第二章晶體衍射和倒格子

1、 第二章第二章 晶體衍射和倒格子晶體衍射和倒格子2.1 晶體衍射晶體衍射2.2 倒格子倒格子2.3 布里淵區(qū)布里淵區(qū)2.4 布拉格反射布拉格反射2.5 原子散射因子原子散射因子2.6 幾何結(jié)構(gòu)因子幾何結(jié)構(gòu)因子如何確定晶體結(jié)構(gòu)如何確定晶體結(jié)構(gòu)2.1 2.1 晶體衍射晶體衍射晶體的特點是其內(nèi)部原子的周期性排列，形成不同方向等間晶體的特點是其內(nèi)部原子的周期性排列，形成不同方向等間隔的晶面族隔的晶面族由量子力學(xué)可知，微觀粒子具有波動性，然而，并非任何粒子束入射到晶體上都會產(chǎn)生衍射現(xiàn)由量子力學(xué)可知，微觀粒子具有波動性，然而，并非任何粒子束入射到晶體上都會產(chǎn)生衍射現(xiàn)象，例如，當(dāng)波長為象，例如，當(dāng)波長為50

2、0nm（5000埃）的光子入射到晶體上只會產(chǎn)生通常的光的折射現(xiàn)象，而埃）的光子入射到晶體上只會產(chǎn)生通常的光的折射現(xiàn)象，而不會產(chǎn)生光的干涉現(xiàn)象（即衍射）不會產(chǎn)生光的干涉現(xiàn)象（即衍射）每組晶面族可以作為波的衍射光柵，因此，選擇適當(dāng)波長的每組晶面族可以作為波的衍射光柵，因此，選擇適當(dāng)波長的波入射到晶體上就有可能觀察到衍射現(xiàn)象波入射到晶體上就有可能觀察到衍射現(xiàn)象通過對不同方向衍射現(xiàn)象的分析，就可以了解晶體內(nèi)部原子通過對不同方向衍射現(xiàn)象的分析，就可以了解晶體內(nèi)部原子的排列情況，為晶體結(jié)構(gòu)的確定奠定了基礎(chǔ)的排列情況，為晶體結(jié)構(gòu)的確定奠定了基礎(chǔ)2.1.1 適于晶體衍射的幾種典型粒子束適于晶體衍射的幾種典型粒

3、子束哪些粒子束入射到晶體上會產(chǎn)生衍射現(xiàn)象呢？哪些粒子束入射到晶體上會產(chǎn)生衍射現(xiàn)象呢？基本判據(jù)：輻射的波長同晶格常數(shù)相當(dāng)或小于晶格常數(shù)基本判據(jù)：輻射的波長同晶格常數(shù)相當(dāng)或小于晶格常數(shù)晶體中的原子間距在晶體中的原子間距在0.1nm左右左右圖中給出了圖中給出了X-射線光子、電子和中子的波長與射線光子、電子和中子的波長與能量的關(guān)系，可以看到，這三種粒子束的波長能量的關(guān)系，可以看到，這三種粒子束的波長都滿足同晶格常數(shù)相當(dāng)或小于晶格常數(shù)的判據(jù)都滿足同晶格常數(shù)相當(dāng)或小于晶格常數(shù)的判據(jù)X-射線射線1895年倫琴發(fā)現(xiàn)年倫琴發(fā)現(xiàn)X-射線，射線， 1912年勞厄意識到其波長在年勞厄意識到其波長在0.1nm量級，與晶

4、體中的原子間距相當(dāng)，量級，與晶體中的原子間距相當(dāng)，因此，晶體必可成為因此，晶體必可成為X射線的衍射光柵，隨后布拉格用射線的衍射光柵，隨后布拉格用X射線證實射線證實NaCl等晶體具有面心立等晶體具有面心立方結(jié)構(gòu)。方結(jié)構(gòu)。直到今天，直到今天，X射線衍射（射線衍射（XRD）仍為確定晶體結(jié)構(gòu)的重要工具，但由于）仍為確定晶體結(jié)構(gòu)的重要工具，但由于X射線穿透能力太強，射線穿透能力太強，在某些方面，例如在研究晶體表面結(jié)構(gòu)中，難以發(fā)揮作用。在某些方面，例如在研究晶體表面結(jié)構(gòu)中，難以發(fā)揮作用。X-射線是由被高電壓射線是由被高電壓V加速了的電子，打擊在加速了的電子，打擊在“靶級靶級”物質(zhì)上而產(chǎn)生的一種電磁波，這樣

5、物質(zhì)上而產(chǎn)生的一種電磁波，這樣產(chǎn)生的產(chǎn)生的X-射線，最大的光子能量射線，最大的光子能量h 最大最大等于電子的能量等于電子的能量eV，因此，因此，X-射線的最短波長為射線的最短波長為minmin1200(:,:)chV VnmeVV4min10, 0.1VVnm實驗上多采用實驗上多采用40千伏，所產(chǎn)生的最短波長為千伏，所產(chǎn)生的最短波長為0.03nm電子電子電子波動性的發(fā)現(xiàn)給人類確定晶體結(jié)構(gòu)增添了另外一種手段電子波動性的發(fā)現(xiàn)給人類確定晶體結(jié)構(gòu)增添了另外一種手段可見可見150V即可產(chǎn)生波長為即可產(chǎn)生波長為0.1nm的電子波。由于電子的能量可方便地通過加速電壓調(diào)整，因的電子波。由于電子的能量可方便地通

6、過加速電壓調(diào)整，因此，電子的波長可隨意調(diào)節(jié)，增加了探測的自由度，在許多用此，電子的波長可隨意調(diào)節(jié)，增加了探測的自由度，在許多用X射線探測無能為力的方面射線探測無能為力的方面恰恰是電子衍射的用武之地，最典型的例子是，準晶的發(fā)現(xiàn)就是借助電子衍射而獲知的，恰恰是電子衍射的用武之地，最典型的例子是，準晶的發(fā)現(xiàn)就是借助電子衍射而獲知的，同時，電子衍射，特別是低能電子衍射，是研究晶體表面結(jié)構(gòu)的首選。同時，電子衍射，特別是低能電子衍射，是研究晶體表面結(jié)構(gòu)的首選。電子衍射是以電子束直接打在晶體上而形成的，電子束的德布羅意波的波長電子衍射是以電子束直接打在晶體上而形成的，電子束的德布羅意波的波長 =h/p，利用

7、，利用p2/2m=eV，V是電子的加速電壓，因此有是電子的加速電壓，因此有1500.1(:,:)2hV VnmVmeV中子中子中子質(zhì)量約為電子質(zhì)量的中子質(zhì)量約為電子質(zhì)量的2000倍，如果能量和電子束一樣，則中子波長約為電子波長的倍，如果能量和電子束一樣，則中子波長約為電子波長的1/2000，因此，對中子束，只需，因此，對中子束，只需0.1eV能量的中子就可產(chǎn)生能量的中子就可產(chǎn)生0.1nm的波。的波。圖是根據(jù)中子衍射推斷出圖是根據(jù)中子衍射推斷出MnO晶體的晶體結(jié)構(gòu)晶體的晶體結(jié)構(gòu)及其及其Mn2+離子的磁矩的有序排列離子的磁矩的有序排列MnO具有具有NaCl結(jié)構(gòu)，其中結(jié)構(gòu)，其中Mn2+可看成由可看成

8、由(111)密排面疊成的面心立方結(jié)構(gòu)密排面疊成的面心立方結(jié)構(gòu)同一同一(111）面內(nèi)各離子的磁矩是平行的，而相）面內(nèi)各離子的磁矩是平行的，而相鄰（鄰（111）面上的離子的磁矩是反平行的）面上的離子的磁矩是反平行的 。中子沒有電荷但有磁矩，與晶體中電子自旋的相互作用，使得中子衍射成為探測晶體磁有序結(jié)中子沒有電荷但有磁矩，與晶體中電子自旋的相互作用，使得中子衍射成為探測晶體磁有序結(jié)構(gòu)的獨特的手段構(gòu)的獨特的手段2.1.2 衍射方程衍射方程假設(shè)射線源與晶體距離以及觀測點與晶體的距離都比晶體的線度大得多，因此，將入射波和衍假設(shè)射線源與晶體距離以及觀測點與晶體的距離都比晶體的線度大得多，因此，將入射波和衍射

9、波均可看成平面波，其傳播方向分別用單位矢量射波均可看成平面波，其傳播方向分別用單位矢量S0和和S表示，取格點表示，取格點O為原點，晶格中任一格為原點，晶格中任一格點點A的格矢則為的格矢則為AO0SSlRCD從圖中看出，光程差為從圖中看出，光程差為CO+OD0llCORSODRS 112233lRl al al a 當(dāng)光程差為波長整數(shù)倍時則衍射加強，即當(dāng)光程差為波長整數(shù)倍時則衍射加強，即0()lRSS0()lRSSn勞厄衍射方程勞厄衍射方程考慮到考慮到 和和 ，則勞厄衍射方程也可表示為則勞厄衍射方程也可表示為002kS2kS0()2lRkkn2.1.3 衍射波的波幅與強度衍射波的波幅與強度AO0

10、kklR由上面分析可知，在由上面分析可知，在k方向上，兩個原子產(chǎn)生的散射波的相位差為方向上，兩個原子產(chǎn)生的散射波的相位差為02()lRkk光程差因此，因此，k方向上散射波的幅度應(yīng)當(dāng)為來自兩個原子散射波的幅度之和，即方向上散射波的幅度應(yīng)當(dāng)為來自兩個原子散射波的幅度之和，即0()0( )li kkRAA ke其中其中 i為第為第i個原子散射波幅度個原子散射波幅度若計及所有原子對散射波的貢獻，則若計及所有原子對散射波的貢獻，則k方向散方向散射波的幅度為射波的幅度為02() (), ( )( )jji k kRRjjj jjI kA ke 0()1( )jNi k kRjjA ke由此可得由此可得k方

11、向的衍射強度為方向的衍射強度為2.2 倒格子倒格子由于晶格周期性，一些物理量具有周期性，若由于晶格周期性，一些物理量具有周期性，若代表晶體代表晶體的某一物理性質(zhì)（的某一物理性質(zhì)（如電場強度、電子云密度、勢能等），如電場強度、電子云密度、勢能等），由于晶格的周期性，則有由于晶格的周期性，則有112233( )()rrl al al a 引入倒格子，可以將三維周期函數(shù)展開為傅里葉級數(shù)，引入倒格子，可以將三維周期函數(shù)展開為傅里葉級數(shù)，例如例如或者說，物理性質(zhì)是以或者說，物理性質(zhì)是以為周期的三維周期函數(shù)為周期的三維周期函數(shù)123aaa 、 、表明：一個重復(fù)單元中任一表明：一個重復(fù)單元中任一r處處的物理

12、性質(zhì)同另一個重復(fù)單元的物理性質(zhì)同另一個重復(fù)單元相應(yīng)處的物理性質(zhì)相同相應(yīng)處的物理性質(zhì)相同例如圖中例如圖中A和和A處的物理性質(zhì)相同處的物理性質(zhì)相同( )()miKrmmV rV Ke假設(shè)晶格的原胞基矢為假設(shè)晶格的原胞基矢為 、 、 ，原胞體積原胞體積1a 2a 3a 123()aaa 由這組基矢構(gòu)成的格子稱為對應(yīng)于以由這組基矢構(gòu)成的格子稱為對應(yīng)于以 、 、為基矢的正格子的倒易格子為基矢的正格子的倒易格子(簡稱倒格子簡稱倒格子)1a 2a 3a 構(gòu)建一新的空間，其基構(gòu)建一新的空間，其基矢為矢為 123231312222baabaabaa 1b 2b 3b 、 、 稱為倒格子基矢稱為倒格子基矢 從數(shù)學(xué)

13、上講，倒易點陣和布喇菲點陣是互相對應(yīng)的傅里葉空間從數(shù)學(xué)上講，倒易點陣和布喇菲點陣是互相對應(yīng)的傅里葉空間倒易空間中每個格點的位置由倒格子矢量（又稱倒格倒易空間中每個格點的位置由倒格子矢量（又稱倒格矢）給出矢）給出 1 12233hKh bh bh b 2.2.1 倒格子的定義倒格子的定義2.2.2倒格子與正格子間的關(guān)系倒格子與正格子間的關(guān)系1、正、倒格子基矢間的關(guān)系、正、倒格子基矢間的關(guān)系2()20()ijijijabij 2、倒格子原胞體積反比于正格子原胞體積倒數(shù)、倒格子原胞體積反比于正格子原胞體積倒數(shù)*123()bbb 3*(2) ,1,2,3i j 作為習(xí)題驗證該關(guān)系作為習(xí)題驗證該關(guān)系正格

14、子原胞體積正格子原胞體積123()aaa 倒格子原胞體積倒格子原胞體積作為習(xí)題驗證該關(guān)系作為習(xí)題驗證該關(guān)系3、正格子中晶面指數(shù)為、正格子中晶面指數(shù)為 的晶面和倒格矢正交的晶面和倒格矢正交1 2 3hhh（）hK 1 12233hKh bh bh b 其其中中hK 倒格矢倒格矢 是晶面指數(shù)為是晶面指數(shù)為 所對應(yīng)的晶面族的法線所對應(yīng)的晶面族的法線1 2 3hhh（）意味著意味著1 2 3h h hK 證明證明3113aaCAhh 1 2 31 12233h h hKh bh bh b 1 2 3311 1223313() ()h h haaKCAh bh bh bhh 311 133130aah

15、bh bhh 2ijijab 1 2 30h h hKCB 所以晶面族與和倒格矢正交所以晶面族與和倒格矢正交1 2 3hhh（）1 2 3h h hK 同理可證同理可證ABCABC晶面是晶面族中最靠近原點的晶面晶面是晶面族中最靠近原點的晶面1 2 3hhh（）4、倒格矢、倒格矢 的長度正比于晶面族面間距的倒數(shù)的長度正比于晶面族面間距的倒數(shù) 1 2 3hh hd1 2 3h h hK 1 2 3hhh（）1 2 3h h hK 證明證明ABCABC晶面是晶面族中最靠近原點的晶面晶面是晶面族中最靠近原點的晶面1 2 3hhh（）這族晶面的面間距就等于原點到這族晶面的面間距就等于原點到ABCABC面

16、的距離面的距離1 2 3hh hd由前面證明可知，由前面證明可知，倒格矢倒格矢 是晶面族的法線方向是晶面族的法線方向1 2 3hhh（）1 2 3h h hK 1 2 31 2 31 2 311h h hh h hh h hKadhK 1 2 31 1223311()h h hh bh bh bahK 1 2 32h h hK 2ijijab 5、正格矢、正格矢 與倒格矢與倒格矢 的關(guān)系的關(guān)系(0, 1, 2.2.)lhR K hK 112233lRl al al a lR 112233hKh bh bh b 證明證明1 122331 12 23 3() ()lhR Kl al al ahbh

17、bhb 1 11 1222 2333 3l a hbl a hbl a hb 1 122332 ()l hl hl h 2 (0, 1, 2.) 推論推論如果兩個矢量滿足關(guān)系式如果兩個矢量滿足關(guān)系式其中一個為正格矢，則另一個必為倒格矢其中一個為正格矢，則另一個必為倒格矢2lhR K 1）一維晶格一維晶格晶格基矢晶格基矢aai倒格子基矢倒格子基矢2bia 2.3布里淵區(qū)布里淵區(qū)在倒格子中，以某一倒格點為原點，作所有倒格矢在倒格子中，以某一倒格點為原點，作所有倒格矢G的垂直平分面，這些平面把倒易空間分的垂直平分面，這些平面把倒易空間分割成許多包圍原點的多面體，其中離原點最近的多面體稱為第一布里淵區(qū)

18、，離原點次近的多割成許多包圍原點的多面體，其中離原點最近的多面體稱為第一布里淵區(qū)，離原點次近的多面體與第一布里淵區(qū)的表面所圍成的區(qū)域稱為第二布里淵區(qū)，以此類推，可得到第三、第四面體與第一布里淵區(qū)的表面所圍成的區(qū)域稱為第二布里淵區(qū)，以此類推，可得到第三、第四等各布里淵區(qū)。等各布里淵區(qū)。2）二維二維 正方格子正方格子正方格子基矢正方格子基矢12aaiaaj倒格子原胞基矢倒格子原胞基矢1222bibjaa 1b 2b 其倒格矢可以表示為：其倒格矢可以表示為： 可見倒格子的結(jié)構(gòu)也是正方格子，晶格可見倒格子的結(jié)構(gòu)也是正方格子，晶格常數(shù)為：常數(shù)為：2a 1 12212122()(hKhhhhahh和 為整

19、數(shù))bbij第一布里淵區(qū)第一布里淵區(qū)倒格子空間離原點最近的四個倒格點倒格子空間離原點最近的四個倒格點1122,bbbb垂直平分線方程垂直平分線方程xykkaa 這些垂直平分線圍成的這些垂直平分線圍成的區(qū)域就是所謂的簡約布區(qū)域就是所謂的簡約布里淵區(qū)，又叫第一布里里淵區(qū)，又叫第一布里淵區(qū)，這個區(qū)為正方形，淵區(qū)，這個區(qū)為正方形，其大小為其大小為2)2(a1b 2b (1)(2)(3)(4) 第二布里淵區(qū)第二布里淵區(qū)離原點次遠的離原點次遠的4個倒格點個倒格點12121212(), ()(), ()bbbbbbbb2)2(a的垂直平分線的垂直平分線1b 2b (1)(2)(3)(4)同第同第I布里淵區(qū)邊

20、界線圍成的區(qū)域稱布里淵區(qū)邊界線圍成的區(qū)域稱為第為第II布里淵區(qū)，其大小為布里淵區(qū)，其大小為由由4個倒格點個倒格點12122 ,22 ,2bbbb第三布里淵區(qū)第三布里淵區(qū)2)2(a的垂直平分線的垂直平分線1b 2b (1)(2)(3)(4)同第區(qū)的邊界線和第二同第區(qū)的邊界線和第二II區(qū)的邊區(qū)的邊界線圍成第界線圍成第III區(qū)，其大小為區(qū)，其大小為第一、第二和第三布里淵區(qū)第一、第二和第三布里淵區(qū)正方格子其它布里淵區(qū)的形成正方格子其它布里淵區(qū)的形成 正方格子其它布里淵區(qū)的形狀正方格子其它布里淵區(qū)的形狀 每個布里淵區(qū)經(jīng)每個布里淵區(qū)經(jīng)過適當(dāng)?shù)钠揭浦蠛瓦^適當(dāng)?shù)钠揭浦蠛偷谝徊祭餃Y區(qū)重合第一布里淵區(qū)重合 2

21、）二維斜格子）二維斜格子第一布里淵區(qū)第一布里淵區(qū)其它布里淵區(qū)的形成其它布里淵區(qū)的形成 其它布里淵區(qū)的形狀其它布里淵區(qū)的形狀 每個布里淵區(qū)經(jīng)每個布里淵區(qū)經(jīng)過適當(dāng)?shù)钠揭浦蠛瓦^適當(dāng)?shù)钠揭浦蠛偷谝徊祭餃Y區(qū)重合第一布里淵區(qū)重合 1()2aaijk 2()2aaijk 3()2aaijk 12()bjka 22()bika 32()bija 可見其倒格子為面心立方結(jié)構(gòu)可見其倒格子為面心立方結(jié)構(gòu) 2(1,1,0)a 2(1,1,0)a 2(1,1,0)a 2(1,1,0)a 2(1,0,1)a 2(1,0,1)a 2(1,0,1)a 2(1,0,1)a 2(0,1,1)a 2(0,1,1)a 2(0,1

22、,1)a 2(0,1,1)a 12個最近鄰的倒格矢的中垂直圍成菱形個最近鄰的倒格矢的中垂直圍成菱形十二面體，其體積正好是倒格子原胞的十二面體，其體積正好是倒格子原胞的體積體積第一布里淵區(qū)第一布里淵區(qū)100方向記作方向記作 ：2Ha110方向記作方向記作： 2 22Na111方向記作方向記作： 3 22Pa幾個特殊的方向幾個特殊的方向 112233222222b-i+ jkajkak+ ibi - j+ kaijbij -kaaaaaa晶格的基矢和倒格子的基矢為晶格的基矢和倒格子的基矢為 2(1,1,1)a 2(1,1,1)a 2(1,1,1)a 2(1,1,1)a 2(1,1,1)a 2(1,

23、1,1)a 2(1,1,1)a 2(1,1,1)a 可見其倒格子為體心立可見其倒格子為體心立方結(jié)構(gòu)方結(jié)構(gòu)8個最近鄰的倒格矢的中垂面圍成一個個最近鄰的倒格矢的中垂面圍成一個正八面體正八面體第一布里淵區(qū)第一布里淵區(qū)100方向記作方向記作 ：2Xa110方向記作方向記作： 3 2 24Ka111方向記作方向記作： 3 22La幾個特殊的方向幾個特殊的方向 2.4 布拉格反射布拉格反射0()2lRkkn另一方面由倒格矢定義，若另一方面由倒格矢定義，若 ，則，則Kh必為倒格矢必為倒格矢2lhR K 由前面的推導(dǎo)可知，晶體中的衍射遵從勞厄衍射方程，即由前面的推導(dǎo)可知，晶體中的衍射遵從勞厄衍射方程，即由此可

24、知，衍射方程中的矢量由此可知，衍射方程中的矢量 相當(dāng)于倒格矢相當(dāng)于倒格矢0()kk既然既然 同倒格矢等價，則可令同倒格矢等價，則可令0()kk0hkknK（n為整數(shù)）為整數(shù)）0()2lRkkn0hkknK這兩個方程是等價的，后者是倒格子空間這兩個方程是等價的，后者是倒格子空間的衍射方程的衍射方程其意義是，當(dāng)衍射波矢和入射波矢相差一個其意義是，當(dāng)衍射波矢和入射波矢相差一個或幾個倒格矢時反射衍射加強現(xiàn)象或幾個倒格矢時反射衍射加強現(xiàn)象2.4.1 衍射方程倒格子空間中的表示衍射方程倒格子空間中的表示其中其中n稱為衍射級數(shù)，稱為衍射級數(shù)，(h1h2h3)是面指數(shù)，而是面指數(shù)，而(nh1nh2nh3)稱為

25、衍射面指數(shù)稱為衍射面指數(shù)2.4.2 布拉格反射布拉格反射在正格子空間中，衍射加強條件可表述為：在正格子空間中，衍射加強條件可表述為：0hkknK衍射加強條件（倒格子空間）衍射加強條件（倒格子空間）布拉格反射布拉格反射1 2 32sinh h hdn1 2 3h h hd為面指數(shù)為（為面指數(shù)為（h1h2h3）的晶面族的面間距，）的晶面族的面間距，n為衍射級數(shù)為衍射級數(shù)1 2 3h h hd0hkknK0hkknK用矢量圖表示為用矢量圖表示為0khnKk02kk故三矢量圍成的三角形為等腰的，因此，故三矢量圍成的三角形為等腰的，因此，nKh的垂直的垂直平分線，即圖中的虛線，必平分平分線，即圖中的虛線

26、，必平分k0和和k間的夾角間的夾角該虛線既然垂直于該虛線既然垂直于nKh，就必然代表著晶面（，就必然代表著晶面（h1h2h3） 的跡的跡因此，可認為因此，可認為k是是k0經(jīng)過晶面（經(jīng)過晶面（h1h2h3） 的反射而成的，衍射極大的方向恰是晶面族的反射的反射而成的，衍射極大的方向恰是晶面族的反射方向，故衍射加強得條件就可轉(zhuǎn)化為晶面的反射條件方向，故衍射加強得條件就可轉(zhuǎn)化為晶面的反射條件0khnKk2k利用由圖可知由圖可知1sin2hnKk4 sinhnK1 2 32hh h hKd又因為又因為1 2 32sinh h hdn布拉格反射布拉格反射0hkknK1 2 32sinh h hdn正格子空

27、間布拉格反射公式正格子空間布拉格反射公式倒格子空間布拉格反射公式倒格子空間布拉格反射公式2.5 原子散射因子原子散射因子晶體對波的衍射，歸結(jié)為晶體內(nèi)每個原子對波的散射晶體對波的衍射，歸結(jié)為晶體內(nèi)每個原子對波的散射而原子的散射又是每個電子對波的散射而原子的散射又是每個電子對波的散射由于原子的線度和被散射的波的波長具有相同的量級，因此，原子內(nèi)部各部分電子由于原子的線度和被散射的波的波長具有相同的量級，因此，原子內(nèi)部各部分電子云對波的散射波之間有著位相差，在求原子的散射振幅時，應(yīng)當(dāng)考慮各部分電子云云對波的散射波之間有著位相差，在求原子的散射振幅時，應(yīng)當(dāng)考慮各部分電子云的散射波之間的相互干涉的散射波之

28、間的相互干涉原子散射因子定義為：整個原子對入射波的散射振幅與一個假設(shè)位于原子中心的電子對原子散射因子定義為：整個原子對入射波的散射振幅與一個假設(shè)位于原子中心的電子對入射波的散射振幅之比入射波的散射振幅之比如以原子核為原點，則位于原子中任意一點如以原子核為原點，則位于原子中任意一點r處的電子與位于原子中心的電子對波矢為處的電子與位于原子中心的電子對波矢為k的散射波的位相差為的散射波的位相差為0()kkr假設(shè)假設(shè) （r）d 是電子在是電子在r處附近體積元處附近體積元d 內(nèi)的幾率，則原內(nèi)的幾率，則原子散射因子為子散射因子為0()( )( )i k krf kr ed如果電子的分布函數(shù)是球面對稱的，則

29、如果電子的分布函數(shù)是球面對稱的，則可簡化為可簡化為其中其中U(r)=4 r2 (r)為徑向分布函數(shù)為徑向分布函數(shù),U(r)dr表示電表示電子在半徑子在半徑r和和r+dr的球殼內(nèi)的幾率的球殼內(nèi)的幾率0sin( )( )krf kU rdrkr原子散射因子和散射的方向有關(guān)，在特原子散射因子和散射的方向有關(guān)，在特殊情況下，即當(dāng)近似沿入射方向時，殊情況下，即當(dāng)近似沿入射方向時，0sin1krkkkr0(0)( )fU r drZ=原子序數(shù)原子序數(shù)表明：原子散射波的振幅等于各電子散射波的振幅的代數(shù)和表明：原子散射波的振幅等于各電子散射波的振幅的代數(shù)和量子力學(xué)中由哈特里自洽場方法可以計算出電子的分布函數(shù)，

30、代入上述公式可計算出原子散射因量子力學(xué)中由哈特里自洽場方法可以計算出電子的分布函數(shù)，代入上述公式可計算出原子散射因子子f，同實驗確定的，同實驗確定的f比較可以驗證理論的正確性比較可以驗證理論的正確性2.6 幾何結(jié)構(gòu)因子幾何結(jié)構(gòu)因子從結(jié)構(gòu)分析角度，對布拉菲格子，如果只要求反映周期性，則原胞中只包含一個原子，因此，確從結(jié)構(gòu)分析角度，對布拉菲格子，如果只要求反映周期性，則原胞中只包含一個原子，因此，確定了基矢，也就決定了原胞的幾何結(jié)構(gòu)定了基矢，也就決定了原胞的幾何結(jié)構(gòu)但對包含兩個或兩個以上原子的原胞，不僅要確定基矢，而且還要確定原胞中原子的相對位置，但對包含兩個或兩個以上原子的原胞，不僅要確定基矢，

31、而且還要確定原胞中原子的相對位置，才能確定原胞的幾何結(jié)構(gòu)才能確定原胞的幾何結(jié)構(gòu)復(fù)式格子是由兩個以上的布拉菲格子套構(gòu)而成的，這些布拉菲格子具有相同的周期性，如果其中復(fù)式格子是由兩個以上的布拉菲格子套構(gòu)而成的，這些布拉菲格子具有相同的周期性，如果其中一個布拉菲格子在某方向上滿足布拉格反射條件，即出現(xiàn)衍射極大，則其它布拉菲格子也在同一一個布拉菲格子在某方向上滿足布拉格反射條件，即出現(xiàn)衍射極大，則其它布拉菲格子也在同一方向上出現(xiàn)衍射極大方向上出現(xiàn)衍射極大不同布拉菲格子同一方向上的衍射極大，又將產(chǎn)生相互干涉，總的衍射強度取決于所考慮的晶面不同布拉菲格子同一方向上的衍射極大，又將產(chǎn)生相互干涉，總的衍射強度

32、取決于所考慮的晶面族中分屬于各布拉菲格子的晶面間的相對位移，以及這些晶面反射線的相對強弱，因此，總的衍族中分屬于各布拉菲格子的晶面間的相對位移，以及這些晶面反射線的相對強弱，因此，總的衍射強度取決于原胞中原子的相對位置和原子的散射因子，為此，引入幾何結(jié)構(gòu)因子的概念射強度取決于原胞中原子的相對位置和原子的散射因子，為此，引入幾何結(jié)構(gòu)因子的概念幾何結(jié)構(gòu)因子定義幾何結(jié)構(gòu)因子定義原胞內(nèi)所有原子的散射波，在所考慮方向上的振幅與一個電子的散射波的振幅之比，定義為幾何原胞內(nèi)所有原子的散射波，在所考慮方向上的振幅與一個電子的散射波的振幅之比，定義為幾何結(jié)構(gòu)因子結(jié)構(gòu)因子很明顯，幾何結(jié)構(gòu)因子，不僅同原胞內(nèi)原子的散

33、射因子有關(guān)，而且依賴于原胞內(nèi)原子的排列情況，很明顯，幾何結(jié)構(gòu)因子，不僅同原胞內(nèi)原子的散射因子有關(guān)，而且依賴于原胞內(nèi)原子的排列情況，同時其數(shù)值也與所考慮的方向有關(guān)同時其數(shù)值也與所考慮的方向有關(guān)設(shè)原胞內(nèi)含有設(shè)原胞內(nèi)含有n個原子，每個原子的位矢用個原子，每個原子的位矢用 表示，則位于位矢為表示，則位于位矢為Rj的原子核原點處原的原子核原點處原子的散射波的位相差為子的散射波的位相差為(1,2. )jRjn0()jjkkR則在所考慮的方向上，幾何結(jié)構(gòu)因子可表示為則在所考慮的方向上，幾何結(jié)構(gòu)因子可表示為其中其中fj表示原胞中第表示原胞中第j個原子的散射因子個原子的散射因子0()1( )jni k kRjj

34、F kf e結(jié)晶學(xué)選取的原胞不僅要反映出周期性，還要反映出特殊的對稱性，在討論幾何結(jié)構(gòu)因子，一般結(jié)晶學(xué)選取的原胞不僅要反映出周期性，還要反映出特殊的對稱性，在討論幾何結(jié)構(gòu)因子，一般總是采用結(jié)晶學(xué)原胞?？偸遣捎媒Y(jié)晶學(xué)原胞。2sinhkldn在倒格子空間，這一條件可表示為在倒格子空間，這一條件可表示為1hjninKRhkljjFf e對結(jié)晶學(xué)原胞，即使對布拉菲格子，一個原胞內(nèi)也會包含兩個以至更多的原子，在整個晶體中，對結(jié)晶學(xué)原胞，即使對布拉菲格子，一個原胞內(nèi)也會包含兩個以至更多的原子，在整個晶體中，各原胞中的相應(yīng)原子都各自組成一個格子，這些格子具有相同的周期性各原胞中的相應(yīng)原子都各自組成一個格子，

35、這些格子具有相同的周期性對于晶面族（對于晶面族（hkl），這些格子的衍射滿足同一條件，即），這些格子的衍射滿足同一條件，即0hkknK因此，幾何結(jié)構(gòu)因子又可表示為因此，幾何結(jié)構(gòu)因子又可表示為123jjjjRu av aw a 112233hKh bh bh b 利用利用2ijijab 2()1jjjnni hukvlwhkljjFf e其中其中uj、vj和和wj代表原胞中原子的坐標(biāo)代表原胞中原子的坐標(biāo)則幾何結(jié)構(gòu)因子可表示為則幾何結(jié)構(gòu)因子可表示為2()1jjjnni hukvlwhkljjFf e幾何結(jié)構(gòu)因子幾何結(jié)構(gòu)因子衍射強度衍射強度Ihkl正比于正比于Fhkl的平方，即的平方，即2hklhk

36、lIF22121cos2()sin2()hklhklhklhklnjjjjjnjjjjjIFFFfn hukvlwfn hukvlw因此，如果已知原子散射因子因此，如果已知原子散射因子fj，就可由實驗確定的衍射強度，就可由實驗確定的衍射強度Ihkl推測出原胞中的原子推測出原胞中的原子排列排列反之，如果已知原胞中的原子排列，也可推測出衍射實驗中衍射線加強和消失的規(guī)律反之，如果已知原胞中的原子排列，也可推測出衍射實驗中衍射線加強和消失的規(guī)律現(xiàn)在分析幾種典型結(jié)構(gòu)的衍射消失的條件現(xiàn)在分析幾種典型結(jié)構(gòu)的衍射消失的條件1、體心結(jié)構(gòu)、體心結(jié)構(gòu)體心結(jié)構(gòu)的原胞包含兩個原子，其坐標(biāo)分別為體心結(jié)構(gòu)的原胞包含兩個原子

37、，其坐標(biāo)分別為1 1 1(0,0,0)( , )2 2 2對于元素體心晶體，晶體由一種原子組成，對于元素體心晶體，晶體由一種原子組成，fj皆相同皆相同因此，晶面族（因此，晶面族（hkl）的衍射強度為）的衍射強度為2211cos2()sin2()nnhkljjjjjjjjjjIfn hukvlwfn hukvlw22221 cos()sin()hklIfn hklfn hkl即對于元素體心晶體，衍射面指數(shù)之和為奇數(shù)的反射消失即對于元素體心晶體，衍射面指數(shù)之和為奇數(shù)的反射消失204 f衍射面指數(shù)之和為奇數(shù)衍射面指數(shù)之和為奇數(shù)衍射面指數(shù)之和為偶數(shù)衍射面指數(shù)之和為偶數(shù)2.7 實例分析實例分析2、面心結(jié)

38、構(gòu)、面心結(jié)構(gòu)面心結(jié)構(gòu)的原胞包含四個原子，其坐標(biāo)分別為面心結(jié)構(gòu)的原胞包含四個原子，其坐標(biāo)分別為1 1111 1(0,0,0)( ,0)( ,0, )(0, )2 2222 2對于元素體心晶體，晶面族（對于元素體心晶體，晶面族（hkl）的衍射強度為）的衍射強度為2211cos2()sin2()nnhkljjjjjjjjjjIfn hukvlwfn hukvlw22221 cos()cos()cos()sin()sin()sin()hklIfn hkn hln klfn hkn hln kl即對元素面心晶體衍射面指數(shù)中部分為偶、部分為奇的反射消失即對元素面心晶體衍射面指數(shù)中部分為偶、部分為奇的反射消

39、失204 f衍射面指數(shù)中部分為偶或部分為奇衍射面指數(shù)中部分為偶或部分為奇衍射面指數(shù)全為偶或全為奇衍射面指數(shù)全為偶或全為奇圖分別是在圖分別是在KCl和和KBr粉末樣品中得到的粉末樣品中得到的X射線衍射結(jié)果射線衍射結(jié)果對對KBr，可以看到，衍射峰對應(yīng)的面指數(shù)全為偶或全為，可以看到，衍射峰對應(yīng)的面指數(shù)全為偶或全為奇，而沒有出現(xiàn)面指數(shù)中部分為偶或部分為奇的衍射峰，奇，而沒有出現(xiàn)面指數(shù)中部分為偶或部分為奇的衍射峰，說明說明KBr具有面心結(jié)構(gòu)，其中具有面心結(jié)構(gòu)，其中K和和Br離子各自組成一套離子各自組成一套面心格子面心格子對對KCl，衍射峰對應(yīng)的面指數(shù)全為偶數(shù)，既未出現(xiàn)面指，衍射峰對應(yīng)的面指數(shù)全為偶數(shù)，既未出現(xiàn)面指數(shù)中部分為偶或部分為奇的衍射峰，也未出現(xiàn)面指數(shù)中數(shù)中部分為偶或部分為奇的衍射峰，也未出現(xiàn)面指數(shù)中全為奇數(shù)的衍射峰，和全為奇數(shù)的衍射峰，和KBr的面心結(jié)構(gòu)相似但又不完全的面心結(jié)構(gòu)相似但又不完全相同相同這是因為這是因為KCl中兩種離子的電子數(shù)目相等，散射振幅幾乎相同，因此，對中兩種離子的電子數(shù)目相等