣的第矩陣的第m列第列第n行的矩陣元等于第行的矩陣元等于第n列第列第m行行矩陣元的復(fù)共軛,這就是矩陣元的復(fù)共軛,這就是厄密矩陣厄密矩陣。用用L+表示矩陣表示矩陣L的共軛矩陣,則有:的共軛矩陣,則有:LL其對(duì)角矩陣元為實(shí)數(shù)其對(duì)角矩陣元為實(shí)數(shù)*nmmnLL 證明證明:*)(mnnmmn
16、mnnmLdxLdxLdxLL 一一 維無(wú)限深勢(shì)阱能量的本征函數(shù)基矢為維無(wú)限深勢(shì)阱能量的本征函數(shù)基矢為:x 求一維求一維無(wú)限深勢(shì)阱中粒子的坐標(biāo)無(wú)限深勢(shì)阱中粒子的坐標(biāo)算符算符 H及哈密頓算符及哈密頓算符在能量表象中的矩陣表示。在能量表象中的矩陣表示。 解:解:能級(jí)能級(jí)n=1,2,3,.2sinnn xaa22222 anEn例例:當(dāng)當(dāng) 時(shí),非對(duì)角元為時(shí),非對(duì)角元為:當(dāng)當(dāng)m=n時(shí)時(shí),對(duì)角元為對(duì)角元為:nm aaxnmnmaaxnmnma0222222)(cos)()(cos)( 2222222)(41)1()(1)(11)1( nmamnnmnmanmnm dxxanmxanmxaa0)(cos)
17、(cos1amndxaxnxaxmax0)(sin)(sin2annadxaxnxax022sin2坐標(biāo)算符坐標(biāo)算符 x 哈密頓算符哈密頓算符 H對(duì)角元:對(duì)角元:22222 anEn7.3 量子力學(xué)公式的矩陣表示量子力學(xué)公式的矩陣表示一、一、Schrdinger方程方程iHt ( )kkkta在在F表象中,表象中, (t)按力學(xué)量算符按力學(xué)量算符F的本征函數(shù)展開(kāi)的本征函數(shù)展開(kāi),表示為表示為kkkkkkiaHat左乘左乘 j*對(duì)對(duì)x整個(gè)空間積分(取標(biāo)積)整個(gè)空間積分(取標(biāo)積) jjkkkiaH atF表象中的表象中的Schrdinger方程方程( (表示為矩陣形式表示為矩陣形式 ): ): 11
18、1121221222aHHaiaHHaFFFHti 二、平均值公式二、平均值公式在量子態(tài)在量子態(tài) 下,力學(xué)量下,力學(xué)量L的平均值為的平均值為:( ,)LL(,)kkjjkjaLa*(,)kkjjkjaLa*kkjjkja L a11121*1221222LLaaaLLaF表象中力學(xué)表象中力學(xué)量量L的平均值的平均值的矩陣形式的矩陣形式 FFFLL _LF特例:特例:若若,則,則 (,)jkjkLL(,)jkkL(,)kjkL kkjL(對(duì)角矩陣)(對(duì)角矩陣)則則 ,*kkjjkjLa L a*kkkjjkja La2kkkaL假定假定 已歸一化,即已歸一化,即 21kka2ka則則表示在表示在
19、態(tài)下測(cè)量態(tài)下測(cè)量L得到得到Lk值的概率。值的概率。三、本征值方程三、本征值方程LL在在F表象中,表象中, (t)按力學(xué)量算符按力學(xué)量算符F的本征函數(shù)展開(kāi)的本征函數(shù)展開(kāi),表示為表示為:( )kkktakkkkkkLaLa左乘左乘 j*對(duì)對(duì)x整個(gè)空間積分(取標(biāo)積)整個(gè)空間積分(取標(biāo)積) jkkjkaLaL L的本征方程在的本征方程在F表象中的矩陣形式表象中的矩陣形式: :11121212220LLLaLLLa 它是它是ak(k=0,1,2,)滿足的線性齊次方程組,有滿足的線性齊次方程組,有非平庸解的條件為(非平庸解的條件為(此方程組有非零解的條件此方程組有非零解的條件)其系其系數(shù)行列式等于零,即數(shù)
20、行列式等于零,即FFFLL 即:即:1112132122233132330LLLLLLLLLLLL稱為久期方程稱為久期方程L*()jkkjLLjL( ) jka設(shè)表象空間維數(shù)為設(shè)表象空間維數(shù)為N,則上式是的則上式是的N次冪代數(shù)方程。次冪代數(shù)方程。對(duì)于可觀測(cè)量,對(duì)于可觀測(cè)量,Ljk為厄米矩陣為厄米矩陣,可以證明,可以證明,上列方程必有上列方程必有N個(gè)實(shí)根,記為,個(gè)實(shí)根,記為,(j=0,1,2,N)??汕蟪鱿鄳?yīng)的解可求出相應(yīng)的解(k=0,1,2,N),表成列矢表成列矢( )1( )2( )jjjNaaajL相應(yīng)的本征態(tài)在相應(yīng)的本征態(tài)在F表象中的表示表象中的表示 與本征值與本征值給定算符如何求本征值
21、與本征函數(shù)給定算符如何求本征值與本征函數(shù) (1)先求用矩陣表示的本征方程;)先求用矩陣表示的本征方程;(2)代入久期方程求得本征值的解;)代入久期方程求得本征值的解;(3)本征值代入本征方程求本征函數(shù)。)本征值代入本征方程求本征函數(shù)。 (1) 在在A 表象中,算符表象中,算符A , ,B 的矩陣表示。的矩陣表示。(2) 在在A 表象中,算符表象中,算符B 的本征值和本征函數(shù)。的本征值和本征函數(shù)。例例1 1、設(shè)設(shè)Hermite 算符算符AB,滿足滿足122 BA,且且AB + + BA = = 0 ,求求: :解題思路:由解題思路:由A 的本征函數(shù)的定義,很容易的本征函數(shù)的定義,很容易求出在求出
22、在A 表象中表象中A 的本征函數(shù)及矩陣,利用的本征函數(shù)及矩陣,利用A, B 之間的反對(duì)易關(guān)系和幺正性,即可給出之間的反對(duì)易關(guān)系和幺正性,即可給出B 的的矩陣,本征函數(shù)和本征值矩陣,本征函數(shù)和本征值. .由由, 12A解:解:(1)在A 的自身表象中若無(wú)簡(jiǎn)并,A 的矩陣為1001A1 有本征值為有本征值為由由 AB + + BA = = 0 ,0200210011001 dadcbadcbadcbadcba所以:所以:*0cbda, 12B因?yàn)椋阂驗(yàn)椋河校河校?bc=1 bc=1 即:即:11 cb, 0110B所以,在所以,在A 表象下,表象下,(2)設(shè)在A 表象中,B 的本征函數(shù)與本征值為久
23、期方程為:1011 21210110bbbb 同理,當(dāng)同理,當(dāng)= -= -1 時(shí)本征函數(shù)為:時(shí)本征函數(shù)為:結(jié)合歸一化條件,當(dāng)= 1時(shí)本征函數(shù)為, 11211 11212 B例例2 2、已知體系的哈密頓算符已知體系的哈密頓算符與某一力學(xué)量算符與某一力學(xué)量算符在能量表象中的矩陣形式為:在能量表象中的矩陣形式為:100010001H010100002bB(1)、H和和B是否是厄密矩陣;是否是厄密矩陣;其中其中 和和b為實(shí)常數(shù),問(wèn)為實(shí)常數(shù),問(wèn)(3)、算符、算符B的本征值及相應(yīng)的本征函數(shù);的本征值及相應(yīng)的本征函數(shù);(2)、H和和B是否對(duì)易;是否對(duì)易;解:(解:(1)HH 100010001 200001
24、010BbB 所以所以H和和B是厄密矩陣。是厄密矩陣。(2)BHbHB 010100002 所以所以H和和B對(duì)易。對(duì)易。(3)設(shè))設(shè)B的本征值為的本征值為 代入久期方程有:代入久期方程有:0)(2(00000222 bbbbb bbb 3212 00122221322311 aaaaaa,則則本本征征方方程程為為:的的本本征征函函數(shù)數(shù)為為設(shè)設(shè) 321112aaab 3213212010100002aaabaaab 2121022 的本征函數(shù)為的本征函數(shù)為b 2121033 的本征函數(shù)為的本征函數(shù)為b例題例題3 在正交歸一化基矢在正交歸一化基矢所張的三維矢量空間中,所張的三維矢量空間中,t=0
25、時(shí)的態(tài)矢時(shí)的態(tài)矢而物理體系的能量算符而物理體系的能量算符H和另外兩個(gè)物理量算符和另外兩個(gè)物理量算符A與與B的矩陣形式為的矩陣形式為:)(),(),(321xuxuxu321212121)(uuux 2000200010 H 010100002,aA態(tài)中算符態(tài)中算符A 、B的的 ba,0均為實(shí)數(shù),求:均為實(shí)數(shù),求:(1)所采用的是什么表象?基矢是什么?)所采用的是什么表象?基矢是什么?(2)表象中波函數(shù)(態(tài)矢)的表示;表象中波函數(shù)(態(tài)矢)的表示;(3)態(tài)的能量可能值及相應(yīng)概率、態(tài)的能量可能值及相應(yīng)概率、(4)3 , 2, 1iu)(x)(x?2HH、可能值、相應(yīng)概率及平均值??赡苤怠⑾鄳?yīng)概率及平
26、均值。解:(解:(1)因?yàn)榫仃嚕┮驗(yàn)榫仃嘓為對(duì)角矩陣為對(duì)角矩陣.所以是能量表象;所以是能量表象;此表象此表象為為H的本征態(tài),基矢在能量表象中為的本征態(tài),基矢在能量表象中為)(),(),(321xuxuxu001)(1Eu010)(2Eu100)(3Eu)()()()(21)(21)(21)(332211321xuaxuaxuaxuxuxux(2)3 , 2, 1iu表象中波函數(shù)的表示為表象中波函數(shù)的表示為x表象表象有:有:21,21,21321aaa故能量表象中態(tài)矢為故能量表象中態(tài)矢為:2/12/12/1E(3)由對(duì)角矩陣可知,能量取值只能是)由對(duì)角矩陣可知,能量取值只能是0002 ,2 ,且
27、且是兩度簡(jiǎn)并的,取是兩度簡(jiǎn)并的,取和和的概率分別是的概率分別是:故故020022121a212322 aa00023)2(21)(21H或或00232/12/12/1200020001212121HH202222022)(252/12/12/1200020001212121)( HH(4)卻不是卻不是A的本征函數(shù)集。令的本征函數(shù)集。令A(yù)在能量表象中的在能量表象中的本征態(tài)為本征態(tài)為:是是H的本征函數(shù)集,的本征函數(shù)集,則本征方程為,則本征方程為本征值為本征值為)(),(),(321xuxuxu 321ccc 3213210000002ccccccaaa 000002321 cccaaa 故故 故故
28、 故故 000002aaa解久期方程解久期方程得得aaa,2時(shí)時(shí)當(dāng)當(dāng)a20, 1321ccc0011當(dāng)當(dāng)當(dāng)當(dāng)a21, 0321ccc時(shí)時(shí)時(shí)時(shí)110212110213a21,21, 0321ccc)(),(),(321xuxuxu332211aaa321,)(xE可見(jiàn),由于能量表象不是可見(jiàn),由于能量表象不是的自身表象,故的自身表象,故的矩陣形式不同于的矩陣形式不同于321,要求要求A的可能值的可能值(2a,a,-a) 在在態(tài)中(即態(tài)中(即態(tài)中)態(tài)中)的概率分的概率分 布,就要把布,就要把 )(x按按A的本征態(tài)展開(kāi)的本征態(tài)展開(kāi)2121212100111Ea212121212121022Ea0212
29、1212121033Ea02121A21,21最后得最后得A表象中態(tài)矢表達(dá)式表象中態(tài)矢表達(dá)式:所以所以A取值為取值為(2a,a)的概率分別為的概率分別為:aaaA2321221 量子力學(xué)可以不涉及具體表象來(lái)討論粒子的量子力學(xué)可以不涉及具體表象來(lái)討論粒子的狀態(tài)和運(yùn)動(dòng)規(guī)律。這種抽象的描述方法是由狀態(tài)和運(yùn)動(dòng)規(guī)律。這種抽象的描述方法是由Dirac首先引用的,所以該方法所使用的符號(hào)稱首先引用的,所以該方法所使用的符號(hào)稱為為Dirac符號(hào)。符號(hào)。4 Dirac符號(hào)符號(hào)1、右矢空間、右矢空間( (ket)ket) 量子體系的一切可能狀態(tài)構(gòu)成一個(gè)量子體系的一切可能狀態(tài)構(gòu)成一個(gè)Hilbert空間??臻g空間??臻g
30、中的一個(gè)矢量(方向)一般為復(fù)量,用以標(biāo)記一個(gè)量子態(tài)。中的一個(gè)矢量(方向)一般為復(fù)量,用以標(biāo)記一個(gè)量子態(tài)。在抽象表象中在抽象表象中Dirac用右矢空間的一個(gè)矢量用右矢空間的一個(gè)矢量 | 與量子狀態(tài)與量子狀態(tài)相對(duì)應(yīng),該矢量稱為右矢。若要標(biāo)志某個(gè)特殊的態(tài),則在相對(duì)應(yīng),該矢量稱為右矢。若要標(biāo)志某個(gè)特殊的態(tài),則在右矢內(nèi)標(biāo)上某種記號(hào)。右矢內(nèi)標(biāo)上某種記號(hào)。 因?yàn)榱W(xué)量本征態(tài)構(gòu)成完備系,所以本征函數(shù)所對(duì)應(yīng)因?yàn)榱W(xué)量本征態(tài)構(gòu)成完備系,所以本征函數(shù)所對(duì)應(yīng)的右矢空間中的右矢也組成該空間的完備右矢(或基組),的右矢空間中的右矢也組成該空間的完備右矢(或基組),即右矢空間中的完備的基本矢量(簡(jiǎn)稱基矢)。右矢空間即右矢空間中的完備的基本矢量(簡(jiǎn)稱基矢)。右矢空間的任一矢量的任一矢量 | 可按該空間的某一完備基矢展開(kāi)??砂丛摽臻g的某一完備基矢展開(kāi)。 例如:例如: nna n 右矢空間中的每一個(gè)右矢量在左矢空間都有一個(gè)右矢空間中的每一個(gè)右矢量在左矢空間都有一個(gè)相對(duì)應(yīng)的左矢量,記為相對(duì)應(yīng)的左矢量,記為 |。2、左矢空間、左矢空間(bra)左矢左矢相應(yīng)的一個(gè)抽象態(tài)矢。相應(yīng)的一個(gè)抽象態(tài)矢
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