振動學(xué)課件1-caoliying2014

1、機(jī)械動力學(xué)導(dǎo)論機(jī)械動力學(xué)導(dǎo)論授課教師：曹麗英授課教師：曹麗英 副教授副教授內(nèi)蒙古科技大學(xué)機(jī)械工程學(xué)院內(nèi)蒙古科技大學(xué)機(jī)械工程學(xué)院2014-2015（1）1.2 涉及面廣涉及面廣 涉及到的研究對象很多，是解決現(xiàn)場問題的基礎(chǔ)。涉及到的研究對象很多，是解決現(xiàn)場問題的基礎(chǔ)。 與其說是振動學(xué)、動力學(xué)，不如說是數(shù)學(xué)、力學(xué)。與其說是振動學(xué)、動力學(xué)，不如說是數(shù)學(xué)、力學(xué)。 涵蓋的內(nèi)容較多涵蓋的內(nèi)容較多 振動學(xué)方面的研究資料很多：期刊、專注、研究論文振動學(xué)方面的研究資料很多：期刊、專注、研究論文等。而我們只能把握重點(diǎn)，突出介紹一些基本方法、等。而我們只能把握重點(diǎn)，突出介紹一些基本方法、基本問題，內(nèi)容以機(jī)械振動為主。

2、基本問題，內(nèi)容以機(jī)械振動為主。 選修課，32學(xué)時，2學(xué)分1.1 理論性強(qiáng)理論性強(qiáng) 屬于力學(xué)范疇，涉及到數(shù)學(xué)、物理、理論力學(xué)、材料力學(xué)屬于力學(xué)范疇，涉及到數(shù)學(xué)、物理、理論力學(xué)、材料力學(xué)等學(xué)科；等學(xué)科； 例如：設(shè)計(jì)機(jī)器例如：設(shè)計(jì)機(jī)器須知工作臨界轉(zhuǎn)速，某些零件固有頻須知工作臨界轉(zhuǎn)速，某些零件固有頻率等。率等。1 本課程的特點(diǎn)第一章第一章 緒緒 論論 振動概念（vibration）物體經(jīng)過它的靜平衡位置所做的往復(fù)運(yùn)動?；蛘哒f某一物理量在其平衡位置或平衡值附近來回的變動。 振動首先是一種運(yùn)動。比如：地殼的運(yùn)動、交流電、電磁波、潮水的漲落等。2 機(jī)械振動的研究對象和分類2.1 2.1 研究對象研究對象“振

3、動系統(tǒng)振動系統(tǒng)”第一章第一章 緒緒 論論 系統(tǒng)的定義：系統(tǒng)的定義： 由若干個元素構(gòu)成的有機(jī)組合，個元素間存在著相互作用、互相影響的關(guān)系。 機(jī)械系統(tǒng)的定義：機(jī)械系統(tǒng)的定義： 由若干個機(jī)械元件組成的系統(tǒng)。具體的講，是由運(yùn)動副連接的一些構(gòu)件所組成的能完成一定運(yùn)動的機(jī)械裝置。第一章第一章 緒緒 論論2.2 2.2 機(jī)械系統(tǒng)研究內(nèi)容機(jī)械系統(tǒng)研究內(nèi)容 系統(tǒng)（系統(tǒng)（S） 輸入（X） 輸出（Y）激勵響應(yīng)響應(yīng)第一章第一章 緒緒 論論系統(tǒng)的研究內(nèi)容包括三個方面：系統(tǒng)的研究內(nèi)容包括三個方面：已知系統(tǒng)的輸入（X）和系統(tǒng)（S）,求輸出(Y)系統(tǒng)的動力響應(yīng)分析，或叫動態(tài)分析。已知系統(tǒng)的輸入（X）和輸出(Y)，求系統(tǒng)（S）

4、系統(tǒng)設(shè)計(jì)；系統(tǒng)識別或系統(tǒng)辨識。已知系統(tǒng)的系統(tǒng)（S）和輸出(Y)，求輸入（X）環(huán)境預(yù)測。 自由振動：給圖中質(zhì)量塊一個激勵，給一個初始位移后，質(zhì)量塊就開始振下去。 強(qiáng)迫振動：用一個電機(jī)作元件，給系統(tǒng)一個持續(xù)激勵，系統(tǒng)會在電機(jī)的強(qiáng)制激勵下振動。 自激振動：揚(yáng)聲器的鳴叫聲。3 3 機(jī)械振動的分類機(jī)械振動的分類3.1 3.1 按輸入分按輸入分mk第一章第一章 緒緒 論論 簡諧振動：符合正弦（預(yù)選）規(guī)律的振動。 周期振動：x（t）x（t+kT）， 瞬態(tài)振動：風(fēng)鈴隨風(fēng)而動；地震 隨機(jī)振動：不能用當(dāng)前的現(xiàn)象預(yù)測未來，但是符合統(tǒng)計(jì)學(xué)規(guī)律，可以用統(tǒng)計(jì)的方法來研究。如，煙的運(yùn)動；紅旗的飄動。3.2 3.2 按輸出分

5、按輸出分第一章第一章 緒緒 論論 自由度：用來描述一個物體確定運(yùn)動的獨(dú)立坐標(biāo)。 單自由度系統(tǒng)： 多自由度系統(tǒng)： 可以是兩個、三個甚至是n個自由度系統(tǒng)，n個獨(dú)立坐標(biāo)，n維空間。 連續(xù)系統(tǒng)：用偏微分方程描述3.3 3.3 按自由度劃分按自由度劃分 ),.,(vdxtHH可用微分方程描述第一章第一章 緒緒 論論 線性振動 非線性振動:二階常系數(shù)線性齊次）(0kxxm 3.4 3.4 按微分方程分按微分方程分單擺振動方程）(0sinxkxm 第一章第一章 緒緒 論論4 4 主要參考文獻(xiàn)主要參考文獻(xiàn) 書書+期刊期刊書：張策、張維平、邵韌平、聞邦春、書：張策、張維平、邵韌平、聞邦春、 李有堂、張義民等李有

6、堂、張義民等期刊：期刊：噪聲與振動噪聲與振動 （sound and vibration）第一章第一章 緒緒 論論2.1 一些基本概念、無阻尼單自由度振動系統(tǒng)一些基本概念、無阻尼單自由度振動系統(tǒng) 2.3 有線性阻尼有線性阻尼自由振動自由振動2.4 簡諧激勵力作用下簡諧激勵力作用下的的強(qiáng)迫振動強(qiáng)迫振動 2.8 隔振原理隔振原理2.5 周期激勵下的響應(yīng)周期激勵下的響應(yīng)2.6 任意激勵下的響應(yīng)任意激勵下的響應(yīng)2.7 簡諧力的功和等效阻尼簡諧力的功和等效阻尼2.2 固有頻率的計(jì)算固有頻率的計(jì)算 當(dāng)物體沿當(dāng)物體沿x x軸作直線運(yùn)動時，慣性的大小可用質(zhì)量來表軸作直線運(yùn)動時，慣性的大小可用質(zhì)量來表示。根據(jù)牛頓

7、第二定律，作用在物體上的外力示。根據(jù)牛頓第二定律，作用在物體上的外力F F，物體由此，物體由此產(chǎn)生的加速度和物體質(zhì)量產(chǎn)生的加速度和物體質(zhì)量m m之間有下述關(guān)系：之間有下述關(guān)系：) 1-(122dtxdmF 構(gòu)成機(jī)械振動系統(tǒng)的基本元素有慣性、恢復(fù)性和阻尼。構(gòu)成機(jī)械振動系統(tǒng)的基本元素有慣性、恢復(fù)性和阻尼。慣性就是能使物體當(dāng)前運(yùn)動持續(xù)下去的性質(zhì)?；謴?fù)性就是能慣性就是能使物體當(dāng)前運(yùn)動持續(xù)下去的性質(zhì)?；謴?fù)性就是能使物體位置恢復(fù)到平衡狀態(tài)的性質(zhì)。阻尼就是阻礙物體運(yùn)動使物體位置恢復(fù)到平衡狀態(tài)的性質(zhì)。阻尼就是阻礙物體運(yùn)動的性質(zhì)。從能量的角度看，慣性是保持動能的元素，恢復(fù)性的性質(zhì)。從能量的角度看，慣性是保持動能

8、的元素，恢復(fù)性是貯存勢能的元素，阻尼是使能量散逸的元素。是貯存勢能的元素，阻尼是使能量散逸的元素。構(gòu)成機(jī)械振動系統(tǒng)的基本元素構(gòu)成機(jī)械振動系統(tǒng)的基本元素質(zhì)量的單位為質(zhì)量的單位為kgkg。阻尼力阻尼力Fd反映阻尼的強(qiáng)弱，通常是速度反映阻尼的強(qiáng)弱，通常是速度x的函數(shù)，阻尼力的函數(shù)，阻尼力可表示為可表示為 這種阻尼稱為粘性阻尼。比例常數(shù)這種阻尼稱為粘性阻尼。比例常數(shù)c稱為粘性阻尼系稱為粘性阻尼系數(shù)，單位數(shù)，單位N.s/m。 )31 ( xcFd 典型恢復(fù)性元件是彈簧，彈簧產(chǎn)生的恢復(fù)力是該元件位典型恢復(fù)性元件是彈簧，彈簧產(chǎn)生的恢復(fù)力是該元件位移的函數(shù)，即移的函數(shù)，即Fs=Fs（x）。當(dāng)。當(dāng)Fs（x）是線

9、性函數(shù)時，有：是線性函數(shù)時，有： Fs=kx (1-2) k稱為彈簧常數(shù)或彈簧的剛度系數(shù)。單位為稱為彈簧常數(shù)或彈簧的剛度系數(shù)。單位為N/m。質(zhì)量、彈簧和阻尼器質(zhì)量、彈簧和阻尼器是構(gòu)成機(jī)械振動系統(tǒng)是構(gòu)成機(jī)械振動系統(tǒng)物理模型物理模型的的三個基本元件。三個基本元件。 自由度與廣義坐標(biāo)自由度與廣義坐標(biāo) 自由度數(shù)自由度數(shù): 完全確定系統(tǒng)運(yùn)動所需的獨(dú)立坐標(biāo)數(shù)目稱為自由度數(shù)。完全確定系統(tǒng)運(yùn)動所需的獨(dú)立坐標(biāo)數(shù)目稱為自由度數(shù)。 剛體在空間有剛體在空間有6個自由度：三個方向的移動和繞三個方向的轉(zhuǎn)動，個自由度：三個方向的移動和繞三個方向的轉(zhuǎn)動，如飛機(jī)、輪船；如飛機(jī)、輪船； 質(zhì)點(diǎn)在空間有質(zhì)點(diǎn)在空間有3個自由度：三個方

10、向的移動，如高爾夫球；個自由度：三個方向的移動，如高爾夫球； 質(zhì)點(diǎn)在平面有質(zhì)點(diǎn)在平面有2個自由度：兩個方向的移動，加上約束則成為單個自由度：兩個方向的移動，加上約束則成為單自由度。自由度。質(zhì)量元件質(zhì)量元件 無彈性、不耗能的剛體，儲存動能的元件無彈性、不耗能的剛體，儲存動能的元件 xmFm 平動：平動：力、質(zhì)量和加速度的單位分別力、質(zhì)量和加速度的單位分別為為N、kg和和m / s 2。 JTm轉(zhuǎn)動：轉(zhuǎn)動：力矩、轉(zhuǎn)動慣量和角加速度的力矩、轉(zhuǎn)動慣量和角加速度的單位分別為單位分別為Nm、kg m 2和和rad / s 2 2.1 離散系統(tǒng)的組成離散系統(tǒng)的組成2.1 離散系統(tǒng)的組成離散系統(tǒng)的組成彈性元件

11、彈性元件 無質(zhì)量、不耗能，儲存勢能的元件無質(zhì)量、不耗能，儲存勢能的元件 xkFs平動：平動：力、剛度和位移的單位分別為力、剛度和位移的單位分別為N、N / m和和m 。tskT 轉(zhuǎn)動：轉(zhuǎn)動：力矩、扭轉(zhuǎn)剛度和角位移的單力矩、扭轉(zhuǎn)剛度和角位移的單位分別為位分別為Nm、 Nm / rad和和rad 阻尼元件阻尼元件 無質(zhì)量、無彈性、線性耗能元件無質(zhì)量、無彈性、線性耗能元件 xcFd平動：平動：力、阻尼系數(shù)和速度的單位分力、阻尼系數(shù)和速度的單位分別為別為N、N s/ m和和m/s。tdcT 轉(zhuǎn)動：轉(zhuǎn)動：力矩、扭轉(zhuǎn)阻尼系數(shù)和角速度力矩、扭轉(zhuǎn)阻尼系數(shù)和角速度的單位分別為的單位分別為Nm、 Nms / ra

12、d和和rad/s 2.1 離散系統(tǒng)的組成離散系統(tǒng)的組成等效彈簧剛度等效彈簧剛度 斜向布置的彈簧斜向布置的彈簧 2ecos/kxFkxx串聯(lián)彈簧串聯(lián)彈簧 并聯(lián)彈簧并聯(lián)彈簧 niikk1eniikk1e11niicc1eniicc1e11并聯(lián)系統(tǒng)并聯(lián)系統(tǒng)串聯(lián)系統(tǒng)串聯(lián)系統(tǒng)等效阻尼系數(shù)等效阻尼系數(shù) 傳動系統(tǒng)的等效剛度傳動系統(tǒng)的等效剛度 21 te1 t/ikk傳動系統(tǒng)的等效阻尼傳動系統(tǒng)的等效阻尼 ct1e= ct1 / i 221e1/iJJ等效質(zhì)量等效質(zhì)量 傳動系統(tǒng)的等效慣量傳動系統(tǒng)的等效慣量 單自由度系統(tǒng)的類型tQkxxrxmtQkxxmkxxrxmkxxmsinsin0000 單自由度無阻尼自由

13、振動單自由度無阻尼自由振動單自由度有粘性阻尼的自由振動單自由度有粘性阻尼的自由振動單自由度無阻尼受迫振動單自由度無阻尼受迫振動單自由度有粘性阻尼的受迫振動單自由度有粘性阻尼的受迫振動機(jī)機(jī) 械械 振振 動動 學(xué)學(xué)例：如右圖，舍振動體的例：如右圖，舍振動體的質(zhì)量為質(zhì)量為m m，它所受的重，它所受的重力為力為W W，彈簧剛度為，彈簧剛度為k,k,彈簧掛上質(zhì)量塊的靜伸彈簧掛上質(zhì)量塊的靜伸成量為成量為j j，此時系統(tǒng)，此時系統(tǒng)處于靜平衡狀態(tài)，平衡處于靜平衡狀態(tài)，平衡位置為位置為0-00-0，求給系統(tǒng)，求給系統(tǒng)一個初始擾動后系統(tǒng)的一個初始擾動后系統(tǒng)的振動方程。振動方程。模型的建立模型的建立機(jī)機(jī) 械械 振振

14、 動動 學(xué)學(xué)單自由度無阻尼自由振動系統(tǒng)單自由度無阻尼自由振動系統(tǒng)無阻尼自由振動：無阻尼自由振動： 振動系統(tǒng)受到初始擾動后，不再受到振動系統(tǒng)受到初始擾動后，不再受到外力作用，也不受阻尼的影響所作的振動。外力作用，也不受阻尼的影響所作的振動。靜平衡振動系統(tǒng)產(chǎn)生彈性恢復(fù)力彈力重力靜平衡破壞初始擾動機(jī)機(jī) 械械 振振 動動 學(xué)學(xué)單自由度無阻尼自由振動系統(tǒng)單自由度無阻尼自由振動系統(tǒng)解：解：取靜平衡位置為坐取靜平衡位置為坐標(biāo)原點(diǎn)，以標(biāo)原點(diǎn)，以X軸為系統(tǒng)軸為系統(tǒng)的坐標(biāo)軸，向下為正的坐標(biāo)軸，向下為正方向建立坐標(biāo)系。方向建立坐標(biāo)系。 以以x x表示質(zhì)量塊的受擾表示質(zhì)量塊的受擾后的位移，當(dāng)質(zhì)量塊后的位移，當(dāng)質(zhì)量塊離

15、開平衡位置時，在離開平衡位置時，在質(zhì)量塊上作用的力有質(zhì)量塊上作用的力有：XTWmgkxkTjW重力彈性恢復(fù)力x 由于受力不平衡，質(zhì)量塊產(chǎn)生加速度由于受力不平衡，質(zhì)量塊產(chǎn)生加速度機(jī)機(jī) 械械 振振 動動 學(xué)學(xué)單自由度無阻尼自由振動系統(tǒng)單自由度無阻尼自由振動系統(tǒng)根據(jù)牛頓第二定律建立振動微分方程：xmxkwj )(0,022xxmkkxxmnn ：則上式可寫成令即叫做系統(tǒng)的固有頻率2n二階齊次常系數(shù)微分方程，stex 機(jī)機(jī) 械械 振振 動動 學(xué)學(xué)單自由度無阻尼自由振動系統(tǒng)單自由度無阻尼自由振動系統(tǒng)扭轉(zhuǎn)振動問題扭轉(zhuǎn)振動問題例1-2： 右圖所示，垂直軸的下端右圖所示，垂直軸的下端固定一個水平圓盤。已知固定

16、一個水平圓盤。已知軸長為軸長為l ,l ,直徑為直徑為d,d,剪切剪切彈性模量為彈性模量為G,G,圓盤的轉(zhuǎn)動圓盤的轉(zhuǎn)動慣量為慣量為I I，在盤上施加初，在盤上施加初始擾動后（如力偶），系始擾動后（如力偶），系統(tǒng)做自由扭轉(zhuǎn)振動。若不統(tǒng)做自由扭轉(zhuǎn)振動。若不計(jì)阻尼影響，振動將永遠(yuǎn)計(jì)阻尼影響，振動將永遠(yuǎn)持續(xù)下去。求系統(tǒng)的振動持續(xù)下去。求系統(tǒng)的振動方程。方程。機(jī)機(jī) 械械 振振 動動 學(xué)學(xué)單自由度無阻尼自由振動系統(tǒng)單自由度無阻尼自由振動系統(tǒng)由材料力學(xué)知：扭轉(zhuǎn)剛度為：324Gdk)/(J0JIsradkkkn系統(tǒng)固有角頻率令即扭轉(zhuǎn)振動微分方程為：建立如圖所示坐標(biāo)系， 0)1(212nnsHzIkf 代入微分

17、方程得到：將系統(tǒng)振動的固有頻率：機(jī)機(jī) 械械 振振 動動 學(xué)學(xué)單自由度無阻尼自由振動系統(tǒng)單自由度無阻尼自由振動系統(tǒng)典型的單自由度自由振動單擺例1-3：如左圖所示，求t時刻剛體的角度是多少？機(jī)機(jī) 械械 振振 動動 學(xué)學(xué)單自由度無阻尼自由振動系統(tǒng)單自由度無阻尼自由振動系統(tǒng)解：以靜平衡位置為原點(diǎn)，以以靜平衡位置為原點(diǎn)，以角增角增加的方向?yàn)檎较蚪⒆鴺?biāo)系。加的方向?yàn)檎较蚪⒆鴺?biāo)系。隔離物體，進(jìn)行受力分析。隔離物體，進(jìn)行受力分析。 使用牛頓定律建立振動模型：使用牛頓定律建立振動模型：力矩形式：力矩形式：0sin0sinsinmglJmglJJmgl 作為擺動時，即力形式：力形式：？機(jī)機(jī) 械械 振振 動

18、動 學(xué)學(xué)單自由度無阻尼自由振動系統(tǒng)單自由度無阻尼自由振動系統(tǒng)txtxtxxbxbbbxbbxtnnnnnnnnnncossin)(0sin0cos0cos0sin0000201210210時有：代入初始條件：1-2 無阻尼單自由度系統(tǒng)的自由振動規(guī)律為：高等數(shù)學(xué)知方程的通解度和初位移均為零。此初始條件亦即：初速預(yù)先給定初始條件：考慮00002,0 xxxxxxttn )sin(cossin)(21tAtbtbtxnnn.;A2112221為頻率三要素：nbbtgbb機(jī)機(jī) 械械 振振 動動 學(xué)學(xué)單自由度無阻尼自由振動系統(tǒng)單自由度無阻尼自由振動系統(tǒng)結(jié)結(jié) 論論單自由度無阻尼自由振動系統(tǒng)的方程是一樣的單

19、自由度無阻尼自由振動系統(tǒng)的方程是一樣的,規(guī)律是相同的，具有以下特點(diǎn)：規(guī)律是相同的，具有以下特點(diǎn)： 1.1.單自由度無阻尼振動是簡諧的。單自由度無阻尼振動是簡諧的。 2.2.振幅決定于初始條件：振幅決定于初始條件： )(;222120220bbAxxAn圖中系統(tǒng)，用手把圖中系統(tǒng)，用手把m m移到移到X X0 0位置，初始位移的大小決位置，初始位移的大小決定于定于m m的振幅，如果放手的同時，給的振幅，如果放手的同時，給m m一個右向的初一個右向的初速度，可以通過上式計(jì)算出其最大振幅。速度，可以通過上式計(jì)算出其最大振幅。機(jī)機(jī) 械械 振振 動動 學(xué)學(xué)單自由度無阻尼自由振動系統(tǒng)單自由度無阻尼自由振動系

20、統(tǒng)固有頻率與初始條件無關(guān)。系統(tǒng)一定，固有固有頻率與初始條件無關(guān)。系統(tǒng)一定，固有頻率一定。頻率一定。 fTfmknn1;2;的特點(diǎn)，座鐘。應(yīng)用：利用“等時性”思考：鐘表的鐘擺的擺角大是準(zhǔn)確還是小準(zhǔn)確？思考：鐘表的鐘擺的擺角大是準(zhǔn)確還是小準(zhǔn)確？結(jié)結(jié) 論論機(jī)機(jī) 械械 振振 動動 學(xué)學(xué)單自由度無阻尼自由振動系統(tǒng)單自由度無阻尼自由振動系統(tǒng) 在振動研究中，計(jì)算振動系統(tǒng)的固有頻率有很重要的意義 ，除用定義法（牛頓法）外，通常還有以下幾種常用的方法，即靜變形法、能量法和瑞利法，現(xiàn)分別加以介紹。2.2 計(jì)算系統(tǒng)固有頻率的其它方法計(jì)算系統(tǒng)固有頻率的其它方法1、靜變形法（、靜變形法（Static Deformati

21、on Method） Wkj 當(dāng)單振子處于靜平衡狀態(tài)時，彈簧的彈性力與振動質(zhì)量的重力互相平衡，即存在關(guān)系式： 由上式可得：jjmgWk故系統(tǒng)的固有頻率為：) 1 (2121jngmkf由此可見，只要知道質(zhì)量塊處的彈性靜變形，就可以計(jì)算出系統(tǒng)的固有頻率。在有些實(shí)際問題中，不能直接給出系統(tǒng)的彈簧剛度時，利用此法計(jì)算固有頻率比較方便。例例1 1 設(shè)一懸臂梁長度為，抗彎剛度為，自由端有一集中質(zhì)量。設(shè)一懸臂梁長度為，抗彎剛度為，自由端有一集中質(zhì)量。梁本身重量忽略不計(jì)。試求這一系統(tǒng)的固有頻率（見下圖）。梁本身重量忽略不計(jì)。試求這一系統(tǒng)的固有頻率（見下圖）。自由端有集中質(zhì)量的懸臂梁 解：懸臂梁在自由端由集中

22、力mg所引起的靜撓度為： EJmglj33) 1 (3213mlEJfn當(dāng)不易用計(jì)算方法求出靜撓度時，也可用實(shí)測方法得到靜撓度，然后按（1）式計(jì)算系統(tǒng)固有頻率。2.2 計(jì)算系統(tǒng)固有頻率的其它方法計(jì)算系統(tǒng)固有頻率的其它方法2 2、能量法（、能量法（Energy MethodEnergy Method）在無阻尼自由振動系統(tǒng)中，由于沒有能量的損失，所以振幅在無阻尼自由振動系統(tǒng)中，由于沒有能量的損失，所以振幅始終保持為一常數(shù)，即在振動過程中振幅始終不衰減。我們始終保持為一常數(shù)，即在振動過程中振幅始終不衰減。我們將這樣的系統(tǒng)稱為將這樣的系統(tǒng)稱為保守系統(tǒng)保守系統(tǒng)。在保守系統(tǒng)中，根據(jù)機(jī)械能守恒定律，在整個振

23、動過程的在保守系統(tǒng)中，根據(jù)機(jī)械能守恒定律，在整個振動過程的任一瞬時機(jī)械能應(yīng)保持不變。任一瞬時機(jī)械能應(yīng)保持不變。式中：式中：T T系統(tǒng)中運(yùn)動質(zhì)量所具有的動能；系統(tǒng)中運(yùn)動質(zhì)量所具有的動能；U U系統(tǒng)由于彈性變形而儲存的彈性勢能，或由于重力作功系統(tǒng)由于彈性變形而儲存的彈性勢能，或由于重力作功 而產(chǎn)生的重力勢能。而產(chǎn)生的重力勢能。0UTdtd即： T+U=常數(shù) 或2.2 計(jì)算系統(tǒng)固有頻率的其它方法計(jì)算系統(tǒng)固有頻率的其它方法xkxmgxkxdxmgx0221222121kxkxmgxmgxU221xmT 對于單自由度無阻尼自由振動系統(tǒng)來說，系統(tǒng)的動能為：1. 重力勢能：當(dāng)質(zhì)量塊m低于靜平衡位置時，重力勢

24、能為-mgx。2. 彈性勢能：當(dāng)質(zhì)量塊m運(yùn)動至離靜平衡位置距離+x時，彈簧的彈性力對質(zhì)量塊所作的功即為系統(tǒng)此時的彈性勢能。如下圖所示，系統(tǒng)的彈性勢能為：故系統(tǒng)的勢能為故系統(tǒng)的勢能為：)2()(212122常數(shù)Ekxxm 所以：所以：系統(tǒng)的勢能則由以下兩部分組成： 22xmmgx單自由度振動系統(tǒng)的彈性勢能這就是單自由度無阻尼自由振動系統(tǒng)的能量方程。這就是單自由度無阻尼自由振動系統(tǒng)的能量方程。這一方程說明，這一方程說明，無阻尼自由振動系統(tǒng)的能量關(guān)系無阻尼自由振動系統(tǒng)的能量關(guān)系是振動質(zhì)體的能量與彈性勢能的相互轉(zhuǎn)化過程是振動質(zhì)體的能量與彈性勢能的相互轉(zhuǎn)化過程，而無能量的消耗。而無能量的消耗。但在振動系

25、統(tǒng)中存在阻尼時，但在振動系統(tǒng)中存在阻尼時，則在振動質(zhì)體的動能與彈性勢能的互相轉(zhuǎn)化過程則在振動質(zhì)體的動能與彈性勢能的互相轉(zhuǎn)化過程中，有一部分能量將為克服阻力而不斷地轉(zhuǎn)化為中，有一部分能量將為克服阻力而不斷地轉(zhuǎn)化為熱能，故系統(tǒng)的振幅將逐漸減小，直至完全消失。熱能，故系統(tǒng)的振幅將逐漸減小，直至完全消失。 2.2 計(jì)算系統(tǒng)固有頻率的其它方法計(jì)算系統(tǒng)固有頻率的其它方法tAxnsinEtkAtAmnnn22222sin21cos21EAmTn22max210T25232，時，、或、當(dāng)nnntttEkAU2max21maxmaxUT)3(2121222kAAmnmkn若將無阻尼自由振動的時間歷程若將無阻尼自

26、由振動的時間歷程 代入系統(tǒng)的能量方程（代入系統(tǒng)的能量方程（2）式可得：）式可得： 這說明系統(tǒng)的最大動能或最大勢能均等于系統(tǒng)的總能量，且動能與勢能的這說明系統(tǒng)的最大動能或最大勢能均等于系統(tǒng)的總能量，且動能與勢能的最大值相等，即：最大值相等，即：0U20時，、或、當(dāng)nnttt根據(jù)上式即可算出系統(tǒng)的固有頻率：根據(jù)上式即可算出系統(tǒng)的固有頻率：對彈簧質(zhì)量系統(tǒng)（單振子）對彈簧質(zhì)量系統(tǒng)（單振子）用上述能量法意義不大。但用上述能量法意義不大。但是復(fù)雜的單自由度系統(tǒng)用能是復(fù)雜的單自由度系統(tǒng)用能量法計(jì)算固有頻率比較方便。量法計(jì)算固有頻率比較方便。 2.2 計(jì)算系統(tǒng)固有頻率的其它方法計(jì)算系統(tǒng)固有頻率的其它方法例1：

27、一根矩形截面梁，上面承受質(zhì)量為m 的物體（如圖所示）。若忽略梁的質(zhì)量，試用能量法求該系統(tǒng)的固有頻率。承受質(zhì)量的矩形截面梁解：梁的剛度可用靜變形法求出：解：梁的剛度可用靜變形法求出：jmgk而梁的靜擾度可根據(jù)材料力學(xué)公而梁的靜擾度可根據(jù)材料力學(xué)公式計(jì)算：式計(jì)算：EJlbmgaj322223baEJlk 故代入（代入（3 3）式即可求出該系統(tǒng)的固有圓頻率：）式即可求出該系統(tǒng)的固有圓頻率：223bmaEJln2.2 計(jì)算系統(tǒng)固有頻率的其它方法計(jì)算系統(tǒng)固有頻率的其它方法例例2:2:下圖所示為測量低頻振幅用的傳感器的一個元件下圖所示為測量低頻振幅用的傳感器的一個元件無定無定向擺。已知向擺。已知a=3.5

28、4cma=3.54cm，mg=0.856Nmg=0.856N，k=0.3N/cmk=0.3N/cm。且整個系統(tǒng)對。且整個系統(tǒng)對轉(zhuǎn)動軸轉(zhuǎn)動軸o o的轉(zhuǎn)動慣量。試求系統(tǒng)的固有頻率。的轉(zhuǎn)動慣量。試求系統(tǒng)的固有頻率。無定向擺 解：解：取搖桿偏離平衡位置的角位移取搖桿偏離平衡位置的角位移 為廣為廣義坐標(biāo)，并設(shè)義坐標(biāo)，并設(shè)則則 對簡諧振動來說，搖桿正經(jīng)過平衡位置時的速度對簡諧振動來說，搖桿正經(jīng)過平衡位置時的速度最大，故此時系統(tǒng)動能最大，而勢能為零。即：最大，故此時系統(tǒng)動能最大，而勢能為零。即：tAnsin)cos(tAnnnAAmaxmax2202max0max2121nAIIT 當(dāng)搖桿擺到最大角位移處時

29、，速度為零，故此時系當(dāng)搖桿擺到最大角位移處時，速度為零，故此時系統(tǒng)動能為零，而勢能最大，它包括以下兩個部分：統(tǒng)動能為零，而勢能最大，它包括以下兩個部分： 1 1）彈簧變形后儲存的彈性勢能：）彈簧變形后儲存的彈性勢能： 2) 2) 質(zhì)量塊質(zhì)量塊m m的重心下降的重心下降 后的重力勢能：后的重力勢能：AkakaU22max2max121222maxmaxmax22121cos1mglAmglmglmgU2.2 計(jì)算系統(tǒng)固有頻率的其它方法計(jì)算系統(tǒng)固有頻率的其它方法解：取搖桿偏離平衡位置的角位移 為廣義坐標(biāo)，并設(shè)則 故 對簡諧振動來說，搖桿正經(jīng)過平衡位置時的速度最大，故此時系統(tǒng)動能最大，而勢能為零。即

30、： 當(dāng)搖桿擺到最大角位移處時，速度為零，故此時系統(tǒng)動能為零，而勢能最大，它包括以下兩個部分： 1）彈簧變形后儲存的彈性勢能：2) 質(zhì)量塊m的重心下降 后的重力勢能：tAnsin)cos(tAnnAmaxnAmax2202max0max2121nAIITAkakaU22max2max121222maxmaxmax22121cos1mglAmglmglmgU2.2 計(jì)算系統(tǒng)固有頻率的其它方法計(jì)算系統(tǒng)固有頻率的其它方法022ImglkanHzImglkafn77. 0106 .174856. 054. 33 . 02212212202maxmaxUT因?yàn)?2222202121mglAAkaAIn故得

31、2.2 計(jì)算系統(tǒng)固有頻率的其它方法計(jì)算系統(tǒng)固有頻率的其它方法前面介紹的幾種計(jì)算系統(tǒng)固有頻率的方法，都是將系統(tǒng)中彈簧的質(zhì)量忽略不計(jì)。但是在有些系統(tǒng)中，彈簧本身的質(zhì)量在系統(tǒng)總質(zhì)量中占有一定的比例，此時若再忽略彈簧的質(zhì)量，就將會使得計(jì)算出來的系統(tǒng)固有頻率偏高。瑞利法則將彈簧質(zhì)量對系統(tǒng)振動頻率的影響考慮了進(jìn)去，從而能得到相當(dāng)準(zhǔn)確的固有頻率值。3.瑞利法（瑞利法（Rayleigh Method）應(yīng)用瑞利法時，必須先假定一個系統(tǒng)的振動形式。而且所假定的振動形式越接近實(shí)際的振動形式，則計(jì)算出來的固有頻率的近似值就越接近準(zhǔn)確值。實(shí)踐證明，以系統(tǒng)的靜態(tài)變形曲線作為假定的振動形式，則所求得的固有頻率的近似值與準(zhǔn)確

32、值相比較，一般來說誤差是很小的?，F(xiàn)以最簡單的彈簧質(zhì)量系統(tǒng)為例來說明瑞利法的應(yīng)用。在下圖的系統(tǒng)中，若彈簧的質(zhì)量與質(zhì)量塊的質(zhì)量相比是很小的，則系統(tǒng)的振動形式就不會顯著地受到彈簧質(zhì)量的影響。在這種情況下，假設(shè)彈簧在振動過程中的變形（各截面的瞬時位移）與彈簧在受軸向靜載荷作用下的變形相同是足夠精確的。 2.2 計(jì)算系統(tǒng)固有頻率的其它方法計(jì)算系統(tǒng)固有頻率的其它方法2.2 計(jì)算系統(tǒng)固有頻率的其它方法計(jì)算系統(tǒng)固有頻率的其它方法 彈簧質(zhì)量系統(tǒng)lxx解:假設(shè)彈簧上距固定端距離為 處的位移為：x式中：l處于平衡位置時彈簧的長度； x 彈簧在聯(lián)結(jié)質(zhì)量塊一端的位移。 令令表示彈簧單位長度的質(zhì)量，則表示彈簧單位長度的質(zhì)

33、量，則彈簧微段彈簧微段dd的質(zhì)量為的質(zhì)量為d.d.其最其最大動能則為大動能則為: : dlx2max21lx x 彈簧在彈簧在處的微段處的微段dd的速度應(yīng)為的速度應(yīng)為: :當(dāng)質(zhì)量塊在某一瞬時的速度為當(dāng)質(zhì)量塊在某一瞬時的速度為 時，時，所以彈簧的全部動能為：所以彈簧的全部動能為：32212max20maxlxdlxTls32212max20maxlxdlxTls) 1 (3232212max2max2maxmaxlmxlxxmT)2(22maxmaxkxU2.2 計(jì)算系統(tǒng)固有頻率的其它方法計(jì)算系統(tǒng)固有頻率的其它方法顯然，系統(tǒng)的全部動能應(yīng)該是質(zhì)量塊顯然，系統(tǒng)的全部動能應(yīng)該是質(zhì)量塊m m的最大動能與

34、彈簧的最大的最大動能與彈簧的最大動能之和，即動能之和，即系統(tǒng)的最大勢能仍與無質(zhì)量彈簧的情況相同，即：系統(tǒng)的最大勢能仍與無質(zhì)量彈簧的情況相同，即：所以彈簧的全部動能為：所以彈簧的全部動能為：由動能和勢能相等原理得：由動能和勢能相等原理得：2322max2maxkxlmx對簡諧振動來說，上式即成為：對簡諧振動來說，上式即成為：232222kAlmAn由此可以得出系統(tǒng)固有頻率的計(jì)算公式為：由此可以得出系統(tǒng)固有頻率的計(jì)算公式為：3lmkn結(jié)論：結(jié)論：為了考慮彈簧質(zhì)量對系統(tǒng)固有頻率的影響，只需要將為了考慮彈簧質(zhì)量對系統(tǒng)固有頻率的影響，只需要將1/3的彈簧質(zhì)量當(dāng)作一個集中質(zhì)量加到質(zhì)量塊上去即可。的彈簧質(zhì)量

35、當(dāng)作一個集中質(zhì)量加到質(zhì)量塊上去即可。 一般將上式中的 稱為“彈簧的等效質(zhì)量”“effective mass of spring”,以ms表示。但是不同的振動系統(tǒng)，其彈簧的等效質(zhì)量不同，需具體加以計(jì)算。 因?yàn)?所以 因此只要先算出系統(tǒng)彈性元件的動能，即可根據(jù)上式計(jì)算出系統(tǒng)彈性元件的等效質(zhì)量。根據(jù)系統(tǒng)中的彈簧質(zhì)量與質(zhì)量塊質(zhì)量相比很小，從而在振動過程中彈簧各截面的瞬時位移按線性變化這一假設(shè)而得出的。但是，即使彈簧的質(zhì)量較大，用原式計(jì)算系統(tǒng)固有頻率也具有足夠的精確度。例如,當(dāng) 時，固有頻率的計(jì)算誤差約為0.5；當(dāng) 時，計(jì)算誤差約為0.8；當(dāng) 時，計(jì)算誤差約為3。3l221xmTss22xTmssml5

36、 . 0ml ml22.2 計(jì)算系統(tǒng)固有頻率的其它方法計(jì)算系統(tǒng)固有頻率的其它方法例如圖所示的等截面簡支梁上有一集中質(zhì)量m，若將梁本身的重量W考慮在內(nèi)，計(jì)算此系統(tǒng)的固有頻率。圖承受集中質(zhì)量的等截面梁 2.2 計(jì)算系統(tǒng)固有頻率的其它方法計(jì)算系統(tǒng)固有頻率的其它方法解：假設(shè)梁在振動時撓度曲線與梁在圖示載荷作用下的靜撓度曲線一致。梁上物體左側(cè)距A點(diǎn)為處的靜撓度為：梁上物體右側(cè)距B點(diǎn)為處的靜撓度為：在物體m處梁的靜撓度為：設(shè)物體m在振動狀態(tài)下的最大速度為 ，則在物體左右兩側(cè)梁的所有點(diǎn)的最大速度 、 與振動位移y1、y2之間存在以下關(guān)系： 216blaEJlmgby226albEJlmgayEJlbmgay

37、m322my 1y 2y nmmyyyy11nmmyyyy22計(jì)算系統(tǒng)固有頻率的其它方法計(jì)算系統(tǒng)固有頻率的其它方法所以梁的左右兩部分的最大速度為：因而梁的左右兩部分的最大動能為：式中：w梁的單位長度的質(zhì)量；22112blabayyyyymmm22222albabyyyyymmmdblabagywTams20224221422222221581052332balbablgwaymgwaym22 bmsdalbbagywT02242222422222221028122aalbabaalgwbymgwbym22 2.2 計(jì)算系統(tǒng)固有頻率的其它方法計(jì)算系統(tǒng)固有頻率的其它方法22222158105233

38、balbabl22222102812aalbabaal梁的全部動能為：根據(jù)上式可算出梁的等效質(zhì)量為：所以系統(tǒng)的固有圓頻率為：式中： ，為梁的剛度。 2212msssygwbwaTTTgwbwamssnmmk223babwawmggEJl 223baEJlk 2.2 計(jì)算系統(tǒng)固有頻率的其它方法計(jì)算系統(tǒng)固有頻率的其它方法4632. 02wlEJgn4637. 02wlEJln2.2 計(jì)算系統(tǒng)固有頻率的其它方法計(jì)算系統(tǒng)固有頻率的其它方法從上式可以看出當(dāng)忽略梁的質(zhì)量時所計(jì)算出的系統(tǒng)固有頻率比從上式可以看出當(dāng)忽略梁的質(zhì)量時所計(jì)算出的系統(tǒng)固有頻率比用瑞利法計(jì)算出的數(shù)值要小，因而誤差較大。應(yīng)用瑞利法也可用瑞

39、利法計(jì)算出的數(shù)值要小，因而誤差較大。應(yīng)用瑞利法也可求得無載荷的固有頻率的相當(dāng)準(zhǔn)確的數(shù)值。由于無載荷的變形求得無載荷的固有頻率的相當(dāng)準(zhǔn)確的數(shù)值。由于無載荷的變形曲線是對稱的，所以首先需將載荷移到梁的中間，然后再令載曲線是對稱的，所以首先需將載荷移到梁的中間，然后再令載荷為零（荷為零（m m0 0），即可求出無載荷梁的固有圓頻率為：），即可求出無載荷梁的固有圓頻率為：而這一固有圓頻率的精確值為：而這一固有圓頻率的精確值為：可見，近似值與理論精確值之差小于可見，近似值與理論精確值之差小于1 1。內(nèi)容參考2.3。2.3 等效質(zhì)量和等效剛度等效質(zhì)量和等效剛度振動微分方程振動微分方程 振動微分方程振動微分

40、方程 )(tFkxxcxm 方程的解方程的解 )()()(21txtxtx其其中中， tx1為為相相應(yīng)應(yīng)齊齊次次方方程程的的解解 瞬瞬態(tài)態(tài)響響應(yīng)應(yīng) tx2為方程的特解為方程的特解 穩(wěn)態(tài)響應(yīng)穩(wěn)態(tài)響應(yīng)或或零零初始條件初始條件的的解解 單自由度線性阻尼自由振動系統(tǒng)單自由度線性阻尼自由振動系統(tǒng)自由振動自由振動 振動微分方程振動微分方程設(shè)設(shè) 0 xkxcxm tsAtxe)(02kscsm特征方程特征方程 222, 1nnns有有臨界阻尼系數(shù)臨界阻尼系數(shù) kmc2c阻尼比或阻尼因子阻尼比或阻尼因子 kmccc2c定義定義12nn2, 1smkmcnnnn2;2;令阻尼比或阻尼因子令阻尼比或阻尼因子 單自

41、由度線性阻尼自由振動系統(tǒng)單自由度線性阻尼自由振動系統(tǒng)討論討論 (1)系統(tǒng)無阻尼即,0,0n方程的解方程的解 12nn2, 1s特征值特征值系統(tǒng)對初始擾動的響應(yīng)系統(tǒng)對初始擾動的響應(yīng)）（tRtxncos)(2n020)/(xxR0tanarc0tanarc0n000n00 xxxxxx11100，特征值取決于單自由度線性阻尼自由振動系統(tǒng)單自由度線性阻尼自由振動系統(tǒng)討論討論 (2)12nn2, 1s特征值特征值系統(tǒng)對初始擾動的響應(yīng)系統(tǒng)對初始擾動的響應(yīng)方程的解方程的解 個不等的虛數(shù)根。為2,102, 1Snn)(cose)(rntRtxt2d0n0202221xxxRDDR0tanarc0tanarc

42、00d0n000d0n0 xxxxxxxx則令,22rnn)sincos(sincosr2r1rrr2, 1rtDtDextiteinsnti221122nrnrrT單自由度線性阻尼自由振動系統(tǒng)單自由度線性阻尼自由振動系統(tǒng)討論討論 (3)方程的解方程的解 12nn2, 1s特征值特征值系統(tǒng)對初始擾動的響應(yīng)系統(tǒng)對初始擾動的響應(yīng)nssnn21,1nttCCtxe )(21)(e)(000txnxxtxtn00 xx）（00 xx）（初始條件：初始條件：單自由度線性阻尼自由振動系統(tǒng)單自由度線性阻尼自由振動系統(tǒng)討論討論 (4)12nn2, 1s特征值特征值系統(tǒng)對初始擾動的響應(yīng)系統(tǒng)對初始擾動的響應(yīng)tst

43、sxsxsxxsstx21e)(e)(1)(01020021tstsCCtx21ee)(2100 xx）（00 xx）（1方程的解方程的解 單自由度線性阻尼自由振動系統(tǒng)單自由度線性阻尼自由振動系統(tǒng)振動特性振動特性 無阻尼無阻尼 0 0： 簡諧運(yùn)動簡諧運(yùn)動弱阻尼弱阻尼 0 1： 衰減運(yùn)動衰減運(yùn)動單自由度線性阻尼自由振動系統(tǒng)單自由度線性阻尼自由振動系統(tǒng)小阻尼小阻尼振動對數(shù)衰減率振動對數(shù)衰減率 2112lnnnxx2224單自由度線性阻尼自由振動系統(tǒng)單自由度線性阻尼自由振動系統(tǒng)簡諧激勵簡諧激勵穩(wěn)態(tài)響應(yīng)穩(wěn)態(tài)響應(yīng)(粘性阻尼粘性阻尼)tFxkxcxmsin0 M M 2. 5 簡諧激勵力作用下的強(qiáng)迫振動簡

44、諧激勵力作用下的強(qiáng)迫振動 求解過程求解過程 運(yùn)動方程的解可以用它對應(yīng)的齊次方程的通解運(yùn)動方程的解可以用它對應(yīng)的齊次方程的通解 和方程（和方程（2）的特解）的特解 來表示來表示 )2(sin2,2) 1 (sinsin20n00 tfxnxmFfmkmcntmFmkxmcxtFxkxcxmn則，令可化為2x)()(21txtxx1x)sin()(1tAetxrnt 在小阻尼情況下，在小阻尼情況下， 是個衰減振動，只在開始振動是個衰減振動，只在開始振動后的某一段時間內(nèi)有意義。研究受迫振動中持續(xù)等幅振動時可忽略之。后的某一段時間內(nèi)有意義。研究受迫振動中持續(xù)等幅振動時可忽略之。 表示系統(tǒng)的受迫振動，稱

45、為系統(tǒng)的表示系統(tǒng)的受迫振動，稱為系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)解穩(wěn)態(tài)解，設(shè)，設(shè)2x)sin()(2tBtx將將 代入到方程（代入到方程（2）中可解出）中可解出B與與2x22222222arctan;4)(nnnnfB2222012arctan;)2()1 (1kFBnn;n令2. 5 簡諧激勵力作用下的強(qiáng)迫振動簡諧激勵力作用下的強(qiáng)迫振動 求解過程求解過程 進(jìn)一步討論：進(jìn)一步討論： kFBs0sBB令：令： 則：則： 222)2()1 (1sBB2222012arctan;)2()1 (1kFB2. 5 簡諧激勵力作用下的強(qiáng)迫振動簡諧激勵力作用下的強(qiáng)迫振動 解的討論解的討論二、討論二、討論: 圖給出了以圖給出了以為

46、橫坐標(biāo)，為橫坐標(biāo)，為縱坐標(biāo)，在不同阻尼比為縱坐標(biāo)，在不同阻尼比下的一組曲線簇。不難理解，在簡諧激振力作用下，線性下的一組曲線簇。不難理解，在簡諧激振力作用下，線性系統(tǒng)的受迫振動也是簡諧振動，振動的頻率等于激勵力的系統(tǒng)的受迫振動也是簡諧振動，振動的頻率等于激勵力的頻率，受迫振動的振幅取決于系統(tǒng)本身的物理特性、激勵頻率，受迫振動的振幅取決于系統(tǒng)本身的物理特性、激勵力的大小及頻率值，但與初始條件無關(guān)。力的大小及頻率值，但與初始條件無關(guān)。 受迫振動的振幅與頻率比及阻尼比有關(guān)受迫振動的振幅與頻率比及阻尼比有關(guān) (1) 當(dāng)頻率比當(dāng)頻率比0.2時，即激振頻率時，即激振頻率遠(yuǎn)小于系統(tǒng)的固有頻遠(yuǎn)小于系統(tǒng)的固有頻

47、率率n時，無論阻尼的大小如何，時，無論阻尼的大小如何，1，稱為準(zhǔn)靜態(tài)區(qū)。即，稱為準(zhǔn)靜態(tài)區(qū)。即振幅近似等于激勵力幅作用下的靜變形。故在低頻區(qū)振幅振幅近似等于激勵力幅作用下的靜變形。故在低頻區(qū)振幅主要由彈簧剛度控制。主要由彈簧剛度控制。2. 5 簡諧激勵力作用下的強(qiáng)迫振動簡諧激勵力作用下的強(qiáng)迫振動 解的討論解的討論（2）頻率比很大頻率比很大(5) , 0，激振頻率，激振頻率遠(yuǎn)大于系統(tǒng)的固有遠(yuǎn)大于系統(tǒng)的固有頻率頻率n ，因激勵力方向改變太快，振動物體由于慣性來不，因激勵力方向改變太快，振動物體由于慣性來不及跟隨，幾乎停著不動。故在及跟隨，幾乎停著不動。故在高頻區(qū)受迫振動的振幅主要取高頻區(qū)受迫振動的振

48、幅主要取決于系統(tǒng)的慣性，決于系統(tǒng)的慣性，稱為慣性區(qū)，這一特性正是隔振和慣性傳稱為慣性區(qū)，這一特性正是隔振和慣性傳感器的理論依據(jù)。感器的理論依據(jù)。（3）當(dāng)頻率比當(dāng)頻率比 =1，激振頻率接近系統(tǒng)的固有頻率，這時阻尼值越小，激振頻率接近系統(tǒng)的固有頻率，這時阻尼值越小， 則越大。當(dāng)阻尼為零時，振動為無限大。習(xí)慣上把幅值則越大。當(dāng)阻尼為零時，振動為無限大。習(xí)慣上把幅值 的頻率的頻率區(qū)間稱為共振區(qū)。區(qū)間稱為共振區(qū)。 將（將（6）對求導(dǎo)，并令）對求導(dǎo)，并令d/d=0 ，可解得，可解得 處有最大幅值，處有最大幅值，把把 稱為共振頻率。稱為共振頻率。 2221221n2. 5 簡諧激勵力作用下的強(qiáng)迫振動簡諧激勵

49、力作用下的強(qiáng)迫振動 解的討論解的討論 相位相位 與頻率比的關(guān)系曲線表明與頻率比的關(guān)系曲線表明 =1時，振動位時，振動位移總是滯后激振力移總是滯后激振力/2 ，頻率比，頻率比 1；當(dāng)；當(dāng) =-/2 -，共振點(diǎn)前后相位差，共振點(diǎn)前后相位差恰好為恰好為。 2. 5 簡諧激勵力作用下的強(qiáng)迫振動簡諧激勵力作用下的強(qiáng)迫振動 簡諧激勵簡諧激勵全響應(yīng)全響應(yīng)(粘性阻尼粘性阻尼)tFxkxcxmsin0 222012arctansin)2()1 (1)cos(Re)(tkFttxrtn2. 5 簡諧激勵力作用下的強(qiáng)迫振動簡諧激勵力作用下的強(qiáng)迫振動 簡諧激勵簡諧激勵全響應(yīng)全響應(yīng)(無無阻尼阻尼)：)1 (sin0tF

50、xkxm 設(shè)其特解為：設(shè)其特解為：tBtxsin)(22nfB代入到上式得：代入到上式得：)2(sinsincos2221tftCtCxnnn方程方程（1）的通解解為：的通解解為： 0000 xxxx設(shè)初始條件為：設(shè)初始條件為：220201/nnfxCxC代入到方程（代入到方程（2）中得：）中得：)3()sin(sinsincos2200ttftxtxxnnnnnn則：則：)4()sin(sin)sin(220ttftAxnnnn即：即：初始條件產(chǎn)生的自由振動初始條件產(chǎn)生的自由振動簡諧激勵力產(chǎn)生的受迫振動簡諧激勵力產(chǎn)生的受迫振動伴隨受迫振動產(chǎn)生的自由振動伴隨受迫振動產(chǎn)生的自由振動2. 5 簡諧

51、激勵力作用下的強(qiáng)迫振動簡諧激勵力作用下的強(qiáng)迫振動 ttkFtxnn20sinsin1)(n 000 xx若初始條件為：若初始條件為：則：則： 2. 5 簡諧激勵力作用下的強(qiáng)迫振動簡諧激勵力作用下的強(qiáng)迫振動 2. 5 簡諧激勵力作用下的強(qiáng)迫振動簡諧激勵力作用下的強(qiáng)迫振動 簡諧激勵簡諧激勵全響應(yīng)全響應(yīng)(無無阻尼阻尼)tFxkxmsin0 000 xxttkFtxnn20sinsin1)(nnn2.6 簡諧力的功和等效阻尼簡諧力的功和等效阻尼簡諧力的功簡諧力的功簡諧力簡諧力tFtFsin)(0dtxtFFdxdWsin0Q=)sin()(tBtx振動系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)解為振動系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)解為則激振力在微小位移

52、則激振力在微小位移dxdx上所作的微元功應(yīng)為：上所作的微元功應(yīng)為：在一個周期內(nèi)（在一個周期內(nèi)（t=0t=02/w2/w）所作的功，也就是）所作的功，也就是F(t)F(t)輸入輸入系統(tǒng)的能量，即為系統(tǒng)的能量，即為dtxtFW20)(dtttBF)cos(sin200tdttBF)cos(sin200sin0BF可見，簡諧激振力在一個周期內(nèi)所作功的大小，不僅可見，簡諧激振力在一個周期內(nèi)所作功的大小，不僅決定于激振力幅決定于激振力幅F F0 0 及振幅及振幅 B B 的大小，還決定于兩者的大小，還決定于兩者之間的相位角之間的相位角 。 當(dāng)當(dāng)00即外力超前位移時，作正功；即外力超前位移時，作正功；當(dāng)當(dāng)

53、00即外力落后于位移時，作負(fù)功；即外力落后于位移時，作負(fù)功；而當(dāng)而當(dāng) =0=0或或 =時，即外力在一個周期內(nèi)作功之和時，即外力在一個周期內(nèi)作功之和等于零。等于零。激振力在一個周期內(nèi)所作的功激振力在一個周期內(nèi)所作的功W W ，可以看成是激振，可以看成是激振力的兩個分量作功的和，即與位移同相的分量力的兩個分量作功的和，即與位移同相的分量F = F F = F coscos和與速度同相的分量和與速度同相的分量F = F sinF = F sin所作功之和。所作功之和。sin0BFW 2.6 簡諧力的功和等效阻尼簡諧力的功和等效阻尼0)cos()sin(cos)cos()sin(cos)sin(200

54、200201tdttBFdttBtFdtxtFWF)sin(cos0tF與位移相同的力：與位移相同的力：在一個周期內(nèi)所作的功為：在一個周期內(nèi)所作的功為：2.6 簡諧力的功和等效阻尼簡諧力的功和等效阻尼簡諧力簡諧力tFtFsin)(0激振力在一個周期內(nèi)所作的功為分量作功之和，即為激振力在一個周期內(nèi)所作的功為分量作功之和，即為 W =W +W = F Bsin因此，激振力在一個周期內(nèi)所作的功，就是其超前位移因此，激振力在一個周期內(nèi)所作的功，就是其超前位移 /2 的分量所作的功。的分量所作的功。sin)(cossin)cos(02200202 BFtdtBFdtxtFWF與速度同向的力與速度同向的力

55、F sincos（t-）在一個周期內(nèi)所作的功為：在一個周期內(nèi)所作的功為：2.6 簡諧力的功和等效阻尼簡諧力的功和等效阻尼簡諧力簡諧力tFtFsin)(02.6 簡諧力的功和等效阻尼簡諧力的功和等效阻尼時，粘性阻尼力時，粘性阻尼力 在一個振動周期中所做的功：在一個振動周期中所做的功：xcFc2202220)(sinXcdttcXdtxFDTcc在單自由度受迫振動方程中，阻尼力被設(shè)為在單自由度受迫振動方程中，阻尼力被設(shè)為 。 實(shí)際物理模實(shí)際物理模型與振動位移一階導(dǎo)數(shù)成正比的是純液體摩擦阻尼，稱為型與振動位移一階導(dǎo)數(shù)成正比的是純液體摩擦阻尼，稱為粘性粘性阻尼阻尼。這種阻尼是。這種阻尼是線性線性的，數(shù)

56、學(xué)上易于處理，故常把非線性阻的，數(shù)學(xué)上易于處理，故常把非線性阻尼用等效粘性阻尼來代替。尼用等效粘性阻尼來代替。等效原則：一個振動周期中，兩種阻尼耗散的能量相等。等效原則：一個振動周期中，兩種阻尼耗散的能量相等。xc等效阻尼力等效阻尼力 在一個振動周期中所作的功：在一個振動周期中所作的功： 所以有：所以有： xce2XcDDec) 1 (2XDce)cos(tXx當(dāng)受迫振動的位移響應(yīng)為：當(dāng)受迫振動的位移響應(yīng)為： 干摩擦阻尼：干摩擦阻尼：干摩擦阻尼力干摩擦阻尼力F可視為一個常力，在整個受迫可視為一個常力，在整個受迫振動中力的幅值不變，方向始終與運(yùn)動方向相反。振動中力的幅值不變，方向始終與運(yùn)動方向相

57、反。當(dāng)質(zhì)量從平衡位置移動到最大偏離位置當(dāng)質(zhì)量從平衡位置移動到最大偏離位置X，即在周期內(nèi)，摩，即在周期內(nèi)，摩擦力做功為擦力做功為 FX，故一個整周期內(nèi)做功，故一個整周期內(nèi)做功 代入代入（1）式，得到式，得到干摩擦的等效阻尼干摩擦的等效阻尼:XFXFXce4422.6 簡諧力的功和等效阻尼簡諧力的功和等效阻尼結(jié)構(gòu)阻尼：結(jié)構(gòu)阻尼：由材料形變過程中的內(nèi)摩擦產(chǎn)生。由材料形變過程中的內(nèi)摩擦產(chǎn)生。材料在加載材料在加載- -卸載過程中，會形成應(yīng)力卸載過程中，會形成應(yīng)力- -應(yīng)變遲滯曲線，它應(yīng)變遲滯曲線，它包容的面積就是內(nèi)摩擦所消耗的能量，它近似地與振幅平包容的面積就是內(nèi)摩擦所消耗的能量，它近似地與振幅平方成正

58、比。即：方成正比。即：其中其中 是與頻率無關(guān)的比例系數(shù)，隨材料不同而變。因是與頻率無關(guān)的比例系數(shù)，隨材料不同而變。因此，結(jié)構(gòu)等效阻尼：此，結(jié)構(gòu)等效阻尼：2XaDrrreaXXaXDc222ra2.6 簡諧力的功和等效阻尼簡諧力的功和等效阻尼周期激勵周期激勵穩(wěn)態(tài)響應(yīng)穩(wěn)態(tài)響應(yīng)(粘性阻尼粘性阻尼) 122211021sincos2nnnnnnnktnbtnakatx212arctannnnn1mknkmc221 1110sincos2nnntnbtnaatFtF tFxkxcxm 2. 7 非簡諧周期激勵力的響應(yīng)分析非簡諧周期激勵力的響應(yīng)分析 例：例：質(zhì)量彈簧系統(tǒng)受到周期方波激勵質(zhì)量彈簧系統(tǒng)受到周期

59、方波激勵 求系統(tǒng)穩(wěn)態(tài)響應(yīng)。求系統(tǒng)穩(wěn)態(tài)響應(yīng)。 TtTFTtFtF2,20,)(00)(tF0F0F0T2/Tt610 1 . 00 2. 7 非簡諧周期激勵力的響應(yīng)分析非簡諧周期激勵力的響應(yīng)分析 解：解：0彈簧質(zhì)量系統(tǒng)固有頻率彈簧質(zhì)量系統(tǒng)固有頻率 610激勵力的基頻激勵力的基頻 ：T26011110)sincos(2)(nnntnbtnaatFTnTnTtdtntFTbtdtntFTadttFTa110sin)(2cos)(2)(2因因 a0 一周期內(nèi)總面積為一周期內(nèi)總面積為0 =0T, 02Ttn1cos2T區(qū)間區(qū)間 內(nèi)，內(nèi)， 關(guān)于關(guān)于 為反為反對稱，對稱， 而而 關(guān)于關(guān)于 對稱對稱)(tF=

60、0 11sinnntnb)(tF0F0F0T2/Tt2. 7 非簡諧周期激勵力的響應(yīng)分析非簡諧周期激勵力的響應(yīng)分析 11sin)(nntnbtF TntdtntFTb1sin)(22, 0T區(qū)間區(qū)間 內(nèi)內(nèi))(tF4T關(guān)于關(guān)于為對稱為對稱 tn1sin4T而而n取偶數(shù)時，取偶數(shù)時，關(guān)于關(guān)于反對稱反對稱 ,2TT區(qū)間區(qū)間 內(nèi)內(nèi))(tF43T關(guān)于關(guān)于為對稱為對稱 tn1sin43T而而n取偶數(shù)時，取偶數(shù)時，關(guān)于關(guān)于反對稱反對稱 0nb6 , 4 , 2n因此因此)(tF0F0F0T2/Tt12T2. 7 非簡諧周期激勵力的響應(yīng)分析非簡諧周期激勵力的響應(yīng)分析 11sin)(nntnbtF Tntdtn