第一章 數(shù)字邏輯基礎(chǔ)_數(shù)字邏輯與系統(tǒng).

1、第一章數(shù)字邏輯基礎(chǔ)教學(xué)基本要求： 掌握常用的數(shù)制二進(jìn)制、十進(jìn)制、十六進(jìn)制的相互轉(zhuǎn)換； 掌握二進(jìn)制數(shù)的原碼、反碼及補(bǔ)碼的表示方法； 掌握常用的編碼及它們與二進(jìn)制數(shù)間的相互轉(zhuǎn)換； 掌握邏輯代數(shù)的基本定律與規(guī)則； 掌握邏輯函數(shù)的表示方法及各種表示方法之間的相互轉(zhuǎn)換； 掌握代數(shù)法和卡諾圖法化簡邏輯函數(shù)。 重點(diǎn)： 常用的數(shù)制與編碼； 邏輯代數(shù)基礎(chǔ)； 邏輯命題的描述。 電子電路的信號主要有兩類：一類是在時(shí)間上和幅值上都連續(xù)的信號稱為模擬信號，處理模擬信號的電路稱為模擬電路。正弦信號是典型的模擬信號，如圖1-1所示。 另 一類是時(shí)間上和幅值上都離散的信號稱為數(shù)字信號，處理數(shù)字信號的電路稱為數(shù)字電路。脈沖信號

2、是典型的數(shù)字信號，如圖1-22所示。數(shù)字電路的特點(diǎn)： 工作信號是不連續(xù)的數(shù)字信號，所以電路中的半導(dǎo)體器件工作在開關(guān)狀態(tài)，即穩(wěn)定于飽和區(qū)或截止區(qū)，放大區(qū)只是其過度狀態(tài)； 數(shù)字電路既是開關(guān)電路又是邏輯電路，主要研究電路輸入和輸出間的邏輯關(guān)系。分析工具和方法與模擬電路完全不同，具有獨(dú)立的基礎(chǔ)理論； 邏輯代數(shù)是分析邏輯電路的數(shù)學(xué)工具。 學(xué)習(xí)指導(dǎo)：在本知識點(diǎn)學(xué)習(xí)中由最熟悉的十進(jìn)制數(shù)入手，尋找各種計(jì)數(shù)體制的規(guī)律，特別要注意理解權(quán)的概念，熟練掌握任意進(jìn)制數(shù)按權(quán)展開式。在數(shù)字系統(tǒng)中采用二進(jìn)制。因?yàn)槎M(jìn)制數(shù)的基數(shù)為2，只有0和1兩個(gè)數(shù)碼，其不僅運(yùn)算簡單，電路實(shí)現(xiàn)也容易，還可以利用邏輯代數(shù)；但表示同一數(shù)值的數(shù)比十

3、進(jìn)制需更多的位數(shù)，因此數(shù)字系統(tǒng)中又常用八進(jìn)制和十六進(jìn)制數(shù)。十、二、八、十六進(jìn)制數(shù)的后綴分別為D、B、Q、H。對十進(jìn)制數(shù)?？墒÷韵聵?biāo)或后綴。十進(jìn)制數(shù)特點(diǎn)： 1. 有一個(gè)確定的基數(shù)10，且逢10進(jìn)一；2. 有10個(gè)有序的數(shù)字符號有0-9和一個(gè)小數(shù)點(diǎn)，數(shù)碼Ki從09；3. 每一個(gè)數(shù)位均有固定的含意稱權(quán)10i，不同數(shù)位其權(quán)10i不同；4. 任意一個(gè)十進(jìn)位制數(shù)均可寫成按權(quán)展開式：(N)10 = (Kn-1 Kn-2K1 K0 .K-1K-m)10= Kn-1 10n-1+Kn-210n-2+K1101+K0100+K-110-1+K-m10-m例： 二進(jìn)制特點(diǎn): 二進(jìn)制是以2為基數(shù)的計(jì)數(shù)體制，它僅采用2

4、個(gè)數(shù)碼0和1，并且“逢二進(jìn)一”，即1+1=10； 不同數(shù)位上的權(quán)值不同，其相應(yīng)的權(quán)為2i； 任意一個(gè)二進(jìn)位制數(shù)均可寫成按權(quán)展開式。 例： （11101.11）2=124 + 123 + 122+ 021 + 120+ 12-1+ 12-2 進(jìn)制特點(diǎn): 八進(jìn)制是以8為基數(shù)的計(jì)數(shù)體制，它僅采用8個(gè)數(shù)碼0-7，并且“逢八進(jìn)一”，即7+1=10； 不同數(shù)位上的權(quán)值不同，其相應(yīng)的權(quán)為8i； 任意一個(gè)八進(jìn)位制數(shù)均可寫成按權(quán)展開式。 例： （875.6）8=882 + 781 + 580+ 68-1十六進(jìn)制特點(diǎn): 十六進(jìn)制是以16為基數(shù)的計(jì)數(shù)體制，它采用0-9、A、B、C、D、E、F16個(gè)數(shù)碼，并且“逢十六

5、進(jìn)一”，即F+1=10； 不同數(shù)位上的權(quán)值不同，其相應(yīng)的權(quán)為16i ； 任意一個(gè)十六進(jìn)位制數(shù)均可寫成按權(quán)展開式。 例： (F8C.B)16 = F162+8161+C160+B16-1 表1-1 幾種常用數(shù)制對照表十進(jìn)制二進(jìn)制八進(jìn)制十六進(jìn)制十進(jìn)制二進(jìn)制八進(jìn)制十六進(jìn)制012345670000000100100011010001010110011101234567012345678910111213141510001001101010111100110111101111101112131415161789ABCDEF思考與總結(jié)：觀察常用數(shù)制對照表，找出規(guī)律 由表1-1可看出：一位八進(jìn)制數(shù)可用三位二

6、進(jìn)制表示，而一位十六進(jìn)制數(shù)可用四位二進(jìn)制數(shù)表示。各種進(jìn)位制數(shù)的按權(quán)展開式：(N)R = (Kn-1 Kn-2K1 K0 .K-1K-m)R= Kn-1 Rn-1+Kn-2Rn-2+K1R1+K0R0+K-1R-1+K-mR-m=R為相應(yīng)進(jìn)制數(shù)的基數(shù)，用不同基數(shù)代入即得相應(yīng)進(jìn)制的表達(dá)式。數(shù)制間的轉(zhuǎn)換學(xué)習(xí)指導(dǎo)：在本知識點(diǎn)主要學(xué)習(xí)各種數(shù)制表示形式之間的轉(zhuǎn)換方法，最基本的是十進(jìn)制與二進(jìn)制之間的轉(zhuǎn)變，八進(jìn)制和十六進(jìn)制可以借助二進(jìn)制來實(shí)現(xiàn)相應(yīng)的轉(zhuǎn)換；轉(zhuǎn)換時(shí)要特別注意要分整數(shù)部分和小數(shù)部分分別進(jìn)行轉(zhuǎn)換。同一個(gè)數(shù)可采用不同的計(jì)數(shù)體制來表示，各種數(shù)制表示的數(shù)一定可以相互轉(zhuǎn)換。數(shù)制轉(zhuǎn)換:一個(gè)數(shù)從一種進(jìn)位制表示形式

7、轉(zhuǎn)換成等值的另一種進(jìn)位制表示形式，其實(shí)質(zhì)為權(quán)值轉(zhuǎn)換。相互轉(zhuǎn)換的原則：轉(zhuǎn)換前后兩個(gè)有理數(shù)的整數(shù)部分和小數(shù)部分必定分別相等。一、十進(jìn)制與非十進(jìn)制數(shù)間的轉(zhuǎn)換對整數(shù)和小數(shù)轉(zhuǎn)換方法不同，因此必須分別進(jìn)行轉(zhuǎn)換，然后再將兩部分轉(zhuǎn)換結(jié)果合并得完整的目標(biāo)數(shù)制形式。 1、十進(jìn)制至二進(jìn)制轉(zhuǎn)換整數(shù)部分的轉(zhuǎn)換除基取余法： 用目標(biāo)數(shù)制的基數(shù)（R=2）去除十進(jìn)制數(shù)，第一次相除所得余數(shù)為目標(biāo)數(shù)的最低位K0，將所得商再除以該基數(shù)，所得的余數(shù)為目標(biāo)數(shù)的次低位K1，反復(fù)執(zhí)行上述過程，直到商為“0”，所得余數(shù)為目標(biāo)數(shù)的最高位Kn-1。 小數(shù)部分的轉(zhuǎn)換乘基取整法：用該小數(shù)乘以目標(biāo)數(shù)制的基數(shù)（R=2，第一次相乘結(jié)果的整數(shù)部分為目標(biāo)數(shù)的最

8、高位K-1，將其小數(shù)部分再乘基數(shù)所得的結(jié)果的整數(shù)則為目標(biāo)數(shù)的次高位K-2，反復(fù)執(zhí)行上述過程，直到小數(shù)部分為“0”，或滿足要求的精度為止（即根據(jù)設(shè)備字長限制，取有限位的近似值）。例1：（81.65）10 = （ ？ ）2 要求精度為小數(shù)五位。 1.整數(shù)部分的轉(zhuǎn)換 故有（81）10 =（1010001）22.小數(shù)部分的轉(zhuǎn)換故有 (0.65)10 = (0.10100)2 由此綜合兩例結(jié)果得 (81.65)10 = (1010001.10100)2 同理: 可采用同樣的方法將十進(jìn)制數(shù)轉(zhuǎn)成八進(jìn)制、十六進(jìn)制數(shù)，但由于八進(jìn)制和十六進(jìn)制的基數(shù)較大，做乘除法不是很方便，因此需要將十進(jìn)制轉(zhuǎn)成八進(jìn)制、十六進(jìn)制數(shù)時(shí)

9、，通常是將其先轉(zhuǎn)成二進(jìn)制，然后在將二進(jìn)制轉(zhuǎn)成八進(jìn)制、十六進(jìn)制數(shù)。 2、二、八、十六進(jìn)制至十進(jìn)制轉(zhuǎn)換轉(zhuǎn)換方法：將相應(yīng)進(jìn)制的數(shù)按權(quán)展成多項(xiàng)式，按十進(jìn)制求和。(N)R = (Kn-1 Kn-2K1 K0 .K-1K-m)R= Kn-1 Rn-1+Kn-2Rn-2+K1R1+K0R0+K-1R-1+K-mR-m= R為相應(yīng)進(jìn)制數(shù)的基數(shù)，用不同基數(shù)代入即得相應(yīng)進(jìn)制的表達(dá)式。例2: (1101.1)2 = 123+122+021+120+12-1 =8+4+1+0.5=13.5 (F8C.B)16 = F162+8161+C160+B16-1=3980.6875 二、非十進(jìn)制數(shù)間的轉(zhuǎn)換 二進(jìn)制數(shù)與八進(jìn)制數(shù)

10、間的轉(zhuǎn)換 由于八進(jìn)制的基數(shù)R = 8 = 23，必須用三位二進(jìn)制數(shù)來構(gòu)成一位八進(jìn)制數(shù)碼，因此采用分組對應(yīng)轉(zhuǎn)換法。轉(zhuǎn)換方法：將二進(jìn)制數(shù)轉(zhuǎn)換成八進(jìn)制數(shù)時(shí)，首先從小數(shù)點(diǎn)開始，將二進(jìn)制數(shù)的整數(shù)和小數(shù)部分每三位分為一組，不足三位的分別在整數(shù)的最高位前和小數(shù)的最低位后加“0”補(bǔ)足，然后每組用等值的八進(jìn)制碼替代，即得目標(biāo)數(shù)。反之，則可將八進(jìn)制數(shù)轉(zhuǎn)換成二進(jìn)制數(shù)。例3： 11010111.0100111 B = ? Q 得 11010111.0100111 B = 327.234 Q二進(jìn)制數(shù)和十六進(jìn)制數(shù)間的轉(zhuǎn)換 轉(zhuǎn)換方法：與上述相仿，由于十六進(jìn)制基數(shù)R = 16 = 24，故必須用四位二進(jìn)制數(shù)構(gòu)成一位十六進(jìn)制數(shù)

11、碼（見表1-1），同樣采用分組對應(yīng)轉(zhuǎn)換法，所不同的是此時(shí)每四位為一組，不足四位同樣用“0”補(bǔ)足。例4：111011.10101 B = ? H 故有111011.10101 B = 3B.A8 H學(xué)習(xí)指導(dǎo)：本知識點(diǎn)主要學(xué)習(xí)數(shù)字系統(tǒng)中帶符號數(shù)的三種表示方法-原碼、反碼及補(bǔ)碼。正數(shù)的原碼、反碼及補(bǔ)碼表示形式相同，負(fù)數(shù)的原碼、反碼及補(bǔ)碼表示形式不同，注意按規(guī)則進(jìn)行變換。 基本概念： 真值（原值）：由數(shù)符（+/-）和尾數(shù)（數(shù)值的絕對值）兩部分構(gòu)成。表示的是數(shù)的真實(shí)值的大小。機(jī)器數(shù)：機(jī)器中數(shù)的表示形式，數(shù)的符號（+/-）也數(shù)碼化的數(shù)，即用“0”表示“+”，用“1”表示“-”。 機(jī)器數(shù)有字長限制，符號位通

12、常是數(shù)的最高位。而尾數(shù)部分可采用不同的表示方法-原碼、反碼、補(bǔ)碼。若有兩個(gè)帶符號數(shù)，X1 = +1101101（真值），X2 = -1101101（真值），它們的字長為一字節(jié)（即8位二進(jìn)制數(shù)），則在機(jī)器中表示如下： 原碼X原 原碼表示法又稱符號數(shù)值表示法，“0”表示正號；用“1”表示負(fù)號，而尾數(shù)部分與真值相同。如X1 = +4 = +0000100 B X1原 = 0 0000100 符號位 尾數(shù)X2 = -4 = -0000100 B X2原 = 1 0000100 符號位 尾數(shù) 反碼X反原碼的缺點(diǎn)：進(jìn)行運(yùn)算時(shí)必須根據(jù)兩數(shù)的符號及數(shù)值大小來決定運(yùn)算結(jié)果的符號，這就增加了機(jī)器的復(fù)雜性和運(yùn)算時(shí)間

13、。簡化加減運(yùn)算引入了反碼和補(bǔ)碼兩種表示方法。正數(shù)的反碼與原碼相同，X反 = X原。負(fù)數(shù)的反碼：符號位不變，尾數(shù)部分按位取反。例如：正數(shù)：X1 = +4 X1反 = X原 = 00000100負(fù)數(shù)：X2 = -4 X2反 = 11111011 補(bǔ)碼X補(bǔ)正數(shù)的補(bǔ)碼與原碼相同，X補(bǔ) = X原 = X反負(fù)數(shù)的補(bǔ)碼：符號位不變，其尾數(shù)為真值數(shù)值部分按位取反，且在最低位加1，X補(bǔ) = X反 + 1。如 X1 = +4 X1補(bǔ) = X1反 = X1原 = 00000100 X2 = -4 X2補(bǔ) = X2反+ 1 = 11111011 + 1 = 11111100注意：原碼、反碼、補(bǔ)碼具有一定的表示數(shù)值范圍

14、。如n = 8，原碼表示范圍0111111111111111，它表示的數(shù)值范圍為+127-127。反碼表示范圍0111111110000000，即表示的數(shù)值范圍為+127-127。補(bǔ)碼表示范圍0111111110000000，即表示的數(shù)值范圍為+127-128。 學(xué)習(xí)指導(dǎo)：數(shù)字系統(tǒng)中只能識別二進(jìn)制代碼，因此對于十進(jìn)制數(shù)、字母、符號必須用相應(yīng)的二進(jìn)制代碼表示。有不同的編碼規(guī)則，用相應(yīng)的二進(jìn)制代碼表示十進(jìn)制數(shù)、字母、符號。掌握常用的二-十進(jìn)制編碼-8421BCD碼、余3碼。常用的二進(jìn)制代碼-自然二進(jìn)制碼和格雷碼。 基本概念：為了表示文字符號信息而采用的一定位數(shù)的二進(jìn)制碼稱為代碼；建立這種代碼與十進(jìn)

15、制數(shù)、字母、符號的一一對應(yīng)關(guān)系稱為編碼；二進(jìn)制碼每位的值稱為權(quán)或位權(quán)；用四位二進(jìn)制代碼對十進(jìn)制數(shù)的各個(gè)數(shù)碼進(jìn)行編碼稱為二-十進(jìn)制BCD編碼(Binery Coded Decimal Codes）簡稱BCD碼。 自然二進(jìn)制碼自然二進(jìn)制碼是按自然數(shù)順序排列的二進(jìn)制碼，表1-2給出了四位自然二進(jìn)制碼，各位的權(quán)值依次為23、22、21、20，其表示的十進(jìn)制數(shù)從015。 格雷碼任意兩組相鄰碼之間只有一位不同的無權(quán)碼。注：首尾兩個(gè)數(shù)碼即最小數(shù)0000和最大數(shù)1000之間也符合此特點(diǎn)，故它可稱為循環(huán)碼。表1-2 自然二進(jìn)制碼和格雷碼十進(jìn)制數(shù)四位自然二進(jìn)制碼四位格雷碼十進(jìn)制數(shù)四位自然二進(jìn)制碼四位格雷碼0123

16、45670000000100100011010001010110011100000001001100100110011101010100891011121314151000100110101011110011011110111111001101111111101010101110011000 8421BCD碼用四位自然二進(jìn)制碼的16個(gè)組合中的前10種，表示十進(jìn)制數(shù)09，由高到低各位權(quán)分別為23、22、21、20即8、4、2、1，故而得名8421碼。是一種有權(quán)碼。 余3碼用四位二進(jìn)制碼中的十組代碼為00111100來表示十進(jìn)制中0-9十個(gè)數(shù)。同一個(gè)十進(jìn)制數(shù)所對應(yīng)的余3碼等于所對應(yīng)的8421碼加上

17、3（0011）。是一種無權(quán)碼。表1-3給出常用的兩種BCD碼與所表示的十進(jìn)制數(shù)的對應(yīng)關(guān)系。 表1-3 余3碼十進(jìn)制數(shù)8421BCD碼余3碼十進(jìn)制數(shù)四位自然二進(jìn)制碼四位格雷碼012340000000100100011010000110100010101100111567890101011001111000100110001001101010111100 邏輯代數(shù) 邏輯代數(shù)又稱開關(guān)代數(shù)或布爾代數(shù)，它是按一定邏輯規(guī)律進(jìn)行運(yùn)算的代數(shù)，是分析和設(shè)計(jì)邏輯電路的基本工具和理論基礎(chǔ)。 邏輯代數(shù)與普通代數(shù)的相同之處都是用字母來表示變量和函數(shù)。 邏輯代數(shù)與普通代數(shù)的區(qū)別：變量和函數(shù)的取值不同。 邏輯變量和邏輯函數(shù)

18、 邏輯變量邏輯代數(shù)中的變量 它有兩種取值，即邏輯0、邏輯1，“0”和“1”稱為邏輯常量。邏輯0和邏輯1不代表數(shù)值大小，僅表示相互矛盾、相互對立的兩種邏輯狀態(tài)，如表示事件的真、假；信息的有、無；開關(guān)的通、斷；電平的高、低；管子的導(dǎo)通、截止.。 邏輯函數(shù)用有限個(gè)與、或、非邏輯運(yùn)算符，按某種邏輯關(guān)系將邏輯變量A、B、C、.連接起來，所得的表達(dá)式F = f（A、B、C、.）稱為邏輯函數(shù)，如F（A、B）= A+B、A（A、B、C）= A+等。通常A、B、C、.稱輸入變量，F(xiàn)稱輸出變量，因此當(dāng)前者取值確定后，輸出函數(shù)值也唯一地被確定了。邏輯變量和邏輯函數(shù)的取值，即邏輯0、邏輯1，“0”和“1”稱為邏輯常量

19、。邏輯0和邏輯1不代表數(shù)值大小，僅表示相互矛盾、相互對立的兩種邏輯狀態(tài)。 基本邏輯運(yùn)算圖1-2表1-4 開關(guān)A開關(guān)B燈F斷斷合合斷合斷合滅滅滅亮表1-5與邏輯真值表 ABF001101010001邏輯代數(shù)有與、或、非三種最基本的運(yùn)算，它們可以由相應(yīng)的邏輯電路實(shí)現(xiàn)。1. 與邏輯（邏輯乘）只有決定某一事件的所有條件全部具備，這一事件才能發(fā)生，這種因果關(guān)系稱為與邏輯。在圖1-2所示的電路中，只有當(dāng)開關(guān)A與B都閉合時(shí)燈F才亮，否則燈就不亮。其關(guān)系表如表1-4。假設(shè)以“1”表示開關(guān)閉合后燈亮，以“0”表示開關(guān)斷開或燈滅，則可得表1-5，這種用邏輯變量的可能出現(xiàn)的取值組合判斷相應(yīng)結(jié)果的表格稱為真值表。邏輯

20、變量間的與邏輯運(yùn)算又稱邏輯乘，可用邏輯表達(dá)式表示式中“”、“.”為與邏輯運(yùn)算符，也有用“”、“”、“&”表示與運(yùn)算。 與運(yùn)算可用與門實(shí)現(xiàn)，圖1-3（a）和（b）分別表示與門的邏輯符號（方框中的“&”為與門定性符）和二極管與門電路。分析圖1-3（b）可知：只要輸入A、B中有一個(gè)或一個(gè)以上為低電平0V，則輸出F就為低電平0V；只有兩個(gè)輸入全部為高電平3V，則輸出F才為高電平3V（假設(shè)二極管為理想開關(guān)）。且當(dāng)?shù)碗娖?V用邏輯0表示，高電平3V用邏輯1表示時(shí)，該電路具有與邏輯功能。若與門有N個(gè)輸入端時(shí)，則F = A0A1A2.An。2. 或邏輯（邏輯加） 只要當(dāng)決定某一事件的條件中有一個(gè)或一個(gè)以上具備

21、，這一事件就能發(fā)生，這種因果關(guān)系稱為或邏輯。表1-6 或邏輯真值表 ABF001101010111邏輯變量間的或運(yùn)算又稱邏輯加，可用邏輯表達(dá)式表示F = A + B式中“+”為或邏輯運(yùn)算符，也有用“”、“”表示或運(yùn)算。若或門有N個(gè)輸入端時(shí)，則F = A0 + A1 + A2 + .+ An。3. 非邏輯（邏輯非） 當(dāng)決定某一事件的條件滿足時(shí)，事件不發(fā)生；反之事件發(fā)生，這種因果關(guān)系稱為非邏輯。表1-7 非邏輯真值表 AF0110 圖1-5 非門的邏輯符號邏輯變量間的非運(yùn)算又稱邏輯非或邏輯反，其邏輯表達(dá)式寫作式中“-”是非運(yùn)算符，若A稱為原變量，則為其反變量，讀作“A非”。 復(fù)合邏輯運(yùn)算1. 與非

22、、或非、與或非運(yùn)算圖1- 6 為實(shí)現(xiàn)與非、或非、與或非運(yùn)算復(fù)合門的邏輯符號，它們實(shí)現(xiàn)的運(yùn)算為： 圖1-6 圖（a）是由與門和非門組成的與非門，輸出；圖（b）是由或門和非門組成的或非門，輸出；圖（c）是由與、或、非三種門組成的與或非 門，輸出。2. 異或和同或運(yùn)算（1）異或運(yùn)算 異或運(yùn)算的定義：當(dāng)參與運(yùn)算的兩變量A、B相同時(shí)，輸出F為0；當(dāng)參與運(yùn)算的兩變量A、B不同時(shí)，則其輸出F為1。表1-8 異或運(yùn)算真值表ABF001101010110式中“”為異或運(yùn)算符，也可稱其模2加。1. 同或運(yùn)算同或運(yùn)算又稱異或非運(yùn)算: 正邏輯與負(fù)邏輯對于一個(gè)電路而言，其輸入、輸出的電位關(guān)系是確定的，但賦予它什么邏輯值

23、卻是人為的，通常有兩種賦值方法：1. 正邏輯：高電平VH用邏輯1表示，低電平VL用邏輯0表示。2. 負(fù)邏輯：高電平VH用邏輯0表示，低電平VL用邏輯1表示。表1-9（a) 電平關(guān)系表A BFVL VLVL VHVH VLVH VHVLVLVLVH表1-9（b) 正邏輯A BF0 00 11 01 10001表1-9（c) 負(fù)邏輯A BF1 11 00 10 01110對表1-9（a) 給出電路的電平關(guān)系表，如用正邏輯體制來描述得到的真值表如表1-9（b) ，從真值表可看出電路實(shí)現(xiàn)的是與邏輯功能，是一個(gè)與門電路。如用負(fù)邏輯體制來描述得到的真值表如表1-9（c) ，從真值表可看出電路實(shí)現(xiàn)的是或邏輯

24、功能，是一個(gè)或門電路。由此可看出：同一個(gè)電路，采用不同的邏輯體制進(jìn)行描述得到的邏輯功能是不同的。由此得出正、負(fù)邏輯間關(guān)系：正與 = 負(fù)或 正與非 = 負(fù)或非 正或 = 負(fù)與 正或非 = 負(fù)與非注：如不加特殊說明一律采用正邏輯體制來描述電路。學(xué)習(xí)指導(dǎo)： 本知識點(diǎn)的學(xué)習(xí)，掌握用真值表、邏輯表達(dá)式、邏輯圖和波形圖來描述邏輯命題，注意各種表達(dá)方式之間的轉(zhuǎn)換。 真值表將輸入變量不同取值組合與函數(shù)值間的對應(yīng)關(guān)系列成表格，一個(gè)確定的邏輯函數(shù)的真值表是唯一的。邏輯函數(shù)式 用有限個(gè)與、或、非邏輯運(yùn)算符，按某種邏輯關(guān)系將邏輯變量A、B、C、.連接起來，所得的表達(dá)式F = f（A、B、C、.）稱為邏輯函數(shù)式，如F（

25、A、B）= A+B、F(A、B、C）= A+等。通常A、B、C、.稱輸入變量，F(xiàn)稱輸出變量。取值：邏輯函數(shù)和邏輯變量的取值只有兩種邏輯0和邏輯1，它們表示兩種相互對立的狀態(tài)，并不表示數(shù)值的大小。邏輯圖用邏輯符號來表示函數(shù)式的運(yùn)算關(guān)系稱為函數(shù)的邏輯圖。波形圖反映輸入和輸出波形變化的圖形稱為波形圖，又叫時(shí)序圖。邏輯命題的描述通常給定邏輯命題，最直接的是首先列出函數(shù)的真值表，然后寫出函數(shù)的表達(dá)式，最后根據(jù)表達(dá)式畫出邏輯圖和波形圖。例：圖1-9給定的控制電路，開關(guān)A、B、C是輸入變量，燈F是輸出變量。當(dāng)開關(guān)C斷開時(shí)，燈F滅；當(dāng)開關(guān)C閉合、開關(guān)A、B全斷開時(shí)，燈F滅；當(dāng)開關(guān)C閉合、開關(guān)A、B有一個(gè)閉合時(shí)

26、，燈F亮。如開關(guān)閉合、燈亮用邏輯“1”表示，而開關(guān)斷開、燈滅用邏輯“0”表示，解：1.列出該控制電路的真值表 A B CF0 0 00 0 10 1 00 1 11 0 01 0 11 1 01 1 100010101 2. 寫出邏輯函數(shù)式 由真值表可寫出邏輯函數(shù)式。具體方法如下：1）挑出使函數(shù)值為1的輸入變量組合。由真值表看出，使函數(shù)值為1的輸入變量組合有三種：011、101、111。2）將每個(gè)函數(shù)值為1的輸入變量取值組合寫成一個(gè)乘積項(xiàng)，若輸入變量取值為1，乘積項(xiàng)中的因子用原變量表示;反之，則用反變量表示。由此可寫出三個(gè)乘積項(xiàng)：（011）、（101）、（111）3）然后將這些乘積項(xiàng)作邏輯加，

27、就得到邏輯函數(shù)式。由此可得該控制電路的邏輯表達(dá)式為： 同一個(gè)邏輯函數(shù)可以有多種不同的函數(shù)式形式，它們之間不是唯一的。 3. 邏輯圖將邏輯表達(dá)式中的與項(xiàng)用與門代替，或項(xiàng)用或門代替，即可畫出與上述函數(shù)形式對應(yīng)的邏輯圖如圖1-10。 4. 波形圖圖1-11是給定A、B、C波形后所畫出的函數(shù)F波形圖。波形圖能清晰、直觀地反映出變量間的時(shí)間關(guān)系和函數(shù)值隨時(shí)間變化的規(guī)律。它同實(shí)際電路中的電壓波形相對應(yīng)，常用于數(shù)字電路的分析檢測和設(shè)計(jì)調(diào)試中。學(xué)習(xí)指導(dǎo)：本知識點(diǎn)的學(xué)習(xí)，主要學(xué)習(xí)邏輯代數(shù)中常用的基本定律和規(guī)則，學(xué)習(xí)中注意記憶與普通代數(shù)不同的規(guī)律。 基本定律 名 稱公 式（I）公 式（II）基本公式01律自等律互

28、補(bǔ)律交換律結(jié)合律分配律重疊律反演律還原律常用公式合并律吸收律消因律包含律常用公式基本運(yùn)算規(guī)則 1. 代入規(guī)則 任何一個(gè)含有某變量的等式，如果等式中所有出現(xiàn)此變量的位置均代之以一個(gè)邏輯函數(shù)式，則此等式依然成立，這稱為代入規(guī)則。 運(yùn)用代入規(guī)則可以擴(kuò)大基本公式的應(yīng)用范圍。例如 若用BC替代等式中的B，則得由此例可知利用代入規(guī)則，反演律能推廣到n個(gè)變量，即 2. 反演規(guī)則對于任意一個(gè)邏輯函數(shù)式F，做如下處理1）若把式中的運(yùn)算符“.”換成“+”, “+” 換成“.”;2）常量“0”換成“1”，“1”換成“0”；3）原變量換成反變量，反變量換成原變量，那么得到的新函數(shù)式稱為原函數(shù)式F的反函數(shù)式運(yùn)用反演規(guī)則

29、時(shí)注意兩點(diǎn)： 必須保持原函數(shù)的運(yùn)算次序，適當(dāng)?shù)丶尤肜ㄌ?。先與后或。 不屬于單個(gè)變量上的非號有兩種處理方法：一種是該非號保留，而非號下面的函數(shù)式按反演規(guī)則變換；另一種是引入代入規(guī)則，將非號去掉，而非號下的函數(shù)式保留不變。例如F(A、B、C)其反函數(shù)為或 3. 對偶規(guī)則對偶式：對于任意一個(gè)邏輯函數(shù)F，做如下處理1）若把式中的運(yùn)算符“.”換成“+”，“+”換成“.”；2）常量“0”換成“1”，“1”換成“0”，所得的新函數(shù)式為原函數(shù)式F的對偶式F，也稱對偶函數(shù)。 求對偶函數(shù)時(shí)同樣需注意保持原式中的運(yùn)算順序不變，且它只變換運(yùn)算符和常量，其變量是不變的，因此一般情況下不等于 F。例如其對偶式 對偶規(guī)則：

30、如果兩個(gè)函數(shù)式相等，則它們對應(yīng)的對偶式也相等。即 若 F1 = F2 則F1= F2。使公式的數(shù)目增加一倍。邏輯函數(shù)可有多種不同類型的表示形式，其對應(yīng)的邏輯圖不同，實(shí)現(xiàn)的邏輯器件也不同。函數(shù)表達(dá)式的常用形式一個(gè)邏輯函數(shù)可以寫成幾種不同類型的形式，而同一種類型的表達(dá)式又可以有幾種形式。例如：F(A、B、C) “與或”式 “或與”式 “與非與非”式 “或非或非”式 “與或非”式上述式為“與-或”表達(dá)式，也稱“積之和”表達(dá)式；而式為“或-與”表達(dá)式也稱“和之積”表達(dá)式，兩者為邏輯函數(shù)的基本形式，它們便于與其它形式進(jìn)行轉(zhuǎn)換，且易于在卡諾圖上表示，邏輯代數(shù)的公式均以基本形式出現(xiàn)。不同形式的邏輯函數(shù)表達(dá)式

31、是可以相互轉(zhuǎn)換的。如欲將與-或表達(dá)試轉(zhuǎn)換成與非-與非表達(dá)式，這時(shí)只要利用還原律對式兩次取反，再利用反演律變換即可。 學(xué)習(xí)指導(dǎo)：本知識點(diǎn)學(xué)習(xí)邏輯函數(shù)的兩種標(biāo)準(zhǔn)形式-最小項(xiàng)表達(dá)式和最大項(xiàng)表達(dá)式，要求掌握最小項(xiàng)表達(dá)式。 最小項(xiàng)表達(dá)式1. 最小項(xiàng)：在一個(gè)有n個(gè)變量的邏輯函數(shù)中，包括全部n個(gè)變量的乘積項(xiàng)（每個(gè)變量必須而且只能以原變量或反變量的形式出現(xiàn)一次）稱為最小項(xiàng)、全積項(xiàng)或標(biāo)準(zhǔn)乘積項(xiàng)。n個(gè)變量有2n個(gè)最小項(xiàng)，當(dāng)n = 3時(shí)，應(yīng)有23 = 8個(gè)最小項(xiàng)。表1-10列出了三變量的全部最小項(xiàng)。最小項(xiàng)可記作mi，i = 0（2n-1），各輸入變量取值看成二進(jìn)制數(shù)，其對應(yīng)的十進(jìn)制數(shù)作為最小項(xiàng)編號i。 表1-10

32、三變量的最小項(xiàng)輸入變量最 小 項(xiàng)函 數(shù)A B Cm0m1m2m3m4m5m6m70 0 00 0 10 1 00 1 11 0 01 0 11 1 01 1 11000000001000000001000000001000000001000000001000000001000000001111111112. 最小項(xiàng)性質(zhì): （1）任意一組變量取值，只有一個(gè)最小項(xiàng)的值為1，其它最小項(xiàng)的值均為0。 （2）同一組變量取值，任意兩個(gè)不同最小項(xiàng)的乘積為0。 （3）全部最小項(xiàng)之和為1，即3. 最小項(xiàng)表達(dá)式：如果函數(shù)的積之和（與或）表達(dá)式中的每一個(gè)乘積項(xiàng)均為最小項(xiàng)，則這種表達(dá)式稱為最小項(xiàng)表達(dá)式，也稱標(biāo)準(zhǔn)積之和

33、表達(dá)式。例如F(A、B、C、D) 其中各積項(xiàng)均是最小項(xiàng)，為簡便上式可寫成F(A、B、C、D) 例3：求函數(shù)F(A、B、C、D)的標(biāo)準(zhǔn)積之和表達(dá)式。解：F(A、B、C、D) 利用反演律利用互補(bǔ)律例4： 已知函數(shù)的真值表為表1-11，寫出該函數(shù)的標(biāo)準(zhǔn)積之和表達(dá)式。解： 從真值表1-11中找出使F為1的對應(yīng)最小項(xiàng)， 然后將這些項(xiàng)邏輯加。 F(A、B、C) 表1-11 真值表NA B CmiMiF012345670 0 00 0 10 1 00 1 11 0 01 0 11 1 01 1 1012345670123456700010111 最大項(xiàng)表達(dá)式1. 最大項(xiàng)及其性質(zhì)最大項(xiàng):在一個(gè)有n個(gè)變量的邏輯

34、函數(shù)中，包括全部n個(gè)變量的和項(xiàng)（每個(gè)變量必須而且只能以原變量或反變量形式出現(xiàn)一次）稱為最大項(xiàng)、全和項(xiàng)或標(biāo)準(zhǔn)和項(xiàng)。對n個(gè)變量而言，可有2n個(gè)最大項(xiàng)。最大項(xiàng)可記作Mi，i = 0 （2n-1）。最大項(xiàng)性質(zhì)：（1） 任意一組變量取值，只有一個(gè)最大項(xiàng)的值為0，其它最大項(xiàng)的值均為1。（2） 同一組變量取值任意兩個(gè)不同最大項(xiàng)的和為1 （3）全部最大項(xiàng)之積為0，即 2. 最小項(xiàng)和最大項(xiàng)間關(guān)系（1）相同編號的最小項(xiàng)和最大項(xiàng)存在互補(bǔ)關(guān)系，即（2）由若干個(gè)最小項(xiàng)之和表示的表達(dá)式F，其反函數(shù)可用等同個(gè)與這些最小項(xiàng)相對應(yīng)的最大項(xiàng)之積表示。如 3. 最大項(xiàng)表達(dá)式：如果函數(shù)的或與表達(dá)式中的每一個(gè)或項(xiàng)均為最大項(xiàng)，則這種表達(dá)

35、式稱為最大項(xiàng)表達(dá)式，也稱標(biāo)準(zhǔn)和之積表達(dá)式。學(xué)習(xí)指導(dǎo)：本知識點(diǎn)學(xué)習(xí)用代數(shù)法化簡邏輯函數(shù)的方法，掌握實(shí)現(xiàn)最簡與或表達(dá)式所需的條件。 最簡式的標(biāo)準(zhǔn)：1）首先是式中乘積項(xiàng)最少，這意味著用于實(shí)現(xiàn)電路的與門少，且下級或門輸入端個(gè)數(shù)少； 2）乘積項(xiàng)中含的變量少，這意味著所用與門的輸入端個(gè)數(shù)少。 代數(shù)法化簡的常用方法： 1. 并項(xiàng)：利用，將兩項(xiàng)并為一項(xiàng)，且消去一個(gè)變量。2. 消項(xiàng)：利用A + AB = A消去多余的項(xiàng)。3. 消元：利用消去多余變量。4. 配項(xiàng)：利用和互補(bǔ)律、重疊律先增添項(xiàng)，再消去多余項(xiàng)。例2：試簡化函數(shù) 解： （配項(xiàng)加AB） （消因律）（消項(xiàng)AB）學(xué)習(xí)指導(dǎo)：本知識點(diǎn)學(xué)習(xí)用圖形法化簡邏輯函數(shù)的方

36、法，掌握實(shí)現(xiàn)最簡與或表達(dá)式所需的條件。 卡諾圖(簡稱K圖) k圖中的一小格對應(yīng)真值表中的一行，即對應(yīng)一個(gè)最小項(xiàng)，故k圖又稱真值圖。具有幾何相鄰性即指相鄰最小項(xiàng)所含的變量中只有一個(gè)變量互為補(bǔ)。 圖1-11（a）、（b）、（c）分別表示二、三、四變量的k圖。表1-12A Bmi0 00 11 01 10123圖1-11 二、三、四變量的k圖（a) 二變量的k圖 (b)三變量的k圖 (c）四變量的k圖K圖的特點(diǎn)：1. k圖為方形圖。含n個(gè)變量的函數(shù)，其k圖內(nèi)必含有2n個(gè)小方格，分別對應(yīng)2n個(gè)最小項(xiàng)；2. k圖中行、列兩組變量取值按循環(huán)碼規(guī)律排列，以保證幾何位置上相鄰的小方格其對應(yīng)的最小項(xiàng)為邏輯相鄰項(xiàng)

37、；3. 有三種幾何相鄰：鄰接、相對（行列兩端）和對稱（圖中以0、1分割線為對稱軸）方格均屬相鄰。如圖1-11（c）中，m5和 m7、m1和m9屬前兩種相鄰。 用卡諾圖化簡函數(shù)規(guī)則利用K圖的幾何相鄰性，將相鄰的最小項(xiàng)合并，可以消去某些變量從而簡化函數(shù)。在圖1-12中：（a）為無相鄰格的單個(gè)最小項(xiàng)，結(jié)果為最小項(xiàng)（b）和（c）為兩個(gè)相鄰格圈在一起，結(jié)果為和，消去一個(gè)變量；（d）（g）均為四個(gè)相鄰格圈在一起，結(jié)果為需用兩個(gè)變量，消去了兩個(gè)變量，依此類推分別得圖（h）、（i）。圖（j）是根據(jù)最小項(xiàng)性質(zhì)，合并結(jié)果應(yīng)為1。合并相鄰格的規(guī)律：含n個(gè)變量的函數(shù)的k圖中，幾何相鄰的2i（i = 1、2、3n）個(gè)小格可合并在一起構(gòu)成正方形或矩形圈，消去i個(gè)變量，而用含（n - i）個(gè)變量的積項(xiàng)標(biāo)注該圈。用卡諾圖簡化函數(shù)步驟：1）先將函數(shù)填入相應(yīng)的卡諾圖中；2）合并：按作圈原則將圖上填1的方格圈起來，要求圈的數(shù)量少、范圍大，且每個(gè)圈內(nèi)必須有新的最小項(xiàng)；3）每個(gè)圈均用其對應(yīng)的積項(xiàng)表示；4）最后將全部積項(xiàng)邏輯加即得最簡與或表達(dá)式。（1）根據(jù)函數(shù)填寫卡諾圖若已知函數(shù)為最小項(xiàng)表達(dá)式，則只需將函數(shù)中包含的那些最小項(xiàng)對應(yīng)的格填1，其余格均填0；若已知函數(shù)的真值表，則只需將其真值表中使函數(shù)值為1的那些最小項(xiàng)對應(yīng)的方格填1，其余格均填0；