協(xié)方差與相關(guān)系數(shù)

1、p 協(xié)方差的定義與性質(zhì)協(xié)方差的定義與性質(zhì)p 相關(guān)系數(shù)的定義與性質(zhì)相關(guān)系數(shù)的定義與性質(zhì)p 矩的定義與協(xié)方差矩陣矩的定義與協(xié)方差矩陣p n 維正態(tài)分布的概率密度與性質(zhì)維正態(tài)分布的概率密度與性質(zhì)第三節(jié)第三節(jié) 協(xié)方差與相關(guān)系數(shù)協(xié)方差與相關(guān)系數(shù)n 對(duì)對(duì)多維隨機(jī)變量多維隨機(jī)變量, 隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望和方差只反映了各自的隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望和方差只反映了各自的平均值與偏離程度，平均值與偏離程度，并沒能反映隨機(jī)變量之間的關(guān)系并沒能反映隨機(jī)變量之間的關(guān)系. n 協(xié)方差是反映隨機(jī)變量之間依賴關(guān)系的一個(gè)數(shù)字特征協(xié)方差是反映隨機(jī)變量之間依賴關(guān)系的一個(gè)數(shù)字特征.一、協(xié)方差的定義與性質(zhì)一、協(xié)方差的定義與性質(zhì)n 協(xié)方差的定義

2、：協(xié)方差的定義：設(shè)設(shè)（X, Y）為二維隨機(jī)向量為二維隨機(jī)向量, 若若一、協(xié)方差的定義與性質(zhì)一、協(xié)方差的定義與性質(zhì)n 依定義，依定義，若若（X, Y）為為離散型隨機(jī)變量，其概率分布為離散型隨機(jī)變量，其概率分布為則則一、協(xié)方差的定義與性質(zhì)一、協(xié)方差的定義與性質(zhì)n 依定義，依定義，若若（X, Y）為為連續(xù)型隨機(jī)變量，其概率密度為連續(xù)型隨機(jī)變量，其概率密度為 f(x, y)，則則因?yàn)橐驗(yàn)樗运詎 特別地，特別地，若若 X 與與 Y 相互獨(dú)立，有相互獨(dú)立，有 cov( X, Y) = 0。計(jì)算協(xié)方差的簡化公式計(jì)算協(xié)方差的簡化公式一、協(xié)方差的定義與性質(zhì)一、協(xié)方差的定義與性質(zhì)n 協(xié)方差的性質(zhì)：協(xié)方差的性質(zhì)

3、：（一）協(xié)方差的基本性質(zhì)：（一）協(xié)方差的基本性質(zhì)：一、協(xié)方差的定義與性質(zhì)一、協(xié)方差的定義與性質(zhì)n 協(xié)方差的性質(zhì)：協(xié)方差的性質(zhì)：（二）隨機(jī)變量和的方差與協(xié)方差的關(guān)系：（二）隨機(jī)變量和的方差與協(xié)方差的關(guān)系：特別地，若特別地，若 X 與與 Y 相互獨(dú)立，則相互獨(dú)立，則注（注（1）：）：上述結(jié)果推廣至上述結(jié)果推廣至 n 維情形，有維情形，有一、協(xié)方差的定義與性質(zhì)一、協(xié)方差的定義與性質(zhì)n 例：例：已知離散型隨機(jī)向量已知離散型隨機(jī)向量（X, Y） 的概率分布為的概率分布為，試求試求cov (X, Y)。解：由解：由 計(jì)算協(xié)方差的簡化公式計(jì)算協(xié)方差的簡化公式 得得因?yàn)橐驗(yàn)樗运砸?、協(xié)方差的定義與性質(zhì)一、協(xié)

4、方差的定義與性質(zhì)n 例：例：已知已知連續(xù)連續(xù)型隨機(jī)型隨機(jī)變變量量（X, Y） 的的密密度函數(shù)度函數(shù)為為 f(x, y)，試求，試求cov (X, Y)。解：由解：由 計(jì)算協(xié)方差的簡化公式計(jì)算協(xié)方差的簡化公式 得得由（由（X, Y）的密度函數(shù)求得）的密度函數(shù)求得 X, Y 的邊緣密度函數(shù)分別為的邊緣密度函數(shù)分別為于是于是p 協(xié)方差的定義與性質(zhì)協(xié)方差的定義與性質(zhì)p 相關(guān)系數(shù)的定義與性質(zhì)相關(guān)系數(shù)的定義與性質(zhì)p 矩的定義與協(xié)方差矩陣矩的定義與協(xié)方差矩陣p n 維正態(tài)分布的概率密度與性質(zhì)維正態(tài)分布的概率密度與性質(zhì)第三節(jié)第三節(jié) 協(xié)方差與相關(guān)系數(shù)協(xié)方差與相關(guān)系數(shù)二、相關(guān)系數(shù)的定義與性質(zhì)二、相關(guān)系數(shù)的定義與性

5、質(zhì)n 協(xié)方差協(xié)方差是兩個(gè)隨機(jī)變量協(xié)同變化的度量，其大小在一定程度上放映了隨機(jī)是兩個(gè)隨機(jī)變量協(xié)同變化的度量，其大小在一定程度上放映了隨機(jī)變量變量 X 和和 Y 相互間的關(guān)系，但它還相互間的關(guān)系，但它還受受 X 與與 Y 本身度量單位的影響。本身度量單位的影響。n 例如：例如：k X 和和 kY 之間的統(tǒng)計(jì)關(guān)系與之間的統(tǒng)計(jì)關(guān)系與 X 和和 Y 之間的統(tǒng)計(jì)關(guān)系應(yīng)該是一樣的，之間的統(tǒng)計(jì)關(guān)系應(yīng)該是一樣的，但其協(xié)方差卻擴(kuò)大了但其協(xié)方差卻擴(kuò)大了 k2 倍，即有倍，即有n 為了避免隨機(jī)變量因?yàn)榱吮苊怆S機(jī)變量因度量單位不同度量單位不同而影響它們相互關(guān)系的度量，可將每個(gè)而影響它們相互關(guān)系的度量，可將每個(gè)隨機(jī)變量隨

6、機(jī)變量標(biāo)準(zhǔn)化標(biāo)準(zhǔn)化，即取，即取用用 cov (X*, Y*) 作為作為 X 與與 Y 之間相互關(guān)系的一種度量。之間相互關(guān)系的一種度量。二、相關(guān)系數(shù)的定義與性質(zhì)二、相關(guān)系數(shù)的定義與性質(zhì)二、相關(guān)系數(shù)的定義與性質(zhì)二、相關(guān)系數(shù)的定義與性質(zhì)n 相關(guān)系數(shù)的性質(zhì)：相關(guān)系數(shù)的性質(zhì)：證明：證明：由由 方差的性質(zhì)方差的性質(zhì) 和和 協(xié)方差的定義協(xié)方差的定義 知，對(duì)任意實(shí)數(shù)知，對(duì)任意實(shí)數(shù) b，有有由于上式對(duì)任意實(shí)數(shù)由于上式對(duì)任意實(shí)數(shù) b 均成立，則均成立，則二、相關(guān)系數(shù)的定義與性質(zhì)二、相關(guān)系數(shù)的定義與性質(zhì)n 相關(guān)系數(shù)的性質(zhì)：相關(guān)系數(shù)的性質(zhì)：二、相關(guān)系數(shù)的定義與性質(zhì)二、相關(guān)系數(shù)的定義與性質(zhì)n 相關(guān)系數(shù)的性質(zhì)：相關(guān)系數(shù)的

7、性質(zhì)：二、相關(guān)系數(shù)的定義與性質(zhì)二、相關(guān)系數(shù)的定義與性質(zhì)解：易知解：易知二、相關(guān)系數(shù)的定義與性質(zhì)二、相關(guān)系數(shù)的定義與性質(zhì)解：由于解：由于二、相關(guān)系數(shù)的定義與性質(zhì)二、相關(guān)系數(shù)的定義與性質(zhì)解：解：因?yàn)橐驗(yàn)橛忠蛴忠蛞虼艘虼藀 協(xié)方差的定義與性質(zhì)協(xié)方差的定義與性質(zhì)p 相關(guān)系數(shù)的定義與性質(zhì)相關(guān)系數(shù)的定義與性質(zhì)p 矩的定義與協(xié)方差矩陣矩的定義與協(xié)方差矩陣p n 維正態(tài)分布的概率密度與性質(zhì)維正態(tài)分布的概率密度與性質(zhì)第三節(jié)第三節(jié) 協(xié)方差與相關(guān)系數(shù)協(xié)方差與相關(guān)系數(shù)三、矩的定義與協(xié)方差矩陣三、矩的定義與協(xié)方差矩陣n 定義：定義：設(shè)設(shè) X 和和 Y 為隨機(jī)變量，為隨機(jī)變量，k, l 為正整數(shù)，稱為正整數(shù)，稱n 由定義

8、可以看出：由定義可以看出：（1）X 的數(shù)學(xué)期望的數(shù)學(xué)期望 E(X) 是是 X 的一階原點(diǎn)矩的一階原點(diǎn)矩；（2）X 的方差的方差 D(X) 是是 X 的二階中心矩的二階中心矩；（3）協(xié)方差協(xié)方差 cov(X, Y) 是是 X 和和 Y 的二階混合中心矩的二階混合中心矩。三、矩的定義與協(xié)方差矩陣三、矩的定義與協(xié)方差矩陣p 協(xié)方差的定義與性質(zhì)協(xié)方差的定義與性質(zhì)p 相關(guān)系數(shù)的定義與性質(zhì)相關(guān)系數(shù)的定義與性質(zhì)p 矩的定義與協(xié)方差矩陣矩的定義與協(xié)方差矩陣p n 維正態(tài)分布的概率密度與性質(zhì)維正態(tài)分布的概率密度與性質(zhì)第三節(jié)第三節(jié) 協(xié)方差與相關(guān)系數(shù)協(xié)方差與相關(guān)系數(shù)四、四、n 維正態(tài)分布的概率密度與性質(zhì)維正態(tài)分布的概率密度與性質(zhì)四、四、n 維正態(tài)分布的概率密度與性質(zhì)維正態(tài)分布的概率密度與性質(zhì)n n維正態(tài)分布的重要性質(zhì)：維正態(tài)分布的重要