[小學(xué)奧數(shù)專(zhuān)題15】7-1加法原理.題庫(kù)版

1、加法原理知識(shí)框架圖7 計(jì)數(shù)綜合7-1 加法原理7-1-1分類(lèi)討論中加法原理的應(yīng)用7-1-2樹(shù)形圖法、標(biāo)數(shù)法及簡(jiǎn)單的遞推7-1-2-1樹(shù)形圖法7-1-2-2標(biāo)數(shù)法7-1-2-3簡(jiǎn)單遞推：斐波那契數(shù)列的應(yīng)用教學(xué)目標(biāo)1.使學(xué)生掌握加法原理的基本內(nèi)容；2.掌握加法原理的運(yùn)用以及與乘法原理的區(qū)別；3.培養(yǎng)學(xué)生分類(lèi)討論問(wèn)題的能力，了解分類(lèi)的主要方法和遵循的主要原則加法原理的數(shù)學(xué)思想主旨在于分類(lèi)討論問(wèn)題，教授本講的目的也是為了培養(yǎng)學(xué)生分類(lèi)討論問(wèn)題的習(xí)慣，鍛煉思維的周全細(xì)致知識(shí)要點(diǎn)一、加法原理概念引入生活中常有這樣的情況，就是在做一件事時(shí)，有幾類(lèi)不同的方法，而每一類(lèi)方法中，又有幾種可能的做法那么，考慮完成這件

2、事所有可能的做法，就要用加法原理來(lái)解決例如:王老師從北京到天津，他可以乘火車(chē)也可以乘長(zhǎng)途汽車(chē)，現(xiàn)在知道每天有五次火車(chē)從北京到天津，有4趟長(zhǎng)途汽車(chē)從北京到天津那么他在一天中去天津能有多少種不同的走法？分析這個(gè)問(wèn)題發(fā)現(xiàn)，王老師去天津要么乘火車(chē)，要么乘長(zhǎng)途汽車(chē)，有這兩大類(lèi)走法，如果乘火車(chē)，有5種走法，如果乘長(zhǎng)途汽車(chē)，有4種走法上面的每一種走法都可以從北京到天津，故共有5+4=9種不同的走法在上面的問(wèn)題中，完成一件事有兩大類(lèi)不同的方法在具體做的時(shí)候，只要采用一類(lèi)中的一種方法就可以完成并且兩大類(lèi)方法是互無(wú)影響的，那么完成這件事的全部做法數(shù)就是用第一類(lèi)的方法數(shù)加上第二類(lèi)的方法數(shù)二、加法原理的定義一般地，如

3、果完成一件事有k類(lèi)方法，第一類(lèi)方法中有種不同做法，第二類(lèi)方法中有種不同做法，第k類(lèi)方法中有種不同做法，則完成這件事共有種不同方法，這就是加法原理加法原理運(yùn)用的范圍：完成一件事的方法分成幾類(lèi)，每一類(lèi)中的任何一種方法都能完成任務(wù)，這樣的問(wèn)題可以使用加法原理解決我們可以簡(jiǎn)記為：“加法分類(lèi)，類(lèi)類(lèi)獨(dú)立”分類(lèi)時(shí)，首先要根據(jù)問(wèn)題的特點(diǎn)確定一個(gè)適合于它的分類(lèi)標(biāo)準(zhǔn)，然后在這個(gè)標(biāo)準(zhǔn)下進(jìn)行分類(lèi)；其次，分類(lèi)時(shí)要注意滿足兩條基本原則： 完成這件事的任何一種方法必須屬于某一類(lèi)； 分別屬于不同兩類(lèi)的兩種方法是不同的方法只有滿足這兩條基本原則，才可以保證分類(lèi)計(jì)數(shù)原理計(jì)算正確運(yùn)用加法原理解題時(shí)，關(guān)鍵是確定分類(lèi)的標(biāo)準(zhǔn)，然后再針對(duì)

4、各類(lèi)逐一計(jì)數(shù)通俗地說(shuō)，就是“整體等于局部之和”三、加法原理解題三部曲1、完成一件事分N類(lèi)；2、每類(lèi)找種數(shù)（每類(lèi)的一種情況必須是能完成該件事）；3、類(lèi)類(lèi)相加枚舉法：枚舉法又叫窮舉法，就是把所有符合條件的對(duì)象一一列舉出來(lái)進(jìn)行計(jì)數(shù)分類(lèi)討論的時(shí)候經(jīng)常會(huì)需要把每一類(lèi)的情況全部列舉出來(lái)，這時(shí)的方法就是枚舉法枚舉的時(shí)候要注意順序，這樣才能做到不重不漏例題精講模塊一、分類(lèi)討論中加法原理的應(yīng)用【例 1】 （難度等級(jí) ）小寶去給小貝買(mǎi)生日禮物，商店里賣(mài)的東西中，有不同的玩具8種，不同的課外書(shū)20本，不同的紀(jì)念品10種，那么，小寶買(mǎi)一種禮物可以有多少種不同的選法？【解析】 小寶買(mǎi)一種禮物有三類(lèi)方法：第一類(lèi)，買(mǎi)玩具，

5、有8種方法；第二類(lèi)，買(mǎi)課外書(shū)，有20種方法；第三種，買(mǎi)紀(jì)念品，有10種方法根據(jù)加法原理，小寶買(mǎi)一種禮物有8+20+10=38種方法【鞏固】 （難度等級(jí) ）有不同的語(yǔ)文書(shū)6本，數(shù)學(xué)書(shū)4本，英語(yǔ)書(shū)3本，科學(xué)書(shū)2本，從中任取一本，共有多少種取法？【解析】 根據(jù)加法原理，共有6+4+3+2=15種取法【鞏固】 （難度等級(jí) ）陽(yáng)光小學(xué)四年級(jí)有3個(gè)班，各班分別有男生18人、20人、16人從中任意選一人當(dāng)升旗手，有多少種選法？【解析】 解決這個(gè)問(wèn)題有3類(lèi)辦法：從一班、二班、三班男生中任選1人，從一班18名男生中任選1人有18種選法：同理，從二班20名男生中任選1人有20種選法；從三班16名男生中任意選1人有

6、16種選法；根據(jù)加法原理，從四年級(jí)3個(gè)班中任選一名男生當(dāng)升旗手的方法有：種【例 2】 （難度等級(jí)）從110中每次取兩個(gè)不同的數(shù)相加，和大于10的共有多少種取法？【解析】 根據(jù)第一個(gè)數(shù)的大小，將和大于10的取法分為9類(lèi)：第一個(gè)數(shù)第二個(gè)數(shù)有幾種第1類(lèi)110選擇合適的分類(lèi)方式是運(yùn)用加法原理的關(guān)鍵好的分類(lèi)方式往往達(dá)到事半功倍的效果注意：本題中“”與“”只能算一種取法1第2類(lèi)210、92第3類(lèi)310、9、83第4類(lèi)410、9、8、74第5類(lèi)510、9、8、7、65第6類(lèi)610、9、8、74第7類(lèi)710、9、83第8類(lèi)810、92第9類(lèi)9101 因此，根據(jù)加法原理，共有：1+2+3+4+5+4+3+2+1

7、=25種取法使和大于10【鞏固】 （難度等級(jí)）從18中每次取兩個(gè)不同的數(shù)相加，和大于10的共有多少種取法？【解析】 兩個(gè)數(shù)和為11的一共有3種取法；兩個(gè)數(shù)和為12的一共有2種取法； 兩個(gè)數(shù)和為13的一共有2種取法；兩個(gè)數(shù)和為14的一共有1種取法； 兩個(gè)數(shù)和為15的一共有1種取法； 一共有3+2+2+1+1=9種取法【例 3】 （難度等級(jí) ）甲、乙、丙三個(gè)工廠共訂300份報(bào)紙，每個(gè)工廠至少訂了99份，至多101份，問(wèn)：一共有多少種不同的訂法？【解析】 甲廠可以訂99、100、101份報(bào)紙三種方法如果甲廠訂99份，乙廠有訂100份和101份兩種方法，丙廠隨之而定如果甲廠訂100份，乙廠有訂99份、

8、100份和101份三種方法，丙廠隨之而定如果甲廠訂101份，乙廠有訂99份和100份兩種方法，丙廠隨之而定根據(jù)加法原理，一共有種訂報(bào)方法【鞏固】 （難度等級(jí) ）大林和小林共有小人書(shū)不超過(guò)9本，他們各自有小人書(shū)的數(shù)目有多少種可能的情況？【解析】 大林和小林共有9本的話，有10種可能；共有8本的話，有9種可能，共有0本的話，有1種可能，所以根據(jù)加法原理，一共有10+9+3+2+1=55種可能【例 4】 （難度等級(jí) ）四個(gè)學(xué)生每人做了一張賀年片，放在桌子上，然后每人去拿一張，但不能拿自己做的一張問(wèn)：一共有多少種不同的方法？【解析】 設(shè)四個(gè)學(xué)生分別是A，B，C，D，他們做的賀年片分別是a，b，c，d先

9、考慮A拿B做的賀年片b的情況（如下表），一共有3種方法同樣，A拿C或D做的賀年片也有3種方法一共有333=9（種）不同的方法【例 5】 (第六屆走美試題)一次，齊王與大將田忌賽馬每人有四匹馬，分為四等田忌知道齊王這次比賽馬的出場(chǎng)順序依次為一等，二等，三等，四等，而且還知道這八匹馬跑的最快的是齊王的一等馬，接著依次為自己的一等，齊王的二等，自己的二等，齊王的三等，自己的三等，齊王的四等，自己的四等田忌有_種方法安排自己的馬的出場(chǎng)順序，保證自己至少能贏兩場(chǎng)比賽【解析】 第一場(chǎng)不管怎么樣田忌都必輸，田忌只可能在接下來(lái)的三場(chǎng)里贏得比賽， 若三場(chǎng)全勝，則只有一種出場(chǎng)方法； 若勝兩場(chǎng)，則又分為三種情況：二

10、，三兩場(chǎng)勝，此時(shí)只能是田忌的一等馬贏得齊王的二等馬，田忌的二等馬贏齊王的三等馬，只有這一種情況；二，四兩場(chǎng)勝，此時(shí)有三種情況；三，四兩場(chǎng)勝，此時(shí)有七種情況；所以一共有種方法【例 6】 （難度等級(jí) ）把一元錢(qián)換成角幣，有多少種換法？人民幣角幣的面值有五角、二角、一角三種【解析】 把一元錢(qián)換成角幣，有三類(lèi)分法：第一類(lèi)：有五角幣2張，只有1種換法：第二類(lèi)：有五角幣1張，則此時(shí)二角幣可以有0，1，2張，相應(yīng)的，一角幣有5，3，1張，有3種換法；第三類(lèi)：有五角幣0張，則此時(shí)二角幣可以有0，1，2，3，4，5張，相應(yīng)的，一角幣有10，8，6，4，2，0張，有6種換法所以，根據(jù)加法原理，總共的換法有種【鞏固

11、】 （難度等級(jí) ）一把硬幣全是2分和5分的，這把硬幣一共有1元，問(wèn)這里可能有多少種不同的情況？【解析】 按5分硬幣的個(gè)數(shù)對(duì)硬幣情況進(jìn)行分類(lèi)：如果5分硬幣有奇數(shù)個(gè)，那么無(wú)論2分硬幣有多少個(gè)都不能湊成100分如表當(dāng)5分硬幣的個(gè)數(shù)為020的偶數(shù)時(shí)，都有對(duì)應(yīng)個(gè)數(shù)的2分硬幣所以一共有11種不同的情況類(lèi)別12345678910115分024681012141618202分50454035302520151050【例 7】 （難度等級(jí) ）用100元錢(qián)購(gòu)買(mǎi)2元、4元或8元飯票若干張，沒(méi)有剩錢(qián)，共有多少不同的買(mǎi)法?【解析】 如果買(mǎi)0張8元飯票，還剩100元，可以購(gòu)買(mǎi)4元飯票的張數(shù)為025張，其余的錢(qián)全部購(gòu)買(mǎi)2元

12、飯票，共有26種買(mǎi)法；如果買(mǎi)l張8元飯票，還剩92元，可購(gòu)4元飯票023張，其余的錢(qián)全部購(gòu)買(mǎi)2元飯票，共有24種不同方法；如果買(mǎi)2張8元飯票，還剩84元，可購(gòu)4元飯票021張，其余的錢(qián)全部購(gòu)買(mǎi)2元飯票，共有22種不同方法；如果買(mǎi)12張8元飯票，還剩4元飯票，可購(gòu)4元飯票01張，其余的錢(qián)全部購(gòu)買(mǎi)2元飯票，共有2種方法總結(jié)規(guī)律，發(fā)現(xiàn)各類(lèi)情況的方法數(shù)組成了一個(gè)公差為2，項(xiàng)數(shù)是13的等差數(shù)列利用分類(lèi)計(jì)數(shù)原理及等差數(shù)列求和公式求出所有方法：26+24+22+2=(26+2)132=182(種) 共有182種不同的買(mǎi)法【鞏固】 （難度等級(jí) ）一個(gè)文具店橡皮每塊5角、圓珠筆每支1元、鋼筆每支2元5角小明要在

13、該店花5元5角購(gòu)買(mǎi)兩種文具，他有多少種不同的選擇【解析】 一共三種文具，要買(mǎi)兩種文具那么就可以分三類(lèi)了第一類(lèi)：橡皮和圓珠筆 5元5角=55角=11塊橡皮（要買(mǎi)兩種，所以這個(gè)不考慮）=9塊橡皮+1只圓珠筆 =7塊橡皮+2只圓珠筆 =5塊橡皮+3只圓珠筆 =3塊橡皮+4只圓珠筆 =1塊橡皮+5只圓珠筆 第一類(lèi)共5種第二類(lèi)：橡皮和鋼筆 55角=11塊橡皮（不做考慮）=6塊橡皮+1只鋼筆 =1塊橡皮+2只鋼筆 第二類(lèi)共2種第三類(lèi)：圓珠筆和鋼筆55角=11塊橡皮（不做考慮） =1只鋼筆+3只圓珠筆第三類(lèi)共1種【例 8】 （難度等級(jí) ）袋中有3個(gè)紅球，4個(gè)黃球和5個(gè)白球，小明從中任意拿出6個(gè)球，他拿出球的

14、情況共有_種可能（2008年北京“數(shù)學(xué)解題能力展示”讀者評(píng)選活動(dòng)）【解析】 按最少的紅球來(lái)分類(lèi)：3紅時(shí)，黃白3，黃可取0，1，2，3共4種2紅時(shí)，黃白4，黃可取0，1，2，3，4共5種1紅時(shí)，黃白5，黃可取0，1，2，3，4共5種0紅時(shí)，黃白6，黃可取0，1，2，3共4種共有：4+5+5+4=18（種）【例 9】 （難度等級(jí) ）1、2、3、4四個(gè)數(shù)字，從小到大排成一行，在這四個(gè)數(shù)中間，任意插入乘號(hào)(最少插一個(gè)乘號(hào))，可以得到多少個(gè)不同的乘積?【解析】 按插入乘號(hào)的個(gè)數(shù)進(jìn)行分類(lèi)：若插入一個(gè)乘號(hào)，4個(gè)數(shù)字之間有3個(gè)空當(dāng)，選3個(gè)空當(dāng)中的任一空當(dāng)放乘號(hào)，所以有3種不同的插法，可以得到3個(gè)不同的乘積，枚

15、舉如下：， 若插入兩個(gè)乘號(hào)，由于必有一個(gè)空當(dāng)不放乘號(hào)，所以從3個(gè)空檔中選2個(gè)空當(dāng)插入乘號(hào)有3種不同的插法，可以得到3個(gè)不同的乘積，枚舉如下：， 若插入三個(gè)乘號(hào)，則只有1個(gè)插法，可以得到l個(gè)不同的乘積，枚舉如下： 所以，根據(jù)加法原理共有種不同的乘積【例 10】 （難度等級(jí) ）1995的數(shù)字和是1995=24，問(wèn)：小于2000的四位數(shù)中數(shù)字和等于26的數(shù)共有多少個(gè)? 【解析】 小于2000的四位數(shù)千位數(shù)字是1，要它數(shù)字和為26，只需其余三位數(shù)字和是25因?yàn)槭?、個(gè)位數(shù)字和最多為99=18，因此，百位數(shù)字至少是7于是百位為7時(shí)，只有1799，一個(gè)；百位為8時(shí)，只有1889，1898，二個(gè)；百位為9時(shí)

16、，只有1979，1997，1988，三個(gè)；總計(jì)共123=6個(gè)【鞏固】 （難度等級(jí) ）1995的數(shù)字和是1995=24，問(wèn)：小于2000的四位數(shù)中數(shù)字和等于24的數(shù)共有多少個(gè)?【解析】 小于2000的四位數(shù)千位數(shù)字是1，要它數(shù)字和為24，只需其余三位數(shù)字和是23因?yàn)槭?、個(gè)位數(shù)字和最多為，因此，百位數(shù)字至少是5于是百位為5時(shí)，只有1599一個(gè)； 百位為6時(shí)，只有1689，1698兩個(gè)； 百位為7時(shí)，只有1779，1788，1797三個(gè)； 百位為8時(shí)，只有1869，1878，1887，1896四個(gè)；百位為9時(shí)，只有1959，1968，1977，1986，1995五個(gè)；根據(jù)加法原理，總計(jì)共個(gè)【鞏固】

17、 （難度等級(jí) ）2007的數(shù)字和是2+0+0+7=9，問(wèn)：大于2000小于3000的四位數(shù)中數(shù)字和等于9的數(shù)共有多少個(gè)?【解析】 大于2000小于3000的四位數(shù)千位數(shù)字是2，要它數(shù)字和為9，只需其余三位數(shù)字和是7因此，百位數(shù)字至多是7于是根據(jù)百位數(shù)進(jìn)行分類(lèi)：第一類(lèi)，百位為7時(shí)，只有2700一個(gè)； 第二類(lèi)，百位為6時(shí)，只有2610，2601兩個(gè)； 第三類(lèi)，百位為5時(shí)，只有2520，2511，2502三個(gè)； 第四類(lèi)，百位為4時(shí)，只有2430，2421，2412，2403四個(gè)；第五類(lèi)，百位為3時(shí)，只有2340，2331，2322，2313，2304五個(gè)；第六類(lèi)，百位為2時(shí)，只有2250，2241，

18、2232，2223，2214、2205六個(gè)；第七類(lèi)，百位為1時(shí)，只有2160，2151，2142，2133，2124、2115、2106七個(gè)；第八類(lèi)，百位為0時(shí)，只有2070，2061，2052，2043，2034、2025、2016、2007八個(gè)； 根據(jù)加法原理，總計(jì)共個(gè)【鞏固】 （難度等級(jí) ）在四位數(shù)中，各位數(shù)字之和是4的四位數(shù)有多少？【解析】 以個(gè)位數(shù)的值為分類(lèi)標(biāo)準(zhǔn)，可以分成以下幾類(lèi)情況來(lái)考慮： 第1類(lèi)個(gè)位數(shù)字是0，滿足條件的數(shù)共有10個(gè)其中： 十位數(shù)字為0，有4000、3100、2200、1300，共4個(gè)； 十位數(shù)字為1，有3010、2110、1210，共3個(gè)； 十位數(shù)字為2，有202

19、0、1120，共2個(gè)； 十位數(shù)字為3，有1030，共1個(gè) 第2類(lèi)個(gè)位數(shù)字是1，滿足條件的數(shù)共有6個(gè)其中： 十位數(shù)字為0，有3001、2101、1201，共3個(gè)； 十位數(shù)字為1，有2011、1111，共2個(gè)；十位數(shù)字為2，有1021，滿足條件的數(shù)共有1個(gè)第3類(lèi)個(gè)位數(shù)字是2，滿足條件的數(shù)共有3個(gè)其中：十位數(shù)字為0，有2002、1102，共2個(gè)；十位數(shù)字為1，有1012，共1個(gè)第4類(lèi)個(gè)位數(shù)字是3，滿足條件的數(shù)共有1個(gè)其中：十位數(shù)字是0，有l(wèi)003，共1個(gè)根據(jù)上面分析，由加法原理可求出滿足條件的數(shù)共有個(gè)【例 11】 有一類(lèi)自然數(shù)，從第三個(gè)數(shù)字開(kāi)始，每個(gè)數(shù)字都恰好是它前面兩個(gè)數(shù)字之和，直至不能再寫(xiě)為止，

20、如，等等，這類(lèi)數(shù)共有 個(gè).【解析】 按自然數(shù)的最高位數(shù)分類(lèi)： 最高位為的有，共個(gè)最高位為的有，共個(gè)最高位為的有，358，共個(gè)最高位為的有共個(gè)所以這類(lèi)數(shù)共有個(gè)【例 12】 如果一個(gè)大于9的整數(shù)，其每個(gè)數(shù)位上的數(shù)字都比他右邊數(shù)位上的數(shù)字小，那么我們稱(chēng)它為迎春數(shù)那么，小于2008的迎春數(shù)一共有多少個(gè)？【解析】 (法1)兩位數(shù)中迎春數(shù)的個(gè)數(shù)十位數(shù)字為1的：12，13，198個(gè)十位數(shù)字為2的：23，24，297個(gè)十位數(shù)字為3的：34，35，396個(gè)十位數(shù)字為4的：45，46，495個(gè)十位數(shù)字為5的：56，57，594個(gè)十位數(shù)字為6的：67，68，693個(gè)十位數(shù)字為7的：78，792個(gè)十位數(shù)字為8的：89

21、1個(gè)兩位數(shù)共個(gè)三位數(shù)中迎春數(shù)的個(gè)數(shù)百位數(shù)字是1的：123129，134139189共28個(gè)百位數(shù)字是2的：234239，289共21個(gè)百位數(shù)字是3的：345349，389共15個(gè)百位數(shù)字是4的：456458，489共10個(gè)百位數(shù)字是5的：567569，589共6個(gè)百位數(shù)字是6的：678，679，689共3個(gè)百位數(shù)字是7的：7891個(gè)10001999中迎春數(shù)的個(gè)數(shù)前兩位是12的：12341239，1289共21個(gè)前兩位是13的：13451349，1389共15個(gè)前兩位是14的：14561459，1489共10個(gè)前兩位是15的：15671569，1589共6個(gè)前兩位是16的：1678，1679，1

22、6893個(gè)前兩位是17的：17891個(gè)共56個(gè)所以小于2008的迎春數(shù)共個(gè)(法2)小于2008的迎春數(shù)只可能是兩位數(shù)，三位數(shù)和1000多的數(shù)兩位數(shù)的取法有個(gè)三位數(shù)的取法有個(gè)1000多的迎春數(shù)的取法有個(gè)所以共個(gè)【例 13】 有些五位數(shù)的各位數(shù)字均取自1，2，3，4，5，并且任意相鄰兩位數(shù)字(大減小)的差都是1問(wèn)這樣的五位數(shù)共有多少個(gè)？【解析】 首位取1時(shí)，千位只能是2，百位可以是1和3 百位是1，十位只能是2，個(gè)位可以是1和32種 百位是3，十位可以是2和4；十位是2，個(gè)位可以是1和3，十位是4，個(gè)位可以是3和54種 所以，首位取1時(shí)，共有種 首位取2時(shí)，千位可以是1和3 千位是1，百位只能是2

23、，十位可以是1和3有3種 千位是3，百位可以是2和4百位是2，十位可是是1和3，有3種百位是4，十位可以是3和5，有3種千位是3時(shí)有種 所以首位取2時(shí)，共有種 首位取3時(shí)，千位可以取2和4 千位是2，百位可以取1和3百位是1，十位只能是2，個(gè)位可以是1和3；2種百位是3時(shí)，十位可以是2和4十位是2個(gè)位可以是1和3；十位是4，個(gè)位可以是3和5；4種 千位是4，百位可以取3和5 百位是5，十位只能是4，個(gè)位可以是3和5；2種百位是3，十位可能是2和4十位是2個(gè)位可以是1和3；十位是4個(gè)位可以是3和5；4種 所以，首位取3時(shí)，共有種 首位取4時(shí)，千位可以取3和5 千位是5，百位只能是4，十位可以是3

24、和5十位是3個(gè)位可以是2和4；十位是5個(gè)位只能是4有3種 千位是3，百位可以是2和4百位是2，十位可以是1和3十位是1個(gè)位只能是2；十位是3個(gè)位可以是2和4有3種百位是4，十位可以是3和5十位是5個(gè)位只能是4；十位是3，個(gè)位可以是2和4有3種千位是3共有種 所以，首位取4時(shí)，共有種 首位取5時(shí)，千位只能是4，百位可以是3和5百位是5，十位只能是4，有2種；百位是3，十位可以是2和4，有4種所以，首位取5時(shí)共有種 總共有：個(gè) 也可以根據(jù)首位數(shù)字分別是1、2、3、4、5，畫(huà)5個(gè)樹(shù)狀圖，然后相加總共有：個(gè) 模塊二、樹(shù)形圖法、標(biāo)數(shù)法及簡(jiǎn)單的遞推一、樹(shù)形圖法“樹(shù)形圖法”實(shí)際上是枚舉的一種，但是它借助于圖

25、形，可以使枚舉過(guò)程不僅形象直觀，而且有條理又不重復(fù)遺漏，使人一目了然【例 14】 （難度等級(jí) ）A、B、C三個(gè)小朋友互相傳球，先從A開(kāi)始發(fā)球(作為第一次傳球)，這樣經(jīng)過(guò)了5次傳球后，球恰巧又回到A手中，那么不同的傳球方式共多少種？(2005年小數(shù)報(bào)數(shù)學(xué)邀請(qǐng)賽)【解析】 如圖，第一次傳給，到第五次傳回有5種不同方式 同理，第一次傳給，也有5種不同方式 所以，根據(jù)加法原理，不同的傳球方式共有種【鞏固】 （難度等級(jí) ）一只青蛙在A，B，C三點(diǎn)之間跳動(dòng)，若青蛙從A點(diǎn)跳起，跳4次仍回到A點(diǎn)，則這只青蛙一共有多少種不同的跳法？【解析】 6種，如圖，第1步跳到，4步回到有3種方法；同樣第1步到的也有3種方法

26、根據(jù)加法原理，共有種方法【例 15】 （難度等級(jí) ）甲、乙二人打乒乓球，誰(shuí)先連勝兩局誰(shuí)贏，若沒(méi)有人連勝頭兩局，則誰(shuí)先勝三局誰(shuí)贏，打到?jīng)Q出輸贏為止問(wèn)：一共有多少種可能的情況？【解析】 如下圖，我們先考慮甲勝第一局的情況：圖中打的為勝者，一共有7種可能的情況同理，乙勝第一局也有 7種可能的情況一共有 77=14（種）可能的情況二、標(biāo)數(shù)法適用于最短路線問(wèn)題，需要一步一步標(biāo)出所有相關(guān)點(diǎn)的線路數(shù)量，最終得到到達(dá)終點(diǎn)的方法總數(shù)標(biāo)數(shù)法是加法原理與遞推思想的結(jié)合【例 16】 （難度等級(jí) ）如圖所示，沿線段從A到B有多少條最短路線？ 【解析】 圖中在A的右上方，因此從A出發(fā)，只能向上或者向右才能使路線最短，那么

27、反過(guò)來(lái)想，如果到達(dá)了某一個(gè)點(diǎn)，也只有兩種可能：要么是從這個(gè)點(diǎn)左邊的點(diǎn)來(lái)的，要么是從這個(gè)點(diǎn)下邊的點(diǎn)來(lái)的那么，如果最后到達(dá)了B，只有兩種可能：或者經(jīng)過(guò)C來(lái)到B點(diǎn)，或者經(jīng)D來(lái)到B點(diǎn)，因此，到達(dá)B的走法數(shù)目就應(yīng)該是到達(dá)C點(diǎn)的走法數(shù)和到達(dá)D點(diǎn)的走法數(shù)之和，而對(duì)于到達(dá)C的走法，又等于到達(dá)和到達(dá)的走法之和，到達(dá)的走法也等于到達(dá)和到達(dá)的走法之和，這樣我們就歸納出：到達(dá)任何一點(diǎn)的走法都等于到它左側(cè)點(diǎn)走法數(shù)與到它下側(cè)點(diǎn)走法數(shù)之和，根據(jù)加法原理，我們可以從點(diǎn)開(kāi)始，向右向上逐步求出到達(dá)各點(diǎn)的走法數(shù)如圖所示，使用標(biāo)號(hào)方法得到從到共有10種不同的走法【鞏固】 （難度等級(jí) ）如圖，從點(diǎn)到點(diǎn)的最近路線有多少條？ 【解析】 使

28、用標(biāo)號(hào)法得出到點(diǎn)的最近路線有20條【例 17】 （難度等級(jí) ）如圖，某城市的街道由5條東西向馬路和7條南北向馬路組成，現(xiàn)在要從西南角的處沿最短的路線走到東北角出，由于修路，十字路口不能通過(guò)，那么共有種不同走法 【解析】 本題是最短路線問(wèn)題要找出共有多少種不同走法，關(guān)鍵是保證不重也不漏，一般采用標(biāo)數(shù)法如上圖所示，共有120種另解：本題也可采用排除法由于不能經(jīng)過(guò)，可以先計(jì)算出從到的最短路線有多少條，再去掉其中那些經(jīng)過(guò)的路線數(shù)，即得到所求的結(jié)果對(duì)于從到的每一條最短路線，需要向右6次，向上4次，共有10次向右或向上；而對(duì)于每一條最短路線，如果確定了其中的某6次是向右的，那么剩下的4次只能是向上的，從而

29、該路線也就確定了這就說(shuō)明從到的最短路線的條數(shù)等于從10次向右或向上里面選擇6次向右的種數(shù)，為一般地，對(duì)于的方格網(wǎng)，相對(duì)的兩個(gè)頂點(diǎn)之間的最短路線有種本題中，從到的最短路線共有種；從到的最短路線共有種，從到的最短路線共有種，根據(jù)乘法原理，從到且必須經(jīng)過(guò)的最短路線有種，所以，從到且不經(jīng)過(guò)的最短路線有種【例 18】 （難度等級(jí) ）如圖所示，從A點(diǎn)到B點(diǎn)，如果要求經(jīng)過(guò)C點(diǎn)或D點(diǎn)的最近路線有多少條？【解析】 1、方格圖里兩點(diǎn)的最短路徑，從位置低的點(diǎn)向位置高的點(diǎn)出發(fā)的話，每到一點(diǎn)（如C、D點(diǎn)）只能向前或者向上2、題問(wèn)的是經(jīng)過(guò)C點(diǎn)，或者D點(diǎn)；那么A到B點(diǎn)就可以分成兩條路徑了 A-C-B；A-D-B，那么也就可

30、以分成兩類(lèi)但是需要考慮一個(gè)問(wèn)題A到B點(diǎn)的最短路徑會(huì)同時(shí)經(jīng)過(guò)C和D點(diǎn)嗎？最短路徑只能往上往前，經(jīng)過(guò)觀察發(fā)現(xiàn)C、D不會(huì)同時(shí)出現(xiàn)在最短路徑上了3、A-C-B，那么C就是必經(jīng)之點(diǎn)了，就需要用到乘法原理了A-C，最短路徑用標(biāo)數(shù)法標(biāo)出，同樣C-B點(diǎn)用標(biāo)數(shù)法標(biāo)注，然后相乘A-D-B，同樣道理最后結(jié)果是735+420=1155條【例 19】 如圖為一幅街道圖，從出發(fā)經(jīng)過(guò)十字路口，但不經(jīng)過(guò)走到的不同的最短路線有 條.【解析】 到各點(diǎn)的走法數(shù)如圖所示. 圖1 圖2所以最短路徑有條.【例 20】 小王在一年中去少年宮學(xué)習(xí)56次，如圖所示，小王家在點(diǎn)，他去少年宮都是走最近的路，且每次去時(shí)所走的路線正好互不相同，那么少

31、年宮在_點(diǎn)處【解析】 本題屬最短路線問(wèn)題運(yùn)用標(biāo)數(shù)法分別計(jì)算出從小王家點(diǎn)到、點(diǎn)的不同路線有多少條，其中，路線條數(shù)與小王學(xué)習(xí)次數(shù)56相等的點(diǎn)即為少年宮因?yàn)椋瑥男⊥跫尹c(diǎn)到點(diǎn)共有不同線路84條；到點(diǎn)共有不同線路56條；到點(diǎn)共有不同線路71條；到點(diǎn)共有不同線路15條；到點(diǎn)共有不同線路36條所以，少年宮在點(diǎn)處【例 21】 （難度等級(jí) ）在下圖的街道示意圖中，有幾處街區(qū)有積水不能通行，那么從A到B的最短路線有多少種？ 【解析】 因?yàn)樵诘挠蚁路?，由?biāo)號(hào)法可知，從到的最短路徑上，到達(dá)任何一點(diǎn)的走法數(shù)都等于到它左側(cè)點(diǎn)的走法數(shù)與到它上側(cè)點(diǎn)的走法數(shù)之和有積水的街道不可能有路線經(jīng)過(guò)，可以認(rèn)為積水點(diǎn)的走法數(shù)是0接下來(lái)，可

32、以從左上角開(kāi)始，按照加法原理，依次向下向右填上到各點(diǎn)的走法數(shù)如右上圖，從到的最短路線有22條【例 22】 （難度等級(jí) ）在下圖的街道示意圖中，C處因施工不能通行，從A到B的最短路線有多少條？ 【解析】 因?yàn)樵诘挠疑戏?，由?biāo)號(hào)法可知，從到的最短路徑上，到達(dá)任何一點(diǎn)的走法數(shù)都等于到它左側(cè)點(diǎn)的走法數(shù)與到它下側(cè)點(diǎn)的走法數(shù)之和而是一個(gè)特殊的點(diǎn)，因?yàn)椴荒芡ㄐ?，所以不可能有路線經(jīng)過(guò)，可以認(rèn)為到達(dá)點(diǎn)的走法數(shù)是0接下來(lái)，可以從左下角開(kāi)始，按照加法原理，依次向上向右填上到各點(diǎn)的走法數(shù)如圖，從到的最短路線有6條【鞏固】 （難度等級(jí) ）在下圖的街道示意圖中，C處因施工不能通行，從A到B的最短路線有多少種？【解析】 因

33、為B在A在右下方，由標(biāo)號(hào)法可知，從A到B的最短路徑上，到達(dá)任何一點(diǎn)的走法數(shù)都等于到它左側(cè)點(diǎn)的走法數(shù)與到它上側(cè)點(diǎn)的走法數(shù)之和.而C是一個(gè)特殊的點(diǎn)，因?yàn)椴荒芡ㄐ校圆豢赡苡新肪€經(jīng)過(guò)C，可以認(rèn)為到達(dá)C點(diǎn)的走法數(shù)是0.接下來(lái)，可以從左上角開(kāi)始，按照加法原理，依次向下向右填上到各點(diǎn)的走法數(shù).如圖，從A到B的最短路線有6條【例 23】 （難度等級(jí) ）如下表，請(qǐng)讀出“我們學(xué)習(xí)好玩的數(shù)學(xué)”這9個(gè)字，要求你選擇的9個(gè)字里能連續(xù)(即相鄰的字在表中也是左右相鄰或上下相鄰)，這里共有多少種完整的“我們學(xué)習(xí)好玩的數(shù)學(xué)”的讀法我們學(xué)習(xí)好們學(xué)習(xí)好玩學(xué)習(xí)好玩的習(xí)好玩的數(shù)好玩的數(shù)學(xué)【解析】 方法一：標(biāo)數(shù)法第一個(gè)字只能選位于左

34、上角的“我”，以后每一個(gè)字都只能選擇前面那個(gè)字的下方或右方的字，所以本題也可以使用標(biāo)號(hào)法來(lái)解：(如右上圖，在格子里標(biāo)數(shù))共70種不同的讀法方法二：組合法仔細(xì)觀察我們可以發(fā)現(xiàn)，按“我們學(xué)習(xí)好玩的數(shù)學(xué)”走的路線就是向右走四步，向下走四步的路線，而向下和向右一個(gè)排列順序則代表了一種路線所以總共有種不同的讀法【例 24】 （難度等級(jí) ）如圖，沿著“北京歡迎你”的順序走（要求只能沿著水平或豎直方向走），一共有多少種不同的走法？ 【解析】 沿著“北京歡迎你”的順序沿水平或豎直方向走，北以后的每一個(gè)字都只能選擇上面的或左右兩邊的字，按加法原理，用標(biāo)號(hào)法可得右上圖所以一共有種走法【鞏固】 （難度等級(jí) ）如下表

35、，請(qǐng)讀出“我們學(xué)習(xí)好玩的數(shù)學(xué)”這9個(gè)字，要求你選擇的9個(gè)字里能連續(xù)(即相鄰的字在表中也是左右相鄰或上下相鄰)，這里共有多少種完整的“我們學(xué)習(xí)好玩的數(shù)學(xué)”的讀法我們學(xué)習(xí)好們學(xué)習(xí)好玩學(xué)習(xí)好玩的習(xí)好玩的數(shù)好玩的數(shù)學(xué)【解析】 第一個(gè)字只能選位于左上角的“我”，以后每一個(gè)字都只能選擇前面那個(gè)字的下方或右方的字，所以本題也可以使用標(biāo)號(hào)法來(lái)解：(在格子里標(biāo)數(shù))共70種不同的讀法【例 25】 （難度等級(jí) ）在下圖中，用水平或者垂直的線段連接相鄰的字母，當(dāng)沿著這些線段行走是，正好拼出“APPLE”的路線共有多少條？ 【解析】 要想拼出英語(yǔ)“APPLE”的單詞，必須按照“APPLE”的次序拼寫(xiě)在圖中的每一種拼寫(xiě)方

36、式都對(duì)應(yīng)著一條最短路徑如下圖所示，運(yùn)用標(biāo)號(hào)法原理標(biāo)號(hào)得出共有31種不同的路徑【鞏固】如圖，用水平線或豎直線連結(jié)相鄰漢字，沿著這些線讀下去，正好可以讀成“祖國(guó)明天更美好”，那么可讀成“祖國(guó)明天更美好”的路線有 條.【解析】 如圖2所示，利用加法原理，將讀到各個(gè)字的路線數(shù)寫(xiě)在每個(gè)字下方，共有不同的路線(條).祖祖國(guó)祖祖國(guó)明國(guó)祖祖國(guó)明天明國(guó)祖祖國(guó)明天更天明國(guó)祖祖國(guó)明天更美更天明國(guó)祖祖國(guó)明天更美好美更天明國(guó)祖圖1祖1祖1國(guó)3祖1祖1國(guó)2明7國(guó)2祖1祖1國(guó)2明4天15明4國(guó)2祖1祖1國(guó)2明4天8更31天8明4國(guó)2祖1祖1國(guó)2明4天8更16美63更16天8明4國(guó)2祖1祖1國(guó)2明4天8更16美32好127美

37、32更16天8明4國(guó)2祖1圖2【鞏固】(第三屆“希望杯”2試試題)右圖中的“我愛(ài)希望杯”有_種不同的讀法. 【解析】 “我愛(ài)希望杯”的讀法也就是從“我”走到“杯”的方法.如上右圖所示，共16種方法.【例 26】 如圖所示，科學(xué)家“愛(ài)因斯坦”的英文名拼寫(xiě)為“Einstein”，按圖中箭頭所示方向有 種不同的方法拼出英文單詞“Einstein”. 圖1 圖2【解析】 由的拼法如圖所示.根據(jù)加法原理可得共有(種)不同拼法.【例 27】 （難度等級(jí) ）圖中有10個(gè)編好號(hào)碼的房間，你可以從小號(hào)碼房間走到相鄰的大號(hào)碼房間，但不能從大號(hào)碼走到小號(hào)碼，從1號(hào)房間走到10號(hào)房間共有多少種不同的走法？ 【解析】

38、我們可以把這個(gè)圖展開(kāi)，用箭頭標(biāo)出來(lái)就更直觀了，然后采用我們學(xué)的標(biāo)數(shù)法【例 28】 （難度等級(jí) ）國(guó)際象棋中“馬”的走法如圖所示，位于位置的“馬”只能走到標(biāo)有的方格中， 類(lèi)似于中國(guó)象棋中的“馬走日”如果“馬”在的國(guó)際象棋棋盤(pán)中位于第一行第二列（圖中標(biāo)有的位置），要走到第八行第五列（圖中標(biāo)有的位置），最短路線有_條【2008年北京“數(shù)學(xué)解題能力展示”讀者評(píng)選活動(dòng)】 【解析】 最后一步的可能如圖，倒數(shù)第二步的可能如圖，倒數(shù)第三步的可能如圖最后（種）【例 29】 （難度等級(jí) ）從北京出發(fā)有到達(dá)東京、莫斯科、巴黎和悉尼的航線，其他城市間的航線如圖所示(虛線表示在地球背面的航線)，則從北京出發(fā)沿航線到達(dá)其

39、他所有城市各一次的所有不同路線有多少？【解析】 第一站到東京的路線有10條：同理，第一站到悉尼、巴黎、莫斯科的路線各有10條，不同的路線共有條【例 30】 一個(gè)實(shí)心立方體的每個(gè)面分成了四部分如圖所示，從頂點(diǎn)出發(fā)，可找出沿圖中相連的線段一步步到達(dá)頂點(diǎn)的各種路徑若要求每步沿路徑的運(yùn)動(dòng)都更加靠近，則從到的各種路徑的數(shù)目為幾？【解析】 因?yàn)檎襟w每個(gè)面的對(duì)面也有同樣的路徑，最靠近Q的有三個(gè)點(diǎn)，從P點(diǎn)到這三個(gè)點(diǎn)都是18種路徑故有三、簡(jiǎn)單遞推：斐波那契數(shù)列的應(yīng)用對(duì)于某些難以發(fā)現(xiàn)其一般情形的計(jì)數(shù)問(wèn)題，可以找出其相鄰數(shù)之間的遞歸關(guān)系，有了這一遞歸關(guān)系就可以利用前面的數(shù)求出后面的數(shù)，這種方法稱(chēng)為遞推法【例 31

40、】 （難度等級(jí) ）一樓梯共10級(jí)，規(guī)定每步只能跨上一級(jí)或兩級(jí)，要登上第10級(jí)，共有多少種不同走法？【解析】 登 1級(jí) 2級(jí) 3級(jí) 4級(jí) . 10級(jí)1種方法2種 3種 5種 . ？我們觀察每級(jí)的種數(shù)，發(fā)現(xiàn)這么一個(gè)規(guī)律：從第三個(gè)數(shù)開(kāi)始，每個(gè)數(shù)是前面兩個(gè)數(shù)的和；依此規(guī)律我們就可以知道了第10級(jí)的種數(shù)是89.其實(shí)這也是加法的運(yùn)用：假如我們把這個(gè)人開(kāi)始登樓梯的位置看做A0，那么登了1級(jí)的位置是在A1，2級(jí)在A2. A10級(jí)就在A10到A3的前一步有兩個(gè)位置；分別是A2 和A1 在這里要強(qiáng)調(diào)一點(diǎn)，那么A2 到A3 既然是一步到了，那么A2 、A3之間就是一種選擇了；同理A1 到A3 也是一種選擇了同時(shí)我們

41、假設(shè)到n級(jí)的選擇數(shù)就是An 那么從A0 到A3 就可以分成兩類(lèi)了：第一類(lèi)：A0 - A1 - A3 ，那么就可以分成兩步有A11種，也就是A1 種；(A1 - A3 是一種選擇)第二類(lèi)：A0 - A2 - A3， 同樣道理 有A2 類(lèi)類(lèi)相加原理：A3 = A1 A2，依次類(lèi)推An = An-1 + An-2【例 32】 （難度等級(jí) ）12的小長(zhǎng)方形(橫的豎的都行)覆蓋210的方格網(wǎng)，共有多少種不同的蓋法【解析】 如果用的長(zhǎng)方形蓋的長(zhǎng)方形，設(shè)種數(shù)為,則，,對(duì)于，左邊可能豎放1個(gè)的，也可能橫放2個(gè)的，前者有種，后者有種，所以,所以根據(jù)遞推，覆蓋的長(zhǎng)方形一共有89種【例 33】 （難度等級(jí) ）如下圖，一只蜜蜂從處出發(fā)，回到家里處，每次只能從一個(gè)蜂房爬向右側(cè)鄰近的蜂房而不準(zhǔn)逆行，共有多少種回家的方法？ 【解析】 蜜蜂“每次只能從一個(gè)蜂房爬