第4章無限長單位脈沖響應(IIR)濾波器的設計方法

1、1第第4 4章章 無限長單位脈沖響應（無限長單位脈沖響應（IIR）濾波器設計濾波器設計 4.2 4.2 模擬濾波器的設計方法模擬濾波器的設計方法4.6 IIR4.6 IIR數(shù)字濾波器的最優(yōu)化設計方法數(shù)字濾波器的最優(yōu)化設計方法4.4 4.4 從模擬濾波器低通原型到各種數(shù)字濾波器的頻率從模擬濾波器低通原型到各種數(shù)字濾波器的頻率變換變換4.5 4.5 從低通數(shù)字濾波器到各種數(shù)字濾波器的頻率變換從低通數(shù)字濾波器到各種數(shù)字濾波器的頻率變換4.3 4.3 根據(jù)模擬濾波器設計根據(jù)模擬濾波器設計IIRIIR濾波器濾波器4.1 4.1 濾波器的基本原理濾波器的基本原理 2 在第在第2 2章中已涉及模擬濾波器的特

2、性與應用。本章將在進章中已涉及模擬濾波器的特性與應用。本章將在進一步討論濾波器的基本原理和模擬濾波器特性的基礎上，討一步討論濾波器的基本原理和模擬濾波器特性的基礎上，討論論IIRIIR濾波器的設計方法。濾波器的設計方法。 設計并實現(xiàn)一個數(shù)字濾波器一般包括以下三步：設計并實現(xiàn)一個數(shù)字濾波器一般包括以下三步：(1) 按照任務要求，確定濾波器的性能。按照任務要求，確定濾波器的性能。(2) 用一個因果穩(wěn)定的線性時不變系統(tǒng)去逼近這個性用一個因果穩(wěn)定的線性時不變系統(tǒng)去逼近這個性能要求。這種系統(tǒng)函數(shù)可以分為能要求。這種系統(tǒng)函數(shù)可以分為IIR和和FIR兩類系統(tǒng)。兩類系統(tǒng)。確定系數(shù)確定系數(shù) ai 、bi 或零、

3、極點或零、極點 ci 、di，以使濾波器滿足給，以使濾波器滿足給定的性能要求定的性能要求第四章、五章討論第四章、五章討論(3) 數(shù)字濾波器的實現(xiàn)。用一個有限精度的運算去實現(xiàn)數(shù)字濾波器的實現(xiàn)。用一個有限精度的運算去實現(xiàn)這個系統(tǒng)函數(shù)，包括選擇運算結(jié)構(gòu)：如級聯(lián)型、并聯(lián)型、卷這個系統(tǒng)函數(shù)，包括選擇運算結(jié)構(gòu)：如級聯(lián)型、并聯(lián)型、卷積型、頻率采樣型以及快速卷積（積型、頻率采樣型以及快速卷積（FFT）型等）型等;確定運算和系確定運算和系數(shù)存儲的字長；選用通用計算機及相應的軟件或?qū)Ｓ脭?shù)字濾數(shù)存儲的字長；選用通用計算機及相應的軟件或?qū)Ｓ脭?shù)字濾波器硬件實現(xiàn)這一系統(tǒng)。波器硬件實現(xiàn)這一系統(tǒng)。34.1 4.1 濾波器的基

4、本原理濾波器的基本原理 所謂濾波，就是濾除或削弱信號中不需要的分量，所謂濾波，就是濾除或削弱信號中不需要的分量，保留有用的分量。保留有用的分量。在離散線性時不變系統(tǒng)中就是要尋找一系在離散線性時不變系統(tǒng)中就是要尋找一系統(tǒng)函數(shù)統(tǒng)函數(shù)H(z)或其對應的單位脈沖響應或其對應的單位脈沖響應h(n)對信號對信號x(n)作差分作差分運算實現(xiàn)數(shù)字濾波。運算實現(xiàn)數(shù)字濾波。01( )()()MNiiiiy na x nib y ni 當選擇特定的系數(shù)當選擇特定的系數(shù)ai、bi,得到得到y(tǒng)(n)便濾除了某些頻便濾除了某些頻率分量，率分量，數(shù)字濾波器設計的一項重要工作就是按一定的要求數(shù)字濾波器設計的一項重要工作就是按

5、一定的要求尋找特定的系數(shù)尋找特定的系數(shù)ai、bi。4000,N0,0,( )0,0,( ),1( )( )( )( ) ( - )( ) ( - )IIRiMiiiiiMMiiFIRMNbih nbiH za zaMh nx ny nh i x n ix i h n i 一般滿足這類系統(tǒng)稱為 階系統(tǒng)。上式中只要有一項其對應的為無限長，該系統(tǒng)為；但所有該系統(tǒng)為，其也就是說 就是系統(tǒng)的單位脈沖響應，其長度為，這時原差分方程等效于與的卷積系統(tǒng)系統(tǒng)。 具有上述差分方程的數(shù)字濾波器的系統(tǒng)函數(shù)為具有上述差分方程的數(shù)字濾波器的系統(tǒng)函數(shù)為01( )1MiiiNiiia zH zb z5()jL PHe-c-c

6、01(a)()jB PHe-0 2-21-11(c)圖圖4.1 四種類型的理想濾波器四種類型的理想濾波器 對于經(jīng)典濾波器，濾波器的對于經(jīng)典濾波器，濾波器的幅頻特性幅頻特性是分段常數(shù)，在通是分段常數(shù)，在通帶內(nèi)逼近于帶內(nèi)逼近于1 1，阻帶內(nèi)逼近于，阻帶內(nèi)逼近于0 0。從功能上可分為四種類型，。從功能上可分為四種類型，如圖如圖4.1所示所示()jH PHe-c-c01(b)()jB SHe-021-2-11(d)4.1.1 4.1.1 濾波器的分類濾波器的分類6理想濾波器的沖激響應是非因果的、無限長的，因此是理想濾波器的沖激響應是非因果的、無限長的，因此是不可實現(xiàn)的。不可實現(xiàn)的。以低通為例，一種以低

7、通為例，一種可實現(xiàn)的逼近方法是對理想可實現(xiàn)的逼近方法是對理想濾波器的沖激響應進行截短濾波器的沖激響應進行截短，從而得到一個有限沖激響應的，從而得到一個有限沖激響應的低通濾波器，它的幅頻特性曲線如圖低通濾波器，它的幅頻特性曲線如圖4.24.2所示，不是理想的陡所示，不是理想的陡截止的通帶和阻帶，而是出現(xiàn)了一個平滑下降的截止的通帶和阻帶，而是出現(xiàn)了一個平滑下降的“過渡帶過渡帶”。4.1.2 4.1.2 可實現(xiàn)濾波器的特性可實現(xiàn)濾波器的特性11-102cr通帶通帶過渡帶過渡帶阻帶阻帶圖圖 4.2 低通濾波器的幅頻特性低通濾波器的幅頻特性()jH e7在具體技術(shù)指標中通常用在具體技術(shù)指標中通常用通帶波

8、動通帶波動和和最小阻帶衰減最小阻帶衰減tt來表示：來表示：max1mi1n2ax2m()120lg20lg()1()1120lg20lg(20lg(1)20lg)()crjjjH edBH edBHAet通帶內(nèi)1)(maxjeH阻帶內(nèi)2max)(jeHrjcjeHeH21)(1)(1其中其中c c、r r分別稱為通帶邊界頻率和通帶邊界頻率和阻帶邊界頻率阻帶邊界頻率。 可實現(xiàn)的數(shù)字濾波器在通帶和阻帶的幅度響應指標一般可實現(xiàn)的數(shù)字濾波器在通帶和阻帶的幅度響應指標一般以一定容限的以一定容限的允許誤差允許誤差來表征：來表征：8IIRIIR濾波器的設計方法：濾波器的設計方法：1 1）先設計一個合適的模擬

9、濾波器，然后變換成滿足先設計一個合適的模擬濾波器，然后變換成滿足預定指標的數(shù)字濾波器。預定指標的數(shù)字濾波器。由于模擬的網(wǎng)絡綜合理論已經(jīng)發(fā)展得很成熟、模擬濾由于模擬的網(wǎng)絡綜合理論已經(jīng)發(fā)展得很成熟、模擬濾波器有簡單而嚴格的設計公式，設計起來方便、準確、可波器有簡單而嚴格的設計公式，設計起來方便、準確、可將這些理論推廣到數(shù)字域，作為設計數(shù)字濾波器的工具。將這些理論推廣到數(shù)字域，作為設計數(shù)字濾波器的工具。2 2）最優(yōu)化設計方法最優(yōu)化設計方法分兩步：分兩步： (a) 確定一種最優(yōu)準則：如最小均方誤差準則。使設計確定一種最優(yōu)準則：如最小均方誤差準則。使設計出的實際頻率響應的幅度特性出的實際頻率響應的幅度特

10、性 與所要求的理想頻與所要求的理想頻率響應率響應 的均方誤差最小，的均方誤差最小，| )(|jeH| )(|jdeHmin)()(21MijdjiieHeH9或最大誤差最小準則等?；蜃畲笳`差最小準則等。(b) 在此最佳準則下，求濾波的系數(shù)在此最佳準則下，求濾波的系數(shù)ai和和bi：通過不斷地：通過不斷地迭代運算，改變迭代運算，改變ai、bi，直到滿足要求為止。，直到滿足要求為止。下面著重講下面著重講第一種第一種設計方法設計方法，因為數(shù)字濾波器在很多場，因為數(shù)字濾波器在很多場合所要完成的任務與模擬濾波器相同，如設計低通、高通、合所要完成的任務與模擬濾波器相同，如設計低通、高通、帶通及帶阻網(wǎng)絡等，這

11、時帶通及帶阻網(wǎng)絡等，這時數(shù)字濾波也可看作是數(shù)字濾波也可看作是“模仿模仿”模擬模擬濾波器濾波器。在。在IIRIIR濾波器設計中，采用這種設計方法目前最普濾波器設計中，采用這種設計方法目前最普遍；由于計算機技術(shù)的發(fā)展，最優(yōu)化設計方法的使用也逐漸遍；由于計算機技術(shù)的發(fā)展，最優(yōu)化設計方法的使用也逐漸增多。增多。104.2* 常用模擬低通濾波器的設計方法常用模擬低通濾波器的設計方法為了方便學習數(shù)字濾波器的設計，先討論幾種常用的模擬低通濾波器設計方法，高通、帶通 、帶阻等模擬濾波器可利用變量變換方法，由低通濾波器變換得到。 模擬濾波器的設計就是根據(jù)一組設計規(guī)范設計模擬系統(tǒng)函數(shù)設計模擬系統(tǒng)函數(shù)Ha(s)，使

12、其逼，使其逼近某個理想濾波器特性。近某個理想濾波器特性。 模擬濾波器的設計中通常是根據(jù)幅度平方函數(shù)來模擬濾波器的設計中通常是根據(jù)幅度平方函數(shù)來逼近理想系統(tǒng)。逼近理想系統(tǒng)。 因果系統(tǒng)中式中ha(t)為系統(tǒng)的沖激響應，是實函數(shù)。0)()(dtethjHtjaa幅度平方函數(shù)幅度平方函數(shù)22()()()()aaaAHjHjHj0sincos)()(dttjtthjHaa*()()aaHjHj 11式中式中 Ha(s)模擬濾波器系統(tǒng)函數(shù)模擬濾波器系統(tǒng)函數(shù) Ha(j)模擬濾波器的頻率響應模擬濾波器的頻率響應 |Ha(j)|模擬濾波器的幅頻響應模擬濾波器的幅頻響應問題：由問題：由A(2)Ha(S)對于給定的

13、對于給定的A(2) ，先在先在S復平面上標出復平面上標出A(-S2)的極點的極點和零點。和零點。由于由于ha(t)為實函數(shù)，所以為實函數(shù)，所以Ha(s)的零、極點應成對出的零、極點應成對出現(xiàn)且互為共軛（對稱于現(xiàn)且互為共軛（對稱于S平面的實軸）；而平面的實軸）；而Ha(-s)的零、極的零、極點與點與Ha(s)的零、極點成象限對稱，對稱于的零、極點成象限對稱，對稱于S平面的虛軸。平面的虛軸。所所以選用以選用A(-S2)的對稱零、極點的任一半作為的對稱零、極點的任一半作為Ha(s)的極點，則的極點，則可得到可得到Ha(s)。22(,(,)sjsjAAs 22由于在穩(wěn)態(tài)條件下：因此=-S 即2()()

14、()( )()(1)aaaasjAHjHjHs Hs 12三種常用模擬濾波器的設計三種常用模擬濾波器的設計：4.2.1 巴特沃茲濾波器巴特沃茲濾波器 (Butterworth 濾波器濾波器) (巴特沃茲逼近巴特沃茲逼近)特點：具有通帶內(nèi)最大平坦的振幅特性，且隨特點：具有通帶內(nèi)最大平坦的振幅特性，且隨f ，幅頻，幅頻特性特性 A(2)單調(diào)單調(diào) 。其幅度平方函數(shù)為：其幅度平方函數(shù)為：NcajjjHA22211)()(N為濾波器階數(shù)，為濾波器階數(shù)，c為截止頻率；其幅度平方函數(shù)為截止頻率；其幅度平方函數(shù) 如圖如圖4.3為了保證為了保證Ha(s)的穩(wěn)定性，應選用的穩(wěn)定性，應選用A(-S2)在在S左半平面

15、的左半平面的極點作為極點作為Ha(s)的極點，零點可選用任一半（若要求最小相位的極點，零點可選用任一半（若要求最小相位，則應選，則應選S左半平面的）。左半平面的）。13圖圖4.3 4.3 巴特沃茲濾波器振幅平方函數(shù)巴特沃茲濾波器振幅平方函數(shù)r1422222(1)0( 0)112(2) (),()22( 0)=20log3()(3)() 0,()1,NacacacaaccacacaHjHjHjHjdBHjHjHjHj cc當時：當時：即此時，在的通帶內(nèi)有最大平坦的幅頻特性 ，：單調(diào)下降，由于所以下降較慢， 越大衰減越慢；當時，單調(diào)下降，由于所以下降速度比通帶內(nèi)快得多，且 越大 20log()rr

16、arAtHj 衰減越快；當時(稱為阻帶截止頻率）,衰減為：（通常稱c為為3dB截止頻率截止頻率）15振幅平方函數(shù)：振幅平方函數(shù)：NcaajSSHSH2)(11)()(令分母為零，得其極點：1121222(1)()1, 2, 2kkjNNpcckNSje 可見，可見，Butterworth濾波器濾波器 的振幅平方函數(shù)有的振幅平方函數(shù)有2N個極點，個極點，它們均勻?qū)ΨQ地分布在它們均勻?qū)ΨQ地分布在|S|=c的圓周上。的圓周上。則NksssHNkkpNca2, 1)()(1Spk為S平面左半部分的N個極點（5）在過渡帶內(nèi)，階次為）在過渡帶內(nèi)，階次為N N 的的Butterworth濾波器的幅度相應濾波

17、器的幅度相應趨于斜率為趨于斜率為-6NdB/倍頻程倍頻程的漸近線。的漸近線。16 例：例：N=3階BF振幅平方函數(shù)的極點分布，如圖4.4。此時;6,2,1)()1(61kjScpk圖4.4 三階A(-S2)的極點分布17對于穩(wěn)定系統(tǒng)，其系統(tǒng)函數(shù)的極點應位于S平面左半部分，因此Ha(s)對應的極點為SP3，SP4，SP5，它們分別為：3254323,jcpcpjcpeSSeS系統(tǒng)函數(shù)為：)()()(5433pppcaSSSSSSsH令c=1，得歸一化歸一化的三階BF：1221)(23SSSsHa如果要還原的話，則用S/c代替S，得：1)/(2)/(2)/(1)(23cccassssH18 由以上

18、分析可知：設計模擬濾波器其關(guān)鍵是確定其階由以上分析可知：設計模擬濾波器其關(guān)鍵是確定其階數(shù)數(shù)N和和3dB截止頻率。截止頻率。 0.10.1110.10.122101log 1 N3 01N;2log (101)At ;(101)AtprAtNNcpcr cpr下面討論如何根據(jù)實際濾波器的性能指標確定巴特沃斯濾波器的階數(shù) 及其 dB截止頻率；若要求設計的濾波器的通帶截止頻率為，阻帶截止頻率為，通帶內(nèi)最大衰減為為 ，阻帶最小或衰減為則有19Butterworth 濾波器的設計步驟：濾波器的設計步驟：0.10.1110.10.12213dB101log 101N;2log(101)(101)2 ( )

19、 ,3 ( )prcAtprAtNNcpcraacAtNNHsHsss 、由、 、確定濾波器的階數(shù) 及截止頻率，或、根據(jù) 查表得到相應的規(guī)一化的系統(tǒng)函數(shù)、將規(guī)一化的系統(tǒng)函數(shù)中的“ ”用“”帶入。20幾種低階歸一化巴特沃思濾波器的系統(tǒng)函數(shù)：幾種低階歸一化巴特沃思濾波器的系統(tǒng)函數(shù)：一階：一階：1( )1aHss二階：二階：21( )21aHsss三階：三階：321( )221aHssss210.10.10.130.131,12At30,Butterworth101101log log3.5864101101N2.979;2log2log3/121.204(101)pppprAtprcpfkHzdB

20、fkHzdB 已知某濾波器的技術(shù)指標為：通帶截止頻率，通帶最大衰減為阻帶截止頻率，阻帶最小衰減為設計滿足條件的低通濾波器。解：例：110.1426323c3223cccc3000 2 (101)2.361 10 (/ )N=31 ( ),s +2s +2s+1( )s +2s+2s+Naarad sHsHs取，查表可知歸一化系統(tǒng)函數(shù)為去歸一化得滿足條件的系統(tǒng)函數(shù)為將代入上式則可得最終的系統(tǒng)函數(shù)。22 4.2.2 切比雪夫（切比雪夫（chebyshev）濾波器）濾波器 (切比雪夫多項式逼近切比雪夫多項式逼近)特點：誤差值在規(guī)定的頻段上等波紋變化。特點：誤差值在規(guī)定的頻段上等波紋變化。巴特沃茲濾波

21、器在通帶內(nèi)幅度特性是單調(diào)下降的，如果階次一定，則在靠近截止頻率c處，幅度下降很多，或者說，為了使通帶內(nèi)的衰減足夠小，需要的階次(N)很高，為了克服這一缺點，采用切比雪夫多項式逼近所希望的|H(j)|2。 切比切比雪夫濾波器的雪夫濾波器的|H(j)|2 在通帶范圍內(nèi)是等波紋起伏的，所以同在通帶范圍內(nèi)是等波紋起伏的，所以同樣的通帶衰減，其階數(shù)較巴特沃茲濾波器要小樣的通帶衰減，其階數(shù)較巴特沃茲濾波器要小?？筛鶕?jù)需要對通帶內(nèi)允許的衰減量(波動范圍)提出要求，如要求波動范圍小于1db。振幅平方函數(shù)為:)(11)()(2222cNaVjHA23與通帶波紋有關(guān)的參量， 大 ，波紋大。10有效通帶截止頻率cV

22、N（x）N階切比雪夫多項式，定義為1)coshcosh(1)coscos()(11xxNxxNxVN)(, 11)(,1xVxxxVxNN時241/(1+2)A(2)11/A2rc(a)N為奇數(shù)A(2)11/(1+2)1/A2cr(b)N為偶數(shù)圖圖4.5 4.5 切比雪夫濾波器的幅度平方特性切比雪夫濾波器的幅度平方特性25有關(guān)參數(shù)的確定有關(guān)參數(shù)的確定: :a、通帶截止頻率c，預先給定b、通帶波動為 2minmax111lg20)()(lg20jHjHaa 所以給定通帶波動值分貝數(shù) 后，可求 。)(dB)1lg(1021101.022r21,()raHjA 時26c、階數(shù)N由阻帶的邊界條件(c

23、、 r、A)確定。221)(,AjHar時)coshcosh()(,1xNarxVxN 時222111AVcrN21()rNcAV將|VN(r/c)|代入上式得： )/cosh(/1cosh(2crarAarN 有了N、c、之后即可查表求得Ha(s),然后去歸一化的Ha(s) 。274.2.3 4.2.3 橢圓濾波器（考爾濾波器）橢圓濾波器（考爾濾波器）特點：幅值響應在通帶和阻帶內(nèi)都是等波紋的特點：幅值響應在通帶和阻帶內(nèi)都是等波紋的，對于給定的階數(shù)和給定的波紋要求，橢圓濾波器能獲得較其它橢圓濾波器能獲得較其它濾波器更窄的過渡帶寬濾波器更窄的過渡帶寬，就這點而言，橢圓濾波器是最優(yōu)的。其振幅平方函

24、數(shù)為),(11)()(2222LRjHANaRN(，L)雅可比橢圓函數(shù)L表示波紋性質(zhì)的參量28圖4.6 N=5， 的特性曲線 ),(25LR可見，在歸一化通帶內(nèi)（-11），R52(,L)在（0，1）間振蕩，而超過L后， R52(,L)在(L2 )間振蕩。這一特點使濾波器同時在通帶和阻帶具有任意衰減量。29(b)N為偶數(shù)rcA(2)11/A21/(1+2)(a)N為奇數(shù)1/(1+2)rcA(2)11/A2 下圖為典型的橢園濾波器振幅平方函數(shù)圖4.7 橢圓濾波器的振幅平方函數(shù)圖中和A的定義 同切比雪夫濾波器30當c、r、和A確定后，階次N的確定方法為：式中2/1222/1210)1 ()1 ()(

25、tktdtkK為第一類完全橢圓積分 )1()(/)1()(1/212121kKkKkKkKNAkkrc確定參量確定參數(shù)31上面討論了三種最常用的模擬低通濾波器的特性和設計方法，設計時按照指標要求，合理選用。 一般，相同指標下，橢圓濾波器階次最低，切比雪一般，相同指標下，橢圓濾波器階次最低，切比雪夫次之，巴特沃茲最高，參數(shù)的靈敏度則恰恰相反。夫次之，巴特沃茲最高，參數(shù)的靈敏度則恰恰相反。以上討論了由以上討論了由A(2）Ha(s),下面討論由下面討論由Ha(s)H(Z)的變換設計法。的變換設計法。324.3 4.3 根據(jù)模擬濾波器設計根據(jù)模擬濾波器設計IIRIIR濾波器濾波器利用模擬濾波器設計數(shù)字

26、濾波器，就是從已知的模擬利用模擬濾波器設計數(shù)字濾波器，就是從已知的模擬濾波器傳遞函數(shù)濾波器傳遞函數(shù)Ha(s)設計數(shù)字濾波器傳遞函數(shù)設計數(shù)字濾波器傳遞函數(shù)H(z)，這歸，這歸根到底是一個由根到底是一個由S平面到平面到Z平面的變換，這種映射變換應遵平面的變換，這種映射變換應遵循兩個基本原則：循兩個基本原則：(1)(1)H(z)的頻響要能模仿的頻響要能模仿Ha(s)的頻響，即的頻響，即S平面的虛軸平面的虛軸應映射到應映射到Z平面的單位圓平面的單位圓ej上。上。(2)(2)Ha(s)的因果穩(wěn)定性映射成的因果穩(wěn)定性映射成H(z)后保持不變，即后保持不變，即S平平面的左半平面面的左半平面ReS0應映射到應

27、映射到Z平面的單位圓以內(nèi)平面的單位圓以內(nèi)|Z|2.5kHZ, ,（但不必考慮（但不必考慮fm/25kHZ以以上的頻率分量），通帶內(nèi)損耗不大于上的頻率分量），通帶內(nèi)損耗不大于1dB。 解：解：首先確定數(shù)字域截止頻率首先確定數(shù)字域截止頻率c=2fc/fs=0.5, , 則則cot222ccTT 切比雪夫低通原型的振幅平方函數(shù)為：切比雪夫低通原型的振幅平方函數(shù)為：2221()1/aNcHjV 其中：其中：VN()為為N階切比雪夫多項式階切比雪夫多項式80N=3N=3時時, ,系統(tǒng)函數(shù)為：系統(tǒng)函數(shù)為：332230.4913( )0.49131.2380.9883cacccHssss 于是于是11123

28、1231211 33( )( )0.13211 0.34320.60430.2041aTzszzzzH ZHszzz5089. 01101 . 0通帶損耗通帶損耗 時，時，dB1230.4913( )0.4913 1.2380.9883()()acccHssss81圖4.20 三階切比雪夫高通頻響82例例4.104.10 設計一數(shù)字高通濾波器，它的通帶為設計一數(shù)字高通濾波器，它的通帶為400500Hz，通帶內(nèi)容許有通帶內(nèi)容許有0.5dB的波動，阻帶內(nèi)衰減在小于的波動，阻帶內(nèi)衰減在小于317Hz的頻的頻帶內(nèi)至少為帶內(nèi)至少為19dB，采樣頻率為，采樣頻率為1000Hz。 32492. 021000

29、24002cot2cTT6498. 02100023172cot2rTT解：解：預畸變后的模擬邊界頻率預畸變后的模擬邊界頻率32492. 02/ccTcT26498. 02/sr將將c、r、對對T/2歸一化：歸一化：2/Tss 83 A2實際是與阻帶最小衰減有關(guān)的值，實際是與阻帶最小衰減有關(guān)的值，1/A2是阻帶內(nèi)最是阻帶內(nèi)最大振幅平方，也就是最小阻帶衰減，如以分貝值表示這一大振幅平方，也就是最小阻帶衰減，如以分貝值表示這一衰減量，則衰減量，則 ，e e是以分貝計的阻帶衰減是以分貝計的阻帶衰減 已知最小阻帶衰減為已知最小阻帶衰減為e=19dB，故，故 ；將將 一起代入一起代入(1)(1)式，即求

30、得最小的式，即求得最小的N N為為3 3。)(1lg102dBeA9 . 1210A及、2AcS1220184. 0110,5 . 01 . 02時當確定最小階數(shù)確定最小階數(shù) N:) 1 (/cosh/1cosh121crAN模擬切比雪夫濾波器設計中階數(shù)的確定公式為模擬切比雪夫濾波器設計中階數(shù)的確定公式為:843213145376786. 052427784. 197486024. 11)1 (01594149. 0)(zzzzzH0255842155. 0166563075. 04127346. 00255842155. 0)(23assssH 根據(jù)根據(jù)N、c則可查找濾波器手冊得到相應歸一化

31、系則可查找濾波器手冊得到相應歸一化系統(tǒng)函數(shù)統(tǒng)函數(shù): :11112/zzTss將將 代入上式得：代入上式得：85wc=2*1000*tan(2*pi*400/(2*1000);wt=2*1000*tan(2*pi*317/(2*1000);N,wn=cheb1ord(wc,wt,0.5,19,s);B,A=cheby1(N,0.5,wn,high,s);num,den=bilinear(B,A,1000);h,w=freqz(num,den);f=w/pi*500;plot(f,20*log10(abs(h);axis(0,500,-80,10);grid; xlabel() ylabel(幅度

32、/dB)86圖圖4.21 切比雪夫高通濾波器切比雪夫高通濾波器050100150200250300350400450500-80-70-60-50-40-30-20-10010頻 率 / Hz幅 度 / dB頻率頻率/Hz幅幅度度/dB874.4.3 4.4.3 帶通變換帶通變換( (LP-BP) ) 圖4.22 帶通原型變換 88 如圖如圖4.224.22所示，若數(shù)字頻域帶通的中心頻率為所示，若數(shù)字頻域帶通的中心頻率為 ，則帶，則帶通變換的目的是將：通變換的目的是將：000 0 00 00 （頻率映射關(guān)系具有周期性，頻率響應關(guān)于原點具有對稱性）（頻率映射關(guān)系具有周期性，頻率響應關(guān)于原點具有對

33、稱性）即：將即：將 映射到映射到 ，而將，而將 映射到映射到 ，滿足這一要求的滿足這一要求的s s平面到平面到z z平面的變換式如下，平面的變換式如下，0 0jze 1z 002022 cos1()()(1)(1)1jjzzzezeszzz89 當當 時時 因此因此 （帶通變換關(guān)系（帶通變換關(guān)系 ）jjojjjojjeeeeeeescos211cos222jsjso又,sincoscoscoscossino jz e90圖中圖中 點正好映射在點正好映射在 上，而上，而 映射映射在在 ， 兩端，因此滿足帶通變換的要求。兩端，因此滿足帶通變換的要求。000圖圖4.23 4.23 帶通變換的頻率關(guān)系

34、帶通變換的頻率關(guān)系00 091穩(wěn)定性證明：穩(wěn)定性證明： 這一變換也滿足穩(wěn)定性要求，設這一變換也滿足穩(wěn)定性要求，設0 rz2022cos11rrsr則 ：由于上式完全是實數(shù)，所以是映射在由于上式完全是實數(shù)，所以是映射在S平面平面軸上。軸上。220022121cos12cos11rrrrrr其中分子永遠為正的其中分子永遠為正的 ，2012(1cos)0rr因此因此的正負決定于分母的正負決定于分母r r2 2-1-1010, 1時，時，rr由此證明了，由此證明了，S S左半平面映射在單位圓內(nèi)，而右半平面映左半平面映射在單位圓內(nèi)，而右半平面映射在單位圓外射在單位圓外，這種變換關(guān)系是穩(wěn)定的變換關(guān)系，可用

35、它來完，這種變換關(guān)系是穩(wěn)定的變換關(guān)系，可用它來完成帶通的變換，如圖成帶通的變換，如圖4.234.2392設計帶通時，一般只給出上、下邊帶的截止頻率設計帶通時，一般只給出上、下邊帶的截止頻率 作為設計要求。作為設計要求。21,為了應用以上變換，首先要將上下邊帶參數(shù)為了應用以上變換，首先要將上下邊帶參數(shù) 換算成中心頻率換算成中心頻率 及模擬低通截止頻率及模擬低通截止頻率 。21,0cco,21？為此將為此將 代入變換關(guān)系式：代入變換關(guān)系式：21,111sincoscoso222sincoscoso 由于由于 在模擬低通中是一對鏡像頻率，在模擬低通中是一對鏡像頻率，所以將所以將代入上面兩等式，求出代

36、入上面兩等式，求出12 21,0cos121201212cossin2cossinsincos293又又1同時也就是模擬低通的截止頻率同時也就是模擬低通的截止頻率11co sco ssinoc有了這兩個參數(shù)就可完成全部計算。有了這兩個參數(shù)就可完成全部計算。例例4.114.11設計一巴特沃茲帶通濾波器，其設計一巴特沃茲帶通濾波器，其3dB3dB邊界頻率分別為邊界頻率分別為f2=90kHz,f1=110kHz, ,在阻帶在阻帶f3=120kHz處最小衰減大于處最小衰減大于10dB；采樣采樣fs=400kHz。0圖圖4.24 帶通濾波器設計帶通濾波器設計3dB10dBf2f1 f3f()jH e94

37、 從從 頻率增加了約頻率增加了約1.051.05倍，幅頻特性衰減增加了倍，幅頻特性衰減增加了(10-3)dB，故選用，故選用二階二階巴特沃茲濾波器可滿足指標巴特沃茲濾波器可滿足指標( (查表查表) )，或見或見P145P145。rc 到1584. 055. 0sin55. 0cos5 . 0cosc3249.06 .0sin6 .0cos5 .0cosr(3)(3)求模擬低通的通帶截止頻率求模擬低通的通帶截止頻率 與阻帶邊界頻率與阻帶邊界頻率 ：cr解解: :(1)(1)確定數(shù)字頻域的上下邊帶的角頻率確定數(shù)字頻域的上下邊帶的角頻率45.0/222sff55.0/211sff6.0/233sff

38、(2)(2)求中心頻率：求中心頻率：55. 0sin45. 0sin55. 045. 0sincos05 . 009522212221221( )( )116.3172 6.317111azszH zHszzzz66.3725.8466.37)1(2422zzz121)(2sssHa(4)(4)歸一化的系統(tǒng)函數(shù)：歸一化的系統(tǒng)函數(shù)： (5) (5)代入變換公式代入變換公式1111cos222202zzzzzs1/2/1)(2ccasssH將將 代入得代入得:css 96 w1=2*400*tan(2*pi*90/(2*400);w2=2*400*tan(2*pi*110/(2*400);wr=2

39、*400*tan(2*pi*120/(2*400);N,wn=buttord(w1 w2,0 wr,3,10,s);B,A=butter(N,wn,s);num,den=bilinear(B,A,400);h,w=freqz(num,den);f=w/pi*200;plot(f,20*log10(abs(h);axis(40,160,-30,10);grid; xlabel(頻率/kHz) ylabel(幅度/dB)97圖4.25 巴特沃茲帶通濾波器406080100120140160-30-25-20-15-10-50510頻 率 / kH z幅 度 / dB頻率/kHz幅度/dB984.4

40、.4 4.4.4 帶阻變換帶阻變換(LP-BS)(LP-BS)0 02 21 10 00 00 00 0cc-c-c()H j()jH e0sincoscos 圖圖4.26 帶阻原型變換帶阻原型變換99把帶通的頻率關(guān)系倒置就得到帶阻變換。把帶通的頻率關(guān)系倒置就得到帶阻變換。2201,2 cos1zszz?12102,()oc 例例4.124.12 一數(shù)字濾波器采樣頻率一數(shù)字濾波器采樣頻率fs=1kHz，要求濾除，要求濾除100Hz的干擾，其的干擾，其dB的邊界頻率為的邊界頻率為95Hz和和105Hz，原型歸一化，原型歸一化低通濾波器為低通濾波器為a1( )1Hss212010sinsincos

41、coscoscosc 12012sin()cos,sinsin 000, 100解解: :(1)(1)先確定數(shù)字上、下邊界頻率、中心頻率先確定數(shù)字上、下邊界頻率、中心頻率11222/2105/10000.212/295/10000.19ssffff0sin(0.210.19 )cos0.8095sin0.21sin0.19(2)(2)再求模擬低通的邊界頻率再求模擬低通的邊界頻率101sinsin0.2131.68299coscos0.8095cos0.21c (4)(4)反歸一化的系統(tǒng)函數(shù)為反歸一化的系統(tǒng)函數(shù)為)(11)(cassH(5)(5)代入變換公式得帶阻數(shù)字濾波器的系統(tǒng)函數(shù)為代入變換公

42、式得帶阻數(shù)字濾波器的系統(tǒng)函數(shù)為9390. 05695. 1) 16188. 1(9695. 0)()(2218095. 02122zzzzsHzHzzzsa101MATLAB程序為： w1=95/500;w2=105/500;B,A=butter(1,w1, w2,stop);h,w=freqz(B,A);f=w/pi*500;plot(f,20*log10(abs(h);axis(50,150,-30,10);grid; xlabel(頻率/Hz) ylabel(幅度/dB)1025060708090100110120130140150-30-25-20-15-10-50510頻 率 / H

43、z幅 度 / dB頻率/Hz圖4.27 巴特沃茲帶阻濾波器幅 度/dB103從模擬低通原型從模擬低通原型 數(shù)字濾波器數(shù)字濾波器: :LP LP:11211( )( )zasTzH zHs2tan()2ccT cot()22ccT 11121( )( )TzaszH zHsLP HP:104LP BS:12012sin()cos,sinsin 22012 cos1( )( )zaszzH zHs 110sincoscosc LP BP:2022 cos11( )( )zzaszH zHs 011coscossinc 12012sin()cos,sinsin END1054.54.5* * 從低通

44、數(shù)字濾波器到各種數(shù)字濾波器從低通數(shù)字濾波器到各種數(shù)字濾波器的頻率變換（的頻率變換（Z Z平面變換法）平面變換法）上一節(jié)討論了由模擬網(wǎng)絡的低通原型來設計各種上一節(jié)討論了由模擬網(wǎng)絡的低通原型來設計各種DFDF的方的方法，這種原型變換的設計方法同樣也可直接在數(shù)字域上進行。法，這種原型變換的設計方法同樣也可直接在數(shù)字域上進行。DFDF低通原型函數(shù)低通原型函數(shù)變換)(zHp各種各種DF的的 H(z)這種變換是由這種變換是由H Hp p(z)(z)所在的所在的Z Z平面到平面到H(z)H(z)所在的所在的Z Z平面的一平面的一個映射變換。個映射變換。為便于區(qū)分變換前后兩個不同的為便于區(qū)分變換前后兩個不同的

45、Z Z平面，我們平面，我們把變換前把變換前的的 Z Z平面定義為平面定義為u u平面平面，并將這一映射關(guān)系用一個函數(shù)，并將這一映射關(guān)系用一個函數(shù)G G表示：表示：)1 ()(11zGu10611()( )( )uG zpHzH Zuz 平面平面于是，于是，DF的原型變換可表為：的原型變換可表為： )(11)()(zGupuHzH107函數(shù)函數(shù)G(z-1)的要求：的要求：1)G(z1)G(z-1-1) )是是z z-1-1的有理函數(shù)。的有理函數(shù)。2 2）希望變換以后的傳遞函數(shù)保持穩(wěn)定性不變，因此要）希望變換以后的傳遞函數(shù)保持穩(wěn)定性不變，因此要求求u u的單位圓內(nèi)部必須對應于的單位圓內(nèi)部必須對應于

46、z z的單位圓內(nèi)部。的單位圓內(nèi)部。3 3）G(zG(z-1-1) )必須是全通函數(shù)。必須是全通函數(shù)。為使兩個函數(shù)的頻響滿足一定的變換要求，為使兩個函數(shù)的頻響滿足一定的變換要求，Z Z的單位圓的單位圓應映射到應映射到u u的單位圓上，若以的單位圓上，若以e ejj、e ejj分別表示分別表示u u平面和平面和Z Z平平面的單位圓，則面的單位圓，則)(jjjjeeGeGe1jeG并要求并要求其中其中 是是 的相位函數(shù)的相位函數(shù) )(jeG即即G(z-1)在單位圓上的幅度必須恒為在單位圓上的幅度必須恒為1，稱為全通函數(shù)。，稱為全通函數(shù)。108全通函數(shù)的基本特性全通函數(shù)的基本特性：NiiizzzG11

47、*111)(任何全通函數(shù)都可以表示為：任何全通函數(shù)都可以表示為：(2) (2) 的所有零點的所有零點 都是其極點的共軛倒數(shù)都是其極點的共軛倒數(shù))(1zG*/1i(3)(3)當當 變化時，相位函數(shù)變化時，相位函數(shù) 的變化量為的變化量為 。 不同的不同的N和和 對應各類不同的變換。對應各類不同的變換。 0i N N N：全通函數(shù)的階數(shù)，：全通函數(shù)的階數(shù)， 為全通函數(shù)的極點為全通函數(shù)的極點( (在單位圓內(nèi)在單位圓內(nèi)) )。i(1) (1) 可為實數(shù)，也可為共軛復數(shù)，但必須在單位圓以可為實數(shù)，也可為共軛復數(shù)，但必須在單位圓以內(nèi)，即內(nèi)，即 ，以保證變換的穩(wěn)定性不變，以保證變換的穩(wěn)定性不變，*為取共軛。為

48、取共軛。1ii109下面具體討論幾種原型變換：下面具體討論幾種原型變換： 低通低通低通（低通（LPLP） LPLP LPLP的變換中，的變換中， 和和 都是低通函數(shù)，都是低通函數(shù)，只是截止頻率互不相同（或低通濾波器的帶寬不同），因只是截止頻率互不相同（或低通濾波器的帶寬不同），因此當此當 時，相應的時，相應的 ，如圖，如圖4.28(a)4.28(a)，根據(jù)，根據(jù)全通函數(shù)相位全通函數(shù)相位 變化量為變化量為 的性質(zhì)，可確定全通函數(shù)的性質(zhì)，可確定全通函數(shù)的階數(shù)的階數(shù)N=1N=1，且必須滿足以下兩條件：，且必須滿足以下兩條件：G(1)=1, G(-1)=-1G(1)=1, G(-1)=-1。)(jpe

49、HjeH0 N0滿足以上要求的映射函數(shù)應為滿足以上要求的映射函數(shù)應為111()1zG zz其中其中 是實數(shù)，且是實數(shù)，且| |1| | HP LP = HP 。圖圖4.29(a) LP-HP4.29(a) LP-HP0 00 022-=H(-z)=H(-z)115b. b. 高通變換高通變換）（21jjjeee或或, 00LP-HP變換變換中中 cc如圖如圖4.29（b）, 在在LP-LP 變換中，將變換中，將 Z代以代以Z , 得得 LP - HP變換關(guān)系：變換關(guān)系：11111111zzuzz （ ）116:確定原型低通的截止頻率原型低通的截止頻率 對應于高通的邊界頻率對應于高通的邊界頻率

50、，欲將，欲將 變換到變換到 ，由（，由（2 2）式有，）式有，cccccccccccjjjjjjeeeeee1,1cos2cos2cccc （2 2）式的）式的 頻率關(guān)系，如圖頻率關(guān)系，如圖4.29(b)4.29(b)中的實線。中的實線。117圖圖4.29(b) LP-Hp4.29(b) LP-Hp變換變換cc00118 低通（低通（LPLP）- -帶通（帶通（BPBP）102cc00cc01020)(jeH圖圖4.30 (a) LP-BP4.30 (a) LP-BP變換變換119如圖如圖4.30(a),LP-BPLP-BP變換把帶通的中心頻率變換把帶通的中心頻率00c2c100000,0時，

51、故故N=2N=2。由以上分析得變換關(guān)系：由以上分析得變換關(guān)系：2111122121(1)()1zrzruG zrzrz) 2(1122212jjjjjererreree或或, 1)1(,0G，時全通函數(shù)取負號。全通函數(shù)取負號。120確定確定r1, r2 ：把變換關(guān)系把變換關(guān)系 代入（代入（2 2）式得）式得 ：cc21,1122221111122212122212jjjjjjjjjjererrereeererrereecc消去消去r1r1，得：，得：)()()()(1212121222111122)()(2jjjjjjjjjjjjjjjjjjjjeeeeeeeeeeeeeeeeeeeerccc

52、ccc121可得：可得：211krk121krk 2121cos()2cos()2其中：其中：r1,r2r1,r2代入代入(2)(2)式，則可確定頻率變換關(guān)系，如圖式，則可確定頻率變換關(guān)系，如圖4.30(b)4.30(b)。21tan()tan22ck令122圖圖4.30(b) LPBP4.30(b) LPBP變換頻率關(guān)系變換頻率關(guān)系123低通低通(LP)(LP)帶阻帶阻(BS)(BS)圖圖4.31(a) LP-BS4.31(a) LP-BS變換變換201cc)(jeH00201cc)(jeH00124如圖如圖4.31(a),LPBS4.31(a),LPBS變換把帶阻的中心頻率變換把帶阻的中心

53、頻率0000000，的變化范圍為的變化范圍為2,2,故故 N=2N=2又又 G(1)=1,G(1)=1,所以，全通函數(shù)取正號。所以，全通函數(shù)取正號。由以上分析得變換關(guān)系：由以上分析得變換關(guān)系：2111122121()(1)1zrzruG zr zrz)2(1122212jjjjjererreree 或或 125確定確定r1,r2 r1,r2 ：把變換關(guān)系把變換關(guān)系 代入（代入（2 2）式得）式得 ：cc21,121rk211krk21tantan22ck2121cos2cos2其中：其中：r1,r2r1,r2代入代入(2)(2)式，得圖式，得圖4.31(b),4.31(b),此頻率變換關(guān)系與前

54、面此頻率變換關(guān)系與前面的分析相吻合。的分析相吻合。126圖圖4.31(b)4.31(b)LP-BSLP-BS頻率變換關(guān)系頻率變換關(guān)系127LP-BSLP-BS變換的又一種實現(xiàn)方法變換的又一種實現(xiàn)方法: : 由低通到帶阻的變換同樣可以通過旋轉(zhuǎn)變換來完成由低通到帶阻的變換同樣可以通過旋轉(zhuǎn)變換來完成, ,但變但變換的次序與模擬低通到數(shù)字帶阻的次序不同換的次序與模擬低通到數(shù)字帶阻的次序不同, ,是先由低通到是先由低通到高通高通( (低阻低阻),),再利用再利用3.4.33.4.3的方式由低阻到帶阻的方式由低阻到帶阻, ,即即21111121121111121()11()()()zrzrvvG zuG vr zrzvH uH vH z高通