第二章無限期界與世代交疊模型(羅默版本)

1、無限期界與世代交疊模型Infinite-Horizon and Overlapping-Generations Models Part A The Ramsey-Cass-Koopmans Models Part B The Diamond Model 索洛模型中儲(chǔ)蓄率外生，拉姆齊模型則改進(jìn)這一點(diǎn)，儲(chǔ)蓄率內(nèi)生。 消費(fèi)路徑和儲(chǔ)蓄率由完全競(jìng)爭(zhēng)市場(chǎng)中相互作用且追求最優(yōu)化的家庭和企業(yè)共同決定。 跨期預(yù)算約束下研究具有無限壽命的家庭，他們通過在消費(fèi)和儲(chǔ)蓄之間選擇來最大化其效用。 A部分：拉姆齊-卡斯-庫普曼模型2.1 假設(shè) 1.廠商 完全競(jìng)爭(zhēng)市場(chǎng) 存量大量的廠商 企業(yè)生產(chǎn)函數(shù)相同：Y=F(K,AL） 生

2、產(chǎn)函數(shù)為新古典生產(chǎn)函數(shù) 按生產(chǎn)要素支付報(bào)酬 2.家庭 大量同質(zhì)的家庭 家庭規(guī)模以不變外生速率n增長(zhǎng) 家庭每個(gè)成員在每個(gè)時(shí)點(diǎn)供給1單位勞動(dòng) 家庭將擁有的資本租給廠商 初始資本存量為K(0)/H，K(0)是經(jīng)濟(jì)中初始資本存量，H是家數(shù)量 假定不存在資本存量 家庭通過供給勞動(dòng)和出租資本獲取收入，并擁有從廠商利潤(rùn) 消費(fèi)者將收入在消費(fèi)和儲(chǔ)蓄之間分配以最大化其一生效用 雖然個(gè)體的生命是有限的，但家庭是無限延續(xù)的。 如果利他主義的父母將一切傳承給孩子，子又傳孫，孫又傳子，如此循環(huán)，那么該假定是合理的。 家庭效用函數(shù)形式為： C(t)是每個(gè)成員在時(shí)點(diǎn)t的消費(fèi) u()是瞬時(shí)效用函數(shù) L(t)為經(jīng)濟(jì)中的總?cè)丝?L

3、(t)/H為每個(gè)家庭的成員數(shù) u(C(t)L(t)/H為t時(shí)刻家庭的總瞬時(shí)效用 為貼現(xiàn)率， 越大，則相對(duì)于現(xiàn)期消費(fèi)，家庭對(duì)未來消費(fèi)估值越低。) 1 . 2()()(0dtHtLtCueUtt 瞬時(shí)效用函數(shù)u(C(t)為凹函數(shù)，即 uC(t)0，uC(t)1時(shí)，邊際效用隨C增加而減少，當(dāng)0，則 ，此時(shí)經(jīng)濟(jì)偏離平衡增長(zhǎng)路徑，是不穩(wěn)定的。 如果經(jīng)濟(jì)收斂于平衡增長(zhǎng)路徑(k*,c*)， 0 因此0/, 0/kkcc2/)(4 -2/1*21ckf AA為線性化鞍點(diǎn)路徑。 BB為偏離路徑。 在0時(shí)刻，c跳躍到 此后以1收斂于平衡增長(zhǎng)路徑。即)(/()(*1*kkckfc )0()()0()(*11kkek

4、tkccectctt2.調(diào)整速度 以柯布道格拉斯生產(chǎn)函數(shù)為例)39. 2()()(14-21)38. 2()() 1(4-212/)(4 -/ )(00)()()()() 1()()()(2/122/1*2*22/1*21)1/(1*)1*(*2*1gnggkgnkkckfgkgkgkfcckgnkkgnkfckkfkkfyALKY （， 設(shè)=1/3，=4%，n=2%，g=1%，=1 則 同等數(shù)據(jù)，索洛模型的收斂速度為：%4 . 51%2%)1%2(*3/2)(1 gnK 以柯布道格拉斯生產(chǎn)函數(shù)為例進(jìn)行線性對(duì)數(shù)化：()/1 (/)ln()(-)(/)(/)(/)ln()()(1/)()()ln

5、()1()/ln()ln()1(1）假定geccdtcdgneegnkckgnkckfkkdtkdkkfgkfcckgnckfkkkck 穩(wěn)態(tài)時(shí)： 從而0/cckkgAegneAekkck)ln()1()/ln(*)ln()1(*)/(ln()1 (*)/)(ln(1 ()/1 ()()/1 (/)ln(*)/ )(ln(*)/(ln()1 (*)ln(ln*)ln(ln*)ln)(ln1 ()( -/)ln(*)ln()1(*)ln()1()*/ *ln(*)ln()1()/ ln()ln()1(kkgkkAegAedtcdccggnkkgnkkccekkAegneAedtkdkkkckkc

6、k2.7 政府購(gòu)買效應(yīng) 1.將政府納入模型中 假設(shè)政府在每單位時(shí)間以每單位有效勞動(dòng)人均G(t)的速率購(gòu)買產(chǎn)出。 假設(shè)政府購(gòu)買不影響私人效用，即政府購(gòu)買不進(jìn)入私人效用函數(shù)。 假設(shè)政府購(gòu)買不影響未來產(chǎn)出，即投入公共消費(fèi)而非公共投資，政府購(gòu)買不進(jìn)入生產(chǎn)函數(shù)。 政府購(gòu)買支出以一次性總付稅征收(lump-sum tax)，即每單位有效勞動(dòng)承擔(dān)G(t)。 k的運(yùn)動(dòng)方程現(xiàn)在變成： 較高的G會(huì)使 的變動(dòng)軌跡向下移動(dòng)。)40. 2()()()()()()(tkgntGtctkftk0)(tk 家庭預(yù)算約束變?yōu)椋?歐拉方程保持不變 因此政府購(gòu)買支出不影響 的變動(dòng)軌跡0)()(0)()()41. 2()()()0(

7、)(ttgntRttgntRdtetGtwekdtetce0c 2.政府購(gòu)買的永久性變動(dòng)和暫時(shí)性變動(dòng)的效應(yīng) （1）政府購(gòu)買永久性增加 假設(shè)初始經(jīng)濟(jì)處于平衡增長(zhǎng)路徑，G=GL 非預(yù)期到的永久性購(gòu)買性支出增加到GH 此時(shí) 向下移動(dòng)的數(shù)量等于G的增加量。 變動(dòng)軌跡保持不變0)(tk0c c跳躍到新的鞍點(diǎn)路徑。 減少的量等于G的增加量 經(jīng)濟(jì)處于新的平衡增長(zhǎng)路徑。 由于政府購(gòu)買是永久性增加，因而稅收是永久性增加，因此消費(fèi)者無法通過調(diào)整消費(fèi)時(shí)間路徑來增加其效用。 利率和資本存量不變。（2）政府購(gòu)買暫時(shí)性增加 更復(fù)雜的情形是非預(yù)期的政府購(gòu)買增加被預(yù)期是暫時(shí)的。 為簡(jiǎn)化分析，假設(shè)人們知道最終的確切時(shí)間。 該情

8、形下，c的下降量并不等于政府購(gòu)買G的增加量，GH-GL。 如果消費(fèi)量下降量等于政府購(gòu)買量的增加量，則在終結(jié)時(shí)期，政府購(gòu)買量恢復(fù)到初始量時(shí)，消費(fèi)會(huì)出現(xiàn)非連續(xù)跳躍性增加，此時(shí)邊際效用會(huì)非連續(xù)下降。 但是，既然終結(jié)時(shí)期被預(yù)期到，邊際效用非連續(xù)性也會(huì)被預(yù)期到，這對(duì)家庭來說，并不是最優(yōu)的選擇。（3）經(jīng)驗(yàn)型應(yīng)用：戰(zhàn)爭(zhēng)與實(shí)際利率 政府購(gòu)買永久性增加不影響利率 政府購(gòu)買暫時(shí)性增加會(huì)提高利率 政府購(gòu)買暫時(shí)性處在較高水平的一個(gè)例子是戰(zhàn)爭(zhēng)時(shí)期。 因此，我們分析預(yù)測(cè)戰(zhàn)時(shí)的實(shí)際利率較高。 Barro(1987) B部分：戴蒙德模型2.8 假設(shè) 戴蒙德模型和拉姆齊-卡斯-庫普曼模型的核心差異是存在人口的新老交替，而非永久

9、性生存的家庭：新人不斷出生，老人不斷消亡。 時(shí)間是離散的而非連續(xù)的。 為了簡(jiǎn)化分析，假設(shè)每個(gè)人只存活兩個(gè)時(shí)期：年輕和老年時(shí)期。 年輕時(shí)期賺取收入，并用于消費(fèi)和儲(chǔ)蓄，老年時(shí)無收入，靠?jī)?chǔ)蓄度日。 t時(shí)期人口為L(zhǎng)t，人口增長(zhǎng)率外生為n，因此： 因此，t時(shí)期有Lt的年輕人和的Lt-1的老年人。 每個(gè)個(gè)人在其年輕的時(shí)候供給1單位的勞動(dòng)。1)1 (ttLnL 效用函數(shù)為相對(duì)風(fēng)險(xiǎn)厭惡不變的效用函數(shù)： C1t和C2t代表年輕人和老年人在t時(shí)刻的消費(fèi)。1, 0,111111211tttCCU 生產(chǎn)函數(shù)假設(shè)同拉姆齊-卡斯-庫普曼模型 存在一些初始資本存量k0，由老年人平均持有。)()()()1 (),(1tttt

10、ttttttkfkkfwkfrAgALAKFY2.9 家庭行為 跨期預(yù)算約束方程： t時(shí)刻出生的人在第2期的消費(fèi)為：)45. 2(1)44. 2()(1 (11211112ttttttttttwArCCCAwrC 從套利角度理解： t時(shí)刻出生的人在年輕時(shí)期少消費(fèi)dc，將其用于儲(chǔ)蓄，則t+1時(shí)刻老年時(shí)期的消費(fèi)量現(xiàn)值為： 如果個(gè)人正在進(jìn)行最優(yōu)化，則終生效用應(yīng)保持不變。dcrt111)48. 2()11()47. 2(11)46. 2(11/1111211121121tttttttttrCCrCCdcrCdcCttttttttwArCCtsCCU1121112111. .1, 0,1111:max)

11、48. 2()11(0111049. 2)1(1111/111121121211112111211tttttttttttttttrCCrCCLCCLrCCwACCL）（）（ 54. 2)1 ()1 ()1 ()53. 2()1 ()1 ()(1 ()11()48. 2()11(/ )1(1/1/111/1/ )1(1111121/1112/11112ttttttttttttttttttttwArCwACrCCAwrCCrCrCC 令s(r)為儲(chǔ)蓄率，則)56. 2()(1 )55. 2()1 ()1 ()1 ()1 ()1 ()1 (1)(11/ )1(/1/ )1(/ )1(/1/1wArs

12、Crrrrsttt)55. 2()1 ()1 ()1 ()(/ )1(/1/ )1(rrrs2.10 經(jīng)濟(jì)的動(dòng)態(tài)學(xué) k的運(yùn)動(dòng)方程)59. 2()()()()1)(1 (1)()(),()58. 2()1)(1 ()()1 ()1 ()()57. 2()(111111111111ttttttttttttttttttttttttttttkfkkfkfsgnkkfkkfwkfrgnwrsgAnLwALrsALKkwALrsK k的演化 均衡，即 我們的目的是這樣的均衡是否存在？ 如果存在，偏離之后是否會(huì)回到均衡？ttkk1對(duì)數(shù)效用函數(shù)與柯布-道格拉斯生產(chǎn)函數(shù) 當(dāng)=1時(shí)，效用函數(shù)即為對(duì)數(shù)效用函數(shù)。 此

13、時(shí)，kkf kkfwkkfrkkf)1 ()()(,)()(121)(211,)1 ()1 (11111,1)1(ln11ln1. .ln11ln:max111211211112111211211121121rswACwArCCCCrrCCrCCwACCLwArCCtsCCUtttttttttttttttttttttttttttt)60. 2()-1 (21)1)(1 (1)59. 2()()()()1)(1 (121)(111tttttttkgnkkfkkfkfsgnkrs收斂的速度 均衡時(shí)：*k)63. 2()2)(1)(1 (-1)62. 2()2)(1)(1 (-1)61. 2()-1 (21)1)(1 (1)60. 2()-1 (21)1)(1 (1)1/(*)1/(1*1gnygnkkgnkkgnktt)63. 2()2)(1)(1 (-1)62. 2()2)(1)(1 (-1)61. 2()-1 (21)1)(1 (1)60. 2()-1