統(tǒng)計學(xué) 第七章 參數(shù)估計.

1、統(tǒng)計學(xué)第七章 參數(shù)估計2 參數(shù)估計的一般問題 一個總體參數(shù)的區(qū)間估計 兩個總體參數(shù)的區(qū)間估計 樣本量的確定學(xué)習(xí)目標(biāo)本章學(xué)習(xí)目標(biāo)37.1參數(shù)估計的一般問題 47.1參數(shù)估計的一般問題 估計量與估計值評價估計量的標(biāo)準(zhǔn)點(diǎn)估計與區(qū)間估計12351.估計量：用于估計總體參數(shù)的隨機(jī)變量如樣本均值，樣本比例, 樣本方差等例如: 樣本均值就是總體均值 的一個估計量2.參數(shù)用 表示，估計量用 表示3.估計值：估計參數(shù)時計算出來的統(tǒng)計量的具體值如果樣本均值 x =80，則80就是的估計值7.1估計量與估計值(estimator & estimated value)6估計量與估計值評價估計量的標(biāo)準(zhǔn)點(diǎn)估計與區(qū)間估計1

2、237.1參數(shù)估計的一般問題 71.用樣本的估計量的某個取值直接作為總體參數(shù)的估計值例如：用樣本均值直接作為總體均值的估計；用兩個樣本均值之差直接作為總體均值之差的估計2.無法給出估計值接近總體參數(shù)程度的信息7.1點(diǎn)估計(point estimate)81.在點(diǎn)估計的基礎(chǔ)上，給出總體參數(shù)估計的一個區(qū)間范圍，該區(qū)間由樣本統(tǒng)計量加減估計誤差而得到2.根據(jù)樣本統(tǒng)計量的抽樣分布能夠?qū)颖窘y(tǒng)計量與總體參數(shù)的接近程度給出一個概率度量比如，某班級平均分?jǐn)?shù)在7585之間，置信水平是95% 樣本統(tǒng)計量 (點(diǎn)估計)置信區(qū)間置信下限置信上限7.1區(qū)間估計 (interval estimate)9x95% 的樣本-1

3、.96 x +1.96 x99% 的樣本 - 2.58 x +2.58 x90%的樣本 -1.65 x +1.65 x7.1區(qū)間估計 (interval estimate)101.將構(gòu)造置信區(qū)間的步驟重復(fù)很多次，置信區(qū)間包含總體參數(shù)真值的次數(shù)所占的比例稱為置信水平 2.表示為 (1 a）%a為是總體參數(shù)未在區(qū)間內(nèi)的比例3.常用的置信水平值有 99%, 95%, 90%相應(yīng)的 a為0.01，0.05，0.107.1置信水平(confidence level) 11由樣本統(tǒng)計量所構(gòu)造的總體參數(shù)的估計區(qū)間稱為置信區(qū)間統(tǒng)計學(xué)家在某種程度上確信這個區(qū)間會包含真正的總體參數(shù)，所以給它取名為置信區(qū)間 用一個

4、具體的樣本所構(gòu)造的區(qū)間是一個特定的區(qū)間，我們無法知道這個樣本所產(chǎn)生的區(qū)間是否包含總體參數(shù)的真值7.1置信區(qū)間 (confidence interval)12重復(fù)構(gòu)造出 的20個置信區(qū)間 點(diǎn)估計值7.1置信區(qū)間 (95%的置信區(qū)間)13估計量與估計值評價估計量的標(biāo)準(zhǔn)點(diǎn)估計與區(qū)間估計1237.1參數(shù)估計的一般問題 14無偏性：估計量抽樣分布的數(shù)學(xué)期望等于被估計的總體參數(shù)7.1無偏性(unbiasedness)15有效性：對同一總體參數(shù)的兩個無偏點(diǎn)估計量，有更小標(biāo)準(zhǔn)差的估計量更有效 7.1有效性(efficiency)167.1一致性(consistency)一致性：隨著樣本量的增大，估計量的值越來

5、越接近被估計的總體參數(shù)177.2一個總體參數(shù)的區(qū)間估計18總體均值的區(qū)間估計總體方差的區(qū)間估計總體比例的區(qū)間估計123197.2一個總體參數(shù)的區(qū)間估計總體參數(shù)符號表示樣本統(tǒng)計量均值比例方差207.2總體均值的區(qū)間估計1. 假定條件l總體服從正態(tài)分布,且方差() 已知l如果不是正態(tài)分布，可由正態(tài)分布來近似 (n 30)2.使用正態(tài)分布統(tǒng)計量 z3.總體均值 在1- 置信水平下的置信區(qū)間為217.2總體均值的區(qū)間估計(例題分析)【 例 】一家食品生產(chǎn)企業(yè)以生產(chǎn)袋裝食品為主，為對食品質(zhì)量進(jìn)行監(jiān)測，企業(yè)質(zhì)檢部門經(jīng)常要進(jìn)行抽檢，以分析每袋重量是否符合要求?，F(xiàn)從某天生產(chǎn)的一批食品中隨機(jī)抽取了25袋，測得每

6、袋重量如下表所示。已知產(chǎn)品重量的分布服從正態(tài)分布，且總體標(biāo)準(zhǔn)差為10g。試估計該批產(chǎn)品平均重量的置信區(qū)間，置信水平為95%112.5101.0103.0102.0100.5102.6107.5 95.0108.8115.6100.0123.5102.0101.6102.2116.6 95.4 97.8108.6105.0136.8102.8101.5 98.4 93.322例題答案已知N(，102)，n=25, 1- = 95%，z/2=1.96。根據(jù)樣本數(shù)據(jù)計算得： 。由于是正態(tài)總體，且方差已知。總體均值在1-置信水平下的置信區(qū)間為7.2總體均值的區(qū)間估計(例題分析)23【例】一家保險公司收

7、集到由36個投保人組成的隨機(jī)樣本，得到每個投保人的年齡(單位：周歲)數(shù)據(jù)如下表。試建立投保人年齡90%的置信區(qū)間 2335392736443642464331334253455447243428393644403949383448503439454845327.2總體均值的區(qū)間估計(例題分析)例題247.2總體均值的區(qū)間估計(例題分析)答案解：已知n=36, 1- = 90%，z/2=1.645。根據(jù)樣本數(shù)據(jù)計算得： ， 總體均值在1- 置信水平下的置信區(qū)間為投保人平均年齡的置信區(qū)間為37.37歲41.63歲25總體均值的區(qū)間估計總體方差的區(qū)間估計總體比例的區(qū)間估計123267.2總體均值的區(qū)

8、間估計(小樣本)1.假定條件總體服從正態(tài)分布,但方差() 未知小樣本 (n 30)2.使用 t 分布統(tǒng)計量3.總體均值 在1-置信水平下的置信區(qū)間為277.2 t分布t 分布是類似正態(tài)分布的一種對稱分布，它通常要比正態(tài)分布平坦和分散。一個特定的分布依賴于稱之為自由度的參數(shù)。隨著自由度的增大，分布也逐漸趨于正態(tài)分布 287.2總體均值的區(qū)間估計(例題分析)【例】已知某種燈泡的壽命服從正態(tài)分布，現(xiàn)從一批燈泡中隨機(jī)抽取16只，測得其使用壽命(單位：h)如下。建立該批燈泡平均使用壽命95%的置信區(qū)間1510152014801500145014801510152014801490153015101460

9、14601470147029解：已知N(，2)，n=16, 1- = 95%，t/2=2.131 根據(jù)樣本數(shù)據(jù)計算得： ， 總體均值在1-置信水平下的置信區(qū)間為該種燈泡平均使用壽命的置信區(qū)間為1476.8h1503.2h7.2總體均值的區(qū)間估計(例題分析)答案30總體均值的區(qū)間估計總體方差的區(qū)間估計總體比例的區(qū)間估計123311. 假定條件總體服從二項(xiàng)分布可以由正態(tài)分布來近似2. 使用正態(tài)分布統(tǒng)計量 z3. 總體比例在1-置信水平下的置信區(qū)間為7.2總體比例的區(qū)間估計32【例】某城市想要估計下崗職工中女性所占的比例，隨機(jī)地抽取了100名下崗職工，其中65人為女性職工。試以95%的置信水平估計該

10、城市下崗職工中女性比例的置信區(qū)間該城市下崗職工中女性比例的置信區(qū)間為55.65%74.35% 例題答案7.2總體比例的區(qū)間估計(例題分析)33總體均值的區(qū)間估計總體方差的區(qū)間估計總體比例的區(qū)間估計123341. 估計一個總體的方差或標(biāo)準(zhǔn)差2.假設(shè)總體服從正態(tài)分布3.總體方差 2 的點(diǎn)估計量為s2,且4. 總體方差在1- 置信水平下的置信區(qū)間為7.2總體方差的區(qū)間估計357.2總體方差的區(qū)間估計(圖示)367.2總體方差的區(qū)間估計(圖示)例題【例】一家食品生產(chǎn)企業(yè)以生產(chǎn)袋裝食品為主，現(xiàn)從某天生產(chǎn)的一批食品中隨機(jī)抽取了25袋，測得每袋重量如下表所示。已知產(chǎn)品重量的分布服從正態(tài)分布。以95%的置信水

11、平建立該種食品重量方差的置信區(qū)間 112.5101.0103.0102.0100.5102.6107.5 95.0108.8115.6100.0123.5102.0101.6102.2116.6 95.4 97.8108.6105.0136.8102.8101.5 98.4 93.337已知n25，1-95% ,根據(jù)樣本數(shù)據(jù)計算得s2 =93.21 2置信度為95%的置信區(qū)間為 3641.39)24() 1(2025. 022n該企業(yè)生產(chǎn)的食品總體重量標(biāo)準(zhǔn)差的的置信區(qū)間為7.54g13.43g7.2總體方差的區(qū)間估計(例題分析)答案387.2一個總體參數(shù)的區(qū)間估計(小結(jié))均值均值大樣本大樣本

12、2 2已知已知Z Z分布分布 2 2未知未知Z Z分布分布小樣本小樣本 2 2已知已知Z Z分布分布 2 2未知未知t t分布分布比例比例大樣本大樣本Z Z分布分布方差方差 2 2分布分布397.3兩個總體參數(shù)的區(qū)間估計407.3兩個總體參數(shù)的區(qū)間估計41兩個總體均值之差的區(qū)間估計兩個總體方差比的區(qū)間估計兩個總體比例之差的區(qū)間估計1237.3兩個總體參數(shù)的區(qū)間估計427.3兩個總體均值之差的區(qū)間估計(獨(dú)立大樣本)1.假定條件兩個總體都服從正態(tài)分布，1、 2已知若不是正態(tài)分布, 可以用正態(tài)分布來近似(n130和n230)兩個樣本是獨(dú)立的隨機(jī)樣本2.使用正態(tài)分布統(tǒng)計量 z431、1， 2已知時，兩

13、個總體均值之差1-2在1- 置信水平下的置信區(qū)間為2、1、 2未知時，兩個總體均值之差1-2在1- 置信水平下的置信區(qū)間為7.3兩個總體均值之差的區(qū)間估計(獨(dú)立大樣本)44例題【例】某地區(qū)教育管理部門想估計兩所中學(xué)的學(xué)生高考時的英語平均分?jǐn)?shù)之差，為此在兩所中學(xué)獨(dú)立抽取兩個隨機(jī)樣本，有關(guān)數(shù)據(jù)如右表 。建立兩所中學(xué)高考英語平均分?jǐn)?shù)之差95%的置信區(qū)間 中學(xué)1中學(xué)2n1=46n1=33S1=5.8 S2=7.27.3兩個總體均值之差的估計(例題分析)861x782x457.3兩個總體均值之差的估計(例題分析)解: 兩個總體均值之差在1-置信水平下的置信區(qū)間為 兩所中學(xué)高考英語平均分?jǐn)?shù)之差的置信區(qū)間為

14、5.03分10.97分答案467.3兩個總體均值之差的估計(例題分析)某地區(qū)教育管理部門想估計兩所中學(xué)的學(xué)生高考時的英語平均分?jǐn)?shù)之差，為此在兩所中學(xué)獨(dú)立抽取兩個隨機(jī)樣本，有關(guān)數(shù)據(jù)如右表 。建立兩所中學(xué)高考英語平均分?jǐn)?shù)之差95%的置信區(qū)間 中學(xué)1中學(xué)2n1=46n1=33S1=5.8 S2=7.2861x782x例題47解: 兩個總體均值之差在1-置信水平下的置信區(qū)間為 兩所中學(xué)高考英語平均分?jǐn)?shù)之差的置信區(qū)間為5.03分10.97分7.3兩個總體均值之差的估計(例題分析)答案481.假定條件兩個總體都服從正態(tài)分布兩個總體方差未知但相等：1=2兩個獨(dú)立的小樣本(n130和n230)2. 總體方差的

15、合并估計量3.估計量x1-x2的抽樣標(biāo)準(zhǔn)差7.3兩個總體均值之差的估計(小樣本: 12= 22 )497.3兩個總體均值之差的估計(例題分析)【例】為估計兩種方法組裝產(chǎn)品所需時間的差異，分別對兩種不同的組裝方法各隨機(jī)安排12名工人，每個工人組裝一件產(chǎn)品所需的時間(單位：min)下如表。假定兩種方法組裝產(chǎn)品的時間服從正態(tài)分布，且方差相等。試以95%的置信水平建立兩種方法組裝產(chǎn)品所需平均時間差值的置信區(qū)間方法1方法228.336.027.631.730.137.222.226.029.038.531.032.037.634.433.831.232.128.020.033.428.830.030.2

16、26.5例題50答案解: 根據(jù)樣本數(shù)據(jù)計算得 合并估計量為兩種方法組裝產(chǎn)品所需平均時間之差的置信區(qū)間為0.14min7.26min7.3兩個總體均值之差的估計(例題分析)517.3兩個總體均值之差的估計(小樣本: 12 22 )1.假定條件兩個總體都服從正態(tài)分布兩個總體方差未知且不相等：12兩個獨(dú)立的小樣本(n130和n230)2.使用統(tǒng)計量52兩個總體均值之差1-2在1- 置信水平下的置信區(qū)間為7.3兩個總體均值之差的估計(小樣本: 12 22 )53例題沿用前例。假定第一種方法隨機(jī)安排12名工人，第二種方法隨機(jī)安排8名工人，即n1=12，n2=8 ，所得的有關(guān)數(shù)據(jù)如表。假定兩種方法組裝產(chǎn)品

17、的時間服從正態(tài)分布，且方差不相等。以95%的置信水平建立兩種方法組裝產(chǎn)品所需平均時間差值的置信區(qū)間 7.3兩個總體均值之差的估計(例題分析)方法1方法228.336.027.631.730.137.222.226.529.038.531.037.634.433.832.128.020.028.830.030.254答案7.3兩個總體均值之差的估計(例題分析)解: 根據(jù)樣本數(shù)據(jù)計算得 自由度為兩種方法組裝產(chǎn)品所需平均時間之差的置信區(qū)間為0.192min9.058mni557.3兩個總體均值之差的估計(例題分析)1.假定條件兩個匹配的大樣本(n1 30和n2 30)兩個總體各觀察值的配對差服從正態(tài)

18、分布2.兩個總體均值之差d =1-2在1- 置信水平下的置信區(qū)間為567.3兩個總體均值之差的估計(匹配小樣本)1.假定條件兩個匹配的小樣本(n1 30和n2 30)兩個總體各觀察值的配對差服從正態(tài)分布 2.兩個總體均值之差d=1-2在1- 置信水平下的置信區(qū)間為57例題7.3兩個總體均值之差的估計(例題分析)【例】由10名學(xué)生組成一個隨機(jī)樣本，讓他們分別采用A和B兩套試卷進(jìn)行測試，結(jié)果如下表 。試建立兩種試卷分?jǐn)?shù)之差d=1-2 95%的置信區(qū)間學(xué)生編號學(xué)生編號試卷試卷A試卷試卷B差值差值d17871726344193726111489845691741754951-2768551387660

19、169857781055391658答案解: 根據(jù)樣本數(shù)據(jù)計算得兩種試卷所產(chǎn)生的分?jǐn)?shù)之差的置信區(qū)間為6.33分15.67分7.3兩個總體均值之差的估計(例題分析)597.3兩個總體比例之差的區(qū)間估計1.假定條件兩個總體服從二項(xiàng)分布可以用正態(tài)分布來近似兩個樣本是獨(dú)立的2.兩個總體比例之差1- 2在1- 置信水平下的置信區(qū)間為607.3兩個總體比例之差的估計(例題分析)例題【例】在某個電視節(jié)目的收視率調(diào)查中，農(nóng)村隨機(jī)調(diào)查了400人，有32%的人收看了該節(jié)目；城市隨機(jī)調(diào)查了500人，有45%的人收看了該節(jié)目。試以95%的置信水平估計城市與農(nóng)村收視率差別的置信區(qū)間 617.3兩個總體比例之差的估計(例

20、題分析)解: 已知 n1=500 ，n2=400， p1=45%， p2=32%， 1- =95%， z/2=1.96 1- 2置信度為95%的置信區(qū)間為城市與農(nóng)村收視率差值的置信區(qū)間為6.68%19.32%答案621. 比較兩個總體的方差比2.用兩個樣本的方差比來判斷如果S12/ S22接近于1,說明兩個總體方差很接近如果S12/ S22遠(yuǎn)離1,說明兩個總體方差之間存在差異3.總體方差比在1-置信水平下的置信區(qū)間為7.3兩個總體方差比的區(qū)間估計637.3兩個總體方差比的區(qū)間估計(圖示)647.3兩個總體方差比的區(qū)間估計(例題分析)【例】為了研究男女學(xué)生在生活費(fèi)支出(單位：元)上的差異，在某大

21、學(xué)各隨機(jī)抽取25名男學(xué)生和25名女學(xué)生，得到下面的結(jié)果男學(xué)生：女學(xué)生：試以90%置信水平估計男女學(xué)生生活費(fèi)支出方差比的置信區(qū)間 65解:根據(jù)自由度 n1=25-1=24 ，n2=25-1=24，查得 F/2(24)=1.98， F1-/2(24)=1/1.98=0.505 12 /22置信度為90%的置信區(qū)間為男女學(xué)生生活費(fèi)支出方差比的置信區(qū)間為0.471.84 7.3兩個總體方差比的區(qū)間估計 (例題分析)66均值差均值差獨(dú)立大樣本獨(dú)立大樣本 1 12 2、 2 22 2已已Z Z分布分布 1 12 2、 2 22 2未未Z Z分布分布獨(dú)立小樣本獨(dú)立小樣本 1 12 2、 2 22 2已已知知Z Z分布分