數(shù)值分析ppt第4章_數(shù)值積分與數(shù)值微分

1、上頁上頁上頁上頁上頁上頁下頁下頁下頁下頁下頁下頁第第4章章 數(shù)值積分與數(shù)值微分?jǐn)?shù)值積分與數(shù)值微分 4.1 引言引言 4.2 牛頓牛頓柯特斯公式柯特斯公式 4.3 復(fù)化求積公式復(fù)化求積公式 4.4 龍貝格求積公式龍貝格求積公式 4.5 高斯求積公式高斯求積公式 4.6 數(shù)值微分?jǐn)?shù)值微分上頁上頁上頁上頁上頁上頁下頁下頁下頁下頁下頁下頁進(jìn)行計(jì)算，但在工程計(jì)算和科學(xué)研究中，經(jīng)常會(huì)遇進(jìn)行計(jì)算，但在工程計(jì)算和科學(xué)研究中，經(jīng)常會(huì)遇到被積函數(shù)到被積函數(shù)f(x)的下列一些情況：的下列一些情況：的原函數(shù)的原函數(shù))()(d)(aFbFxxfIba 對定積分對定積分 baxxfId)(的被積函數(shù)的被積函數(shù))(xf已知

2、，在高等數(shù)學(xué)中可用牛頓已知，在高等數(shù)學(xué)中可用牛頓萊布尼茲公式萊布尼茲公式)(xF4.1 引引 言言 實(shí)際問題當(dāng)中常常要計(jì)算積分，有些數(shù)值方法，實(shí)際問題當(dāng)中常常要計(jì)算積分，有些數(shù)值方法，如微分方程和積分方程的求解，也都和積分計(jì)算相如微分方程和積分方程的求解，也都和積分計(jì)算相聯(lián)系聯(lián)系.上頁上頁上頁上頁上頁上頁下頁下頁下頁下頁下頁下頁（4） f(x)本身沒有解析表達(dá)式，其函數(shù)關(guān)系由表格本身沒有解析表達(dá)式，其函數(shù)關(guān)系由表格或圖形給出，列如為實(shí)驗(yàn)或測量數(shù)據(jù)或圖形給出，列如為實(shí)驗(yàn)或測量數(shù)據(jù).xxxexxfxsinsinln1)(22 , , , （2） f(x)的原函數(shù)不能用初等函數(shù)形式表示，例如的原函數(shù)

3、不能用初等函數(shù)形式表示，例如411)(xxf （3） f(x)的原函數(shù)雖然可用初等函數(shù)形式表示，但的原函數(shù)雖然可用初等函數(shù)形式表示，但其原函數(shù)表示形式相當(dāng)復(fù)雜，例如其原函數(shù)表示形式相當(dāng)復(fù)雜，例如cbxaxxf 2)(（1） f(x)復(fù)雜，求原函數(shù)困難，列如復(fù)雜，求原函數(shù)困難，列如上頁上頁上頁上頁上頁上頁下頁下頁下頁下頁下頁下頁 以上的以上的 4種情況都不能用牛頓種情況都不能用牛頓萊布尼茲公萊布尼茲公式方便地計(jì)算該函數(shù)的定積分，滿足不了實(shí)際需式方便地計(jì)算該函數(shù)的定積分，滿足不了實(shí)際需要，因此，有必要研究定積分的數(shù)值計(jì)算問題；要，因此，有必要研究定積分的數(shù)值計(jì)算問題；另外，對一些函數(shù)的求導(dǎo)問題，其

4、求導(dǎo)、微分也另外，對一些函數(shù)的求導(dǎo)問題，其求導(dǎo)、微分也相當(dāng)復(fù)雜，也有必要研究求導(dǎo)、微分的數(shù)值計(jì)算相當(dāng)復(fù)雜，也有必要研究求導(dǎo)、微分的數(shù)值計(jì)算問題。本章主要介紹數(shù)值求積分和數(shù)值求微分的問題。本章主要介紹數(shù)值求積分和數(shù)值求微分的方法。方法。上頁上頁上頁上頁上頁上頁下頁下頁下頁下頁下頁下頁 由積分中值定理由積分中值定理, 對連續(xù)函數(shù)對連續(xù)函數(shù)f(x), 在區(qū)間在區(qū)間a, b內(nèi)至少存在一點(diǎn)內(nèi)至少存在一點(diǎn) ，使，使 bafabxxfI)()(d)( 只要對平均高度只要對平均高度 f( ) 提供一種提供一種近似算法近似算法, 便可相應(yīng)便可相應(yīng)地獲得一種地獲得一種數(shù)值求積方法數(shù)值求積方法. 即所謂即所謂矩形公

5、式矩形公式.4.1.1 數(shù)值求積的基本思想數(shù)值求積的基本思想 幾何圖形見書幾何圖形見書p98.上頁上頁上頁上頁上頁上頁下頁下頁下頁下頁下頁下頁 例如例如, 用區(qū)間用區(qū)間a, b兩端點(diǎn)的函數(shù)值兩端點(diǎn)的函數(shù)值 f(a)與與f(b)的的算術(shù)平均值作為算術(shù)平均值作為f( ) 的近似值的近似值, 可導(dǎo)出可導(dǎo)出求積公式求積公式)()(2d)(bfafabxxfIba 這便是人們所熟知的這便是人們所熟知的梯形公式梯形公式. 如果改用區(qū)間如果改用區(qū)間a, b的中點(diǎn)的中點(diǎn) c=(a b)/2 處的函數(shù)值處的函數(shù)值f(c)近似代替近似代替f( ), 則又可導(dǎo)出所謂則又可導(dǎo)出所謂(中中)矩形公式矩形公式 babaf

6、abxxfI)2()(d)(上頁上頁上頁上頁上頁上頁下頁下頁下頁下頁下頁下頁 一般地一般地, 在區(qū)間在區(qū)間a, b上適當(dāng)選取點(diǎn)上適當(dāng)選取點(diǎn)xk (k=0,1,n), 然后用然后用 f(xk) 的的加權(quán)平均值加權(quán)平均值作為作為f( ) 的近似值的近似值, 可得到可得到更為更為一般的求積公式一般的求積公式 其中：點(diǎn)其中：點(diǎn)xk叫叫求積節(jié)點(diǎn)求積節(jié)點(diǎn), 系數(shù)系數(shù)Ak叫叫求積系數(shù)求積系數(shù). Ak僅與節(jié)僅與節(jié)點(diǎn)點(diǎn)xk的選取有關(guān)的選取有關(guān), 而與被積函數(shù)而與被積函數(shù) f(x)無關(guān)無關(guān).求積公式的求積公式的截?cái)嗾`差截?cái)嗾`差為為)(d)()(0kbankknxfAxxfIIfR R(f) 又稱為又稱為求積余項(xiàng)求

7、積余項(xiàng).nkbankkIxfAxxfI )(d)(0 這類數(shù)值積分方法通常稱為機(jī)械求積，其特點(diǎn)這類數(shù)值積分方法通常稱為機(jī)械求積，其特點(diǎn)是將積分求值問題歸結(jié)為函數(shù)值的計(jì)算，這就避開是將積分求值問題歸結(jié)為函數(shù)值的計(jì)算，這就避開了牛了牛- -萊公式尋求原函數(shù)的困難萊公式尋求原函數(shù)的困難.上頁上頁上頁上頁上頁上頁下頁下頁下頁下頁下頁下頁4.1.2 代數(shù)精度的概念代數(shù)精度的概念 定義定義1 如果求積公式如果求積公式 bankkkxfAxxfI0)(d)(1) 對所有次數(shù)不超過對所有次數(shù)不超過m的多項(xiàng)式都精確成立；的多項(xiàng)式都精確成立；(2) 至少對一個(gè)至少對一個(gè)m+1次多項(xiàng)式不精確成立，次多項(xiàng)式不精確成立

8、，則稱則稱該公式具有該公式具有m次代數(shù)精度次代數(shù)精度. 數(shù)值求積方法的近似方法，為要保證精度，我數(shù)值求積方法的近似方法，為要保證精度，我們自然希望求積公式能對們自然希望求積公式能對“盡可能多盡可能多”的函數(shù)準(zhǔn)確的函數(shù)準(zhǔn)確地成立，這就提出了所謂代數(shù)精度的概念地成立，這就提出了所謂代數(shù)精度的概念.上頁上頁上頁上頁上頁上頁下頁下頁下頁下頁下頁下頁 一般來說，代數(shù)精度越高，求積公式越好。一般來說，代數(shù)精度越高，求積公式越好。 定理定理1 一個(gè)求積公式具有一個(gè)求積公式具有m次代數(shù)精度的次代數(shù)精度的充要充要條件條件是該求積公式是該求積公式: (1) 對對xk(k=0,1,m)精確成立；精確成立； (2)

9、對對xm+1不精確成立不精確成立. 故一般地，要驗(yàn)證一個(gè)求積公式具有故一般地，要驗(yàn)證一個(gè)求積公式具有m次代數(shù)次代數(shù)精度，只要令對于精度，只要令對于 f(x)=1, x, , xm求積公式精確成求積公式精確成立等式就行立等式就行.上頁上頁上頁上頁上頁上頁下頁下頁下頁下頁下頁下頁 解解 當(dāng)當(dāng) f (x)=1時(shí)時(shí), 1d,baxb a 左左1 1,2baba 右右此時(shí)公式精確成立。此時(shí)公式精確成立。例例1 驗(yàn)證梯形公式驗(yàn)證梯形公式)()(2d)(bfafabxxfIba 具有一次代數(shù)精度。具有一次代數(shù)精度。當(dāng)當(dāng) f(x)=x時(shí)，時(shí)， 221d2baxxba 左左2222babaab 右右公式也精確成

10、立。公式也精確成立。當(dāng)當(dāng) f(x)= x2 時(shí)，時(shí)， 2331d3baxxba 左左22,2baab 右右公式對公式對x2不精確成立不精確成立.故由定理故由定理1知知, 梯形公式的代數(shù)精度為梯形公式的代數(shù)精度為1次次.上頁上頁上頁上頁上頁上頁下頁下頁下頁下頁下頁下頁 對于求積公式對于求積公式 給定給定n+1個(gè)互異的求積節(jié)點(diǎn)個(gè)互異的求積節(jié)點(diǎn) x0 , x1, xn-1, xn ,令求積公式對令求積公式對 f(x)=1, x, , xn 精確成立精確成立,即得即得 1211110022110010nabxAxAxAabxAxAxAabAAAnnnnnnnnnn求解該方程組即可確定求積系數(shù)求解該方程

11、組即可確定求積系數(shù)Ak, 所得到的求積公所得到的求積公式式至少具有至少具有n 次代數(shù)精度次代數(shù)精度.nkbankkIxfAxxfI )(d)(0上頁上頁上頁上頁上頁上頁下頁下頁下頁下頁下頁下頁 例例2 確定求積公式中的待定系數(shù)，使其代數(shù)精確定求積公式中的待定系數(shù)，使其代數(shù)精度盡量高，并指明求積公式所具有的代數(shù)精度度盡量高，并指明求積公式所具有的代數(shù)精度.)()()(d)(hfAfAhfAxxfIhh102210 解解 令令 f (x)=1, x, x2 代入公式兩端并令其相等，得代入公式兩端并令其相等，得 hAAhhAhAAAhAhAhAAA31623200411321211111101)()

12、()( 解得解得hAhAA3438011,上頁上頁上頁上頁上頁上頁下頁下頁下頁下頁下頁下頁得得求積公式求積公式為為令令 f (x)=x3，得，得)()()(d)(hhfhfhhfxxfIhh380343822038033223)(dhhhxxhh令令 f (x)=x4，得，得544224531638564hhhhxxhhh)(d故故求積公式求積公式具有具有3 3次次代數(shù)精度代數(shù)精度.上頁上頁上頁上頁上頁上頁下頁下頁下頁下頁下頁下頁 如果我們事先選定求積節(jié)點(diǎn)如果我們事先選定求積節(jié)點(diǎn)xk，譬如，以區(qū)間，譬如，以區(qū)間a, b的等距分點(diǎn)作為節(jié)點(diǎn)，這時(shí)取的等距分點(diǎn)作為節(jié)點(diǎn)，這時(shí)取m=n求解方程組求解方程

13、組即可確定求積系數(shù)即可確定求積系數(shù)Ak，而使求積公式至少具有，而使求積公式至少具有 n次次代數(shù)精度代數(shù)精度. 本章第本章第2節(jié)介紹這樣一類求積公式，梯形節(jié)介紹這樣一類求積公式，梯形公式是其中的一個(gè)特例公式是其中的一個(gè)特例. 如為了構(gòu)造出上面的求積公式，原則上是一個(gè)如為了構(gòu)造出上面的求積公式，原則上是一個(gè)確定參數(shù)確定參數(shù)xk和和Ak的代數(shù)問題的代數(shù)問題.上頁上頁上頁上頁上頁上頁下頁下頁下頁下頁下頁下頁4.1.3 插值型求積公式插值型求積公式設(shè)給定一組節(jié)點(diǎn)設(shè)給定一組節(jié)點(diǎn)bxxxxann 110且已知且已知f(x)在這些節(jié)點(diǎn)上的函數(shù)值在這些節(jié)點(diǎn)上的函數(shù)值 f(xk), 則可求得則可求得f(x)的拉格

14、朗日插值多項(xiàng)式的拉格朗日插值多項(xiàng)式(因?yàn)橐驗(yàn)長n(x)的原函數(shù)易求的原函數(shù)易求) nkkknxlxfxL0)()()(其中其中l(wèi)k(x)為插值基函數(shù)為插值基函數(shù), 取取), 1 , 0d)()(d)(0nkxxlAIxfAxxfIbakknknkkba 由上式確定系數(shù)的公式稱為由上式確定系數(shù)的公式稱為插值型求積公式插值型求積公式。xxLxxfbanbad)(d)( 即即則則 f (x) Ln(x)上頁上頁上頁上頁上頁上頁下頁下頁下頁下頁下頁下頁由插值余項(xiàng)定理由插值余項(xiàng)定理, 其求積余項(xiàng)為其求積余項(xiàng)為() ( )( )dbnnaR fIIf xLxx (1)0( )()d(1)!nnbkakfx

15、xxn 其中其中 = (x) 如果求積公式是插值型的，按照插值余項(xiàng)式如果求積公式是插值型的，按照插值余項(xiàng)式子，對于次數(shù)不超過子，對于次數(shù)不超過n的多項(xiàng)式的多項(xiàng)式f(x)，其余項(xiàng)，其余項(xiàng) R(f )等于零，因而等于零，因而這時(shí)求積公式至少具有這時(shí)求積公式至少具有n次代數(shù)精度次代數(shù)精度.上頁上頁上頁上頁上頁上頁下頁下頁下頁下頁下頁下頁 反之，如果求積公式至少具有反之，如果求積公式至少具有n次代數(shù)精度，次代數(shù)精度，則它必定是插值型的則它必定是插值型的. 事實(shí)上，這時(shí)求積公式對事實(shí)上，這時(shí)求積公式對于插值基函數(shù)于插值基函數(shù) lk(x)應(yīng)準(zhǔn)確成立，即有應(yīng)準(zhǔn)確成立，即有.)()(0knjkjbakAxlA

16、dxxl 注意到注意到lk(xj)=kj，上式右端實(shí)際上即等于，上式右端實(shí)際上即等于Ak，因而，因而下面式子成立下面式子成立., 1 , 0d)(nkxxlAbakk 上頁上頁上頁上頁上頁上頁下頁下頁下頁下頁下頁下頁 結(jié)論結(jié)論1 具有具有n+1個(gè)節(jié)點(diǎn)的數(shù)值求積公式個(gè)節(jié)點(diǎn)的數(shù)值求積公式 bankkkxfAxxfI0)(d)(是插值型求積公式的是插值型求積公式的充要條件充要條件為為: 該公式至少具有該公式至少具有n次代數(shù)精度。次代數(shù)精度。 綜上所述，我們有結(jié)論為綜上所述，我們有結(jié)論為 這時(shí)令這時(shí)令f(x)=1代入又有結(jié)論為代入又有結(jié)論為 結(jié)論結(jié)論2 對插值型求積公式的系數(shù)必有對插值型求積公式的系數(shù)

17、必有.d0abxAbankk 上頁上頁上頁上頁上頁上頁下頁下頁下頁下頁下頁下頁其中其中h=max(xi- -xi- -1)，則稱求積公式，則稱求積公式Akf(xk)是是收斂的收斂的.4.1.4 求積公式的收斂性與穩(wěn)定性求積公式的收斂性與穩(wěn)定性 定義定義2 在求積公式在求積公式Akf(xk)中，若中，若 nkbakkhndxxfxfA00.)()(lim 在求積公式在求積公式Akf(xk)中，由于計(jì)算中，由于計(jì)算f(xk)可能產(chǎn)可能產(chǎn)生誤差生誤差k，實(shí)際得到，實(shí)際得到 ，即，即 . 記記kkkfxf )(kf.)(, )()(00 nkkknnkkknfAfIxfAfI如果對任給小正數(shù)如果對任給

18、小正數(shù)0，只要誤差，只要誤差|k|充分小就有充分小就有,)()()(0 nkkkknnfxfAfIfI它表明求積公式它表明求積公式Akf(xk)計(jì)算是計(jì)算是穩(wěn)定的穩(wěn)定的，由此給出，由此給出上頁上頁上頁上頁上頁上頁下頁下頁下頁下頁下頁下頁,)()()(0 nkkkknnfxfAfIfI 定義定義3 對任給小正數(shù)對任給小正數(shù)0，若存在，若存在0，只要，只要 就有就有), 1 , 0()(nkfxfkk 成立，則稱求積公式成立，則稱求積公式Akf(xk)是是穩(wěn)定的穩(wěn)定的，上頁上頁上頁上頁上頁上頁下頁下頁下頁下頁下頁下頁 證明證明 對任給對任給0，若取，若取=/(b- -a), 對所有對所有k都有都有

19、故求積公式是穩(wěn)定的故求積公式是穩(wěn)定的. 定理定理2 若求積公式若求積公式Akf(xk)中所有系數(shù)中所有系數(shù)Ak0，則此求積公式是穩(wěn)定的則此求積公式是穩(wěn)定的.)()()()()(000 abAfxfAfxfAfIfInkknkkkknkkkknn則有則有), 1 , 0()(nkfxfkk 上頁上頁上頁上頁上頁上頁下頁下頁下頁下頁下頁下頁 4.2 牛頓牛頓柯特斯公式柯特斯公式 為便于上機(jī)計(jì)算，通常在內(nèi)插求積公式中我們?yōu)楸阌谏蠙C(jī)計(jì)算，通常在內(nèi)插求積公式中我們通常取等距節(jié)點(diǎn)，即將積分區(qū)間通常取等距節(jié)點(diǎn)，即將積分區(qū)間a,b劃分劃分n等分，等分，即令步長即令步長h=(b-a)/n，且記，且記x0=a,

20、xn=b，則節(jié)點(diǎn)記為，則節(jié)點(diǎn)記為xk=x0+kh(k=0,1,n)，然后作變換，然后作變換: t=(x-x0)/h, 代入代入求積系數(shù)公式，將會(huì)簡化計(jì)算求積系數(shù)公式，將會(huì)簡化計(jì)算.上頁上頁上頁上頁上頁上頁下頁下頁下頁下頁下頁下頁4.2.1 牛頓牛頓柯特斯公式柯特斯公式設(shè)將積分區(qū)間設(shè)將積分區(qū)間a, b劃分成劃分成 n等分等分,步長步長h=,nab 求積節(jié)點(diǎn)取為求積節(jié)點(diǎn)取為xk=a+kh (k = 0,1,n),由此構(gòu)造插值型由此構(gòu)造插值型求積公式求積公式, 則其求積系數(shù)為則其求積系數(shù)為( )ddbbjkkaaj kkjxxAl x xxxx 引入變換引入變換 x = a + th, 則有則有00

21、( 1)d()d!()!n knnnnkj kj ktjbaAhttjtkjnk n k (k=0,1, n)(k=0,1, n)上頁上頁上頁上頁上頁上頁下頁下頁下頁下頁下頁下頁記記()0( 1)()d!()!n knnnkjkCtjtnknk (k=0,1,n)則則,)()(nkkCabA 于是得求積公式于是得求積公式)()(0)(knknknxfCabI 稱為稱為n 階牛頓階牛頓-柯特斯柯特斯 (Newton-Cotes)公式公式, 稱稱為為柯特斯系數(shù)柯特斯系數(shù)。)(nkC 顯然顯然, 柯特斯系數(shù)與被積函數(shù)柯特斯系數(shù)與被積函數(shù) f (x) 和積分區(qū)間和積分區(qū)間a,b無關(guān)無關(guān), 且為容易計(jì)算

22、的多項(xiàng)式積分且為容易計(jì)算的多項(xiàng)式積分.0( 1)()d!()!n knnkj kbaAtjtnknk 上頁上頁上頁上頁上頁上頁下頁下頁下頁下頁下頁下頁n11/21/221/64/61/631/83/83/81/847/9032/90 12/90 32/907/90519/28875/28850/28850/28875/28819/288641/840216/84027/840272/84027/840216/84041/840( )nkC常用的柯特斯系數(shù)表常用的柯特斯系數(shù)表上頁上頁上頁上頁上頁上頁下頁下頁下頁下頁下頁下頁 當(dāng)當(dāng)n=1時(shí)，時(shí)，柯特斯系數(shù)柯特斯系數(shù)為為這時(shí)的這時(shí)的牛頓牛頓- -柯特

23、斯公式柯特斯公式為一階求積公式，就是我們?yōu)橐浑A求積公式，就是我們所熟悉的所熟悉的梯形公式梯形公式，即，即).()(2bfafabT ,2121,21)1(21)1(10210)1(110210)1(0 ttdtCtdttC上頁上頁上頁上頁上頁上頁下頁下頁下頁下頁下頁下頁 當(dāng)當(dāng)n=2時(shí)，時(shí)，柯特斯系數(shù)柯特斯系數(shù)為為相應(yīng)的相應(yīng)的牛頓牛頓- -柯特斯公式柯特斯公式為二階求積公式，就是為二階求積公式，就是辛普辛普森森(simpson)公式公式(又稱為又稱為拋物形求積公式拋物形求積公式)，即，即,61)1(41,64)2(21,61)2)(1(4120)2(220)2(120)2(0 dtttCdttt

24、CdtttC).()2(4)(6bfbafafabS 上頁上頁上頁上頁上頁上頁下頁下頁下頁下頁下頁下頁)(7)(32)(12)(32)(79043210 xfxfxfxfxfabC 式中式中khaxk (k=0,1,2,3,4), h=(b- -a)/4. n = 4 時(shí)的時(shí)的牛頓牛頓- -柯特斯公式柯特斯公式就特別稱為就特別稱為柯特斯公柯特斯公式式. 其形式是其形式是 在在柯特斯系數(shù)表柯特斯系數(shù)表中中(見書見書p124)看到看到n 7時(shí)，時(shí)，柯特柯特斯系數(shù)斯系數(shù)出現(xiàn)負(fù)值，于是有出現(xiàn)負(fù)值，于是有, 1)(1100)(0)( ababAabCCnkknknknknk上頁上頁上頁上頁上頁上頁下頁下

25、頁下頁下頁下頁下頁.)()()()()()()()()()(0)(0)(0)(0)( abCabfxfCabfxfCabfxfCabfIfInknknkkknknkkknknkkknknn 特別地，假定特別地，假定,)(, 0)()( kkkknkfxffxfC且且則有則有這表明在這表明在b- -a1時(shí)，初始誤差將會(huì)引起計(jì)算結(jié)果誤差時(shí)，初始誤差將會(huì)引起計(jì)算結(jié)果誤差增大，即計(jì)算不穩(wěn)定，故增大，即計(jì)算不穩(wěn)定，故n 7的的牛頓牛頓- -柯特斯公式柯特斯公式是是不用的不用的.上頁上頁上頁上頁上頁上頁下頁下頁下頁下頁下頁下頁因?yàn)榕ｎD因?yàn)榕ｎD- -柯特斯公式對柯特斯公式對 f (x) = 1精確成立精確成

26、立, 即即 banknkCabx0)()(d1由此可得由此可得 nknkC0)(1( )( )00()()() ()nnnnkkkkkkkEbaCf xbaCf x ( )( )00nnnnkkkkkbaCbaC設(shè)設(shè) f (xk) 有誤差有誤差 k ,max0knk 則計(jì)算誤差為則計(jì)算誤差為另一種寫法：另一種寫法：上頁上頁上頁上頁上頁上頁下頁下頁下頁下頁下頁下頁( )( )00()()() ()nnnnkkkkkkkEbaCf xbaCf x ( )( )00nnnnkkkkkbaCbaC( )( )00|1nnnnkkkkCC|Eba 只要只要f (xk) 取得足夠精確取得足夠精確,初始數(shù)據(jù)

27、的誤差對計(jì)算結(jié)初始數(shù)據(jù)的誤差對計(jì)算結(jié)果影響不大果影響不大,方法是穩(wěn)定的。方法是穩(wěn)定的。當(dāng)當(dāng) 全為正時(shí)全為正時(shí) ,)(nkC從而從而上頁上頁上頁上頁上頁上頁下頁下頁下頁下頁下頁下頁( )( )00()()() ()nnnnkkkkkkkEbaCf xbaCf x ( )( )00nnnnkkkkkbaCbaC( )01nnkkC 當(dāng)當(dāng) 有正有負(fù)時(shí)有正有負(fù)時(shí) ,因?yàn)橐驗(yàn)?(nkC而而 可能會(huì)很大可能會(huì)很大, f (xk) 可以取得足夠精確可以取得足夠精確,但初始數(shù)據(jù)的誤差對計(jì)算結(jié)果影響會(huì)很大但初始數(shù)據(jù)的誤差對計(jì)算結(jié)果影響會(huì)很大,方法可方法可能是不穩(wěn)定的。能是不穩(wěn)定的。( )0|nnkkC 上頁上頁

28、上頁上頁上頁上頁下頁下頁下頁下頁下頁下頁4.2.2 偶數(shù)求積公式的代數(shù)精度偶數(shù)求積公式的代數(shù)精度 作為插值型求積公式，作為插值型求積公式，n階階牛頓牛頓- -柯特斯公式柯特斯公式至至少具有少具有n次代數(shù)精度次代數(shù)精度(推論推論1). 實(shí)際的代數(shù)精度能否進(jìn)實(shí)際的代數(shù)精度能否進(jìn)一步提高呢？一步提高呢？ 先看先看辛普森公式辛普森公式，它是二階，它是二階牛頓牛頓- -柯特斯公式柯特斯公式，因此至少具有二次代數(shù)精度因此至少具有二次代數(shù)精度. 進(jìn)一步用進(jìn)一步用f(x)=x3進(jìn)行檢進(jìn)行檢驗(yàn)，按驗(yàn)，按辛普森公式辛普森公式計(jì)算得計(jì)算得.246333 bbaaabS上頁上頁上頁上頁上頁上頁下頁下頁下頁下頁下頁下頁

29、.246333 bbaaabS另一方面，直接求積得另一方面，直接求積得.4443abdxxIba 這時(shí)有這時(shí)有S=I，即，即辛普森公式辛普森公式對不超過三次的多項(xiàng)式均對不超過三次的多項(xiàng)式均能精確成立，又容易驗(yàn)證它對能精確成立，又容易驗(yàn)證它對f(x)=x4通常是不精確通常是不精確的的(如取如取a=0,b=1進(jìn)行驗(yàn)證有，進(jìn)行驗(yàn)證有，S=3/8I=1/5)，因此，因此，辛普森公式辛普森公式實(shí)際上實(shí)際上具有三次代數(shù)精度具有三次代數(shù)精度. 一般地，我們可以證明下述論斷：一般地，我們可以證明下述論斷：上頁上頁上頁上頁上頁上頁下頁下頁下頁下頁下頁下頁 定理定理3 n 階牛頓階牛頓- -柯特斯公式的代數(shù)精度至

30、少為柯特斯公式的代數(shù)精度至少為 證明證明 由推論由推論1已知，無論已知，無論n為奇數(shù)或偶數(shù)，插值為奇數(shù)或偶數(shù)，插值型求積公式都至少具有型求積公式都至少具有n次代數(shù)精度次代數(shù)精度. 因此我們證明因此我們證明n為偶數(shù)的情形，即對為偶數(shù)的情形，即對n+1次多項(xiàng)式余項(xiàng)為零次多項(xiàng)式余項(xiàng)為零. 令令n=2k，設(shè)設(shè) 101)(nkkknxaxq為任一為任一n+1次多項(xiàng)式，其最高次系數(shù)為次多項(xiàng)式，其最高次系數(shù)為an+1，則它的，則它的n+1階導(dǎo)數(shù)為階導(dǎo)數(shù)為)!1()(1)1(1 naxqnnn 為奇數(shù)為奇數(shù)當(dāng)當(dāng)為偶數(shù)為偶數(shù)當(dāng)當(dāng)nnnnm., 1上頁上頁上頁上頁上頁上頁下頁下頁下頁下頁下頁下頁由余項(xiàng)公式由余項(xiàng)公

31、式.)()!1()()()!1()()1(0)1(dxxnfdxxxnffRbannkkban (1)111012210R( )( )()()()(1)!(1)(2)()nbbnnnnaaknnqqxx dxaxxxxxx dxnaht tttn dt有有這里變換為這里變換為x=a+th，注意，注意xj=a+jh.下面我們證明下面我們證明20(1)(2)()0kt tttn dt上頁上頁上頁上頁上頁上頁下頁下頁下頁下頁下頁下頁作變換作變換u=t- -k，則，則20(1)(2)()0kt tttn dt20(1)(1)()(1)(21)(2 )()(1)(1) (1)(1)()kkkt ttkt

32、ktktktk dtukukuu uukuk du( )()(1)(1) (1)(1)()uuk ukuu uukuk 記容易驗(yàn)證容易驗(yàn)證(u)為奇函數(shù)，即為奇函數(shù)，即(- -u)=- -(u)，而奇函，而奇函數(shù)在對稱區(qū)間上的積分為零，所以數(shù)在對稱區(qū)間上的積分為零，所以. 0)(1證證畢畢 xqRn上頁上頁上頁上頁上頁上頁下頁下頁下頁下頁下頁下頁 定理定理3說明，當(dāng)說明，當(dāng)n為偶數(shù)時(shí)，牛頓為偶數(shù)時(shí)，牛頓-柯特斯公式柯特斯公式對不超過對不超過n+1次的多項(xiàng)式均能精確成立，因此，其次的多項(xiàng)式均能精確成立，因此，其代數(shù)精度可達(dá)到代數(shù)精度可達(dá)到n+1.正是基于這種考慮，當(dāng)正是基于這種考慮，當(dāng)n=2k與

33、與n=2k+1時(shí)具有相同的代數(shù)精度，因而在實(shí)用中常時(shí)具有相同的代數(shù)精度，因而在實(shí)用中常采用采用n為偶數(shù)的牛頓為偶數(shù)的牛頓-柯特斯公式，如拋物形公式柯特斯公式，如拋物形公式(n=2)等等.上頁上頁上頁上頁上頁上頁下頁下頁下頁下頁下頁下頁4.2.3 幾種低階求積公式的余項(xiàng)幾種低階求積公式的余項(xiàng) 首先考察梯形公式，設(shè)首先考察梯形公式，設(shè) f(x) C2a,b ，按余項(xiàng)公，按余項(xiàng)公式有式有.,)(12)(3baabf ,)(2)()( baTdxbxaxfTIfR 這里函數(shù)這里函數(shù)(x- -a)(x- -b)在區(qū)間在區(qū)間a,b上保號上保號(非正非正)，應(yīng)用，應(yīng)用積分中值定理，在積分中值定理，在a, b

34、內(nèi)至少存在一點(diǎn)內(nèi)至少存在一點(diǎn) ，得，得梯形公梯形公式余項(xiàng)式余項(xiàng)為為 baTdxbxaxffR)(2)()( 上頁上頁上頁上頁上頁上頁下頁下頁下頁下頁下頁下頁 再研究公式辛普森公式的余項(xiàng)再研究公式辛普森公式的余項(xiàng)R=I- -S，為此構(gòu)造，為此構(gòu)造次數(shù)不超過次數(shù)不超過3的多項(xiàng)式的多項(xiàng)式H(x)，使?jié)M足，使?jié)M足);()(),()(bfbHafaH 這里這里c=(a+b)/2. 由于辛普森公式具有三次代數(shù)精度由于辛普森公式具有三次代數(shù)精度,它對于這樣構(gòu)造出的三次多項(xiàng)式是精確成立的，即它對于這樣構(gòu)造出的三次多項(xiàng)式是精確成立的，即).()(),()(cfcHcfcH ).()(4)(6)(bHcHaHab

35、dxxHSba 而利用插值條件知，上式右端實(shí)際上等于按辛普森而利用插值條件知，上式右端實(shí)際上等于按辛普森公式求得的積分值公式求得的積分值S，因此積分余項(xiàng)為，因此積分余項(xiàng)為上頁上頁上頁上頁上頁上頁下頁下頁下頁下頁下頁下頁 .)()( baSdxxHxfSIR這里這里(x- -a) (x- -c)2(x- -b)在區(qū)間在區(qū)間a,b上保號上保號(非正非正)，應(yīng)用，應(yīng)用積分中值定理，得積分中值定理，得辛普森公式余項(xiàng)辛普森公式余項(xiàng)為為 對于插值多項(xiàng)式對于插值多項(xiàng)式H(x)，設(shè)，設(shè) f(x) C4a,b ，由插值，由插值余項(xiàng)表達(dá)式得余項(xiàng)表達(dá)式得).()(! 4)()()(2)4(bxcxaxfxHxf .

36、)()(! 4)(2)4( baSdxbxcxaxfR 就有就有上頁上頁上頁上頁上頁上頁下頁下頁下頁下頁下頁下頁 關(guān)于柯特斯公式的積分余項(xiàng)，這里不再具體推關(guān)于柯特斯公式的積分余項(xiàng)，這里不再具體推導(dǎo)，僅給出結(jié)果如下導(dǎo)，僅給出結(jié)果如下.)()(! 4)(2)4( baSdxbxcxaxfR .,),()2(180)()4(4bafabab (6)62()( )()( ), , 9454CbabaRfICa bf 若若 f(x) C6a, b，則，則柯特斯公式余項(xiàng)柯特斯公式余項(xiàng)為為上頁上頁上頁上頁上頁上頁下頁下頁下頁下頁下頁下頁 解解 ：由梯形公式得由梯形公式得2210.6110.247058821

37、0.611IT 由辛普森公式得由辛普森公式得2221 0.611140.244954661 0.61 0.81 1IS 例題例題 分別用梯形公式、辛普森公式和柯特斯公分別用梯形公式、辛普森公式和柯特斯公式計(jì)算積分式計(jì)算積分120.61d1Ixx 上頁上頁上頁上頁上頁上頁下頁下頁下頁下頁下頁下頁由柯特斯公式得由柯特斯公式得8 . 011127 . 011326 . 0117906 . 01222 CI22113270.244978710.911積分的精確值積分的精確值24497866. 0arctand116 . 0116 . 02 xxxI上頁上頁上頁上頁上頁上頁下頁下頁下頁下頁下頁下頁4.3

38、 復(fù)化求積公式復(fù)化求積公式 從求積公式的余項(xiàng)的討論中我們看到，被積函數(shù)從求積公式的余項(xiàng)的討論中我們看到，被積函數(shù)所用的插值多項(xiàng)式次數(shù)越高，對函數(shù)光滑性的要求也所用的插值多項(xiàng)式次數(shù)越高，對函數(shù)光滑性的要求也越高越高.另一方面，插值節(jié)點(diǎn)的增多另一方面，插值節(jié)點(diǎn)的增多(n的增大的增大)，在使用，在使用牛頓牛頓-柯特斯公式時(shí)將導(dǎo)致求積系數(shù)出現(xiàn)負(fù)數(shù)柯特斯公式時(shí)將導(dǎo)致求積系數(shù)出現(xiàn)負(fù)數(shù)(當(dāng)當(dāng)n8時(shí)時(shí), 牛頓牛頓- -柯特斯求積系數(shù)會(huì)出現(xiàn)負(fù)數(shù)柯特斯求積系數(shù)會(huì)出現(xiàn)負(fù)數(shù))，即牛頓，即牛頓- -柯特柯特斯公式是不穩(wěn)定的，不可能通過提高階的方法來提高斯公式是不穩(wěn)定的，不可能通過提高階的方法來提高求積精度求積精度. .

39、上頁上頁上頁上頁上頁上頁下頁下頁下頁下頁下頁下頁 為了提高精度，通常在實(shí)際應(yīng)用中往往采用為了提高精度，通常在實(shí)際應(yīng)用中往往采用將積將積分區(qū)間劃分成若干個(gè)小區(qū)間，在各小區(qū)間上采用低次分區(qū)間劃分成若干個(gè)小區(qū)間，在各小區(qū)間上采用低次的求積公式的求積公式(梯形公式或拋物形公式梯形公式或拋物形公式)，然后再利用積，然后再利用積分的可加性，把各區(qū)間上的積分加起來，便得到新的分的可加性，把各區(qū)間上的積分加起來，便得到新的求積公式，這就是復(fù)化求積公式的基本思想求積公式，這就是復(fù)化求積公式的基本思想. 為敘述為敘述方便，我們僅討論各小區(qū)間均采用同一低次的求積公方便，我們僅討論各小區(qū)間均采用同一低次的求積公式的復(fù)

40、化求積公式式的復(fù)化求積公式對各小區(qū)間也可分別采用不同的對各小區(qū)間也可分別采用不同的求積公式，也可推出新的求積公式，讀者可按實(shí)際問求積公式，也可推出新的求積公式，讀者可按實(shí)際問題的具體情況討論題的具體情況討論.上頁上頁上頁上頁上頁上頁下頁下頁下頁下頁下頁下頁 將積分區(qū)間將積分區(qū)間a, bn等分等分, 步長步長nabh xk=a+kh (k=0,1,n) , 則由定積分性質(zhì)知?jiǎng)t由定積分性質(zhì)知110( )d( )dkknbxaxkIf xxf xx , 分點(diǎn)為分點(diǎn)為每個(gè)子區(qū)間每個(gè)子區(qū)間上的積分上的積分用用低階求積公式低階求積公式, 然后把所有區(qū)間的然后把所有區(qū)間的計(jì)算結(jié)果求和計(jì)算結(jié)果求和,就得到整個(gè)

41、區(qū)間上積分就得到整個(gè)區(qū)間上積分I的近似值。的近似值。1( )dkkxxf xx 所用方法所用方法:上頁上頁上頁上頁上頁上頁下頁下頁下頁下頁下頁下頁4.3.1 復(fù)化梯形公式復(fù)化梯形公式110( )d( )dkknbxaxkIf xxf xx 每個(gè)子區(qū)間每個(gè)子區(qū)間xk, xk+1上的積分用上的積分用梯形公式梯形公式, 得得11( )d ()()2kkxkkxhf xxf xf x 111100( )d ()()2kknnxkkxkkhIf xxf xf x 將積分區(qū)間將積分區(qū)間a, b劃分為劃分為n等分等分, 則則上頁上頁上頁上頁上頁上頁下頁下頁下頁下頁下頁下頁 若若 f(x) C2a,b, 其其

42、求積余項(xiàng)求積余項(xiàng)Rn(f )為為(p128)321100()()1212nnnkkkkbahhITffn 11 ( )2()( )2nnkkhTf af xf b 11101 ()() ( ) 2()( )22nnkkkkkhhIf xf xf af xf b 稱為稱為復(fù)化梯形公式復(fù)化梯形公式. 記記 )( fRn.,),(12)(2nabhbafhabfRn 上頁上頁上頁上頁上頁上頁下頁下頁下頁下頁下頁下頁當(dāng)當(dāng)n時(shí)，上式右端括號內(nèi)的兩個(gè)和式均收斂到函時(shí)，上式右端括號內(nèi)的兩個(gè)和式均收斂到函數(shù)的積分，所以復(fù)化梯形公式收斂數(shù)的積分，所以復(fù)化梯形公式收斂. 此外，此外，Tn的求積的求積系數(shù)均為正，由

43、定理系數(shù)均為正，由定理2知復(fù)化梯形公式是穩(wěn)定的知復(fù)化梯形公式是穩(wěn)定的.)(lim banndxxfT 可以看出誤差是可以看出誤差是h2階，且由誤差公式得到，當(dāng)階，且由誤差公式得到，當(dāng)f(x) C2a, b 時(shí)，則有時(shí)，則有即復(fù)化梯形公式是收斂的即復(fù)化梯形公式是收斂的. 事實(shí)上只要事實(shí)上只要f(x) Ca, b, 則可得到收斂些，因?yàn)橹灰褎t可得到收斂些，因?yàn)橹灰裈n改寫為改寫為.)()(21110 nkknkknxfnabxfnabT上頁上頁上頁上頁上頁上頁下頁下頁下頁下頁下頁下頁4.3.2 復(fù)化辛普森公式復(fù)化辛普森公式22210( )d( )dkknbxaxkIf xxf xx 每個(gè)子區(qū)間

44、每個(gè)子區(qū)間x2k, x2k+2上的積分用上的積分用辛普森公式辛普森公式, 得得222221222( )d ()4 ()()6kkxkkkxhf xxf xf xf x 將積分區(qū)間將積分區(qū)間a, b 劃分為劃分為2n等分等分, 則則122122012212202 ()4 ()()6 ()4 ()()3nkkkknkkkkhIf xf xf xhf xf xf x 上頁上頁上頁上頁上頁上頁下頁下頁下頁下頁下頁下頁稱為稱為復(fù)化辛普森公式復(fù)化辛普森公式. 記記1122110 ( )2()4()( )3nnnkkkkhSf af xf xf b 2bahn 1221220 ()4 ()()3nkkkkh

45、If xf xf x 若若 f(x) C 4a,b, 其其求積余項(xiàng)求積余項(xiàng)為為54(4)(4)42()()( )( )18022880nbahbaISffn 1122110 ( )2()4()( )3nnkkkkhf af xf xf b )( fRn上頁上頁上頁上頁上頁上頁下頁下頁下頁下頁下頁下頁 例例1 對于函數(shù)對于函數(shù)f(x)=sinx/x，給出，給出n=8的函數(shù)表，的函數(shù)表，試用復(fù)化梯形公式和復(fù)化辛普森公式試用復(fù)化梯形公式和復(fù)化辛普森公式 計(jì)算積分計(jì)算積分 10.sindxxxIxf(x)01/81/43/81/25/83/47/8110.99739780.98961580.97672

46、670.95885100.93615560.90885160.87719250.8414709 解解 將積分區(qū)間將積分區(qū)間0,1劃分為劃分為8等分，用復(fù)化梯形公式求得等分，用復(fù)化梯形公式求得.9456909. 08 T而將積分區(qū)間而將積分區(qū)間0, 1劃分為劃分為24等等分，用復(fù)化辛普森公式求得分，用復(fù)化辛普森公式求得.9460832. 04 S上頁上頁上頁上頁上頁上頁下頁下頁下頁下頁下頁下頁 比較上面兩個(gè)計(jì)算結(jié)果比較上面兩個(gè)計(jì)算結(jié)果T8與與S4，它們都需要提供，它們都需要提供9個(gè)點(diǎn)上的函數(shù)值，然而精度卻差別很大，同積分準(zhǔn)個(gè)點(diǎn)上的函數(shù)值，然而精度卻差別很大，同積分準(zhǔn)確值確值I=0.9460831

47、比較，應(yīng)用復(fù)化梯形公式計(jì)算的結(jié)比較，應(yīng)用復(fù)化梯形公式計(jì)算的結(jié)果果T8=0.9456909只有只有2位有效數(shù)字，而應(yīng)用復(fù)化辛普位有效數(shù)字，而應(yīng)用復(fù)化辛普森公式計(jì)算的結(jié)果森公式計(jì)算的結(jié)果S4= 0.9460832卻有卻有6位有效數(shù)字位有效數(shù)字. 為了利用余項(xiàng)公式估計(jì)誤差，要求為了利用余項(xiàng)公式估計(jì)誤差，要求f(x)=sinx/x的的高階導(dǎo)數(shù)，由于高階導(dǎo)數(shù)，由于.)cos(sin)(10 dtxtxxxf所以有所以有.2cos)cos()(1010)( dtkxttdtxtdxdxfkkkk 上頁上頁上頁上頁上頁上頁下頁下頁下頁下頁下頁下頁于是于是.112cos)(max10)(10 kdtkxttx

48、fkkx 復(fù)化梯形公式誤差復(fù)化梯形公式誤差為為.000434. 03181121)(max12)(210288 xfhTIfRx復(fù)化辛普森公式誤差復(fù)化辛普森公式誤差為為.10271. 0514128801)(6444 SIfR上頁上頁上頁上頁上頁上頁下頁下頁下頁下頁下頁下頁 例例2 利用復(fù)利用復(fù)化梯形公式化梯形公式計(jì)算計(jì)算 使其誤使其誤差限為差限為10-4，應(yīng)將區(qū)間，應(yīng)將區(qū)間0, 1幾等分幾等分?,sin10 dxxxI 解解 利用例利用例1的結(jié)果的結(jié)果222410111()10.12122136nR Thfhh 取取n=17可滿足要求可滿足要求.67.1610611,10622 hnh由由復(fù)

49、化梯形公式的余項(xiàng)得復(fù)化梯形公式的余項(xiàng)得.11)(max)(10 kxfkx上頁上頁上頁上頁上頁上頁下頁下頁下頁下頁下頁下頁 例例3 利用利用復(fù)化辛普森公式復(fù)化辛普森公式計(jì)算計(jì)算 使其使其誤差限為誤差限為10-4，應(yīng)將區(qū)間，應(yīng)將區(qū)間0, 1幾等分幾等分?,sin10 dxxxI由由復(fù)化辛普森公式的余項(xiàng)得復(fù)化辛普森公式的余項(xiàng)得4(4)244410( 41900mR Sh fhh 13010,101021.83.30hnmh因此只需將區(qū)間因此只需將區(qū)間0, 1二等分，即取二等分，即取m=1(n=2). 解解 利用例利用例1的結(jié)果的結(jié)果.11)(max)(10 kxfkx上頁

50、上頁上頁上頁上頁上頁下頁下頁下頁下頁下頁下頁 前面用復(fù)化梯形公式計(jì)算此題，滿足相同的精度前面用復(fù)化梯形公式計(jì)算此題，滿足相同的精度需要將區(qū)間需要將區(qū)間0, 1劃分劃分17等分，可見復(fù)化辛普森公式的等分，可見復(fù)化辛普森公式的精度的確比復(fù)化梯形公式精度高同樣也可用精度的確比復(fù)化梯形公式精度高同樣也可用| S4m- -S2m |來控制計(jì)算的精度來控制計(jì)算的精度. 這就是下面要介紹的這就是下面要介紹的龍貝格求積龍貝格求積公式公式.上頁上頁上頁上頁上頁上頁下頁下頁下頁下頁下頁下頁4.4 龍貝格求積公式龍貝格求積公式4.4.1 梯形法的遞推化梯形法的遞推化 上節(jié)介紹的復(fù)化求積方法可提高求積精度，實(shí)上節(jié)介紹

51、的復(fù)化求積方法可提高求積精度，實(shí)際計(jì)算時(shí)若精度不夠可將步長逐次分半際計(jì)算時(shí)若精度不夠可將步長逐次分半. 設(shè)將區(qū)間設(shè)將區(qū)間 a, b分為分為n等分，共有等分，共有n+1個(gè)分點(diǎn)，如果將求積區(qū)間個(gè)分點(diǎn)，如果將求積區(qū)間再分一次，則分點(diǎn)增至再分一次，則分點(diǎn)增至2n+1個(gè)，我們將二分前后兩個(gè)，我們將二分前后兩個(gè)積分值聯(lián)系起來加以考慮個(gè)積分值聯(lián)系起來加以考慮. 并注意到每個(gè)子區(qū)間并注意到每個(gè)子區(qū)間xk, xk+1經(jīng)過二分只增加了一個(gè)分點(diǎn)經(jīng)過二分只增加了一個(gè)分點(diǎn))(/12121kkkxxx上頁上頁上頁上頁上頁上頁下頁下頁下頁下頁下頁下頁 設(shè)設(shè)hn=(b a)/n, xk=a+khn (k=0,1,n),在在x

52、k, xk+1上用梯形公式得上用梯形公式得 )()(211 kknxfxfhT在在xk, xk+1上用復(fù)化梯形公式得上用復(fù)化梯形公式得)2/ )()()(2)(22/12/112/12 kkkkkknxxxxfxfxfhT所以所以)(2212/112 knxfhTT上頁上頁上頁上頁上頁上頁下頁下頁下頁下頁下頁下頁從從0到到n 1對對k累加求和得累加求和得 )(2212/112 knxfhTT121/201()22nnnnkkhTTf x 這就是這就是遞推的復(fù)化梯形公式遞推的復(fù)化梯形公式. 從這一公式可以看出，將區(qū)間對分后，原復(fù)化從這一公式可以看出，將區(qū)間對分后，原復(fù)化梯形公式的值梯形公式的值T

53、n作為一個(gè)整體保留作為一個(gè)整體保留. 只需計(jì)算出新只需計(jì)算出新分點(diǎn)的函數(shù)值，便可得出對分后的積分值，不需重分點(diǎn)的函數(shù)值，便可得出對分后的積分值，不需重復(fù)計(jì)算原節(jié)點(diǎn)的函數(shù)值，從而減少了計(jì)算量復(fù)計(jì)算原節(jié)點(diǎn)的函數(shù)值，從而減少了計(jì)算量. 參見書參見書p132-例例2題題. 上頁上頁上頁上頁上頁上頁下頁下頁下頁下頁下頁下頁4.4.2 龍貝格算法龍貝格算法 梯形法計(jì)算簡單但收斂慢，如何提高收斂速度梯形法計(jì)算簡單但收斂慢，如何提高收斂速度以節(jié)省計(jì)算量是本節(jié)要討論的中心問題以節(jié)省計(jì)算量是本節(jié)要討論的中心問題. 根據(jù)復(fù)化根據(jù)復(fù)化梯形公式的余項(xiàng)式表達(dá)式可知梯形公式的余項(xiàng)式表達(dá)式可知)()2(12)(1222122

54、 fhabfhabTITInn 設(shè)設(shè)f (x)在在a, b上變化不太大上變化不太大f (1) f (2), 則得則得 , 42 nnTITI221()3nnnITTT上頁上頁上頁上頁上頁上頁下頁下頁下頁下頁下頁下頁 由此可見，只有二分前后的兩個(gè)積分值由此可見，只有二分前后的兩個(gè)積分值Tn與與T2n相當(dāng)接近，就可以保證計(jì)算結(jié)果相當(dāng)接近，就可以保證計(jì)算結(jié)果T2n的誤差很小的誤差很小. 這這樣直接用計(jì)算結(jié)果來估計(jì)誤差的方法通常稱作樣直接用計(jì)算結(jié)果來估計(jì)誤差的方法通常稱作誤差誤差的事后估計(jì)法的事后估計(jì)法，上面就是復(fù)化梯形法的，上面就是復(fù)化梯形法的事后誤差估事后誤差估計(jì)式計(jì)式. 由由 可知積分近似值可知

55、積分近似值T2n的誤差的誤差大致等于大致等于 ，因此如果用這個(gè)誤差值作為，因此如果用這個(gè)誤差值作為T2n的一種補(bǔ)償，可以期望，所得到的的一種補(bǔ)償，可以期望，所得到的)(3122nnnTTTI )(312nnTT .3134)(31222nnnnnTTTTTT 可能有更好的結(jié)果可能有更好的結(jié)果.上頁上頁上頁上頁上頁上頁下頁下頁下頁下頁下頁下頁 由書例由書例2，所求得的兩個(gè)梯形值，所求得的兩個(gè)梯形值T4=0.9445135和和T8=0.9456909的精度都很差的精度都很差(與準(zhǔn)確值與準(zhǔn)確值I=0.9460831比比較，只有兩、三位有效數(shù)字較，只有兩、三位有效數(shù)字)，但如果將它們按上式，但如果將它

56、們按上式做線性組合，則新的近似值做線性組合，則新的近似值.9460833. 031342 nnTTT卻有卻有6位有效數(shù)字位有效數(shù)字.24133nnnSTT 可以直接驗(yàn)證可以直接驗(yàn)證就是就是復(fù)化辛普森積分公式復(fù)化辛普森積分公式. Sn的精度為的精度為O(h4).上頁上頁上頁上頁上頁上頁下頁下頁下頁下頁下頁下頁 這就是說，用復(fù)化梯形法二分前后的兩個(gè)積分這就是說，用復(fù)化梯形法二分前后的兩個(gè)積分值值Tn與與T2n ，按上式做線性組合，結(jié)果得到了，按上式做線性組合，結(jié)果得到了復(fù)化辛復(fù)化辛普森積分公式普森積分公式.則則 同理由辛普森法，用二分前后的兩個(gè)積分值同理由辛普森法，用二分前后的兩個(gè)積分值Sn與與S

57、2n，由誤差公式即有，由誤差公式即有162nnSISInnnnnSSSSSI1511516151222)( 不難直接驗(yàn)證就是不難直接驗(yàn)證就是復(fù)化柯特斯積分公式復(fù)化柯特斯積分公式. Cn的精的精度為度為O(h6).15115162nnnSSC 上頁上頁上頁上頁上頁上頁下頁下頁下頁下頁下頁下頁則則 同理由同理由柯特斯柯特斯法，用二分前后的兩個(gè)積分值法，用二分前后的兩個(gè)積分值Cn與與C2n，由誤差公式即有，由誤差公式即有642 nnCICInnnnnCCCCCI6316364)(631222 nnnCCR63163642 這就是這就是復(fù)化龍貝格積分公式復(fù)化龍貝格積分公式. Rn的精度為的精度為O(h

58、8).上頁上頁上頁上頁上頁上頁下頁下頁下頁下頁下頁下頁 一般我們將這種一般我們將這種龍貝格算法龍貝格算法做成表格做成表格 我們在變步長的過程中運(yùn)用了三個(gè)公式，就能我們在變步長的過程中運(yùn)用了三個(gè)公式，就能將將粗糙的梯形值粗糙的梯形值Tn 逐步加工成逐步加工成精度較高的辛普森值精度較高的辛普森值Sn、柯特斯值柯特斯值Cn和和龍貝格值龍貝格值Rn.T1T2S1T4S2C1T8S4C2R1T16S8C4R2 見書見書p135例題例題3. 上頁上頁上頁上頁上頁上頁下頁下頁下頁下頁下頁下頁例例4 利用龍貝格方法計(jì)算利用龍貝格方法計(jì)算i2iT序列序列S序列序列C序列序列R序列序列013.00000123.1

59、0000 3.13333243.13118 3.14157 3.14212383.13899 3.14159 3.14159 3.141594163.14094 3.14159 3.14159 3.14159這一結(jié)果與這一結(jié)果與I=相比較已有較好的精度相比較已有較好的精度.解解 計(jì)算結(jié)果列如下表計(jì)算結(jié)果列如下表:.14102dxxI 上頁上頁上頁上頁上頁上頁下頁下頁下頁下頁下頁下頁4.4.3 理查森外推加速法理查森外推加速法.,),(12)(2nabhbafhabTIfRnn 上面討論說明由上面討論說明由梯形公式梯形公式出發(fā)，將區(qū)間出發(fā)，將區(qū)間a, b逐逐次二分可提高求積公式的精度，上述加速過

60、程還可次二分可提高求積公式的精度，上述加速過程還可繼續(xù)下去，其理論依據(jù)是繼續(xù)下去，其理論依據(jù)是梯形公式的余項(xiàng)梯形公式的余項(xiàng)展開，設(shè)展開，設(shè)若記若記Tn=T(h)，當(dāng)區(qū)間，當(dāng)區(qū)間a, b劃分為劃分為2n等分時(shí)，則有等分時(shí)，則有).2(2hTTn 并且有并且有.)0()(lim),(12)(02IThTfhabIhTh 可以證明梯形公式余項(xiàng)可展開成級數(shù)形式，即可以證明梯形公式余項(xiàng)可展開成級數(shù)形式，即上頁上頁上頁上頁上頁上頁下頁下頁下頁下頁下頁下頁 定理定理4 設(shè)設(shè)f(x) Ca, b，則有，則有式中式中I為積分值，系數(shù)為積分值，系數(shù) k與與h 無關(guān)無關(guān).誤差量級為誤差量級為O(h2).,)(263