常微分方程教案2

1、河北民族師范學(xué)院課程教案（章節(jié)、專題首頁）課程名稱常微分方程章節(jié)、專題第二章 一階微分方程的初等解法教學(xué)目標(biāo)及基本要求1.理解變量分離方程以及可化為變量分離方程的類型（齊次方程），熟練掌握變量分離方程的解法。2. 理解一階線性微分方程的類型，熟練掌握常數(shù)變易法及伯努力方程的求解。3. 理解恰當(dāng)方程的類型，掌握恰當(dāng)方程的解法及簡單積分因子的求法。4. 理解一階隱式方程的可積類型，掌握隱式方程的參數(shù)解法。教學(xué)重點重點是一階微分方程的各類初等解法教學(xué)難點積分因子的求法以及隱式方程的解法教學(xué)內(nèi)容與時間分配1. 變量分離方程，齊次方程以及可化為變量分離方程類型，2. 一階線性微分方程及其常數(shù)變易法，伯努

2、利方程，3. 恰當(dāng)方程及其積分因子法，隱式方程。（14課時）河北民族師范學(xué)院課程教案（分頁）課程名稱常微分方程2.1 變量分離方程與變量變換1、 變量分離方程 1) 變量分離方程形如 (或) （2.1）的方程，稱為變量分離方程，其中函數(shù)和分別是的連續(xù)函數(shù). 2) 求解方法 如果，方程(2.1)可化為，這樣變量就分離開了,兩邊積分,得到 （2.2）把分別理解為的某一個原函數(shù).容易驗證由（2.2）所確定的隱函數(shù)滿足方程（2.1）.因而（2.2）是（2.1）的通解.如果存在使，可知也是（2.1）的解.可能它不包含在方程的通解（2.2）中，必須予以補上.3) 例題例1 求解方程解 將變量分離，得到 兩

3、邊積分，即得 因而，通解為 這里的是任意的正常數(shù).或解出顯式形式 例2 解方程 并求滿足初始條件：當(dāng)時.的特解.解 將變量分離，得到 兩邊積分，即得 因而，通解為 這里的是任意的常數(shù).此外，方程還有解.為確定所求的特解，以.代入通解中確定常數(shù)，得到 因而，所求的特解為 例3 求方程 （2.3）的通解，其中是的連續(xù)函數(shù).解 將變量分離，得到 兩邊積分，即得 這里的是任意常數(shù).由對數(shù)的定義，即有 即 令，得到 （2.4）此外，也是（2.3）的解.如果在（2.4）中允許，則也就包括在（2.4）中，因而，（2.3）的通解為（2.4），其中是任意常數(shù).注: 1.常數(shù)的選取保證(2.2)式有意義. 2.方

4、程的通解不一定是方程的全部解,有些通解包含了方程的所有解，有些通解不能包含方程的所有解.此時，還應(yīng)求出不含在通解中的其它解, 即將遺漏的解要彌補上. 3.微分方程的通解表示的是一族曲線，而特解表示的是滿足特定條件的一個解，表示的是一條過點的曲線.2、可化為變量分離方程的類型1）.形如 （2.5）的方程，稱為齊次方程，這里的是的連續(xù)函數(shù). 另外,)對于方程 其中函數(shù)和都是和的次齊次函數(shù)，即對有 事實上，取，則方程可改寫成形如(2.5)的方程. )對方程 其中右端函數(shù)是和的零次齊次函數(shù)，即對有則方程也可改寫成形如(2.5)的方程對齊次方程（2.5）利用變量替換可化為變量分離方程再求解. 令 （2.

5、6）即，于是 （2.7）將（2.6）、（2.7）代入（2.5），則原方程變?yōu)?整理后，得到 （2.8）方程（2.8）是一個可分離變量方程，按照變量分離法求解，然后將所求的解代回原變量，所得的解便是原方程（2.5）的解.例4 求解方程解 這是齊次方程，以代入，則原方程變?yōu)?即 （2.9）分離變量，即有 兩邊積分，得到 這里的是任意的常數(shù)，整理后，得到 （2.10）此外，方程（2.9）還有解,即. 如果（2.10）中允許，則就包含在（2.10）中，這就是說，方程（2.9）的通解為（2.10）.代回原來的變量，得到原方程的通解為 例5 求解方程解 將方程改寫為 這是齊次方程，以代入，則原方程變?yōu)?（

6、2.11）分離變量，得到 兩邊積分，得到（2.11）的通解 即 (2.12)這里的是任意常數(shù).此外，（2.11）還有解注意，此解不包括在通解（2.12）中.代回原來的變量，即得原方程的通解 及解.原方程的通解還可表為 它定義于整個負(fù)半軸上.注：1.對于齊次方程的求解方法關(guān)鍵的一步是令后，解出，再對兩邊求關(guān)于的導(dǎo)數(shù)得，再將其代入齊次方程使方程變?yōu)殛P(guān)于的可分離方程. 2.齊次方程也可以通過變換而化為變量分離方程.這時，再對兩邊求關(guān)于的導(dǎo)數(shù)得，將其代入齊次方程使方程變?yōu)榈目煞蛛x方程小結(jié)：這一講我們主要講解了一階微分方程的可分離變量法和齊次方程的形狀的解法.而這一齊次方程通過變量替換任然可化為可分離方

7、程，因而，一定要熟練掌握可分離方程的解法.2）形如 （2.13）的方程經(jīng)變量變換化為變量分離方程，這里的均為常數(shù).分三種情況來討論（1）情形.這時方程（2.13）屬齊次方程，有 此時，令，即可化為變量可分離方程.（2），即的情形. 設(shè)，則方程可寫成 令，則方程化為 這是一變量分離方程.（3）不全為零的情形.這時方程（2.13）右端的分子、分母都是的一次式，因此 （2.14）代表平面上兩條相交的直線，設(shè)交點為.顯然，或，否則必有，這正是情形（1）（只需進(jìn)行坐標(biāo)平移，將坐標(biāo)原點移至就行了，若令 （2.15）則（2.14）化為 從而（2.13）變?yōu)?（2.16）因此，得到這種情形求解的一般步驟如下：

8、(1)解聯(lián)立代數(shù)方程（2.14），設(shè)其解為；(2)作變換（2.15）將方程化為齊次方程（2.16）；(3)再經(jīng)變換將（2.16）化為變量分離方程；(4)求解上述變量分離方程，最后代回原變量可得原方程（2.13）的解.上述解題的方法和步驟也適用于比方程（2.13）更一般的方程類型 此外，諸如 以及 （其中為的齊次函數(shù)，次數(shù)可以不相同）等一些方程類型，均可通過適當(dāng)?shù)淖兞孔儞Q化為變量分離方程.例6 求解方程 （2.17）解 解方程組 得 令代入方程（2.17），則有 （2.18） 再令 即 則（2.18）化為 兩邊積分，得 因此 記并代回原變量，就得 此外，易驗證 即 也就是（2.18）的解.因此方

9、程（2.17）的通解為 其中為任意的常數(shù). 2.2 線性方程與常數(shù)變易法1、一階線性微分方程 在的區(qū)間上可以寫成 （2.28）對于有零點的情形分別在的相應(yīng)區(qū)間上討論.這里假設(shè)在考慮的區(qū)間上是的連續(xù)函數(shù).若，（2.28）變?yōu)?（2.3）稱為一階齊線性方程.若，（2.28）稱為一階非齊線性方程.2、常數(shù)變易法（2.3）是變量分離方程，已在例3中求得它的通解為 （2.4）這里是任意的常數(shù). 下面討論一階非齊線性方程（2.28）的求解方法. 方程(2.3)與方程(2.28)兩者既有聯(lián)系又有區(qū)別,設(shè)想它們的解也有一定的聯(lián)系,在(2.4)中恒為常數(shù)時,它不可能是(2.28)的解,要使(2.28)具有形如(

10、2.4)的解, 不再是常數(shù),將是的待定函數(shù),為此令 （2.29）兩邊微分，得到 （2.30）將（2.29）、（2.30）代入（2.28），得到 即 積分后得到 （2.31）這里是任意的常數(shù).將（2.31）代入（2.29），得到 （2.32）這就是方程（2.28）的通解.這種將常數(shù)變易為待定函數(shù)的方法，通常稱為常數(shù)變易法.實際上常數(shù)變易法也是一種變量變換的方法.通過變換（2.29）可將方程（2.28）化為變量分離方程.注: 非齊線性方程的通解是它對應(yīng)的齊線性方程的通解與它的某個特解之和.例1 求方程的通解，這里的為常數(shù).解 將方程改寫為 （2.33）先求對應(yīng)的齊次方程 的通解，得 令 （2.34

11、）微分之，得到 （2.35）以（2.34）、（2.35）代入（2.33），再積分，得 將其代入公式（2.34），即得原方程的通解 這里是任意的常數(shù). 例2 求方程的通解.解 原方程改寫為 （2.36）把看作未知函數(shù)，看作自變量，這樣，對于及來說，方程（2.36）就是一個線性方程了.先求齊線性方程 的通解為 （2.37）令,于是 代入（2.36），得到 從而，原方程的通解為 這里是任意的常數(shù),另外也是方程的解.特別的，初值問題的解為例3 試證（1）一階非齊線性方程（2.28）的任兩解之差必為相應(yīng)的齊線性方程（2.3）之解；（2）若是（2.3）的非零解，而是（2.28）的解，則（2.28）的通解可

12、表為，其中為任意常數(shù).（3）方程（2.3）任一解的常數(shù)倍或兩解之和（或差）仍是方程（2.3）的解.證 （1）設(shè)是非齊線性方程的兩個不同的解，則應(yīng)滿足方程使 （1）（2）有 說明非齊線性方程任意兩個解的差是對應(yīng)的齊次線性方程的解.（2）因為故結(jié)論成立.（3）因為故結(jié)論成立.3、Bernoulli方程形如 （ ） （2.38）的方程，稱為伯努利（）方程，這里為連續(xù)函數(shù).利用變量變換可將伯努利方程化為線性方程來求解.事實上，對于，用乘（2.38）兩邊，得到 （2.39）引入變量變換 （2.40）從而 （2.41）將（2.40）、2.41）代入（2.39），得到 （2.42）這是線性方程，用上面介紹的

13、方法求得它的通解，然后再代回原來的變量，便得到（2.38）的通解.此外，當(dāng)時，方程還有解. 例4 求方程的通解解 這是時的伯努利方程，令 ,得 代入原方程得到 這是線性方程，求得它的通解為 代回原來的變量，得到 或者 這是原方程的通解. 此外，方程還有解.例5 求方程的解解 將方程改寫為 這是一個自變量為，因變量為的伯努利方程.解法同上.例6 求方程的通解這個方程只要做一個變換，令，原方程改寫為 便是伯努利方程.小結(jié);這次主要討論了一階線性微分方程的解法.其核心思想是常數(shù)變易法.即將非齊線性方程對應(yīng)的齊線性方程解的常數(shù)變易為待定函數(shù)，使其變易后的解函數(shù)代入非齊次線性方程，求出待定函數(shù)，求出非齊

14、次方程的解.我們還討論了伯努利方程，求解過程為，先變換，將原方程化為非齊線性方程，再求解. 2.3 恰當(dāng)方程與積分因子1、恰當(dāng)方程的定義 將一階微分方程 寫成微分的形式 把平等看待，對稱形式的一階微分方程的一般式為 （2.43）假設(shè)在某區(qū)域內(nèi)是的連續(xù)函數(shù)，而且具有連續(xù)的一階偏導(dǎo)數(shù). 如果存在可微函數(shù),使得 (2.44)即 (2.45)則稱方程(2.43)為恰當(dāng)方程,或稱全微分方程.在上述情形,方程(2.43)可寫成,于是 就是方程(2.43)的隱式通解,這里是任意常數(shù)(應(yīng)使函數(shù)有意義).2、 恰當(dāng)方程的判定準(zhǔn)則 定理1設(shè)在某區(qū)域內(nèi)連續(xù)可微,則方程(2.43)是恰當(dāng)方程的充要條件是 (2.46)

15、而且當(dāng)(2.46)成立時,相應(yīng)的原函數(shù)可取為 (2.47)或者也可取為 (2.48)其中是任意取定的一點.證明 先證必要性.因為(2.43)是恰當(dāng)方程,則有可微函數(shù)滿足(2.45),又知是連續(xù)可微的,從而有 下面證明定理的充分性,即由條件(2.46),尋找函數(shù),使其適合方程(2.45).從(2.47)可知 即(2.45)成立,同理也可從(2.48)推出(2.45).例1. 解方程 (2.49)解 這里,則,所以(2.49)是恰當(dāng)方程.因為于處無意義,所以應(yīng)分別在和區(qū)域上應(yīng)用定理2.3,可按任意一條途徑去求相應(yīng)的原函數(shù).先選取,代入公式(2.47)有 再選取,代入公式(2.47)有 可見不論和,

16、都有 故方程的通解為.3、恰當(dāng)方程的解法 上述定理已給出恰當(dāng)方程的解法,下面給出恰當(dāng)方程的另兩種常用解法.解法1. 已經(jīng)驗證方程為恰當(dāng)方程,從出發(fā),有 (2.50)其中為待定函數(shù),再利用,有 從而于是有 只需要求出一個,因而省略了積分常數(shù).把它代入(2.50)便得方程的通解為 解法2. 分項組合的方法 對(2.49)式重新組合變?yōu)?于是 從而得到方程的通解為 4、積分因子的定義及判別對于微分形式的微分方程 （2.43）如果方程（2.43）不是恰當(dāng)方程，而存在連續(xù)可微的函數(shù)，使得 (2.51)為一恰當(dāng)方程，即存在函數(shù)，使 則稱是方程（2.43）的積分因子.此時是(2.51)的通解，因而也就是（2

17、.43）的通解.如果函數(shù)和都是連續(xù)可微的,則由恰當(dāng)方程的判別準(zhǔn)則知道, 為(2.43)積分因子的充要條件是 即 (2.52)5、積分因子的求法 方程(2.52)的非零解總是存在的，但這是一個以為未知函數(shù)的一階線性偏微分方程，求解很困難，我們只求某些特殊情形的積分因子. 定理2 設(shè)和在某區(qū)域內(nèi)都是連續(xù)可微的，則方程（2.43）有形如的積分因子的充要條件是：函數(shù) （2.53）僅是的函數(shù)，此外，如果（2.53）僅是的函數(shù)，而，則函數(shù) （2.54）就是方程（2.43）的積分因子.證明 因為如果方程（2.43）有積分因子，則由（2.52）進(jìn)一步知即由可知左端是的函數(shù)，可見右端也是的函數(shù)，即，于是，有，

18、從而 反之，如果（2.53）僅是的函數(shù)，即，則函數(shù)（2.54）是方程（2.52）的解.事實上，因為因此函數(shù)（2.54）的確是方程（2.43）的積分因子. 為了方便應(yīng)用這個定理，我們就若干特殊情形列簡表如下：類型條件積分因子例2. 解解 這里,注意所以方程不是恰當(dāng)?shù)?但是它僅是依賴與，因此有積分因子給方程兩邊乘以因子得到從而可得到隱式通解例3. 解方程解 這里方程不是恰當(dāng)?shù)?但是它有僅依賴于的積分因子 方程兩邊乘以積分因子得到 從而可得到隱式通解另外，還有特解.它是用積分因子乘方程時丟失的解.例4. 解方程 解 這里，不是恰當(dāng)方程.設(shè)想方程有積分因子，其中，是待定實數(shù).于是只須取.由上述簡表知原

19、方程有積分因子從而容易求得其通解為：六、積分因子的其他求法以例4為例，方程的積分因子也可以這樣來求：把原方程改寫為如下兩組和的形式：前一組有積分因子，并且后一組有積分因子，并且設(shè)想原方程有積分因子其中，是待定實數(shù).容易看出只須，上述函數(shù)確實是積分因子，其實就是上面找到一個.例5. 解方程 其中，均為連續(xù)函數(shù).解 這里，.寫成微商形式就形式上方程是變量可分離方程，若有使得，則是此方程的解；若有使得，則是此方程的解；若，則有積分因子并且通解為例6、試用積分因子法解線性方程（2.28）.解 將（2.28）改寫為微分方程 （2.55）這里，而 則線性方程只有與有關(guān)的積分因子 方程（2.55）兩邊乘以，

20、得 （2.56）（2.56）為恰當(dāng)方程，又分項分組法 因此方程的通解為 即 與前面所求得的結(jié)果一樣. 注：積分因子一般不容易求得可以先從求特殊形狀的積分因子開始，或者通過觀察法進(jìn)行“分項分組”法求得積分因子.2.4 一階隱方程與參數(shù)表示不能解出 或解出形式復(fù)雜能解出轉(zhuǎn)化轉(zhuǎn)化變量分離、線性、恰當(dāng)方程等引進(jìn)參數(shù)變量變換熟練掌握一 能解出 y (或 x )的方程這里假設(shè)函數(shù) 有連續(xù)的偏導(dǎo)。解法：引進(jìn)參數(shù) ，則(2.4.1)兩邊關(guān)于 x 求導(dǎo)，并把 代關(guān)于 x 和 p 顯式方程。(i)若已得出(2.4.3)的通解形式為, 代入(2.4.2)得則 就是(2.4.1)的通解。(ii) 若得出(2.4.3)通解形式為 ，則原方程有參數(shù)形式的通解為(iii) 若求得(2.4.3)通解形式 ，則原方程有參數(shù)形式通解其中p是參數(shù),c為任意常數(shù)。解法兩邊對 y 求導(dǎo) (2.4.6) 若求得為則(2.4.4)的通解為若求得為則(2.4.4)的通解為例1 求解方程解1 令 ,解出 y 得兩邊對 x 求導(dǎo),當(dāng) 時，上式乘以 p，得積分，得解出 x，得將它代入 得因此，方程參數(shù)形式通解當(dāng) p=0 時, 由 ，可知，y=0也是方程的解。解2 解出 x，并令 ，得兩邊對 y 求導(dǎo)