第六章_參數(shù)估計

1、第六章第六章 參數(shù)估計參數(shù)估計1本章主要內(nèi)容：本章主要內(nèi)容：第一節(jié)第一節(jié) 點估計點估計第二節(jié)第二節(jié) 區(qū)間估計區(qū)間估計第三節(jié)第三節(jié) 樣本容量的確定樣本容量的確定2第一節(jié)第一節(jié) 點估計點估計一、點估計的定義一、點估計的定義點估計就是根據(jù)總體參數(shù)與樣本統(tǒng)計量點估計就是根據(jù)總體參數(shù)與樣本統(tǒng)計量之間的內(nèi)在聯(lián)系，直接之間的內(nèi)在聯(lián)系，直接以樣本統(tǒng)計量作以樣本統(tǒng)計量作為相應(yīng)總體參數(shù)的估計量為相應(yīng)總體參數(shù)的估計量，點估計又稱，點估計又稱為為定值定值估計。估計。在統(tǒng)計中經(jīng)常使用的點估計量有：在統(tǒng)計中經(jīng)常使用的點估計量有：1222nXXSPX等號等號 表示用樣本統(tǒng)計量對表示用樣本統(tǒng)計量對應(yīng)總體應(yīng)總體參數(shù)估計量參數(shù)估

2、計量例例6-1點估計的點估計的優(yōu)點優(yōu)點直接給出總體參數(shù)的估直接給出總體參數(shù)的估計值計值不足不足：不能提供估計誤差的信息：不能提供估計誤差的信息因此，需要對用于點估計總體參數(shù)的因此，需要對用于點估計總體參數(shù)的樣樣本統(tǒng)計量本統(tǒng)計量進(jìn)行評價進(jìn)行評價5點估計的評價標(biāo)準(zhǔn)點估計的評價標(biāo)準(zhǔn)無偏性無偏性有效性有效性一致性一致性無偏性無偏性(unbiasedness)無偏性：總體參數(shù)估計量的抽樣分布均值等于被無偏性：總體參數(shù)估計量的抽樣分布均值等于被估計的總體參數(shù)估計的總體參數(shù) ( )E的樣本統(tǒng)計量。是估計是總體參數(shù)，若7證明證明:樣本方差樣本方差S2是總體方差是總體方差2的無偏估計量的無偏估計量,即即E(S2

3、)= 2證證：其中其中：2222211()() ()() 111()()2()()1iiiiE SExxExxnnExxxxn22()()2()()2() ()2 ()iixxxxxn xn x 例例8這就是為什么對總體方差進(jìn)行估計時，樣本方差這就是為什么對總體方差進(jìn)行估計時，樣本方差公式所除的不是樣本量公式所除的不是樣本量n，而是，而是n-1的原因。的原因。2222222222221()()()2() 11()2() 111() 11iE SE xE xnE xnnnE xnE xnnnE xnnn有效性有效性(efficiency)有效性：對于兩個無偏估計量有效性：對于兩個無偏估計量 如果

4、如果則說明估計量則說明估計量22Xxin 任意的方差21、更有效比21)()(2212一致性一致性(consistency)一致性：一致性：隨著樣本容量的增大，估計量隨著樣本容量的增大，估計量的值越來越接近被估計的總體參數(shù)的值越來越接近被估計的總體參數(shù)lim1np大數(shù)定理大數(shù)定理由大數(shù)定理我們知道，樣本容量越大，由大數(shù)定理我們知道，樣本容量越大，該樣本中獲得的該樣本中獲得的樣本平均數(shù)樣本平均數(shù)更容易符合更容易符合無偏、有效且一致的要求；無偏、有效且一致的要求；因為成數(shù)是一個特殊的平均數(shù)，該結(jié)論因為成數(shù)是一個特殊的平均數(shù)，該結(jié)論對成數(shù)估計也成立。對成數(shù)估計也成立。第二節(jié)第二節(jié) 區(qū)間估計區(qū)間估計一

5、、區(qū)間估計的含義一、區(qū)間估計的含義區(qū)間估計，是估計總體參數(shù)的區(qū)間范圍，并要區(qū)間估計，是估計總體參數(shù)的區(qū)間范圍，并要求給出區(qū)間估計成立的概率值。求給出區(qū)間估計成立的概率值。設(shè)設(shè) 和和 都是兩個統(tǒng)計量都是兩個統(tǒng)計量 （ ），分），分別作為總體參數(shù)別作為總體參數(shù) 區(qū)間估計的下限與上限，區(qū)間估計的下限與上限，則要求：則要求：區(qū)間估計彌補了點估計只給出總體參數(shù)的具體估計區(qū)間估計彌補了點估計只給出總體參數(shù)的具體估計值而沒有說明這個估計值的誤差、可靠性的不足值而沒有說明這個估計值的誤差、可靠性的不足12211)(21P區(qū)間估計中的區(qū)間估計中的(05，屬于大樣本場合，這，屬于大樣本場合，這時候，臨界值可查標(biāo)準(zhǔn)

6、正態(tài)分布表得到。時候，臨界值可查標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布表得到。查標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布表得：查標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布表得：0.0521.645zz解：解：n=400，N=5 000，樣本廢品率，樣本廢品率P=32/400=8%。置信度置信度1-=90%，=10%，/2=5%。50因此，這批產(chǎn)品廢品率的區(qū)間估計是：因此，這批產(chǎn)品廢品率的區(qū)間估計是：021. 008. 010005400000540008. 0108. 0645. 108. 0112NnNnPPzP即這批產(chǎn)品的廢品率在即這批產(chǎn)品的廢品率在5.9%與與10.1%之間。之間。51四、樣本容量的確定四、樣本容量的確定xz極限誤差、概率度與抽樣平均誤差三者間的數(shù)極限誤

7、差、概率度與抽樣平均誤差三者間的數(shù)量關(guān)系是：量關(guān)系是：當(dāng)抽樣平均誤差保持不變時，極限誤差與概率當(dāng)抽樣平均誤差保持不變時，極限誤差與概率度兩者間關(guān)系是：度兩者間關(guān)系是：減?。ㄌ岣呔龋?，減小（提高精度），Z（概率（概率度）度）也減小了。也減小了。52因此，抽樣估計的精度與可靠性之間存在矛盾：因此，抽樣估計的精度與可靠性之間存在矛盾：（1）要提高精度）要提高精度(減小減小)，需以犧牲概率度，需以犧牲概率度(Z減小減小)為代價；（為代價；（2）要提高概率度）要提高概率度(Z增大增大)，又要以犧牲估，又要以犧牲估計精度計精度(增大增大)為代價。為代價。在在 不變的情況下，這對矛盾是不可調(diào)和的。不變的情

8、況下，這對矛盾是不可調(diào)和的。x5354(一一)估計總體均值時樣本容量的確定估計總體均值時樣本容量的確定55某企業(yè)想估計其職工上個月上下班花在某企業(yè)想估計其職工上個月上下班花在路途上的平均時間。經(jīng)驗表明，總體標(biāo)準(zhǔn)差為路途上的平均時間。經(jīng)驗表明，總體標(biāo)準(zhǔn)差為4.3分鐘。以置信度分鐘。以置信度95%的置信區(qū)間進(jìn)行估計，并使的置信區(qū)間進(jìn)行估計，并使估計值處在真正平均值附近估計值處在真正平均值附近1分鐘的誤差范圍之內(nèi)。分鐘的誤差范圍之內(nèi)。該企業(yè)應(yīng)抽取多大的樣本？該企業(yè)應(yīng)抽取多大的樣本？解：已知解：已知1,96. 1,05. 0, 3 . 42/Z7203.7113 . 496. 12222222/Zn該

9、企業(yè)至少應(yīng)該抽取72名職工作為樣本。例例5657(二二)估計成數(shù)時樣本容量的確定估計成數(shù)時樣本容量的確定58(三三)使用上述公式應(yīng)注意的問題使用上述公式應(yīng)注意的問題1.計算樣本容量時，計算樣本容量時，一般總體的方差與成數(shù)都是未一般總體的方差與成數(shù)都是未知的，可用有關(guān)資料替代知的，可用有關(guān)資料替代：n一是用歷史資料已有的方差與成數(shù)代替；一是用歷史資料已有的方差與成數(shù)代替；n二是在進(jìn)行正式抽樣調(diào)查前進(jìn)行幾次試驗性調(diào)查，二是在進(jìn)行正式抽樣調(diào)查前進(jìn)行幾次試驗性調(diào)查，用試驗中方差的最大值代替總體方差；用試驗中方差的最大值代替總體方差；n三是成數(shù)方差在完全缺乏資料的情況下，就用成三是成數(shù)方差在完全缺乏資料

10、的情況下，就用成數(shù)方差的最大值數(shù)方差的最大值0.25代替。代替。592.如果進(jìn)行一次抽樣調(diào)查，同時估計總體均值如果進(jìn)行一次抽樣調(diào)查，同時估計總體均值與成數(shù)，用上面的公式同時計算出兩個樣本容與成數(shù)，用上面的公式同時計算出兩個樣本容量，應(yīng)取其中最大的結(jié)果，同時滿足兩方面的量，應(yīng)取其中最大的結(jié)果，同時滿足兩方面的需要。需要。3.上面的公式計算結(jié)果如果帶小數(shù)，這時樣本上面的公式計算結(jié)果如果帶小數(shù)，這時樣本容量不按四舍五入法則取整數(shù)，而是取比這容量不按四舍五入法則取整數(shù)，而是取比這個個數(shù)大數(shù)大的最小整數(shù)代替。例如計算得到：的最小整數(shù)代替。例如計算得到：nn =56.3，那么，樣本容量取，那么，樣本容量取

11、57，而不是，而不是56。對企業(yè)產(chǎn)品合格率進(jìn)行抽樣調(diào)對企業(yè)產(chǎn)品合格率進(jìn)行抽樣調(diào)查，根據(jù)歷史上進(jìn)行的二次調(diào)查資料，查，根據(jù)歷史上進(jìn)行的二次調(diào)查資料，合格率分別是合格率分別是15%和和13%，這次調(diào)查，這次調(diào)查要求誤差不超過要求誤差不超過5%，概率保證程度為，概率保證程度為95%，問至少要抽出多少產(chǎn)品作為樣本，問至少要抽出多少產(chǎn)品作為樣本？6061例例對某型號電池進(jìn)行電流強度檢驗，對某型號電池進(jìn)行電流強度檢驗，根據(jù)以往正常生產(chǎn)的經(jīng)驗數(shù)據(jù)，已知電流強度根據(jù)以往正常生產(chǎn)的經(jīng)驗數(shù)據(jù)，已知電流強度的標(biāo)準(zhǔn)差的標(biāo)準(zhǔn)差=0.4安培，合格率安培，合格率P=90%。采用。采用隨機重復(fù)抽樣方式，需要在隨機重復(fù)抽樣方式，需要在99.73%的概率保的概率保證下，抽樣平均電流的誤差范圍不超過證下，抽樣平均電流的誤差范圍不超過0.08安安培，抽樣合格率誤差范圍不超過培，抽樣合格率誤差范圍不超過5%，試求必，試求必要的抽樣單位數(shù)。要的抽樣單位數(shù)。62解：已知，解：已知，1-=99.73%， ，