第十講均值比較與T檢驗

1、第十講第十講 均值比較與均值比較與T T檢驗檢驗 對某班學(xué)生進行智力測試，問該班學(xué)生的對某班學(xué)生進行智力測試，問該班學(xué)生的IQ平均平均分與分與100分的差異。分的差異。 某地區(qū)某地區(qū)12歲男孩的平均身高為歲男孩的平均身高為142.5cm,現(xiàn)有某現(xiàn)有某市測量市測量120名名12歲男孩身高資料，檢驗該市歲男孩身高資料，檢驗該市12歲歲男孩平均身高與該地區(qū)男孩平均身高與該地區(qū)12歲男孩平均身高是否有歲男孩平均身高是否有顯著性差異。顯著性差異。 對對12名來自城市的學(xué)生與名來自城市的學(xué)生與14名來自農(nóng)村的學(xué)生名來自農(nóng)村的學(xué)生進行心理素質(zhì)測驗，試分析城市學(xué)生與農(nóng)村學(xué)生進行心理素質(zhì)測驗，試分析城市學(xué)生與農(nóng)

2、村學(xué)生心理素質(zhì)有無顯著差異。心理素質(zhì)有無顯著差異。 對對12名學(xué)生進行培訓(xùn)之后，其培訓(xùn)前后某項心理名學(xué)生進行培訓(xùn)之后，其培訓(xùn)前后某項心理測試得分如表測試得分如表5.1所示，試分析該培訓(xùn)是否引起所示，試分析該培訓(xùn)是否引起學(xué)生心理變化。學(xué)生心理變化。均值比較的概念 在研究中常常采取抽樣研究的方法，即從總體中隨機抽取一在研究中常常采取抽樣研究的方法，即從總體中隨機抽取一定數(shù)量的樣本進行研究來推斷總體的特性。由于總體中的每定數(shù)量的樣本進行研究來推斷總體的特性。由于總體中的每個個體間均存在差異，即使嚴格遵守隨機抽樣原則也會由于個個體間均存在差異，即使嚴格遵守隨機抽樣原則也會由于多抽到一些數(shù)值較大或較小的

3、個體致使樣本統(tǒng)計量與總體參多抽到一些數(shù)值較大或較小的個體致使樣本統(tǒng)計量與總體參數(shù)之間有所不同。又由于實驗者測量技術(shù)的差別或測量儀器數(shù)之間有所不同。又由于實驗者測量技術(shù)的差別或測量儀器精確程度的差別等也會造成一定的偏差，使樣本統(tǒng)計量與總精確程度的差別等也會造成一定的偏差，使樣本統(tǒng)計量與總體參數(shù)之間存在差異。由此可以得到這樣的認識：體參數(shù)之間存在差異。由此可以得到這樣的認識：均值不相均值不相等的兩組樣本不一定來自均值不同的總體。等的兩組樣本不一定來自均值不同的總體。 能否用樣本均值估計總體均值？兩個變量均值接近的樣本是能否用樣本均值估計總體均值？兩個變量均值接近的樣本是否來自均值相同的總體？否來自

4、均值相同的總體？換句話說，兩組樣本某變量均值不換句話說，兩組樣本某變量均值不同，其差異是否具有統(tǒng)計意義？能否說明總體差異？這是各同，其差異是否具有統(tǒng)計意義？能否說明總體差異？這是各種研究工作中經(jīng)常提出的問題。這就要進行均值比較。種研究工作中經(jīng)常提出的問題。這就要進行均值比較?？傮w平均數(shù)的顯著性檢驗總體標準差已知條件下總體平均數(shù)的顯著性檢驗小樣本的情況大樣本的情況總體標準差未知條件下總體平均數(shù)的顯著性檢驗總體平均數(shù)的顯著性檢驗總體標準差已知條件下總體平均數(shù)的顯著性檢驗 某小學(xué)歷屆畢業(yè)生漢語拼音測驗水平為66分，標準差為11.7。現(xiàn)以同樣的試題測驗應(yīng)屆畢業(yè)生（假定應(yīng)屆與歷屆畢業(yè)生條件基本相同），并

5、從其中隨機抽取18份試卷，計算得平均分為69分，問該校應(yīng)屆與歷屆畢業(yè)生漢語拼音測驗水平是否一樣？檢驗的步驟 提出假設(shè) 計算統(tǒng)計量的值 確定檢驗的形式（雙尾） 統(tǒng)計決斷 所以保留 ，拒絕 ，即該校應(yīng)屆與歷屆畢業(yè)生漢語拼音測驗一樣。 66:,66:1HH09. 1187 .116669nXZ05. 096. 109. 1ZH1H雙側(cè)Z檢驗統(tǒng)計決斷規(guī)則 與臨界值的比較P值檢驗結(jié)果顯著性 0.05保留拒絕不顯著1.96 2.580.01所以在0.05水平上拒絕初始假設(shè),接受備擇假設(shè),即該校初三英語平均分數(shù)與全區(qū)平均分數(shù)有本質(zhì)區(qū)別,或者說,它不屬于平均數(shù)為65的總體.093. 205. 019t某校上一

6、屆初一學(xué)生自學(xué)能力平均分數(shù)為38,這一屆初一24個學(xué)生自學(xué)能力平均分數(shù)為42,標準差為5.7,假定這一屆初一學(xué)生的學(xué)習(xí)條件與上一屆相同,試問這一屆初一學(xué)生的自學(xué)能力是否高于上一屆?檢驗的步驟:(1)提出假設(shè)(2)計算統(tǒng)計量的值(3)確定檢驗的形式(右尾檢驗)(4)統(tǒng)計決斷 所以在0.01顯著性水平上,拒絕初始假設(shè),接受備擇假設(shè).即:這一屆初一學(xué)生的自學(xué)能力極其顯著地高于上一屆.總結(jié)t檢驗統(tǒng)計決斷的規(guī)則;并與Z檢驗作比較38:,38:1HH365. 31247 . 538421nXtX500. 2365. 301. 023*tt總體標準差未知條件下總體平均數(shù)的顯著性檢驗（大樣本）某年高考某市數(shù)學(xué)

7、平均分為60分,現(xiàn)從參加此次考試的文科學(xué)生中,隨機抽取94份試卷,算得平均分為58,標準差為9.2,問文科數(shù)學(xué)成績與全市考生是否相同? 同理可計算得：0.01顯著性水平 的臨界值01. 0090. 3981. 5ttt090.301.0 t所以在0.01顯著性水平上拒絕原假設(shè)，接受備擇假設(shè)，即走讀生與住宿生自學(xué)能力，從總體上來說有極其顯著性差異。配 對 組同 一 組 對象 的 情 況相 關(guān) 樣 本 平 均 數(shù) 差 異 的 顯 著 性 檢 驗獨 立 大 樣 本 平 均 數(shù) 差異 的 顯 著 性 檢 驗方 差 齊 性 獨 立 小樣 本 平 均 數(shù) 差 異的 顯 著 性 檢 驗方 差 不 齊 性 獨

8、 立 小樣 本 平 均 數(shù) 差 異 的顯 著 性 檢 驗獨 立 小 樣 本 平 均 數(shù) 差異 的 顯 著 性 檢 驗獨 立 樣 本 平 均 數(shù) 差 異 的 顯 著 性 檢 驗平 均 數(shù) 差 異 的 顯 著 性 檢 驗樣本為獨立樣本。系，這樣的兩個樣本稱一一對應(yīng)關(guān)他們之間不存在的個體是隨機抽取的，獨立樣本：兩個樣本內(nèi)關(guān)樣本。得的測驗結(jié)果，也是相驗所獲處理之后，用同一個測組被試施行不同的實驗，對兩地分入實驗組和對照組，然后將每對被試隨機配配對的原則，把被試一一匹根據(jù)某些條件基本相同是相關(guān)樣本。所獲得的兩組測量結(jié)果次測驗被試在實驗前后進行兩同一個測驗對相關(guān)樣本樣本. 2,同一組1.相關(guān)樣本平均數(shù)差異

9、的顯著性檢驗（配對組的情況）例：為了揭示小學(xué)二年級的兩種識字教學(xué)法是否有顯著性差異，根據(jù)學(xué)生的智力水平、努力程度、識字量多少、家庭輔導(dǎo)力量等條件基本相同的原則，將學(xué)生配成10對，然后把每對學(xué)生隨機地分入實驗組、對照組，實驗組施以分散識字教學(xué)法，而對照組施以集中識字教學(xué)法，后期統(tǒng)一測驗結(jié)果如下表所示，問兩種識字法是否有顯著性差異？對別對別 實驗組實驗組x1對照組對照組x2差數(shù)值差數(shù)值D= x1- x2差數(shù)值平方差數(shù)值平方D2193761728927274-2439180111214655213169581631832467762152257898274988485-119736498110707

10、2-24總和總和795710851267分析：每對學(xué)生的分數(shù)都有一個差數(shù)（ ），假如兩種識字教學(xué)法沒有本質(zhì)區(qū)別，則它們差數(shù)的總體平均數(shù)應(yīng)當?shù)扔?，也就是說兩個總體平均數(shù)之差為0，而兩組測驗分數(shù)的差數(shù)平均數(shù)不等于0，僅僅是由于抽樣誤差所致。21xxD檢驗的步驟（1）提出假設(shè)（2）選擇統(tǒng)計量并計算其值（3）采用雙尾檢驗方式（4）統(tǒng)計決斷21121:,:HH459. 321DSXXt 25. 3,262. 201. 0905. 09tt 25. 3459. 301. 09*tt所以，在0.01水平上拒絕原假設(shè)，接受備擇假設(shè)，即小學(xué)分散識字與集中識字教學(xué)法差異顯著。 相關(guān)樣本平均數(shù)差異的顯著性檢驗 （

11、同一組對象的情況）例：32人的射擊小組經(jīng)過三天集中訓(xùn)練，訓(xùn)練前與訓(xùn)練后測驗分數(shù)如下表所示，問三天集中訓(xùn)練有無顯著效果？（根據(jù)過去的資料得知，三天集中射擊訓(xùn)練有顯著效果）序號序號訓(xùn)練后訓(xùn)練后x1訓(xùn)練前訓(xùn)練前x2差數(shù)值差數(shù)值D= x1- x2差數(shù)值平方差數(shù)值平方D2142402423835-3935356-3944941864524213965460-63674334981851401112196064-416104739864111215-39序號序號訓(xùn)練后訓(xùn)練后x1訓(xùn)練前訓(xùn)練前x2差數(shù)值差數(shù)值D= x1- x2差數(shù)值平方差數(shù)值平方D212323024136561416144858-101001

12、5545224166258416175044636182526-11196359416204537-864213932749224853-525序號序號訓(xùn)練后訓(xùn)練后x1訓(xùn)練前訓(xùn)練前x2差數(shù)值差數(shù)值D= x1- x2差數(shù)值平方差數(shù)值平方D223424024243835-39255356-3926494186427242139285460-63629433498130514011121316064-416324739864總和總和14911413781584檢驗的步驟 提出假設(shè) 選擇統(tǒng)計量并計算其值21121:;:HH057. 2313232781584327810222nnnDDDZ053. 2

13、32868.13016.14884. 02868.13016.14156.44594.4622221222121nSrSSSXXZ053. 21221212221nrXXZXXXX 選擇檢驗的形式：單尾檢驗 統(tǒng)計決斷 所以在0.05顯著性水平上，拒絕原假設(shè)，接受備擇假設(shè)，即三天射擊訓(xùn)練有顯著效果。01. 005. 033. 2057. 265. 1ZZ獨立樣本檢驗 獨立大樣本：兩個樣本容量都大于30的樣本。 獨立小樣本：兩個樣本容量都小于30或其中一個小于30的樣本。獨立大樣本平均數(shù)差異的顯著性檢驗 兩個獨立大樣本平均數(shù)之差的標準誤為：（1）當兩個樣本相應(yīng)總體標準差已知時（2）當兩個樣本相應(yīng)總

14、體標準差未知時222121nnD221221nnSxxD例：某校高一學(xué)生英語測驗成績?nèi)缦卤硭?，問男女生英語測驗成績是否有顯著性差異？性別人數(shù)樣本平均數(shù)樣本標準差男18076.511.50女17478.210.50 高一男女生英語測驗成績結(jié)果統(tǒng)計表檢驗步驟 提出假設(shè) 選擇檢驗統(tǒng)計量并計算其值 選擇檢驗的形式（雙尾檢驗） 統(tǒng)計決斷 21121:;:HH45. 117450.1018050.112 .785 .762222122121nnXXZXX96. 145. 1 所以接受原假設(shè)，拒絕備擇假設(shè)，即高一男女生英語測驗成績無顯著性差異。獨立小樣本平均數(shù)差異的顯著性檢驗（應(yīng)在方差齊性檢驗之后進行）

15、方差齊性 獨立小樣本平均數(shù)之差的標準誤（方差齊性時的情況） 若 未知，可用 代替。2222121211nnSD22S 11212222112nnXXXXS2121212222112nnnnnnXXXXSD21212122222121212nnnnnnnXXnXXSD用原始數(shù)據(jù)表示為：212121222211211nnnnnnSnSnSD計算：用總體標準差的估計值2121212221221nnnnnnnnSXXD用樣本標準差表示：例：從高二年級隨機抽取兩個小組，在化學(xué)教學(xué)中實驗組采用啟發(fā)探究法，對照組采用傳統(tǒng)講授法，后期統(tǒng)一測驗結(jié)果如下表所示，問兩種教學(xué)法是否有顯著性差異？（根據(jù)已有的經(jīng)驗確知啟

16、發(fā)探究法優(yōu)于傳統(tǒng)講授法）序號 實驗組 對照組X12X22 1 6460 642602 25859582592 36557652572 4564156241255838582382645524525227554655246286351632512966496624921069 692 總和599 453 36321 23277 以原始數(shù)據(jù)檢驗實驗組和對照組化學(xué)平均分差異顯著性用表檢驗的步驟 提出假設(shè) 選擇檢驗統(tǒng)計量并計算其值 確定檢驗的形式（單尾檢驗） 統(tǒng)計決斷 所以在0.01顯著性水平上差異顯著，即高二化學(xué)啟發(fā)探究法優(yōu)于傳統(tǒng)講授21121:;:HH835. 222121212222212121

17、21nnnnnnnXXnXXXXt898. 2853. 2567. 2005. 01701. 017tt方差不齊性獨立樣本平均數(shù)的差異顯著性檢驗 總體方差不齊性的兩個獨立樣本平均數(shù)之差的標準誤，可用兩個樣本方差分別估計出的兩個平均數(shù)標準誤平方和再開方來表示。這時樣本平均數(shù)之差的離差統(tǒng)計量呈與t分布相近的t，分布，它有3種表示形式：111122222221112121212212212221212121nnnXXnnnXXXXtnnXXtnSnSXXtXX例：18個走讀生與7個同齡住宿生自學(xué)能力得分如下表所示，問走讀生與住宿生自學(xué)能力是否有顯著性差異？序號XX2序號XX2走讀生住宿生走讀生住宿生

18、走讀生住宿生走讀生住宿生119331923321125 252 224282422821227 272 310301023021314 142 432343223421422 222 5629622921523 232 62136212362168 82 720332023321711 112 826 262 1827 272 912 122 總和33022372447155103 32 檢驗的步驟 提出假設(shè) 選擇檢驗統(tǒng)計量并計算其值 選擇檢驗的形式（雙尾檢驗） 統(tǒng)計決斷21121:;:HH918. 5112222222111212121nnnXXnnnXXXXt1、用總體標準差的無偏估計計算

19、：查t值表得： 將相關(guān)數(shù)據(jù)代入上式的 計算0.05顯著性水平 臨界值的近似值 447. 2,110. 205. 0605. 017tt617,171182122212105. 022205. 012105. 021dfdfnsnstnstnstdfdf190. 205. 0 tt2、用樣本標準差計算617,17118111121221205. 02205. 01205. 0212211dfdfnntntntxxdfxdfx 447. 2,110. 205. 0605. 017tt190.205.0 t 3、用原始數(shù)據(jù)計算617,1711811/11/212212222111212105. 02

20、21222205. 0111212105. 021dfdfnnnxxnnnxxtnnnxxtnnnxxtdfdf 447. 2,110. 205. 0605. 017tt190.205.0 t同理可計算得：0.01顯著性水平 的臨界值01. 0090. 3981. 5ttt090.301.0 t所以在0.01顯著性水平上拒絕原假設(shè)，接受備擇假設(shè)，即走讀生與住宿生自學(xué)能力，從總體上來說有極其顯著性差異。兩個獨立樣本的方差齊性檢驗兩個相關(guān)樣本的方差齊性檢驗方差齊次檢驗方差齊性檢驗 對兩個總體的方差是否有顯著性差異所進行的檢驗稱為方差齊性（相等）檢驗。 對兩個獨立樣本方差是否齊性，需進行F檢驗；對兩

21、個相關(guān)樣本方差是否齊性，需進行t檢驗。1、F分布若從方差相同的兩個正態(tài)總體中，隨機地抽取兩個獨立樣本，以此為基礎(chǔ)，分別求出兩個相應(yīng)總體方差的估計值，這兩個總體方差估計值的比值稱為F比值，即 。F比值的抽樣分布稱為F分布。2221SSF 在一般情況下，經(jīng)常應(yīng)用的是右側(cè)F檢驗，所以F比值表只列有右側(cè)理論值（臨界值）。在計算樣本的F值時，要求將總體方差估計值較大的作為分子，而總體方差值較小的作為分母，使計算所得的F值落在1和大于1的范圍內(nèi)，以便在作F檢驗時，將實際計算出的F值與查表所得臨界值相比較。兩個獨立樣本的方差齊性檢驗例：從高二年級隨機抽取兩個小組，在化學(xué)教學(xué)中實驗組采用啟發(fā)探究法，對照組采用

22、傳統(tǒng)講授法，后期統(tǒng)一測驗結(jié)果如下表所示（根據(jù)已有的經(jīng)驗確知啟發(fā)探究法優(yōu)于傳統(tǒng)講授法），問兩種教學(xué)法測驗分數(shù)總體方差是否齊性？實驗組對照組1646064260225859582592365576525724564156241255838582382645524525227554655246286351632512966496624921069692總和1X2X21X22X5991X4532X3632121X2327722X檢驗步驟 提出假設(shè) 選擇并計算統(tǒng)計量的值 222112221:;:HH21. 11111222222222212112111222211222121nXnXnnnXnXnnnn

23、nnSSFxx 根據(jù)分子的自由度為8，分母的自由度為9，查表得 統(tǒng)計決斷 因為1.21 Compare Means- One-Samples T test Test Variable(s)：要求平均值的變量（一般是定距變量）：要求平均值的變量（一般是定距變量） Test Value：常數(shù)：常數(shù) 零假設(shè)零假設(shè)H0：樣本均值：樣本均值Mean=常數(shù)（檢驗值）；常數(shù)（檢驗值）； 結(jié)果中比較有用的值：結(jié)果中比較有用的值：Mean和和Sig顯著性概率值顯著性概率值 例子例子 ：獨立樣本的獨立樣本的T檢驗檢驗 要求：要求：a. 被比較的兩組樣本彼此獨立被比較的兩組樣本彼此獨立, 沒有配對關(guān)沒有配對關(guān)系系

24、b. 兩組樣本均來自兩組樣本均來自正態(tài)總體正態(tài)總體 兩組樣本方差相等和不等時使用的計算兩組樣本方差相等和不等時使用的計算t t值的公式不同值的公式不同。因。因此應(yīng)該先對方差進行齊次性檢驗。此應(yīng)該先對方差進行齊次性檢驗。SPSSSPSS的輸出，在給出方的輸出，在給出方差齊和不齊兩種計算結(jié)果的差齊和不齊兩種計算結(jié)果的t t值，和值，和t t檢驗的顯著性概率的檢驗的顯著性概率的同時，還給出對方差齊次性檢驗的同時，還給出對方差齊次性檢驗的F F值和值和F F檢驗的顯著性概檢驗的顯著性概率。用戶需要根據(jù)率。用戶需要根據(jù)F F檢驗的結(jié)果自己判斷選擇檢驗的結(jié)果自己判斷選擇t t檢驗輸出中檢驗輸出中的哪個結(jié)果，得出最后結(jié)論。的哪個結(jié)果，得出最后結(jié)論。