塑性復(fù)習(xí)部分

1、彈塑性力學(xué)總復(fù)習(xí)楊海天2014年6月 邏輯與論據(jù)的訓(xùn)練邏輯與論據(jù)的訓(xùn)練 物理理解與數(shù)學(xué)表達(dá)的統(tǒng)一塑性力學(xué)部分塑性變形：完全卸載后的不可恢復(fù)的永久變形。塑性力學(xué)：主要是研究物體發(fā)生塑性變形的條件以及發(fā)生塑性變形后應(yīng)力、應(yīng)變、位移的分布規(guī)律。目的：提高承載力 利用（成型、吸能） 控制引子引子與線彈性問題相比： 1. 發(fā)生塑性變形的條件2. 塑性變形后的應(yīng)力應(yīng)變關(guān)系3.求解彈塑性偏微分方程邊問題 難度加大 基本假設(shè)：1.時間 溫度無關(guān) 不考慮粘塑性 熱塑性2.無限韌性 不考慮塑性斷裂 3. 初始各向同性 4.卸載和后繼屈服產(chǎn)生塑性變形后卸載，服從彈性規(guī)律 ，重新加載后的屈服應(yīng)力（后繼屈服應(yīng)力）等于卸

2、載前的應(yīng)力。重新加載達(dá)到屈服后的 曲線是卸載前 曲線的延長線引子引子 引子引子stEEE0兩個重要實驗（金屬）靜水壓力實驗：1. 體積變形 彈性 -靜水壓力 線性 2. 靜水壓力與塑性行為無關(guān)結(jié)論對巖土等材料不適用6. 靜水壓力只產(chǎn)生彈性的體積變形5. 總成立ep 7. 引子引子引子引子單向拉伸實驗 屈服：現(xiàn)象：材料出現(xiàn)應(yīng)力基本保持不變而應(yīng)變顯著增加的階段 初始屈服 后繼屈服強化: 應(yīng)變增加必須增加應(yīng)力 卸載后再加載屈服強度提高()( ,)psHh0 卸載 彈性規(guī)律引子引子加卸載準(zhǔn)則 大于零 加載 小于零 卸載d d tdE d dE d 反向加載： Bauschinger效應(yīng)引子引子引子引子

3、特點：1.應(yīng)力應(yīng)變關(guān)系非線性 2. 應(yīng)力應(yīng)變關(guān)系非單值性3.塑性功具有不可逆性 在一個加載卸載的循環(huán)中，外力功恒大于零（為塑性變形所耗）挑戰(zhàn)：分支點的判斷 非線性的本構(gòu)關(guān)系 變形路徑的追蹤引子引子由單向拉伸曲線抽象出的簡單物理模型理想彈性理想鋼塑性剛-線性強化理想彈塑性彈-線性強化經(jīng)驗公式nYH nH 引子引子引子引子強化模型等向強化*()pd 由拉伸實驗得出隨動強化s ()pH 組合強化* 引子引子引子引子軸向拉伸時的塑性失穩(wěn)真實應(yīng)力對數(shù)應(yīng)變TPAln()ln()0ll0ldll1ll 可加性012nl , l , l .l,.lll12n lli 可比性.ln()ln()00002l0 5

4、lll 引子引子利用體積不變假定lTe 失穩(wěn)點0TTl 三三桿桁架的彈塑性分析桿桁架的彈塑性分析平衡方程 位移-應(yīng)變方程 本構(gòu)方程 （全量或增量）屈服條件 三三桿桁架的彈塑性分析桿桁架的彈塑性分析加載時的彈塑性分析彈性階段 位移法 確定首先屈服的桿件 彈性極限載荷約束彈塑性階段 繼續(xù)加載 進入塑性區(qū)的桿件 建立增量方程求出塑性極限載荷。觀察 曲線三三桿桁架的彈塑性分析桿桁架的彈塑性分析P 三三桿桁架的彈塑性分析桿桁架的彈塑性分析卸載*esPPP以 計算彈性解 *P,iiiu 反向疊加于,iiiu 求得,000iiiu 自平衡自協(xié)調(diào)0i0i0iu三三桿桁架的彈塑性分析桿桁架的彈塑性分析強化模型進

5、入塑性后的本構(gòu)不同大變形的影響平衡方程參考即時構(gòu)型 應(yīng)變-位移 采用對數(shù)應(yīng)變變形路徑的影響 類似的彈塑性求解過程 應(yīng)變-位移關(guān)系復(fù)雜 （投影建立位移協(xié)調(diào)關(guān)系）不斷地判斷桿件的應(yīng)力狀態(tài)塑性極限載荷相同，加載路徑不同可能導(dǎo)致應(yīng)力、應(yīng)變、位移的分布不同三三桿桁架的彈塑性分析桿桁架的彈塑性分析三三桿桁架的彈塑性分析桿桁架的彈塑性分析載荷平面內(nèi)的屈服曲面和極限曲面 （處理工程問題非常實用）初始：產(chǎn)生初始屈服的所有載荷組合的集合 在載荷空間中的構(gòu)形后繼：后繼狀態(tài)重新屈服的所有載荷組合的集合 在載荷空間中的構(gòu)形極限：產(chǎn)生塑性極限狀態(tài)的所有載荷組合的集合 在載荷空間中的構(gòu)形求解方法 建立( ,)iiP Q 限

6、定 范圍 確定 變化范圍( ,)P Qi三三桿桁架的彈塑性分析桿桁架的彈塑性分析安定性變值載荷作用（一定范圍內(nèi)重復(fù)變化）1. 產(chǎn)生新的塑性變形2. 同一局部發(fā)生異號的塑性變形不產(chǎn)生這兩種情況 結(jié)構(gòu)是安定的書中例題 建立建立 ， r與塑性應(yīng)變相關(guān) P 變化觀察r 變化，由此確定塑性應(yīng)變的變化，判斷安定性Pr屈服條件屈服條件屈服條件材料進入塑性狀態(tài)的判定條件，基于實驗的數(shù)學(xué)表達(dá)初始屈服條件 初始彈性狀態(tài)的界限后繼屈服條件, )0ijijijt T （， ，,應(yīng)力空間中 屈服面屈服條件屈服條件初始屈服條件)0iF I（)0ijF（)0iF（考慮靜水壓力試驗)0iF s（)0iF J（mS 則過該點的

7、靜水壓力線上的點均屈服由此推斷：在主應(yīng)力空間中 初始屈服曲面是一個垂直于 平面并在靜水壓力線方向開口的柱面。S屈服條件屈服條件在各向同性和拉壓性態(tài)相同的假定，屈服曲面在 平面上的截跡關(guān)于三個投影坐標(biāo)軸及它們的垂線對稱。共6條，將屈服曲線切分為12個對稱的部分，通過實驗確定1/12即可S平面上的描述， 及對稱性的證明 參考彈性力學(xué)。屈服條件屈服條件屈服條件屈服條件Tresca屈服條件物理解釋：最大剪應(yīng)力達(dá)到某個極限k數(shù)學(xué)表達(dá)12-=2k 23-=2k 31-=2k 空間形態(tài):垂直于 平面的六棱柱面 適于當(dāng)應(yīng)力的方向和順序 已知時使用屈服條件屈服條件Mises屈服條件物理解釋：形狀改變能 八面體剪

8、應(yīng)力（面心立方晶格晶體的滑移面），任意取向平面上剪應(yīng)力的平均值， 等等數(shù)學(xué)表達(dá)： 空間形態(tài): 垂直于 平面的圓柱面2JC屈服條件屈服條件兩種屈服條件的比較Tresca 主應(yīng)力的一次函數(shù) 不光滑 角點導(dǎo)數(shù)不唯一主應(yīng)力未知時 表達(dá)過于復(fù)雜 為體現(xiàn)中間主應(yīng)力的影響2ssMises 二次函數(shù) 光滑 最簡單的二次形式3ss屈服條件屈服條件拉伸重合剪切重合1.155MT32MT試驗驗證：大多數(shù)金屬材料的屈服形態(tài)接近Mises屈服條件屈服條件屈服條件后繼屈服條件理想塑性材料 屈服曲面保持不變 并且始終是彈性狀態(tài)的邊界，所以)0ijF（強化材料 后繼彈性范圍邊界是變化的，其邊界滿足的條件成為后繼屈服條件或加載

9、條件 , 其幾何對應(yīng)為后繼屈服面或加載面理想塑性材料強化材料F (, )0ijsh等向強化 屈服面相似擴大隨動強化 形狀不變 位置移動 (注意單向線性強化）組合強化 形狀位置都在變化()0ijfK () pKd23ppijijpd () ijijf0() pijijH()0ijijfK 屈服條件屈服條件Drucker 公設(shè) 物理描述：對于處于某一狀態(tài)下下的材料（物體），借助一個外部作用，在其原有的應(yīng)力狀態(tài)之上，緩慢地施加并卸除一組附加應(yīng)力，在附加應(yīng)力的施加與卸除的循環(huán)中，外部作用所做的功非負(fù)。0000(-)(-)0ijijpDijijijijijijWdd01(+-)02pijijijijdd

10、數(shù)學(xué)表達(dá)塑性本構(gòu)關(guān)系塑性本構(gòu)關(guān)系塑性本構(gòu)關(guān)系塑性本構(gòu)關(guān)系塑性本構(gòu)關(guān)系塑性本構(gòu)關(guān)系狀態(tài)一于是推論：1.穩(wěn)定材料的屈服面必定是外凸的2、塑性應(yīng)變增量矢量沿著加載面的法線/梯度方向，也稱之為正交法則 0ijij0(,) 0ijh0(-)0pijijijdpijijdd塑性本構(gòu)關(guān)系塑性本構(gòu)關(guān)系狀態(tài)二0ijij0(,)0ijh0pijijddDrucker 穩(wěn)定性條件材料穩(wěn)定性0dd 注意：對弱化材料0d當(dāng)0ijij0(-)0pijijijd仍成立塑性本構(gòu)關(guān)系塑性本構(gòu)關(guān)系但對 封閉循環(huán)不成立 不成立0ijij0pijijdd依留辛公設(shè): 應(yīng)變空間中加載面的外凸性 塑性應(yīng)力增量與加載面的正交性，無論是強化

11、或弱化材料 完成從加載面上一點的應(yīng)變循環(huán)。塑性本構(gòu)關(guān)系塑性本構(gòu)關(guān)系塑性本構(gòu)關(guān)系塑性本構(gòu)關(guān)系加載準(zhǔn)則0pd0dn應(yīng)力增量向量指向加載面外時，才能產(chǎn)生塑性變形。加載（產(chǎn)生新的塑性變形）的兩個判定條件0 0dn屈服函數(shù) ： 數(shù)學(xué)表達(dá)？ 強化模式？塑性本構(gòu)關(guān)系塑性本構(gòu)關(guān)系增量理論應(yīng)力與應(yīng)變增量表達(dá)的塑性本構(gòu)關(guān)系eijijijddd塑性位勢理論()ijpijijgddg g 與加載條件相關(guān)聯(lián)的流動法則與加載條件非關(guān)聯(lián)的流動法則塑性本構(gòu)關(guān)系塑性本構(gòu)關(guān)系理想塑性材料與Mises 條件相關(guān)聯(lián)的流動法則22=0sJijijpijijsdd s塑性本構(gòu)關(guān)系塑性本構(gòu)關(guān)系22222222121 20000ijijij

12、kkkksssddsd sGddEdJJdJdJdJ或Pandtal-Reuss理論22psdwd塑性本構(gòu)關(guān)系塑性本構(gòu)關(guān)系理想剛塑性 Levy-Mises 關(guān)系ijijdd s232isdd23iijijdd d 理想塑性材料與Tresca條件相關(guān)的流動法則特點：1. 沿外法線方向并不能確定pdS2. 六角柱的角點上法線不唯一塑性本構(gòu)關(guān)系塑性本構(gòu)關(guān)系強化材料的增量本構(gòu)關(guān)系ijijdhdh 強化增量1=hpd對其自變量的導(dǎo)數(shù)是可由單向試驗曲線確定的塑性本構(gòu)關(guān)系塑性本構(gòu)關(guān)系全量理論3mmKijijes 32ii ( )iii 簡單加載 單一曲線假定簡單加載：單元體的應(yīng)力張量各分量之間的比值保持不變

13、在簡單加載條件下，全量理論與增量理論是等價的。塑性本構(gòu)關(guān)系塑性本構(gòu)關(guān)系( )iii 是否唯一？單一曲線假定：只要是簡單加載或偏離簡單加載不大， 曲線都可以用簡單拉伸近似表示。ii塑性本構(gòu)關(guān)系塑性本構(gòu)關(guān)系簡單加載定理1.小變形 2. 材料不可壓3. 載荷按比例單調(diào)增長4. 零位移 位移邊界條件5niA12塑性本構(gòu)關(guān)系塑性本構(gòu)關(guān)系000ijijnijijniiststutuCoulomb屈服條件 巖土力學(xué)中的屈服條件nnctg 必須考慮靜水壓力的影響120fJJk塑性本構(gòu)關(guān)系塑性本構(gòu)關(guān)系屈服面開口？塑性本構(gòu)關(guān)系的總結(jié)列表 P89全量理論比增量理論方便 要求簡單加載塑性本構(gòu)關(guān)系塑性本構(gòu)關(guān)系塑性本構(gòu)關(guān)

14、系塑性本構(gòu)關(guān)系平衡,0ij jiF,0ij jiddF應(yīng)變-位移關(guān)系,1()2iji ji iuu,1(d)2iji ji idudu邊界條件ij jilTij jidldT彈塑性力學(xué)的邊值問題彈塑性力學(xué)的邊值問題iiuu iidudu全量本構(gòu)2( )3iiijijise 12kkkkE解法與彈性力學(xué)相同，但本構(gòu)非線性，可迭代求解。增量本構(gòu)理想塑性-彈性區(qū)() 012ijijijkkijfdddGE 彈塑性力學(xué)的邊值問題彈塑性力學(xué)的邊值問題塑性區(qū)()01212ijijijijkkkkffdedsdGddE00ijijfddfd00ijijfddfd彈塑性力學(xué)的邊值問題彈塑性力學(xué)的邊值問題彈性區(qū)

15、強化材料() 012ijijijkk ijdddGE ()0121 2ijijijijkkkkfdedsdGddE00ijijddd 0ijijdhddd 塑性區(qū)彈塑性力學(xué)的邊值問題彈塑性力學(xué)的邊值問題給定加載歷史，求解增量方程，不斷疊加，求到全量拉扭聯(lián)合 梁的彈塑性彎曲-材料力學(xué)手段 柱體的彈塑性自由扭轉(zhuǎn) 應(yīng)力函數(shù)求解 分區(qū) 薄膜比擬 (彈性) 沙堆比擬 （全塑性） 玻璃蓋-薄膜 （彈塑性）圓柱 材料力學(xué)手段 受內(nèi)壓厚壁圓筒的彈塑性分析 旋轉(zhuǎn)圓盤的彈塑性分析簡單彈塑性問題的求解簡單彈塑性問題的求解平面應(yīng)變條件下板的塑性彎曲問題連續(xù)介質(zhì)力學(xué)： 極坐標(biāo)下的軸對稱問題彈性 彈塑性 極限狀態(tài)彈塑性交界的判斷彈塑性邊界與載荷的關(guān)系變形與載荷的關(guān)系卸載 殘余應(yīng)力的計算。簡單彈塑性問題的求解簡單彈塑性問題的求解采用levy-Mises理論ijijs1()2zmxyMises屈服條件222()2xyxyk應(yīng)力方程sin2xksin2ykcos2xyk理想剛塑性平面應(yīng)變問題理想剛