統(tǒng)計(jì)學(xué)10-教學(xué)方案

1、教 學(xué) 方 案授課題目第五章 抽樣與參數(shù)估計(jì)第一節(jié) 抽樣推斷的基本問(wèn)題第二節(jié) 抽樣分布課 型講授課 次10教學(xué)目的、要求：通過(guò)本次教學(xué)，使學(xué)生了解抽樣調(diào)查的基本問(wèn)題、抽樣分布的概念，熟悉抽樣調(diào)查概念及其特點(diǎn)，掌握抽樣推斷中的基本概念、抽樣推斷的理論基礎(chǔ)。教學(xué)重點(diǎn)及難點(diǎn)：重點(diǎn)： 總體和樣本的均值、標(biāo)準(zhǔn)差的計(jì)算、樣本均值的抽樣分布難點(diǎn)：總體和樣本的均值、標(biāo)準(zhǔn)差的計(jì)算、樣本均值的抽樣分布教學(xué)過(guò)程設(shè)計(jì)：1、 回顧上節(jié)課的主要知識(shí)內(nèi)容及體系2、 承接上節(jié)內(nèi)容，用例子引入本節(jié)內(nèi)容3、 講授第一節(jié) 抽樣調(diào)查的基本問(wèn)題獲取客觀資料的方法主要有兩種：全面調(diào)查和非全面調(diào)查。對(duì)于大量復(fù)雜的社會(huì)經(jīng)濟(jì)現(xiàn)象的調(diào)查，有時(shí)要

2、用定期普查咨詢(xún)方法，即全面調(diào)查；有時(shí)則需或只能用典型調(diào)查、重點(diǎn)調(diào)查或抽樣調(diào)查方法。其中抽樣調(diào)查已是當(dāng)今最主要的統(tǒng)計(jì)調(diào)查方法，它廣泛用于社會(huì)、經(jīng)濟(jì)、科技、自然等各個(gè)領(lǐng)域。一、抽樣調(diào)查及其特點(diǎn)（一）抽樣調(diào)查的概念抽樣調(diào)查是一種非全面調(diào)查。它是按照隨機(jī)原則，從研究總體的所有單位中，抽取部分單位作為樣本，然后以樣本的觀測(cè)或調(diào)查結(jié)果對(duì)總體的數(shù)量特征做出具有一定可靠程度和精度的估計(jì)或推斷的一種統(tǒng)計(jì)調(diào)查方法。抽樣調(diào)查即是搜集統(tǒng)計(jì)資料的方法，也是對(duì)調(diào)查對(duì)象進(jìn)行科學(xué)估計(jì)和推斷的方法。（二）抽樣調(diào)查的基本特點(diǎn)1、在調(diào)查單位的選取上遵循隨機(jī)原則隨機(jī)原則，就是要求總體中每個(gè)單位均有一個(gè)相等的概率被抽中。堅(jiān)持隨機(jī)原則是

3、因?yàn)?，如果總體中每一單位都有一定機(jī)會(huì)被抽中，那么就有較大的可能性使所抽選的樣本保持與總體有相類(lèi)似的結(jié)構(gòu)，這樣樣本的代表性就比較大，抽樣的誤差也就小了。而且，只有在隨機(jī)原則下，抽樣誤差的分布才有可能加以描述，因而抽樣誤差的范圍便可以事先加以計(jì)算和控制。2、它以樣本的數(shù)量特征去推斷總體的數(shù)量特征抽樣調(diào)查一方面是非全面調(diào)查，另一方面又要達(dá)到對(duì)總體數(shù)量特征的認(rèn)識(shí)，這一特點(diǎn)使它不同于全面調(diào)查，也與其它非全面調(diào)查有著顯著區(qū)別。抽樣調(diào)查不僅具有省時(shí)、省力的特性，而且還能認(rèn)識(shí)總體的數(shù)量特征，因此就奠定了抽樣調(diào)查是一種科學(xué)的、行之有效的調(diào)查方法。3、推斷過(guò)程中抽樣誤差可以事先計(jì)算并加以控制抽樣調(diào)查是用樣本的數(shù)量

4、特征去估計(jì)與推斷總體的數(shù)量特征，由于樣本單位的分布不能完全接近總體單位的分布，因此，在抽樣推斷過(guò)程中會(huì)產(chǎn)生一定的由隨機(jī)因素引起的代表性誤差，即抽樣誤差。抽樣誤差是不能避免的，但我們事先可以通過(guò)一定的統(tǒng)計(jì)方法估計(jì)和計(jì)算出抽樣誤差，并且能通過(guò)各種有效的辦法把抽樣誤差控制在某一最低限度或控制在某一需要的范圍內(nèi)。（三）抽樣調(diào)查的作用1、有些現(xiàn)象無(wú)法進(jìn)行全面調(diào)查，但為了測(cè)算總體情況，必須進(jìn)行抽樣調(diào)查。如對(duì)無(wú)限總體的調(diào)查、破壞性調(diào)查以及在理論上可以全面調(diào)查但實(shí)際上有困難的調(diào)查等等。2、抽樣調(diào)查的結(jié)果可以對(duì)全面調(diào)查的結(jié)果進(jìn)行檢查和修正。全面調(diào)查涉及面寬，工作量大，參加人員多，調(diào)查結(jié)果容易出現(xiàn)各種差錯(cuò)。因此，

5、在全面調(diào)查（如人口普查）之后進(jìn)行抽樣復(fù)查，根據(jù)復(fù)查結(jié)果計(jì)算差錯(cuò)率，并以此為依據(jù)檢查和修正全面調(diào)查結(jié)果，從而提高全面調(diào)查的質(zhì)量。3、抽樣調(diào)查可用于生產(chǎn)過(guò)程的質(zhì)量控制。在產(chǎn)品成批或大量連續(xù)生產(chǎn)的過(guò)程中，利用抽樣調(diào)查可以及時(shí)提供產(chǎn)品質(zhì)量信息，進(jìn)行質(zhì)量控制，保證生產(chǎn)質(zhì)量穩(wěn)定。二、抽樣推斷中的基本概念（一）總體總體，又稱(chēng)全及總體或母體，是指所要調(diào)查研究的對(duì)象的全體。在抽樣調(diào)查中，總體是唯一確定的?？傮w內(nèi)包含的單位多少稱(chēng)為總體單位數(shù)，一般用符號(hào)N表示。根據(jù)被研究變量的性質(zhì)不同，總體還可分為數(shù)量總體和屬性總體兩種。被研究的是數(shù)量變量的總體為數(shù)量總體，如研究學(xué)習(xí)成績(jī)水平的學(xué)生總體；被研究是屬性變量的總體為屬性

6、總體，如研究文化程度的居民總體。反映總體數(shù)量特征的指標(biāo)為總體指標(biāo)或總體參數(shù)。從理論上說(shuō)，它由被抽樣總體各單位的變量值或變量特征計(jì)算而成的。對(duì)于數(shù)量總體，設(shè)某單位的變量值為 ，則總體指標(biāo)有：總體均值： （4.1）總體方差： （4.2）總體標(biāo)準(zhǔn)差： （4.3）對(duì)于屬性總體，設(shè)總體中具有某種屬性特征的單位數(shù)為，其它單位數(shù)為，總體單位數(shù)，則總體指標(biāo)有：總體比率：， （4.4）總體方差： （4.5）總體標(biāo)準(zhǔn)差： （4.6）很顯然，對(duì)于某個(gè)固定總體而言，總體指標(biāo)的值是唯一確定的，是不變的量。但在抽樣調(diào)查中，上述總體指標(biāo)的值都是未知的，需要經(jīng)過(guò)抽樣調(diào)查進(jìn)行估計(jì)和推斷的。（二）樣本樣本，也稱(chēng)子樣，是指從被調(diào)查

7、的總體中按照隨機(jī)原則抽取，并要對(duì)其進(jìn)行調(diào)查或觀察的部分單位所組成的集合體。樣本是總體的縮影，是總體的代表。以樣本的調(diào)查或觀察結(jié)果來(lái)推斷總體的數(shù)量特征，是抽樣調(diào)查的目的。一個(gè)樣本所包含的單位數(shù)稱(chēng)樣本容量，用符號(hào) 表示。從總體中可能抽取的全部樣本數(shù)目稱(chēng)為可能樣本個(gè)數(shù)。對(duì)于一個(gè)總體，從中所抽取的樣本是隨機(jī)的，不是唯一的。在統(tǒng)計(jì)推斷理論中，常采用對(duì)不同的問(wèn)題構(gòu)造不同的樣本函數(shù)的方法，來(lái)匯集（濃縮）樣本中與總體分布有關(guān)的各種信息，以用于對(duì)總體分布做出分析推斷。這種樣本的函數(shù)就稱(chēng)為統(tǒng)計(jì)量，統(tǒng)計(jì)量中不能含有未知參數(shù)。與總體相對(duì)應(yīng)，表示樣本數(shù)量特征的指標(biāo)稱(chēng)為樣本指標(biāo)或樣本統(tǒng)計(jì)量，它由樣本各單位的標(biāo)志值或標(biāo)志特

8、征計(jì)算而成的。設(shè) 是來(lái)自總體 的樣本，則樣本指標(biāo)有：樣本均值：在未分組情況下 （4.7）在分組情況下 （4.8）樣本方差：在未分組情況下 （4.9）在分組情況下 （4.10）樣本標(biāo)準(zhǔn)差：在未分組情況下 （4.11）在分組情況下 (4.12)樣本比率：， （4.13）樣本方差： （4.14）樣本標(biāo)準(zhǔn)差： （4.15）由于樣本非唯一確定，不同樣本的樣本指標(biāo)值不同，因而樣本指標(biāo)是隨機(jī)變量，其取值隨樣本不同而不同。(三) 自由度自由度是指不受任何約束，可以自由取值的變量的個(gè)數(shù)。例如，有4個(gè)變量 ，它們的和是20，這是一個(gè)限制條件，此時(shí)，有3個(gè)變量可以自由取值，由于只有一個(gè)限制條件，那么可以自由取值的變

9、量的個(gè)數(shù)是3 ，即自由度為3。三、抽樣方法根據(jù)樣本單位是否可以重復(fù)抽取，抽樣方法可以分為重復(fù)抽樣與不重復(fù)抽樣。（一）重復(fù)抽樣重復(fù)抽樣，也稱(chēng)重置抽樣。它在抽取樣本單位時(shí)的過(guò)程為：設(shè)從總體N中隨機(jī)抽取一個(gè)容量為 的樣本，每次從總體中抽取一個(gè)樣本單位，連續(xù)進(jìn)行 次抽取，構(gòu)成一個(gè)樣本。而對(duì)每次抽取的一個(gè)樣本單位，經(jīng)過(guò)調(diào)查觀測(cè)后，將該單位重新放回總體，這樣在下一次的抽樣中仍有可能再次被抽中。因而，對(duì)于含有N個(gè)單位的總體，每個(gè)單位被抽中的概率均為 。（二）不重復(fù)抽樣不重復(fù)抽樣，也稱(chēng)不重置抽樣，它從總體N中抽取一個(gè)容量為 的樣本也是由連續(xù) 次抽取的結(jié)果構(gòu)成的，但每次抽中的樣本單位，經(jīng)調(diào)查觀測(cè)后擱置一邊，不再

10、放回總體，因此在下一次抽取樣本單位時(shí)不會(huì)再抽到前面已抽中過(guò)的樣本單位。每抽取一次，總體單位就減少一個(gè)，每次抽取結(jié)果都影響著下一次的抽取情況，每個(gè)單位被抽中的概率在各次中是不同的。 四、抽樣推斷的理論基礎(chǔ)大數(shù)定律和中心極限定理。大數(shù)定律證明：隨著樣本容量 的增加，樣本均值 接近于總體均值 的趨勢(shì)，幾乎是具有實(shí)際必然性。大數(shù)定律論證了樣本均值趨于總體均值的趨勢(shì)，這為抽樣調(diào)查提供了重要的理論依據(jù)。但是，樣本均值和總體均值離差究竟有多大？離差不超過(guò)一定范圍的概率（把握程度或可靠程度）有多大？這個(gè)問(wèn)題要用概率論中的中心極限定理來(lái)研究。中心極限定理論證：如果總體變量存在有限的平均數(shù)和方差，那么，不論這個(gè)總

11、體的分布如何，隨著樣本容量 的增加，樣本均值的分布便趨近正態(tài)分布。第二節(jié) 抽樣分布一、抽樣分布的概念抽樣分布是抽樣推斷的基礎(chǔ)。抽樣分布是指樣本統(tǒng)計(jì)量的概率分布。我們知道，各真實(shí)個(gè)體的同一項(xiàng)指標(biāo)的取值是有差異的。因而該項(xiàng)指標(biāo)在總體中就有一定的分布狀況, 可以用一個(gè)概率分布來(lái)加以描述, 而該項(xiàng)指標(biāo)也就可以看作是服從這一概率分布的隨機(jī)變量。所以，在統(tǒng)計(jì)推斷理論中，我們都用一個(gè)隨機(jī)變量(例如 )來(lái)表示一個(gè)總體。在實(shí)際問(wèn)題中，作為總體的隨機(jī)變量的概率分布往往是未知或部分未知的。這正是我們要應(yīng)用統(tǒng)計(jì)推斷方法加以推斷的問(wèn)題。從同一個(gè)總體中，抽取樣本容量相同的所有可能樣本后，計(jì)算每一個(gè)樣本統(tǒng)計(jì)量的取值和相應(yīng)的

12、概率，就組成樣本統(tǒng)計(jì)量的概率分布，簡(jiǎn)稱(chēng)抽樣分布。二簡(jiǎn)單隨機(jī)樣本如果總體中每個(gè)個(gè)體被抽到的機(jī)會(huì)是均等的，并且在每次抽取一個(gè)個(gè)體之后總體的成分不改變，這樣抽取出的個(gè)體所構(gòu)成的樣本就能很好地反映總體的情況,基于這種想法抽取的樣本，稱(chēng)為簡(jiǎn)單隨機(jī)樣本。取得簡(jiǎn)單隨機(jī)樣本的過(guò)程，稱(chēng)為簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣。怎樣才能得到簡(jiǎn)單隨機(jī)樣本呢？當(dāng)總體為有限總體時(shí)，那么抽樣就要用重復(fù)抽樣；當(dāng)總體為無(wú)限總體時(shí)，由于抽取個(gè)體后不放回，總體成份幾乎不 變，因此抽樣可以用不重復(fù)抽樣。在實(shí)際應(yīng)用中，即使對(duì)于有限總體，只要樣本容量 與總體容量 之比 很小，仍然可以用不重復(fù)抽樣，所抽到的樣本可以當(dāng)作簡(jiǎn)單隨機(jī)樣本使用。三、簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣的概念及特

13、點(diǎn)簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣具有以下特點(diǎn)：1、在理論上最符合隨機(jī)原則，簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣保證總體中各個(gè)單位被抽中的機(jī)會(huì)是相等的，均為 。同時(shí)它也使總體中各個(gè)樣本被抽中的概率相同。簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣遵循這種等可能性原則，為抽樣估計(jì)、抽樣誤差的計(jì)算提供了重要前提條件。2、是設(shè)計(jì)其他抽樣組織方式的基礎(chǔ)。例如設(shè)計(jì)類(lèi)型抽樣，將總體劃分為若干個(gè)類(lèi)或組，而后對(duì)各類(lèi)實(shí)施簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣。3、是衡量其他抽樣效果的標(biāo)準(zhǔn)。抽樣效果首先體現(xiàn)在抽樣誤差的大小，因此我們采用抽樣設(shè)計(jì)效果指標(biāo)（）來(lái)比較某一抽樣形式的方差與簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣的方差之間的大小，進(jìn)而說(shuō)明抽樣效果的好壞。若值大于等于1，即其他抽樣形式的抽樣方差大于等于簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣的抽樣方差，則抽樣估

14、計(jì)效果較差；反之，小于1，則其他抽樣形式的抽樣估計(jì)效果較好。四、常用統(tǒng)計(jì)量的抽樣分布統(tǒng)計(jì)量的取值不但和樣本容量有關(guān)，而且與抽樣方法有關(guān)。下面根據(jù)簡(jiǎn)單隨機(jī)樣本，分別研究重復(fù)抽樣的抽樣分布和不重復(fù)抽樣的抽樣分布。 （一）樣本均值的抽樣分布 1、重復(fù)抽樣的抽樣分布例4-1 某次調(diào)查中4個(gè)被調(diào)查者的月消費(fèi)額分別為400元、500元、700元、800元。設(shè)4個(gè)被調(diào)查者構(gòu)成總體，則總體均值和方差為：總體均值：（元）總體方差： 總體標(biāo)準(zhǔn)差：（元）用重復(fù)抽樣的方法，從4人中隨機(jī)抽個(gè)構(gòu)成樣本，共有個(gè)可能的樣本。各樣本的月平均消費(fèi)如表（4-1）所示：表4-1樣本變量400 500 700 800400500700

15、800400 450 550 600450 500 600 650550 600 700 750600 650 750 800從上表容易看出樣本均值及次數(shù)，可以整理出樣本均值抽樣分布表示如下：表4-2樣本的月平均消費(fèi)（元）頻數(shù)頻率4004505005506006507007508001212421211/162/161/162/164/162/161/162/161/164009005001100240013007001500800400004500010000500005000100004500040000合計(jì)1619600200000根據(jù)以上資料，可以計(jì)算樣本均值抽樣分布的均值：（元）樣本

16、均值抽樣分布的方差：樣本均值抽樣分布的標(biāo)準(zhǔn)差為: 由此可見(jiàn), 樣本均值 抽樣分布的均值等于總體的均值,即 （4.16）在上例中，兩者都等于600元。這說(shuō)明雖然每個(gè)樣本均值的取值可能與總體均值不同，有一定離差，但從總體來(lái)看，所有樣本均值平均說(shuō)來(lái)和總體均值是相同的，不再存在離差。而樣本均值抽樣分布的方差不等于總體方差, 即,樣本均值抽樣分布的方差等于總體方差除以樣本容量，即 （4.17）在上例中，直接以總體方差除以樣本容量n得： 樣本均值抽樣分布的標(biāo)準(zhǔn)差為: （4.18）在上例中，直接以總體標(biāo)準(zhǔn)差除以樣本容量得: (元) 由正態(tài)分布的性質(zhì)可知, 總體的概率分布如果是正態(tài)分布, 則樣本均值的抽樣分布

17、也是正態(tài)分布。因此, 由公式4.16,4.17可知，如果總體,則樣本均值的抽樣分布為。2、不重復(fù)抽樣的抽樣分布仍以上例為例， 某次調(diào)查中4個(gè)被調(diào)查者的月消費(fèi)為400元、500元、700元、800元。設(shè)4個(gè)被調(diào)查者構(gòu)成總體，則總體均值和方差為：總體均值：（元）總體方差：（元）總體標(biāo)準(zhǔn)差：（元）采用不重復(fù)抽樣的方法，從4人中隨機(jī)抽個(gè)構(gòu)成樣本，共有4×3=12個(gè)可能的樣本。各樣本的月平均消費(fèi)如表(4.3)所示：表4-3樣本變量400 500 700 800400500700800- 450 550 600450 - 600 650550 600 - 750600 650 750 -根據(jù)上表

18、可以整理出樣本均值 抽樣分布表示如下：表4-4樣本的月平均消費(fèi)（元）頻數(shù)頻率450550600650750224222/122/124/122/122/1290011002400130015004500050000500045000合計(jì)1217200100000根據(jù)以上資料，可以計(jì)算樣本均值抽樣分布的均值與樣本均值抽樣分布的方差。樣本均值抽樣分布的均值為：（元）樣本均值抽樣分布的方差為: 樣本均值抽樣分布的標(biāo)準(zhǔn)差為: (元)在不重復(fù)抽樣條件下，樣本均值的分布仍具有兩個(gè)重要性質(zhì)：（1）樣本均值 抽樣分布的均值等于總體的均值,即 在上例中，兩者都等于600元。這說(shuō)明雖然每個(gè)樣本均值的取值可能與總體均值不同，有一定離差，但從總體來(lái)看，所有樣本均值平均說(shuō)來(lái)和總體均值是相同的，不再存在離差。(2) 樣本均值抽樣分布的方差等于重復(fù)抽樣的樣本均值抽樣分布的方差乘以修正因子 （4.19）用各項(xiàng)數(shù)字代入上式得：樣本均值抽樣分布的標(biāo)準(zhǔn)差為: （4.20）用各項(xiàng)數(shù)字代入上式得：（元）所得結(jié)果與上面按定義計(jì)算的完全一致。和公式（4.18）相比較，可以發(fā)現(xiàn)不重復(fù)抽樣的平均誤差總是小于重復(fù)抽樣的平均誤差.通常，當(dāng)總體很大時(shí)，則有 （4.21）