任意角的三角函數(shù)(2課時)

1、任意角的三角函數(shù)任意角的三角函數(shù)是三角學中最基本最重要的是三角學中最基本最重要的概念之一。三角學起源于對三角形邊角關系的概念之一。三角學起源于對三角形邊角關系的研究，始于古希臘的喜帕恰斯、梅內(nèi)勞斯和托研究，始于古希臘的喜帕恰斯、梅內(nèi)勞斯和托勒密等人對天文的測量，在相當長的時期里隸勒密等人對天文的測量，在相當長的時期里隸屬于天文學。直到屬于天文學。直到14641464年，德國數(shù)學家雷基奧年，德國數(shù)學家雷基奧蒙坦著蒙坦著論各種三角形論各種三角形，才獨立于天文學之，才獨立于天文學之外對三角知識作了較系統(tǒng)的闡說；外對三角知識作了較系統(tǒng)的闡說；14-1614-16世紀，世紀，三角學曾一度成為歐洲數(shù)學的主

2、要內(nèi)容，研究三角學曾一度成為歐洲數(shù)學的主要內(nèi)容，研究的方面包括三角函數(shù)值表的編制、平面三角形的方面包括三角函數(shù)值表的編制、平面三角形和球面三角形的解法，三角恒等式的建立和推和球面三角形的解法，三角恒等式的建立和推導等等。導等等。16311631年，三角學輸入中國，三角學在年，三角學輸入中國，三角學在中國早期比較通行的名稱是中國早期比較通行的名稱是“八線八線”和和“三三角角”?！鞍司€八線”是指在單位圓上的八種三角函是指在單位圓上的八種三角函數(shù)線：數(shù)線：正弦線、余弦線、正切線、余切線、正正弦線、余弦線、正切線、余切線、正割線、余割線割線、余割線、正矢線、余矢線。隨著科學的、正矢線、余矢線。隨著科學

3、的發(fā)展，三角函數(shù)成為研究自然界和生產(chǎn)實踐中發(fā)展，三角函數(shù)成為研究自然界和生產(chǎn)實踐中周期變化現(xiàn)象的重要數(shù)學工具，它在測量、力周期變化現(xiàn)象的重要數(shù)學工具，它在測量、力學工程和無線電學中有著廣泛的應用。學工程和無線電學中有著廣泛的應用。sinBCAAB tanBCAAC cosACAAB cotACABC ACB對對邊邊鄰邊鄰邊斜邊斜邊p局限：局限：n定義依賴于直角三角形定義依賴于直角三角形n只能表示銳角的三角函數(shù)只能表示銳角的三角函數(shù)n不利于引入坐標運算解決問題不利于引入坐標運算解決問題下面利用平面直角坐標系，研究任意角的三角函數(shù)。下面利用平面直角坐標系，研究任意角的三角函數(shù)。那么：那么：原點的距

4、離是原點的距離是，它與坐標，它與坐標的坐標為的坐標為的終邊上任意一點的終邊上任意一點_ (P), yx 02222yxyxr|xyxyooP(x,y)P(x,y);sin,sinryry 即即的正弦，記作的正弦，記作叫做叫做比值比值(1);cos,cosrxrx 即即的余弦，記作的余弦，記作叫做叫做比值比值(2);tan,tanxyxy 即即的正切，記作的正切，記作叫做叫做比值比值(3);cot,cotyxyx 即即的余切，記作的余切，記作叫做叫做比值比值(4);sec,secxrxr 即即的正割，記作的正割，記作叫做叫做比值比值(5);csc,cscyryr 即即的余割，記作的余割，記作叫做

5、叫做比值比值(6)xyxyooP(x,y)P(x,y)xoP(x,y)yrxryxxyrxrycsc sec cottan cos sinp思考：思考：n1、對于確定的角、對于確定的角，比值，比值(如果有的話如果有的話)與與P點在點在終邊上的位置有無關系？終邊上的位置有無關系？n2、三角函數(shù)作為一個函數(shù)？怎么對應？、三角函數(shù)作為一個函數(shù)？怎么對應？n3、對于、對于6種三角函數(shù)的定義，任意的角種三角函數(shù)的定義，任意的角都是有意都是有意義的嗎？義的嗎？n4、不同象限上的符號如何？、不同象限上的符號如何？統(tǒng)稱三角函數(shù)p由相似三角形的性質(zhì)可知：對于確定的角由相似三角形的性質(zhì)可知：對于確定的角，比值，比

6、值(如如果有的話果有的話)與與P點在點在終邊上的位置無關系終邊上的位置無關系p因此有課本給出的三角函數(shù)定義：因此有課本給出的三角函數(shù)定義：p設設是一個任意角是一個任意角,它的終邊與單位圓交于點它的終邊與單位圓交于點P(x,y)則則:y 叫叫的正弦的正弦x叫叫的余弦的余弦siny cosx tanyx yxO( , )P x y叫叫的正切的正切xy，又又如如何何？：若若圓圓心心為為思思考考又又如如何何？：若若半半徑徑為為思思考考用用三三角角函函數(shù)數(shù)表表示示坐坐標標可可以以作作用用：單單位位圓圓上上的的點點的的),(,),sin,(cosbarP21 角角（其弧度數(shù)等于這個實數(shù)）（其弧度數(shù)等于這個

7、實數(shù)）三角函數(shù)值三角函數(shù)值（實（實 數(shù)）數(shù)）實實 數(shù)數(shù),(, 11,),(, 11,)kZkZkZkZ R-1，1R-1，1|k +R2|kR|k +2|k函數(shù)函數(shù) 解析式解析式 定義域定義域 值域值域余弦余弦正切正切余切余切正弦正弦正割正割余割余割yrxryxxyrxry cscseccottancossin yrxryxxyrxry cscseccottancossin 的的結結論論？你你能能否否由由此此推推出出更更一一般般有有什什么么關關系系？的的正正弦弦、余余弦弦、正正切切值值與與的的正正弦弦、余余弦弦、正正切切值值，求求角角的的終終邊邊經(jīng)經(jīng)過過角角的的正正弦弦、余余弦弦、正正切切值值

8、求求67653432351 .),(.P終邊相同終邊相同)(tan)tan(cos)cos(sin)sin(zkkkk 222點的坐標相同點的坐標相同同一函數(shù)值相同同一函數(shù)值相同你記住了嗎？你記住了嗎？度度弧弧度度0003004506009001200135015001800270036006432233456322 sin cos tan cot2123333212333321233332123333112222112222001001001001010當角當角的終邊不在坐標軸上時，我們的終邊不在坐標軸上時，我們把把OM、MP看成帶有方向的線段，看成帶有方向的線段，這種帶方向的線段叫這種帶方

9、向的線段叫由正由正弦、余弦、正切函數(shù)的定義有：弦、余弦、正切函數(shù)的定義有： OMMPyyry1sinOMxxrx1cosATOAATOMMPxytanyxO 的終邊的終邊MPAT正弦線余弦線正切線當角的終邊不在第一象限時，你知道相應的三角函數(shù)線在哪里嗎？xyoxyoxyoxyo的終邊的終邊的終邊的終邊的終邊的終邊的終邊的終邊TPMPMPMPMTAATATA()()()()思考：當思考：當?shù)慕K邊在的終邊在x軸或軸或y軸上時，三角函數(shù)線情況如何？軸上時，三角函數(shù)線情況如何？_534P(-321 D 552C 55 B 51 A) (2223D 13133 213B 13132sinA) (P(2,

10、3)1的值為的值為，則，則，且，且的終邊經(jīng)過的終邊經(jīng)過、等于等于上，則上，則的終邊在直線的終邊在直線、若角、若角、，則有，則有的終經(jīng)過點的終經(jīng)過點、角、角bbxyC cos),sintansincosCC3別漏了別多了00000570420D )(-740 C 160B sin(-660 A) (6D C B A) (054cos)sin(costan),tansin_cossin、，取負值的是，取負值的是、下列各三角函數(shù)值中、下列各三角函數(shù)值中、第一或第四象限、第一或第四象限、第二或第三象限、第二或第三象限第四象限第四象限、第一象限、第一象限的終邊在的終邊在則則、若、若上，則上，則的終邊在的

11、終邊在、已知角、已知角 xy2DB._cos,sin.tan,cos,sin.tan,sin,cos),(.cossin)(,(.mmmmmxyaPaaaP都都有有意意義義，則則若若求求上上，的的終終邊邊在在直直線線類類似似題題：若若角角求求，且且的的終終邊邊過過點點類類似似題題：若若角角的的值值求求，的的坐坐標標為為的的終終邊邊上上有有一一個個點點角角524532353820341 先定象限再求值.,)cos(sin)sin(cos.)cot(cos)tan(sin.,coscos.cotcottantancoscossinsin.圍圍并用圖形表示其取值范并用圖形表示其取值范所在的象限所在的

12、象限指出指出類似題：若類似題：若的符號的符號是第二象限角，判斷是第二象限角，判斷若若是第幾象限角？是第幾象限角？則角則角是第二象限角，且是第二象限角，且若若的值域是？的值域是？函數(shù)函數(shù)303233212 xxxxxxxxy.cossintancos)(.sectancossin)(.sintancos)(.cottan)().sin(cossincostan)(.cossintan)(41723531636133463134512611511253114942625623352113250275045040512222222222 nmnmrqpnm求下列各式的值：求下列各式的值：.tan,sin,.coscos)( ;tantan)( ;sinsin)(.三者的大小三者的大小時，比較時，比較當當與與與與與與列各組數(shù)的大?。毫懈鹘M數(shù)的大?。豪萌呛瘮?shù)線比較下利用三角函數(shù)線比較下 20254323543225