控制系統(tǒng)的穩(wěn)定性分析

1、機(jī)機(jī) 械械 控控 制制 理理 論論第五章第五章控制系統(tǒng)的穩(wěn)定性分析控制系統(tǒng)的穩(wěn)定性分析機(jī)機(jī) 械械 控控 制制 理理 論論第五章第五章 控制系統(tǒng)的穩(wěn)定性分析控制系統(tǒng)的穩(wěn)定性分析 5-1 穩(wěn)定性穩(wěn)定性 5-2 勞斯勞斯- -胡爾維茨穩(wěn)定性判據(jù)胡爾維茨穩(wěn)定性判據(jù)5-3 奈奎斯特穩(wěn)定判據(jù)奈奎斯特穩(wěn)定判據(jù)5-4 系統(tǒng)的相對(duì)穩(wěn)定性系統(tǒng)的相對(duì)穩(wěn)定性機(jī)機(jī) 械械 控控 制制 理理 論論1 1、穩(wěn)定性的概念、穩(wěn)定性的概念 穩(wěn)定性：設(shè)一線性定常系統(tǒng)原處于某一平衡狀態(tài)，若它瞬穩(wěn)定性：設(shè)一線性定常系統(tǒng)原處于某一平衡狀態(tài)，若它瞬間受到某一擾動(dòng)作用而偏離了原來的平衡狀態(tài)，當(dāng)此擾動(dòng)間受到某一擾動(dòng)作用而偏離了原來的平衡狀態(tài)，當(dāng)

2、此擾動(dòng)撤消后，系統(tǒng)仍能回到原有的平衡狀態(tài)，則稱該系統(tǒng)是穩(wěn)撤消后，系統(tǒng)仍能回到原有的平衡狀態(tài)，則稱該系統(tǒng)是穩(wěn)定的。定的。 由此可知：線形系統(tǒng)的穩(wěn)定性取決于系統(tǒng)的固有特征由此可知：線形系統(tǒng)的穩(wěn)定性取決于系統(tǒng)的固有特征（結(jié)構(gòu)、參數(shù)），與系統(tǒng)的輸入信號(hào)無關(guān)。（結(jié)構(gòu)、參數(shù)），與系統(tǒng)的輸入信號(hào)無關(guān)。 第五章第五章 控制系統(tǒng)的穩(wěn)定性分析控制系統(tǒng)的穩(wěn)定性分析 5-1 穩(wěn)定性穩(wěn)定性 機(jī)機(jī) 械械 控控 制制 理理 論論2 2、判別系統(tǒng)穩(wěn)定性的基本原則、判別系統(tǒng)穩(wěn)定性的基本原則 對(duì)于一般的反饋系統(tǒng)，系統(tǒng)的傳遞函數(shù)為：對(duì)于一般的反饋系統(tǒng)，系統(tǒng)的傳遞函數(shù)為： oiX (s)G(s)(s)X (s)1 G(s)H(s)設(shè)

3、輸入信號(hào)為單位脈沖信號(hào)，則有：設(shè)輸入信號(hào)為單位脈沖信號(hào)，則有：o12nn12nii 112niG(s)G(s)X (s)1 G(s)H(s)(ss )(ss )(ss )ccccssssssss第五章第五章 控制系統(tǒng)的穩(wěn)定性分析控制系統(tǒng)的穩(wěn)定性分析 ins toii 1x (t)c e機(jī)機(jī) 械械 控控 制制 理理 論論從從式可看出，要想系統(tǒng)穩(wěn)定，只有當(dāng)系統(tǒng)的特征根式可看出，要想系統(tǒng)穩(wěn)定，只有當(dāng)系統(tǒng)的特征根s s，全部具有負(fù)實(shí)部。全部具有負(fù)實(shí)部。 綜上所述，不論系統(tǒng)特征方程的特征根為何種形式，線綜上所述，不論系統(tǒng)特征方程的特征根為何種形式，線性系統(tǒng)穩(wěn)定的充要條件為：所有特征根均為負(fù)數(shù)或具有負(fù)性系

4、統(tǒng)穩(wěn)定的充要條件為：所有特征根均為負(fù)數(shù)或具有負(fù)的實(shí)數(shù)部分；即：所有特征根均在復(fù)數(shù)平面的左半部分。的實(shí)數(shù)部分；即：所有特征根均在復(fù)數(shù)平面的左半部分。由于特征根就是系統(tǒng)的極點(diǎn)，因此，線性系統(tǒng)穩(wěn)定的充由于特征根就是系統(tǒng)的極點(diǎn)，因此，線性系統(tǒng)穩(wěn)定的充要條件也可表述為：系統(tǒng)的極點(diǎn)均在要條件也可表述為：系統(tǒng)的極點(diǎn)均在s s平面的左半平面。平面的左半平面。第五章第五章 控制系統(tǒng)的穩(wěn)定性分析控制系統(tǒng)的穩(wěn)定性分析 機(jī)機(jī) 械械 控控 制制 理理 論論一般情況下，確定系統(tǒng)穩(wěn)定性的方法有：一般情況下，確定系統(tǒng)穩(wěn)定性的方法有：1 1 直接計(jì)算或間接得知系統(tǒng)特征方程式的根。直接計(jì)算或間接得知系統(tǒng)特征方程式的根。2 2 確

5、定特征方程的根具有負(fù)實(shí)部的系統(tǒng)參數(shù)的區(qū)域。確定特征方程的根具有負(fù)實(shí)部的系統(tǒng)參數(shù)的區(qū)域。應(yīng)用第一種類型的兩種方法是：應(yīng)用第一種類型的兩種方法是：(1)(1)直接對(duì)系統(tǒng)特征方程求解；直接對(duì)系統(tǒng)特征方程求解；(2)(2)根軌跡法根軌跡法應(yīng)用第二種類型的兩種方法是：應(yīng)用第二種類型的兩種方法是：(1)(1)勞斯勞斯- -胡爾維茨判據(jù)胡爾維茨判據(jù); (2); (2)奈氏判據(jù)奈氏判據(jù)第五章第五章 控制系統(tǒng)的穩(wěn)定性分析控制系統(tǒng)的穩(wěn)定性分析 機(jī)機(jī) 械械 控控 制制 理理 論論1 1、胡爾維茨穩(wěn)定判據(jù)、胡爾維茨穩(wěn)定判據(jù)第五章第五章 控制系統(tǒng)的穩(wěn)定性分析控制系統(tǒng)的穩(wěn)定性分析 5-2 勞斯勞斯- -胡爾維茨穩(wěn)定性判據(jù)

6、胡爾維茨穩(wěn)定性判據(jù)系統(tǒng)穩(wěn)定的充要條件是：系統(tǒng)穩(wěn)定的充要條件是：1 1）系統(tǒng)的特征方程式的各項(xiàng)系數(shù)全部為正值，即）系統(tǒng)的特征方程式的各項(xiàng)系數(shù)全部為正值，即a ai i=0=02 2）由系統(tǒng)特征方程各項(xiàng)系數(shù)組成的主行列式及其各順序主由系統(tǒng)特征方程各項(xiàng)系數(shù)組成的主行列式及其各順序主子式全部大于零。子式全部大于零。滿足這兩個(gè)條件的系統(tǒng)是穩(wěn)定的，否則系統(tǒng)是不穩(wěn)定的。滿足這兩個(gè)條件的系統(tǒng)是穩(wěn)定的，否則系統(tǒng)是不穩(wěn)定的。1201210nnnnna Sa Sa SaSa 00a 將系統(tǒng)的特征方程式寫成：將系統(tǒng)的特征方程式寫成：機(jī)機(jī) 械械 控控 制制 理理 論論胡爾維茨行列式可列寫為：胡爾維茨行列式可列寫為： n

7、nnnaaaaaaaaaaaaa2120314205310000000000000000000建立建立 規(guī)律：主對(duì)角線上元素從規(guī)律：主對(duì)角線上元素從a a0 0開始依次遞增為開始依次遞增為a an-1n-1，再再寫出各列元素，按自上而下角標(biāo)遞減，小于寫出各列元素，按自上而下角標(biāo)遞減，小于0 0時(shí)用時(shí)用0 0代替。代替。n第五章第五章 控制系統(tǒng)的穩(wěn)定性分析控制系統(tǒng)的穩(wěn)定性分析 機(jī)機(jī) 械械 控控 制制 理理 論論第五章第五章 控制系統(tǒng)的穩(wěn)定性分析控制系統(tǒng)的穩(wěn)定性分析 系統(tǒng)的特征方程為：系統(tǒng)的特征方程為： 4322ss3s5s 100試用胡爾維茨判據(jù)判別系統(tǒng)的穩(wěn)定性。試用胡爾維茨判據(jù)判別系統(tǒng)的穩(wěn)定性

8、。解：由特征方程知：解：由特征方程知：1) 1) a ai i=0=02)2) 150023 10 0n0150023 10 110 2157023 所以，不滿足胡爾維茨行列式，系統(tǒng)不穩(wěn)定。所以，不滿足胡爾維茨行列式，系統(tǒng)不穩(wěn)定。例例機(jī)機(jī) 械械 控控 制制 理理 論論2 2、勞斯判據(jù)、勞斯判據(jù)當(dāng)系統(tǒng)特征方程階次越高，利用胡氏判據(jù)時(shí)，行列式計(jì)當(dāng)系統(tǒng)特征方程階次越高，利用胡氏判據(jù)時(shí)，行列式計(jì)算工作量越大，所以高階時(shí)，可用勞斯判據(jù)判別系統(tǒng)的算工作量越大，所以高階時(shí)，可用勞斯判據(jù)判別系統(tǒng)的穩(wěn)定性。穩(wěn)定性。 勞斯判據(jù)步驟如下：勞斯判據(jù)步驟如下： 1）列出系統(tǒng)特征方程：）列出系統(tǒng)特征方程： 檢查各項(xiàng)系數(shù)是

9、否大于檢查各項(xiàng)系數(shù)是否大于0 0，若是，進(jìn)行第二步。，若是，進(jìn)行第二步?？梢姡梢?，ai0 (i=0,1,2,n)，是滿足系統(tǒng)穩(wěn)定的必要條件。是滿足系統(tǒng)穩(wěn)定的必要條件。 2）按系統(tǒng)的特征方程式列寫勞斯表）按系統(tǒng)的特征方程式列寫勞斯表第五章第五章 控制系統(tǒng)的穩(wěn)定性分析控制系統(tǒng)的穩(wěn)定性分析 1201210nnnnna Sa Sa SaSa00a 機(jī)機(jī) 械械 控控 制制 理理 論論024611357212343123212311201nnnnsaaaasaaaasbbbbscccsdddseesf3 3）考察勞斯陣列表中第一列各數(shù)的符號(hào)，如果第一列中各數(shù)）考察勞斯陣列表中第一列各數(shù)的符號(hào)，如果第一列

10、中各數(shù)a0a0、a1a1、b1b1、c1c1、的符號(hào)相同，則表示系統(tǒng)具有正實(shí)部特征根的個(gè)數(shù)等的符號(hào)相同，則表示系統(tǒng)具有正實(shí)部特征根的個(gè)數(shù)等于零，系統(tǒng)穩(wěn)定；如果符號(hào)不同，系統(tǒng)不穩(wěn)定，且符號(hào)改變的次數(shù)等于于零，系統(tǒng)穩(wěn)定；如果符號(hào)不同，系統(tǒng)不穩(wěn)定，且符號(hào)改變的次數(shù)等于系統(tǒng)具有的正實(shí)部特征根的個(gè)數(shù)。系統(tǒng)具有的正實(shí)部特征根的個(gè)數(shù)。第五章第五章 控制系統(tǒng)的穩(wěn)定性分析控制系統(tǒng)的穩(wěn)定性分析 120314051607123111,a aa aa aa aa aa abbbaaa表中131 2151 3171 4123111,baabbaabbaabcccbbb121 211e dd efe機(jī)機(jī) 械械 控控 制制

11、 理理 論論已知一調(diào)速系統(tǒng)的特征方程式為已知一調(diào)速系統(tǒng)的特征方程式為試用勞斯判據(jù)判別系統(tǒng)的穩(wěn)定性。試用勞斯判據(jù)判別系統(tǒng)的穩(wěn)定性。 解：列勞斯表解：列勞斯表由于該表第一列系數(shù)的符號(hào)變化了兩次，所以該方程中由于該表第一列系數(shù)的符號(hào)變化了兩次，所以該方程中有二個(gè)根在有二個(gè)根在S S的右半平面，因而系統(tǒng)是不穩(wěn)定的。的右半平面，因而系統(tǒng)是不穩(wěn)定的。第五章第五章 控制系統(tǒng)的穩(wěn)定性分析控制系統(tǒng)的穩(wěn)定性分析 32441.55172.3 100SSS例例401423103 . 25 .380103 . 25 .4105171SSSS機(jī)機(jī) 械械 控控 制制 理理 論論解：列勞斯表解：列勞斯表 由勞斯判據(jù)可知，若系

12、統(tǒng)穩(wěn)定，則勞斯表中第一列的由勞斯判據(jù)可知，若系統(tǒng)穩(wěn)定，則勞斯表中第一列的系數(shù)必須全為正值?？傻茫合禂?shù)必須全為正值?？傻茫旱谖逭碌谖逭?控制系統(tǒng)的穩(wěn)定性分析控制系統(tǒng)的穩(wěn)定性分析 例例 已知某調(diào)速系統(tǒng)的特征方程式為已知某調(diào)速系統(tǒng)的特征方程式為求該系統(tǒng)穩(wěn)定的求該系統(tǒng)穩(wěn)定的K K值范圍。值范圍。 3241.585171670(1)0SSSK)1 (167005 .41)1 (16705175 .410)1 (16705 .41051710123KSKSKSS0)1 (16700)1 (2 .40517KK9 .111K機(jī)機(jī) 械械 控控 制制 理理 論論 勞斯判據(jù)特殊情況勞斯判據(jù)特殊情況 2.2.勞斯表

13、中出現(xiàn)全零行勞斯表中出現(xiàn)全零行則表示相應(yīng)方程中含有一些大小相等符號(hào)相反的實(shí)根或共軛虛根。則表示相應(yīng)方程中含有一些大小相等符號(hào)相反的實(shí)根或共軛虛根。這種情況，可利用系數(shù)全為零行的上一行系數(shù)構(gòu)造一個(gè)輔助多項(xiàng)式這種情況，可利用系數(shù)全為零行的上一行系數(shù)構(gòu)造一個(gè)輔助多項(xiàng)式，并以這個(gè)輔助多項(xiàng)式導(dǎo)數(shù)的系數(shù)來代替表中系數(shù)為全零的行。完，并以這個(gè)輔助多項(xiàng)式導(dǎo)數(shù)的系數(shù)來代替表中系數(shù)為全零的行。完成勞斯表的排列。這些大小相等、徑向位置相反的根可以通過求解成勞斯表的排列。這些大小相等、徑向位置相反的根可以通過求解這個(gè)輔助方程式得到，而且其根的數(shù)目總是偶數(shù)的。這個(gè)輔助方程式得到，而且其根的數(shù)目總是偶數(shù)的。 第五章第五章

14、 控制系統(tǒng)的穩(wěn)定性分析控制系統(tǒng)的穩(wěn)定性分析 1. 1. 勞斯表某一行中的第一項(xiàng)等于零，而該行的其余各項(xiàng)不等于零或勞斯表某一行中的第一項(xiàng)等于零，而該行的其余各項(xiàng)不等于零或沒有余項(xiàng)，這種情況的出現(xiàn)使勞斯表無法繼續(xù)往下排列。解決的辦法沒有余項(xiàng)，這種情況的出現(xiàn)使勞斯表無法繼續(xù)往下排列。解決的辦法是以一個(gè)很小的正數(shù)是以一個(gè)很小的正數(shù) 來代替為零的這項(xiàng)，據(jù)此算出其余的各項(xiàng)，完來代替為零的這項(xiàng)，據(jù)此算出其余的各項(xiàng)，完成勞斯表的排列。成勞斯表的排列。e機(jī)機(jī) 械械 控控 制制 理理 論論1 1、奈氏穩(wěn)定判據(jù)、奈氏穩(wěn)定判據(jù)C(s)R(s)G(s)H(s)考慮上圖所示的閉環(huán)系統(tǒng)，其閉環(huán)傳遞函數(shù)為考慮上圖所示的閉環(huán)系

15、統(tǒng)，其閉環(huán)傳遞函數(shù)為)()(1)()()(sGsHsGsRsC要使系統(tǒng)穩(wěn)定，閉環(huán)極點(diǎn)要全部位于復(fù)平面的左半部。要使系統(tǒng)穩(wěn)定，閉環(huán)極點(diǎn)要全部位于復(fù)平面的左半部。 奈氏判據(jù)正是將開環(huán)頻率特性與系統(tǒng)的閉環(huán)極點(diǎn)聯(lián)系起來奈氏判據(jù)正是將開環(huán)頻率特性與系統(tǒng)的閉環(huán)極點(diǎn)聯(lián)系起來的判據(jù)。的判據(jù)。第五章第五章 控制系統(tǒng)的穩(wěn)定性分析控制系統(tǒng)的穩(wěn)定性分析 5-3 奈奎斯特穩(wěn)定判據(jù)奈奎斯特穩(wěn)定判據(jù)機(jī)機(jī) 械械 控控 制制 理理 論論奈奎斯特穩(wěn)定判據(jù)的陳述奈奎斯特穩(wěn)定判據(jù)的陳述1. 繪制繪制w從從 變化時(shí)的開環(huán)頻率特性曲線，即開環(huán)奈變化時(shí)的開環(huán)頻率特性曲線，即開環(huán)奈氏圖，并在曲線上標(biāo)出氏圖，并在曲線上標(biāo)出w從增加的方向。從增

16、加的方向。 0 2.根據(jù)曲線包圍（根據(jù)曲線包圍（-1，j0）點(diǎn)的次數(shù)和方向，求出點(diǎn)的次數(shù)和方向，求出N的大的大小和正負(fù)。小和正負(fù)。 )()(jGjHw從從 時(shí)，曲線時(shí)，曲線對(duì)（對(duì)（-1，j0）點(diǎn)包圍的次數(shù)。點(diǎn)包圍的次數(shù)。 當(dāng)當(dāng)N0N0時(shí)，按逆時(shí)針方向包圍的情況。時(shí)，按逆時(shí)針方向包圍的情況。當(dāng)當(dāng)N0N0 0，系統(tǒng)穩(wěn)定；，系統(tǒng)穩(wěn)定； ，系統(tǒng)不穩(wěn)定，系統(tǒng)不穩(wěn)定， 越小，表示系統(tǒng)越小，表示系統(tǒng)相對(duì)穩(wěn)定性越差，一般取相對(duì)穩(wěn)定性越差，一般取 。其在圖中的位置如。其在圖中的位置如圖所示。圖所示。0 3060 2) 幅值裕量幅值裕量 在奈氏圖上，奈氏曲線與負(fù)實(shí)軸交點(diǎn)處幅值的倒數(shù)，在奈氏圖上，奈氏曲線與負(fù)實(shí)軸交

17、點(diǎn)處幅值的倒數(shù)，稱為幅值裕量，用稱為幅值裕量，用kgkg表示。表示。第五章第五章 控制系統(tǒng)的穩(wěn)定性分析控制系統(tǒng)的穩(wěn)定性分析 機(jī)機(jī) 械械 控控 制制 理理 論論相位穿越頻率相位穿越頻率g：開環(huán)開環(huán)Nyquist曲線與負(fù)實(shí)軸的交點(diǎn)對(duì)曲線與負(fù)實(shí)軸的交點(diǎn)對(duì)應(yīng)的頻率應(yīng)的頻率g稱為稱為相位穿越頻率，也稱相位交界頻率。相位穿越頻率，也稱相位交界頻率。其在圖中的位置如圖所示。其在圖中的位置如圖所示。 第五章第五章 控制系統(tǒng)的穩(wěn)定性分析控制系統(tǒng)的穩(wěn)定性分析 機(jī)機(jī) 械械 控控 制制 理理 論論當(dāng)當(dāng) ，則，則kg1kg1，kg(dB)0dBkg(dB)0dB，系統(tǒng)是穩(wěn)定系統(tǒng)是穩(wěn)定的。的。當(dāng)當(dāng) ，則，則kg 1kg

18、1，kg(dB) 0dBkg(dB) 0dB，系統(tǒng)是不系統(tǒng)是不穩(wěn)定的。穩(wěn)定的。KgKg一般取一般取8 82020dBdB為宜。為宜。ggG(jw )H(jw )1ggG(jw )H(jw )1第五章第五章 控制系統(tǒng)的穩(wěn)定性分析控制系統(tǒng)的穩(wěn)定性分析 ()18011()()()1()20lg20lg()()()gggggggggKAG jH JKdBALA 機(jī)機(jī) 械械 控控 制制 理理 論論二、關(guān)于相位裕量和幅值裕量的幾點(diǎn)說明二、關(guān)于相位裕量和幅值裕量的幾點(diǎn)說明控制系統(tǒng)的相位裕量和幅值裕量是系統(tǒng)的極坐標(biāo)圖對(duì)控制系統(tǒng)的相位裕量和幅值裕量是系統(tǒng)的極坐標(biāo)圖對(duì)-1+j0點(diǎn)點(diǎn)靠近程度的度量。這兩個(gè)裕量可以用來作為涉及準(zhǔn)則?？拷潭鹊亩攘?。這兩個(gè)裕量可以用來作為涉及準(zhǔn)則。 只用幅值裕量和相位裕量