理論力學第十三章動能定理教學PPT

1、動能定理動能定理主要內容主要內容力的功力的功動能動能動能定理動能定理功率、功率方程功率、功率方程勢力場、勢能、機械能守恒定理勢力場、勢能、機械能守恒定理動力學普遍定理的綜合應用動力學普遍定理的綜合應用力的功力的功力的功力的功力的功是力在一段路程中對物體作用所累積是力在一段路程中對物體作用所累積的效果，其結果引起能量的轉變和轉化。的效果，其結果引起能量的轉變和轉化。常力在直線路程中的功常力在直線路程中的功元功、變力在曲線路程中的功元功、變力在曲線路程中的功 力力 F 在有限路程在有限路程 A1A2 中的總功中的總功W,是該力在這段是該力在這段路程中全部元功的代數和路程中全部元功的代數和,可表示成

2、曲線積分可表示成曲線積分如在質點上同時作用著幾個力如在質點上同時作用著幾個力,則由合力投影定理則由合力投影定理可以推知可以推知,。這個結論稱為這個結論稱為.d W = Fxdx + Fydy + Fzdz這就是這就是元功的解析表達式元功的解析表達式。因為因為 F = Fxi + Fyj + Fzk, dr = dxi + dyj + dzk, 上式上式改為改為2121)52()ddd(dcosAAzyxAAzFyFxFFW合力之功定理合力之功定理幾種常見力的功幾種常見力的功 設物體的重心設物體的重心 A 沿某一曲現由沿某一曲現由 A1 運動到運動到 A2 。物體的重力。物體的重力 G在坐在坐標

3、軸系上的投影為標軸系上的投影為21)(d21zzGhzzGzGW d W = Fxdx + Fydy + FzdzA1(x1,y1,z1)AxyzA2(x2,y2,z2)21)(d21zzGhzzGzGWA1(x1,y1,z1)AxyzA2(x2,y2,z2)幾種常見力的功幾種常見力的功OA1drA2r1rr2FA幾種常見力的功幾種常見力的功 OA1drA2r1rr2FA212122001020()d()()() 2rA ArcWd Wcrlrlrlrl 幾種常見力的功幾種常見力的功 )(22221cW212122001020()d()()() 2rA ArcWd Wcrlrlrlrl 幾種常

4、見力的功幾種常見力的功OkdrxrFAvdyz幾種常見力的功幾種常見力的功 d)(21FmWz幾種常見力的功幾種常見力的功思考思考rx 2FxrxMFxWC212根據式tMvFWCtCd)( 0 力F所作的功為思考思考 dW = F1d(A1A2) (2-13)(d )(d dd ddd12121121112211AAFrrFrFrFrFrFW幾種常見力的功幾種常見力的功 dW = F1d(A1A2) (2-13)幾種常見力的功幾種常見力的功工程上幾種內力作功的情形工程上幾種內力作功的情形NAdrNAdrNAdr(a)(b)(c)幾種常見力的功幾種常見力的功幾種常見力的功幾種常見力的功ddFC

5、vWFrd0CvF vt幾種常見力的功幾種常見力的功動能動能動能動能221122Tmvmv 動能動能平動剛體的動能平動剛體的動能222ccc11222vTmvmMv動能動能定軸轉動剛體的動能定軸轉動剛體的動能22222)(2121mrrmmvT212zTJ17-9(b)AvzrO動能動能21iniim式中 分別為第 個質點的質量和到該軸的距離J=iim,i動能動能平面運動剛體的動能平面運動剛體的動能212PTJ轉動慣量轉動慣量2CCPMrJJ即,212PTJ2CCPMrJJ2222111()222CCCCTJMrMvJ動能動能例題例題例題例題eAvvx rABvllr cosxvlr csin

6、yvl動能動能22212221()cos2Tmm xm lxm l22212BTm v2221(cos )(sin )2mxll21112ATmv2112m x動能動能動能定理動能定理動能定理動能定理表達了質點或質點系的動能變化量和作用力的功之間的數量關系。mv dv = F drFtvmdd質點動能定理質點動能定理質點動能定理質點動能定理21d()d2mvWmv dv = F dr22211122mvmvW質點動能定理質點動能定理即,。這就是。 dT= dW因故上式可寫成Wmvd)2(d2Tmvmvd)2(d)2(d2221d()d2mvW質點系動能定理質點系動能定理 dT= dW質點系動能

7、定理質點系動能定理例題例題2222)(2)()(ccmgFWGWWss解:例題例題2202210cmv例題例題例題例題解：)(2 21)(21212121222222212222GGrgvvgGrvgGvgGJTO例題例題)2()cos(sin 222212rGGrgsfGMvOsGfGrMsGfsGrsMFWGWMWWOOOcossincossin)()()(22222) 1 ()cossin(0)(22221222sGfGrMGGrgvO例題例題把式(1)中的看作變值,并求兩端對時間 t 的導數,有考慮到在單向的直線運動中 dv/dt = a,ds/dt = v,故rgrGGfrGMaO2

8、2212)cos(sintsGfGrMGGrtvgvOdd)cossin()(dd22222122) 1 ()cossin(0)(22221222sGfGrMGGrgvO例題例題物體物體 A 裝在下部有輪子裝在下部有輪子 B 的鉛直軸的鉛直軸 z 上上,輪輪 B 的半徑是的半徑是 r ,其上纏著不可伸其上纏著不可伸長的細繩。此繩跨過小滑輪長的細繩。此繩跨過小滑輪 C ,在下在下端系有質量是端系有質量是 m的物塊的物塊 D。當物塊。當物塊下降時下降時,帶動帶動 A 繞軸繞軸 z 旋轉。旋轉。 (1)已知軸已知軸 z上物體系對此軸的轉動上物體系對此軸的轉動慣量為慣量為 Jz ,試求物塊試求物塊D由

9、靜止開始下由靜止開始下降距離降距離 s 時的速度和加速度時的速度和加速度;(2)若由試驗測得當物塊下降距離若由試驗測得當物塊下降距離 s 所所需的時間是需的時間是 ,試求重物試求重物 A 對轉軸對轉軸 z 的的轉動慣量。軸承摩擦轉動慣量。軸承摩擦,空氣阻力以及空氣阻力以及小滑輪小滑輪C和繩索的質量都不計。和繩索的質量都不計。17-9(b)AvzBEFrsGaCD例題例題)(22121222222zzJmrrvJmvT) 1 (0)(2222mgsJmrrvzgsJmrmrvz222解：17-9(b)AvzBEFrsGaCD例題例題22222121gJmrmrasz) 12(22sgmrJzgJ

10、mrmraz22tsmgJmrtvvrzdd)(dd22122) 1 (0)(2222mgsJmrrvz例題例題系統(tǒng)在鉛直平面內由兩根相同的勻質細直桿構成系統(tǒng)在鉛直平面內由兩根相同的勻質細直桿構成. A、B為為鉸鏈鉸鏈,D為小滾輪為小滾輪.且且AD水平水平.每根桿的質量每根桿的質量M=6 kg,長度長度l=0.75 m.當仰角當仰角 1=60系統(tǒng)由靜止釋放系統(tǒng)由靜止釋放.求當仰角減到求當仰角減到 2=20 時桿時桿AB的角速度的角速度.摩擦和小滾輪的質量都不計摩擦和小滾輪的質量都不計.例題例題解:例題例題)(125241)2121(2122222E22PElMJMvJTABBDEABA例題例題

11、例題例題勻質滾子的質量為勻質滾子的質量為m，半徑為，半徑為R，放在粗糙的水平地板上，放在粗糙的水平地板上，如圖所示。在滾子的鼓輪上繞以繩，在繩子上作用有常力如圖所示。在滾子的鼓輪上繞以繩，在繩子上作用有常力T，作用線與水平方向夾角為，作用線與水平方向夾角為 。已知鼓輪的半徑為。已知鼓輪的半徑為r，滾，滾子對軸子對軸O的回轉半徑為的回轉半徑為 O，滾子由靜止開始運動。試求滾，滾子由靜止開始運動。試求滾子軸子軸O的運動方程。的運動方程。 NFmgOx 例題例題系統(tǒng)具有一個自由度，約束力不系統(tǒng)具有一個自由度，約束力不作功。作功。22()dTm Rd vAvB22(cos)()OT Rrm Recos

12、reR2222211221()2OOTmxJm R BdcosABAdtdtTedt T vT vWd功率、功率方程功率、功率方程功率功率功率：功率：力在單位時間內所作的功（它是衡量機器工力在單位時間內所作的功（它是衡量機器工作能力的一個重要指標）。功率是代數量，并有瞬作能力的一個重要指標）。功率是代數量，并有瞬時性。時性。limtWdWPtdt 瞬時功率作用力的功率：vvF dsdWPF vdtdt力矩的功率：30zzzdWdnPMMMdtdt功率的單位：瓦特（W），千瓦（kW），W=J/s 。功率方程功率方程功率方程功率方程：由 的兩邊同除以dt 得dTdWdWdWdW入出無 dWdTdT

13、PPPPdtdtdt入出無即機器穩(wěn)定運行時，機械效率0/dtdT100%PP出入是評定機器質量優(yōu)劣的重要指標之一。一般情況下 。勢力場、勢能、機械能勢力場、勢能、機械能守恒定理守恒定理勢力場與勢能勢力場與勢能 具有力的功只決定于作用點的始末位置而與運動路徑無具有力的功只決定于作用點的始末位置而與運動路徑無關共同特性的力統(tǒng)稱為關共同特性的力統(tǒng)稱為有勢力有勢力(或保守力或保守力)。 有勢力是一種場力有勢力是一種場力,它出現在特定的空間它出現在特定的空間,這種空間稱為這種空間稱為勢力場勢力場(或保守力場或保守力場)。V = W(AA0) 在勢力場中在勢力場中,質點的勢能只有相對值質點的勢能只有相對值

14、.通常預先任意地選通常預先任意地選定場中某個點定場中某個點 A0 處的勢能為零處的勢能為零,稱稱A0為為勢能零點勢能零點。 質點在場中其他點質點在場中其他點A處的勢能用處的勢能用V表示表示,定義為該質點由定義為該質點由點點A運動到零點運動到零點A0的過程中的過程中,有勢力所做的功有勢力所做的功W(A A0).即有即有 勢能勢能幾種常見勢力場的勢能幾種常見勢力場的勢能 重力場重力場21)(d21zzGhzzGzGW并取并取 A0(x0,y0,z0) 為零點為零點,則質點在重則質點在重力場力場 A 處的勢能為處的勢能為利用重力的功的表達式利用重力的功的表達式幾種常見勢力場的勢能幾種常見勢力場的勢能

15、 彈性力場彈性力場 通常取彈簧無變形的位置作通常取彈簧無變形的位置作為零點為零點 A0,利用彈性力的功的表達利用彈性力的功的表達式式得質點在彈性力場變形為得質點在彈性力場變形為 的的 A處處的勢能為的勢能為2212()2 cW勢能函數勢能函數 在一般情況下在一般情況下,質點的勢能可以表示成質點位置坐標質點的勢能可以表示成質點位置坐標x、y、z的單值連續(xù)函數的單值連續(xù)函數,即即V = V (x , y , z). 勢能函數勢能函數勢能函數勢能函數 推廣到質點系推廣到質點系.只需把系內所有各質點的勢能加在一只需把系內所有各質點的勢能加在一起就得到質點系在勢力場中的勢能。這樣起就得到質點系在勢力場中

16、的勢能。這樣,質點系的勢能質點系的勢能一般可以表示成質點系內所有各質點的坐標一般可以表示成質點系內所有各質點的坐標 x1 , y1 , z1 ; ; xn , yn , zn 的單指連續(xù)函數，即的單指連續(xù)函數，即 例如例如,可以證明質點系在重力場中的勢能為可以證明質點系在重力場中的勢能為勢力場的某些性質勢力場的某些性質因為因為 F = Fxi + Fyj + Fzk, dr = dxi + dyj + dzk, d W = Fxdx + Fydy + Fzdzd W = V(x,y,z)-V(x+dx,y+dy ,z+dz)=-dV全微分多元函數全微分多元函數V的全微分的全微分, ,VVVdV

17、 x y zdxdydzxyzxyzVVVF dxF dyF dzdxdydzxyz xVFx yVFy zVFz 勢力場的某些性質勢力場的某些性質xVFx yVFy zVFz 作用于質點的有勢力在各固定直角坐標軸上的投影，作用于質點的有勢力在各固定直角坐標軸上的投影，等于勢能函數對相應坐標偏導數冠以負號。等于勢能函數對相應坐標偏導數冠以負號。由上式可以得到勢力場存在的條件由上式可以得到勢力場存在的條件,yyxxzzFFFFFFyxzyxz勢力場的某些性質勢力場的某些性質111222,;,;,nnnVV x y z xyzxyz以上結論可以直接推廣到質點系，勢能函數表示為以上結論可以直接推廣到

18、質點系，勢能函數表示為,ixiyiziiiVVVFFFxyz xyzVVVdWF dxF dyF dzdxdydzdVxyz 機械能守恒定理機械能守恒定理機械能守恒定理機械能守恒定理例題例題解:20202201)2(41)(21(2121vMmrvMrmvT例題例題例題例題mgcV22222120222)2(4120cvMmmgc20202201)2(41)(21(2121vMmrvMrmvT例題例題202)2(412vMmc022vcMm 2120222)2(4120cvMmmgc動力學定理的綜合應用動力學定理的綜合應用動力學普遍定理的綜合應用動力學普遍定理的綜合應用動量定理動量定理、質心運

19、動定理、動量守恒定理動量矩定理對固定點的動量矩定理、對軸的動量矩定理、動量矩守恒定理。動能定理動能定理（微分形式和積分形式）例題例題1BO2AO130oDWWWM 勻質圓輪勻質圓輪A和和B的半徑均為的半徑均為r，圓輪，圓輪A和和B以及物塊以及物塊D的的重量均為重量均為W，圓輪，圓輪B上作用有力偶矩為上作用有力偶矩為M的力偶，且的力偶，且3Wr/2 MWr/2。圓輪。圓輪A在斜面上向下作純滾動。初始整在斜面上向下作純滾動。初始整個系統(tǒng)處于靜止狀態(tài)，不計圓輪個系統(tǒng)處于靜止狀態(tài)，不計圓輪B的軸承的摩擦力。的軸承的摩擦力。求：求：1、物塊、物塊D的加速度；的加速度； 2、二圓輪之間的繩索所受拉力；、二

20、圓輪之間的繩索所受拉力； 3、圓輪、圓輪B處的軸承約束力。處的軸承約束力。解：解：1 1、確定物塊的加速度、確定物塊的加速度對系統(tǒng)整體應用動能定理對系統(tǒng)整體應用動能定理BO2AO130oDWWWMsDO212222211112222DDOBAAOATm vJm vJ21iiTTW iDGAMiWWWW222222111 111 1()()22 222 2DBAAWWWWvrvrTggggsin30DDBWsWsM例題例題1將所有運動量都表示成坐標將所有運動量都表示成坐標 sD的形式的形式BO2AO130oDWWWMsDO222222111 111 1()()22 222 2DBAAWWWWvr

21、vrTggggsin30DDBWsWsM,DDDADABvsvvsrr,DBsr213()22DDWMWvTsgr例題例題1 為求物塊的加速度，將等式兩為求物塊的加速度，將等式兩邊對時間求一階導數，得到邊對時間求一階導數，得到當當MWr/2，aD0，物塊物塊D向上運動向上運動BO2AO130oDWWWMsDO213()22DDWMWvTsgr3()2DDDWMWv avgr23DMWragW例題例題1WDBO2WFTFByFBxM2、確定圓輪、確定圓輪A和和B之間繩索的拉力之間繩索的拉力解除圓輪解除圓輪B軸承處的約束，將軸承處的約束，將AB段繩索截開，對圓輪段繩索截開，對圓輪B、繩索和物塊、繩

22、索和物塊D組成的局部系統(tǒng)應用動量矩定理組成的局部系統(tǒng)應用動量矩定理BO2AO130oDWWWM2T1(-)2BDWWra rMW F rgg例題例題1根據運動學關系根據運動學關系2T1(-)2BDWWra rMW F rggDBarT32DWMaWFgrT1 3()2 2MFWrTT330;0,22MWrFMWrF時，時，不合理。例題例題1WDBO2WFTFByFBxM得得解得解得3、確定圓輪、確定圓輪B軸承處的動約束力軸承處的動約束力 對圓輪對圓輪B、繩索和物塊、繩索和物塊D組成的局組成的局部系統(tǒng)應用質心運動定理部系統(tǒng)應用質心運動定理TT0cos302sin30BxDByFFWaFWFgT1

23、 3cos30()cos302 2153()122BxByMFFWrWMFr例題例題1WDBO2WFTFByFBxM例題例題2均質圓盤A：m，r；滑塊B：m；桿AB：質量不計，平行于斜面。斜面傾角，摩擦系數f，圓盤作純滾動，系統(tǒng)初始靜止。求：滑塊的加速度。 例題例題2解：解：選系統(tǒng)為研究對象選系統(tǒng)為研究對象)cossin2( cos sin 2)(fSmgmgSfSmgWF22222121212121 0mrmvmvTT運動學關系： rv 2245mvT 由動能定理 )cossin2(0452fmgSmvgfa)cos52sin54(行星齒輪機構在水平面內運動。質量為行星齒輪機構在水平面內運動

24、。質量為m的均質曲柄的均質曲柄AB帶帶動行星齒輪動行星齒輪II在固定齒輪在固定齒輪I上純滾動。齒輪上純滾動。齒輪II的質量為的質量為m2，半徑為半徑為r2。定齒輪。定齒輪I的半徑為的半徑為r1。桿與輪鉸接處的摩擦力忽。桿與輪鉸接處的摩擦力忽略不計。當曲柄受力偶矩為略不計。當曲柄受力偶矩為M的常力偶作用時，求桿的角的常力偶作用時，求桿的角加速度加速度 及輪及輪II邊緣所受切向力邊緣所受切向力F。例題例題31. 求桿的角加速度求桿的角加速度 222222122122 221 111 1()()2 322 2Tm rrm rrm r運動學條件：2122()/rrr2221231 1()()2 32T

25、mmrr主動力系的元功為由動能定理得221231()()32mmrrdMd 22126(29)()MmmrrddMW 例題例題322 22212m rFr1222rrr22123(29)()MmFmmrr例題例題3長為長為l、質量為、質量為m的均質細桿靜止直立于光滑水平面上。當的均質細桿靜止直立于光滑水平面上。當桿受微小干擾而倒下時，求桿剛剛到達地面時的角速度和桿受微小干擾而倒下時，求桿剛剛到達地面時的角速度和地面約束力。地面約束力。ACvCvA例題例題4由質心運動定理可知，直桿在倒下過程中其質心將鉛直下落。1. 求桿剛剛到達地面時的角速度求桿剛剛到達地面時的角速度12Cvl2222111226CCTmvJml由動能定理得：221162mlmgl3glACvCvA桿剛剛到達地面時，A點為瞬心例題例題42. 求桿剛剛到達地面時的地面約束力由剛體的平面運動微分方程得21212CmgNmalNmlCArtrnaaaa將上式沿鉛垂方向投影，得12Cr