控制第6章穩(wěn)定性

1、第第6章章 系統(tǒng)的穩(wěn)定性系統(tǒng)的穩(wěn)定性61系統(tǒng)穩(wěn)定的條件系統(tǒng)穩(wěn)定的條件一一. 穩(wěn)定的概念和定義穩(wěn)定的概念和定義穩(wěn)定性穩(wěn)定性：是指系統(tǒng)在使它偏離平衡狀態(tài)的擾動消除：是指系統(tǒng)在使它偏離平衡狀態(tài)的擾動消除 之后，系統(tǒng)能夠以足夠的精度逐漸恢復到之后，系統(tǒng)能夠以足夠的精度逐漸恢復到 原來的狀態(tài)，則系統(tǒng)是穩(wěn)定的，或具有穩(wěn)原來的狀態(tài)，則系統(tǒng)是穩(wěn)定的，或具有穩(wěn) 定性。定性。穩(wěn)定性是系統(tǒng)去掉擾動之后，自身的一種恢復能力，穩(wěn)定性是系統(tǒng)去掉擾動之后，自身的一種恢復能力，是系統(tǒng)的一種是系統(tǒng)的一種固有屬性固有屬性。系統(tǒng)穩(wěn)定的系統(tǒng)穩(wěn)定的充分必要條件充分必要條件： 系統(tǒng)的特征方程根必須全部具有負實部系統(tǒng)的特征方程根必須全部具

2、有負實部或者：或者：系統(tǒng)傳遞函數 的極點全部位于極點全部位于 復平面的左半部復平面的左半部。 1212()()()1()()()omminnXsG sbszszszsXsG s H sasss G s H s oXs iX s oiXsXs s二二. 系統(tǒng)穩(wěn)定性的條件系統(tǒng)穩(wěn)定性的條件系統(tǒng)的傳遞函數系統(tǒng)的傳遞函數系統(tǒng)的脈沖響應為系統(tǒng)的脈沖響應為 脈沖響應的拉氏變換脈沖響應的拉氏變換101()()( )( )()()mmnnbszszXssass 120112( )nniiniAAAAXssssstniiieAtk1)(0lim)(lim1nitittieAtk0limtitieA根據穩(wěn)定性定義根

3、據穩(wěn)定性定義應有應有 應用第一種類型方法有二：應用第一種類型方法有二： 1）直接對系統(tǒng)特征方程求解）直接對系統(tǒng)特征方程求解 2）根軌跡）根軌跡應用第二種類型方法：應用第二種類型方法： 1）勞斯勞斯胡爾維茨穩(wěn)定性判據胡爾維茨穩(wěn)定性判據 2）奈奎斯特判據）奈奎斯特判據確定系統(tǒng)穩(wěn)定性的方法有兩種類型：確定系統(tǒng)穩(wěn)定性的方法有兩種類型：1. 直接計算或間接得知系統(tǒng)特征方程式的根直接計算或間接得知系統(tǒng)特征方程式的根2. 保證特征方程式的根具有負實部的系統(tǒng)參數區(qū)域保證特征方程式的根具有負實部的系統(tǒng)參數區(qū)域 62 勞斯勞斯胡爾維茨穩(wěn)定性判據胡爾維茨穩(wěn)定性判據一. 胡爾維茨穩(wěn)定判據胡爾維茨穩(wěn)定判據系統(tǒng)的特征方程

4、可寫成：系統(tǒng)的特征方程可寫成： 系統(tǒng)穩(wěn)定的充要條件系統(tǒng)穩(wěn)定的充要條件：1）特征方程式的各項系數全部為正值，即）特征方程式的各項系數全部為正值，即ai0（i= 0，1，2，n）2）由各項系數組成的胡爾維茨由各項系數組成的胡爾維茨n階行列式中各階子行列式階行列式中各階子行列式 都大于零。都大于零。 111010nnnnG s H sa sasa sa12,n 021213142531.00.0.00.00.0.aaaaaaaaaaaaannnnnnnnnnn1. 主對角線寫出主對角線寫出a0，an-12. 主對角線以上諸行中填充下主對角線以上諸行中填充下 標號逐次減小的系數。標號逐次減小的系數。3

5、. 主對角線以下填充下標號逐主對角線以下填充下標號逐 次增加的系數。次增加的系數。4. 小于小于a0 大于大于an用用0填充。填充。例例1 系統(tǒng)的特征方程為：系統(tǒng)的特征方程為：試用胡爾維茨判據判別系統(tǒng)的穩(wěn)定性。試用胡爾維茨判據判別系統(tǒng)的穩(wěn)定性。解：解： 由特征方程知各項系數為：由特征方程知各項系數為： 均為正值，滿足判據的必要條件均為正值，滿足判據的必要條件ai0， 檢驗第二個條件，檢驗第二個條件，432235100ssss432102,1,3,5,10aaaaa131 0a 3123241421 3250aaa aa aaa 由于 ，不滿足胡爾維茨行列式全部為正的條件，系統(tǒng)不穩(wěn)定， 可不必再

6、計算。2100,0,0aaa321021300,0,0,0,0aaaaa aa a20 3,4特征方程階次低（特征方程階次低（n 4）時，條件如下：時，條件如下：（1）n=2:（2）n=3:（3）n4：2232130420,0iaa a aa aa a1高階的系統(tǒng)，可采用勞斯判據判別系統(tǒng)的穩(wěn)定性。步驟如下高階的系統(tǒng)，可采用勞斯判據判別系統(tǒng)的穩(wěn)定性。步驟如下：(1)列出系統(tǒng)的特征方程列出系統(tǒng)的特征方程： 其中其中 ，各項系數均為實數。（必要條件），各項系數均為實數。（必要條件）(2)按系統(tǒng)的特征方程式列寫勞斯表按系統(tǒng)的特征方程式列寫勞斯表32132153142021cccbbbaaaaaasss

7、ssnnnnnnnnn11100nnnnasa sas a0ia 二二. 勞斯判據勞斯判據(3)若第一列各數為正數，系統(tǒng)穩(wěn)定；若第一列各數為正數，系統(tǒng)穩(wěn)定； 若第一列各數有負數，系統(tǒng)不穩(wěn)定若第一列各數有負數，系統(tǒng)不穩(wěn)定，第一列中數值符號變化的次數即等，第一列中數值符號變化的次數即等于系統(tǒng)特征方程含有正實部根的數目。于系統(tǒng)特征方程含有正實部根的數目。(4)若勞斯表中某一行第一列為若勞斯表中某一行第一列為0，其余不全為，其余不全為0，這時可用一個很小的正數，這時可用一個很小的正數來代替這個來代替這個0。31511221311151412312111111bbaabcbbaabcaaaaabaaaa

8、abnnnnnnnnnnnnnn直至為零行列式的第一列是上兩行中第一列的兩個數，行列式的第一列是上兩行中第一列的兩個數，第二列是被算數右上肩的兩個數，分母是上一第二列是被算數右上肩的兩個數，分母是上一行中左起第一個數行中左起第一個數1321312111nnnnnnnnnnaaaaaaaaaab1541514121nnnnnnnnnnaaaaaaaaaab1761716131nnnnnnnnnnaaaaaaaaaab直至其余直至其余 全為全為0 0。 112312131111bababbbaabcnnnn113513151121bababbbaabcnnnn114714171131bababbb

9、aabcnnnn直至其余直至其余全為全為0 0。 ic勞斯表構成：勞斯表構成： 例例6-3 單位負反饋系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數為單位負反饋系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數為試確定系統(tǒng)穩(wěn)定時值的范圍，并確定當系統(tǒng)所有特征根都位于平行試確定系統(tǒng)穩(wěn)定時值的范圍，并確定當系統(tǒng)所有特征根都位于平行s平面虛軸線平面虛軸線s=-1的左側的左側時的值范圍。時的值范圍。) 125. 0)(11 . 0()(sssKsG（1）（2）用一個很用一個很小的正數小的正數代替代替，然后繼續(xù)列勞斯表。然后繼續(xù)列勞斯表。 例例6-46-4 已知系統(tǒng)的特征方程為已知系統(tǒng)的特征方程為 0133)(234sssssD用勞斯穩(wěn)定判據判別系統(tǒng)穩(wěn)定性。用勞

10、斯穩(wěn)定判據判別系統(tǒng)穩(wěn)定性。 勞斯表第一列數符號變化勞斯表第一列數符號變化2 2次，所以系統(tǒng)是不穩(wěn)定的，有次，所以系統(tǒng)是不穩(wěn)定的，有2 2個特征根在右半個特征根在右半S S平面。平面。 特殊情況特殊情況（1 1）：勞斯表中某一行的第一列數為）：勞斯表中某一行的第一列數為0 0，其余不為，其余不為0 0。解決辦法：解決辦法： 0用上一行的數構成用上一行的數構成輔助多項式輔助多項式，將輔助多項式對變量，將輔助多項式對變量s s求導，求導，得到一個新的多項式。然后用這個新多項式的系數代替全為得到一個新的多項式。然后用這個新多項式的系數代替全為0 0一行的數，繼續(xù)列勞斯表。一行的數，繼續(xù)列勞斯表。特殊情

11、況特殊情況（2 2）：勞）：勞斯斯表中某一行的數全為表中某一行的數全為0 0 解決辦法：解決辦法： 例例5例例 已知系統(tǒng)的特征方程為已知系統(tǒng)的特征方程為 044732)(23456sssssssD用勞斯穩(wěn)定判據判別系統(tǒng)穩(wěn)定性。用勞斯穩(wěn)定判據判別系統(tǒng)穩(wěn)定性。 因勞斯表第一列數符號變化因勞斯表第一列數符號變化1 1次，故系統(tǒng)是不穩(wěn)定的，有次，故系統(tǒng)是不穩(wěn)定的，有1 1個特征根在右半個特征根在右半S S平面。平面。求解輔助方程求解輔助方程 043)(24sssF可得系統(tǒng)對稱于原點的特征根為可得系統(tǒng)對稱于原點的特征根為 22, 1sjs4 , 3例例 圖示系統(tǒng)中，圖示系統(tǒng)中， sK1)(sR)(sC)

12、2(2nnss)(sE0確定系統(tǒng)穩(wěn)定的參數確定系統(tǒng)穩(wěn)定的參數 的取值范圍。的取值范圍。 解解 系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數為系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數為)2()1 ()(21nnsssKsG特征方程為特征方程為02)(21223nnnKssssD勞斯表構成如下：勞斯表構成如下： 由勞斯穩(wěn)定判據，系統(tǒng)穩(wěn)定的充分必要條件為由勞斯穩(wěn)定判據，系統(tǒng)穩(wěn)定的充分必要條件為1K0212nnK021nKnK201 奈奎斯特穩(wěn)定性判據奈奎斯特穩(wěn)定性判據是是使用頻率特性來判斷系統(tǒng)穩(wěn)定性使用頻率特性來判斷系統(tǒng)穩(wěn)定性的方法。的方法。 利用系統(tǒng)的開環(huán)奈氏曲線，判斷閉環(huán)系統(tǒng)穩(wěn)定性的一個判利用系統(tǒng)的開環(huán)奈氏曲線，判斷閉環(huán)系統(tǒng)穩(wěn)定性的一個判別準

13、則別準則，簡稱奈氏判據簡稱奈氏判據。它是判別穩(wěn)定性的圖解法，是一種。它是判別穩(wěn)定性的圖解法，是一種幾何判據。幾何判據。 奈氏判據不僅能判斷閉環(huán)系統(tǒng)的絕對穩(wěn)定性，而且還能奈氏判據不僅能判斷閉環(huán)系統(tǒng)的絕對穩(wěn)定性，而且還能夠指出閉環(huán)系統(tǒng)的相對穩(wěn)定性，并可進一步提出改善閉環(huán)系夠指出閉環(huán)系統(tǒng)的相對穩(wěn)定性，并可進一步提出改善閉環(huán)系統(tǒng)動態(tài)響應的方法，對于不穩(wěn)定的系統(tǒng)，奈氏判據還能像勞統(tǒng)動態(tài)響應的方法，對于不穩(wěn)定的系統(tǒng)，奈氏判據還能像勞斯判據一樣，確切的回答出系統(tǒng)有多少個不穩(wěn)定的根斯判據一樣，確切的回答出系統(tǒng)有多少個不穩(wěn)定的根( (閉環(huán)極閉環(huán)極點點) )。因此，奈氏穩(wěn)定性判據在經典控制理論中占有十分重要。因此

14、，奈氏穩(wěn)定性判據在經典控制理論中占有十分重要的地位，在控制工程中得到了廣泛的應用。的地位，在控制工程中得到了廣泛的應用。 6-3 6-3 奈奎斯特穩(wěn)定判據奈奎斯特穩(wěn)定判據 mm 1mm 10nn 1nn 10mm 1mm 1012n12n12nb sbsbF(s)1 G(s)H(s)1a sasab sbsb(s)(s)(s)1(sp )(sp )(sp )(sp )(sp )(sp ) )()(jGjH)()(1sGsH設一輔助函數，設一輔助函數，奈奎斯特穩(wěn)定判據正是將開環(huán)頻率特性奈奎斯特穩(wěn)定判據正是將開環(huán)頻率特性 與與 在右半在右半s s平面內的零點數和極點數聯系起來的判據。平面內的零點數

15、和極點數聯系起來的判據。一、奈氏穩(wěn)定判據一、奈氏穩(wěn)定判據要使系統(tǒng)穩(wěn)定，閉環(huán)極點要全部位于復平面的左半部。特征函數要使系統(tǒng)穩(wěn)定，閉環(huán)極點要全部位于復平面的左半部。特征函數F(sF(s) )的全部零點都必須位于的全部零點都必須位于s s平面的左半部分平面的左半部分 這種方法無須求出閉環(huán)極點，由解析的方法和實驗的方法得這種方法無須求出閉環(huán)極點，由解析的方法和實驗的方法得到開環(huán)頻率特性曲線，均可用來進行穩(wěn)定性分析。到開環(huán)頻率特性曲線，均可用來進行穩(wěn)定性分析?？煽闯?，可看出，F(sF(s) )的極點即開環(huán)傳遞函數的極點，的極點即開環(huán)傳遞函數的極點，而而F(sF(s) )的零點即的零點即閉環(huán)傳遞函數的極點

16、閉環(huán)傳遞函數的極點。奈奎斯特穩(wěn)定判據奈奎斯特穩(wěn)定判據 閉環(huán)系統(tǒng)位于閉環(huán)系統(tǒng)位于S平面的右半平面的極點個數為：平面的右半平面的極點個數為：Z=P-2NZ: 閉環(huán)系統(tǒng)位于閉環(huán)系統(tǒng)位于S平面的右半平面的極點個數；平面的右半平面的極點個數；P: 開環(huán)傳遞函數開環(huán)傳遞函數G(s)H(s)位于位于S平面的右半平面平面的右半平面的極點個數；的極點個數；N: 當當w由由0 +時，時，系統(tǒng)開環(huán)幅相曲線包圍系統(tǒng)開環(huán)幅相曲線包圍（-1, j0）點的圈數，點的圈數，逆時針包圍為正，順時針包圍為負。逆時針包圍為正，順時針包圍為負。 G(s)H(s)R(s)C(s)為計算圈數方便，可通過開環(huán)幅相曲線在為計算圈數方便，可通

17、過開環(huán)幅相曲線在（ -1, j0 ）左側穿越左側穿越的次數來獲取的次數來獲取N ：負穿越負穿越(N-)：開環(huán)幅相曲線順時針穿越開環(huán)幅相曲線順時針穿越(-1, j0)左側的負實軸，記一次負穿越；左側的負實軸，記一次負穿越； 正穿越正穿越(N+)：開環(huán)幅相曲線逆時針穿越開環(huán)幅相曲線逆時針穿越(-1, j0)左側的負實軸，記一次正穿越；左側的負實軸，記一次正穿越； N=N+-N-半次穿越半次穿越: 開環(huán)幅相曲線開環(huán)幅相曲線起始或終止于（起始或終止于（ -1, j0 ）左側的負實軸左側的負實軸二、奈奎斯特穩(wěn)定性判據應用二、奈奎斯特穩(wěn)定性判據應用 一般步驟：一般步驟：(1)(1)繪制開環(huán)頻率特性繪制開環(huán)

18、頻率特性G(j)H(jG(j)H(j) )的奈氏圖的奈氏圖，作圖時可先繪，作圖時可先繪出對應于出對應于從從0+0+的的段曲線，然后以實軸為對稱軸，畫出段曲線，然后以實軸為對稱軸，畫出對應于對應于-0-0的另外一半。的另外一半。(2)(2) 計算奈氏曲線計算奈氏曲線G(j)H(jG(j)H(j) )對點對點(-1(-1，j0)j0)的包圍次數的包圍次數N N。為此可從為此可從(-l(-l，j0)j0)點向奈氏曲線點向奈氏曲線G(j)H(jG(j)H(j) )上的點作一矢量，上的點作一矢量，計算這個矢量當計算這個矢量當從從-0+-0+時轉過的凈角度，按每轉過時轉過的凈角度，按每轉過360360為一

19、次的方法計算為一次的方法計算N N值。值。(3)(3)由給定的開環(huán)傳遞函數由給定的開環(huán)傳遞函數G(s)H(sG(s)H(s) )確定位于確定位于s s平面右半部分平面右半部分的開環(huán)極點數的開環(huán)極點數P P。(4)(4)應用奈奎斯特判據應用奈奎斯特判據判別閉環(huán)系統(tǒng)的穩(wěn)定性判別閉環(huán)系統(tǒng)的穩(wěn)定性。1.1.開環(huán)傳遞函數中沒有開環(huán)傳遞函數中沒有S S0 0的極點的極點當開環(huán)傳遞函數當開環(huán)傳遞函數G(s)H(sG(s)H(s) )在在s s平面的原點及虛軸上沒有極點時，平面的原點及虛軸上沒有極點時，(1)(1)當開環(huán)系統(tǒng)穩(wěn)定時，表示開環(huán)系統(tǒng)傳遞函數當開環(huán)系統(tǒng)穩(wěn)定時，表示開環(huán)系統(tǒng)傳遞函數G(s)H(sG(s

20、)H(s) )沒有極沒有極點位于右半點位于右半s s平面，如果相應于平面，如果相應于從從-+-+變化時的奈氏曲線變化時的奈氏曲線G(j)H(jG(j)H(j) )不包圍不包圍(-1(-1，j0)j0)點，閉環(huán)系統(tǒng)是穩(wěn)定的，否則就點，閉環(huán)系統(tǒng)是穩(wěn)定的，否則就是不穩(wěn)定的。是不穩(wěn)定的。(2)(2)當開環(huán)系統(tǒng)不穩(wěn)定時，說明系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數當開環(huán)系統(tǒng)不穩(wěn)定時，說明系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數G(s)H(sG(s)H(s) )有有一個或一個以上的極點位于一個或一個以上的極點位于s s平面的右半部分，如果相應于平面的右半部分，如果相應于從從-+-+變化時的奈氏曲線變化時的奈氏曲線G(j)H(jG(j)H(j) )逆

21、時針包圍逆時針包圍(-1(-1，j0)j0)點的次數點的次數N N，等于開環(huán)傳遞函數，等于開環(huán)傳遞函數G(s)H(sG(s)H(s) )位于右半位于右半s s平面上的極平面上的極點數點數P P，閉環(huán)系統(tǒng)是穩(wěn)定的，否則，閉環(huán)系統(tǒng)是穩(wěn)定的，否則( (即即NP)NP)，閉環(huán)系統(tǒng)就是不穩(wěn)，閉環(huán)系統(tǒng)就是不穩(wěn)定的。定的。 如果如果奈奎斯特曲線正好通過奈奎斯特曲線正好通過(-1(-1，j0)j0)點點，表明特征函數，表明特征函數F(sF(s) )1+G(s)H(s)1+G(s)H(s)在在s s平面的虛軸上有零點，也即平面的虛軸上有零點，也即閉環(huán)系統(tǒng)有極點在閉環(huán)系統(tǒng)有極點在s s平面的虛軸上，則閉環(huán)系統(tǒng)處于

22、穩(wěn)定的邊界，這種情況一般也平面的虛軸上，則閉環(huán)系統(tǒng)處于穩(wěn)定的邊界，這種情況一般也認為是不穩(wěn)定的。認為是不穩(wěn)定的。 若包含若包含 n n 個慣性環(huán)節(jié)，則有個慣性環(huán)節(jié)，則有,()090oGjn ) 1)(1()(21sTsTKsG系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數 繪制開環(huán)奈氏圖并判穩(wěn)定性。繪制開環(huán)奈氏圖并判穩(wěn)定性。 0KP) 0(2n3n4n 開環(huán)傳函不含積分環(huán)節(jié)開環(huán)傳函不含積分環(huán)節(jié)含有兩個慣性環(huán)節(jié)，當含有兩個慣性環(huán)節(jié)，當ojG1800)(P=0 N=0 Z=P-2N=0 因此閉環(huán)系統(tǒng)穩(wěn)定因此閉環(huán)系統(tǒng)穩(wěn)定例例6-6例例 已知單位反饋系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數為已知單位反饋系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數為用奈氏判據

23、確定使該閉環(huán)系統(tǒng)穩(wěn)定的值范圍。用奈氏判據確定使該閉環(huán)系統(tǒng)穩(wěn)定的值范圍。 當當時，時，180o時，即奈氏曲線與負實時，即奈氏曲線與負實軸相交于點軸相交于點(K，j0)和慣性環(huán)節(jié)一樣，其奈氏圖是一個圓和慣性環(huán)節(jié)一樣，其奈氏圖是一個圓.P=1若若K1時時 N=1/2, Z=P-2N=0, 系統(tǒng)穩(wěn)定。系統(tǒng)穩(wěn)定。 若若K1時時 N=0, Z=P-2N=1， 系統(tǒng)不穩(wěn)定。系統(tǒng)不穩(wěn)定。若若K=1時時 系統(tǒng)臨界穩(wěn)定系統(tǒng)臨界穩(wěn)定開環(huán)傳遞函數中含有積分環(huán)節(jié)，需對開環(huán)幅相曲線作輔助曲線開環(huán)傳遞函數中含有積分環(huán)節(jié)，需對開環(huán)幅相曲線作輔助曲線。 輔助曲線作法：輔助曲線作法：從奈氏曲線的起始端從奈氏曲線的起始端(w=0+

24、)(w=0+)處，逆時針補畫處，逆時針補畫 9090o o、半徑為無窮大的圓與實軸相交。、半徑為無窮大的圓與實軸相交。其中其中為開環(huán)傳遞函數為開環(huán)傳遞函數中含有積分環(huán)節(jié)的個數。在確定奈氏曲線包圍中含有積分環(huán)節(jié)的個數。在確定奈氏曲線包圍(-1(-1，j0)j0)點的次點的次數與方向時，應將所做輔助線數與方向時，應將所做輔助線( (虛線表示虛線表示) )與實際線連續(xù)起來看，與實際線連續(xù)起來看，整個曲線的旋轉方向仍按整個曲線的旋轉方向仍按增大的方向。應用奈氏判據。增大的方向。應用奈氏判據。 對于最小相位系統(tǒng)，其輔助線的起始點始終在無窮遠的正對于最小相位系統(tǒng)，其輔助線的起始點始終在無窮遠的正實軸上。對

25、于非最小相位系統(tǒng)，輔助線的起始點則由其含有的實軸上。對于非最小相位系統(tǒng)，輔助線的起始點則由其含有的不穩(wěn)定環(huán)節(jié)的個數決定。偶數個時，起于正實軸，奇數個時起不穩(wěn)定環(huán)節(jié)的個數決定。偶數個時，起于正實軸，奇數個時起于負實軸。于負實軸。 2 2開環(huán)傳遞函數中有開環(huán)傳遞函數中有S S0 0的極點的極點3123123222222123212233 1222222123()()(1)(1)(1)1()(1)(1)(1)( )( )KTTTTT TG jTTTKTTT TT TjTTTUjVoojGjG3600)(,90)0(起點與終點：起點與終點： 0幅相曲線的漸近線是橫坐標為幅相曲線的漸近線是橫坐標為Vx平

26、行與虛軸的直線平行與虛軸的直線 0123(0 )()xUVK TTT 124( )(1)(1)(1)KG ss TsT sT s 開環(huán)傳函含積分環(huán)節(jié)開環(huán)傳函含積分環(huán)節(jié)對開環(huán)幅相曲線作修正：對開環(huán)幅相曲線作修正：從從w=0+處，逆時針補畫處，逆時針補畫v90o、半徑為半徑為 無窮大的圓弧。無窮大的圓弧。0ImjRe0 xVx1A與負實軸交點與負實軸交點A：虛部虛部 V(x)=0，x代入代入實部實部 U (x)oojGjG3600)(,180)0(起點與終點：起點與終點： 當包含一階微分環(huán)節(jié)，這時的幅相曲線也可能出現凹凸。當包含一階微分環(huán)節(jié)，這時的幅相曲線也可能出現凹凸。) 1)(1)(1() 1

27、()(42123sTsTsTssTKsGoojGjG3600)(,180)0(開環(huán)開環(huán)Nyquist圖圖起點與終點：起點與終點： 212( )(1)(1)KG ss TsT s例例2系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數0ImjRe00ImjRe0P=0 N=-1 Z=P-2N=2 因此閉環(huán)系統(tǒng)不穩(wěn)定系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數例例 已知系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數如下：已知系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數如下： 繪制系統(tǒng)的開環(huán)繪制系統(tǒng)的開環(huán)NyquistNyquist圖。圖。 12211K TsG s H ssT s12211Kj TG jHjj T 221222211KTAT解：解：系統(tǒng)的開環(huán)開環(huán)頻率特性系

28、統(tǒng)的開環(huán)開環(huán)頻率特性 12180arctgTarctgT 0：A(0) (0)180：A()0 ()180T1T2 時：時： (0+) T2 時：時： (0+) 180若T1T2 ，N=0，則Z=0 ,系統(tǒng)穩(wěn)定P=0,例例6-8例例6-9n例例 已知系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數如下：已知系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數如下： 繪制系統(tǒng)的開環(huán)繪制系統(tǒng)的開環(huán)NyquistNyquist圖。圖。( )(1)KG ss T s0GHW=0w=-1-270 -180P=1, N=-1/2, Z=1-2(-1/2)=2系統(tǒng)不穩(wěn)定開環(huán)頻率特性曲線比較復雜，包圍圈數開環(huán)頻率特性曲線比較復雜，包圍圈數N N很不方便確定，引出很不方便確

29、定，引出“穿越穿越”的概念。的概念。為計算圈數方便，可通過為計算圈數方便，可通過開環(huán)幅相曲線在（開環(huán)幅相曲線在（-1,j0 -1,j0 ）左側穿越的次數來獲?。┳髠却┰降拇螖祦慝@取N N ：負穿越（負穿越（N-N-）：）：開環(huán)幅相曲線順時針開環(huán)幅相曲線順時針( (即曲線由下而上即曲線由下而上) )穿越（穿越（-1,j0-1,j0）左側的）左側的負實軸，記一次負穿越；負實軸，記一次負穿越；正穿越（正穿越（N+N+）：開環(huán)幅相曲線逆時針：開環(huán)幅相曲線逆時針( (即曲線由上而下即曲線由上而下) )穿越（穿越（-1,j0-1,j0）左側的）左側的負實軸，記一次正穿越；負實軸，記一次正穿越；半次正穿越：

30、半次正穿越：若沿頻率若沿頻率增加的方向，開環(huán)增加的方向，開環(huán)NyquistNyquist軌跡自（軌跡自（-1,j0-1,j0）以左的負）以左的負實軸開始向下稱為半次正穿越；實軸開始向下稱為半次正穿越；半次負穿越：半次負穿越：若沿頻率若沿頻率增加的方向，開環(huán)增加的方向，開環(huán)NyquistNyquist軌跡自（軌跡自（-1,j0-1,j0）以左的負）以左的負實軸開始向上稱為半次正穿越；實軸開始向上稱為半次正穿越； 奈氏判據可寫成：當奈氏判據可寫成：當從從00時，若開環(huán)頻率特性曲線正穿越的次數減時，若開環(huán)頻率特性曲線正穿越的次數減去負穿越的次數等于去負穿越的次數等于P/2P/2時，則系統(tǒng)是穩(wěn)定。時，

31、則系統(tǒng)是穩(wěn)定。(P(P為開環(huán)右極點個數為開環(huán)右極點個數) )，即：，即： 可知：可知：a a點和點和b b點為正穿越，點為正穿越，C C點為負穿越，故正點為負穿越，故正穿越減去負穿越次數等于穿越減去負穿越次數等于P/2P/2，所以系統(tǒng)穩(wěn)定。，所以系統(tǒng)穩(wěn)定。4 4確定穩(wěn)定系統(tǒng)可變參數的取值范圍確定穩(wěn)定系統(tǒng)可變參數的取值范圍3. 3. 開環(huán)頻率特性曲線比較復雜時開環(huán)頻率特性曲線比較復雜時N=N+-N-=P/2例例 若系統(tǒng)開環(huán)傳遞函數有個正實部極點，開環(huán)奈氏圖如若系統(tǒng)開環(huán)傳遞函數有個正實部極點，開環(huán)奈氏圖如圖所示，試問閉環(huán)系統(tǒng)是否穩(wěn)定？圖所示，試問閉環(huán)系統(tǒng)是否穩(wěn)定？復雜系統(tǒng)復雜系統(tǒng)P=2 N+=2

32、N-=1N=N+-N-=1Z=P-2N=0系統(tǒng)穩(wěn)定3 3 利用利用BodeBode圖判斷系統(tǒng)穩(wěn)定性圖判斷系統(tǒng)穩(wěn)定性 N+：幅頻特性曲線幅頻特性曲線零分貝線以上頻率范圍內零分貝線以上頻率范圍內，對數相頻曲線由下向上穿越，對數相頻曲線由下向上穿越- 180o(2k+1)線的次數；線的次數；N-：幅頻特性曲線幅頻特性曲線零分貝線以上頻率范圍內零分貝線以上頻率范圍內，對數相頻曲線由上向下穿越，對數相頻曲線由上向下穿越- 180o(2k+1)線的次數；線的次數；Z=P-2N幅相曲線的幅相曲線的負實軸負實軸 對數相頻特性的對數相頻特性的-180o(2k+1)線線幅相曲線中由上向下穿越（逆時針）幅相曲線中由

33、上向下穿越（逆時針）對數相頻曲線中由下向上穿越對數相頻曲線中由下向上穿越幅相曲線中由下向上穿越（順時針）幅相曲線中由下向上穿越（順時針）對數相頻曲線中由上向下穿越對數相頻曲線中由上向下穿越N=N+-N-幅相曲線幅相曲線（-1，j0）點的點的左側左側 對數幅頻特性對數幅頻特性 L(w)0-180owL(w)w(N-)(N+)（1 1）GHGH平面上單位圓的圓周與伯德圖上的平面上單位圓的圓周與伯德圖上的dBdB線相對應，單位線相對應，單位圓的外部對應于圓的外部對應于L(L() )dBdB，單位圓的內部對應于，單位圓的內部對應于L(L() )dBdB。（2 2）GHGH平面上的負實軸與伯德圖上的平面

34、上的負實軸與伯德圖上的-180-180線相對應線相對應. .穩(wěn)定性分析穩(wěn)定性分析1 開環(huán)傳遞函數開環(huán)傳遞函數不含積分環(huán)節(jié)不含積分環(huán)節(jié)2開環(huán)傳遞函數含有積分環(huán)節(jié)開環(huán)傳遞函數含有積分環(huán)節(jié) 需對開環(huán)幅相曲線作修正：需對開環(huán)幅相曲線作修正：在在Bode圖（相頻特性）的圖（相頻特性）的w為為0+處，由下向上補畫一條線，該線通處，由下向上補畫一條線，該線通過的相位為過的相位為v90o。計算正負穿越時，應將補畫的計算正負穿越時，應將補畫的線也看成線也看成Bode圖的一部分。圖的一部分。2(K0, T0)已知已知系統(tǒng)開環(huán)系統(tǒng)開環(huán)Bode圖，已知圖，已知 ，試判斷閉環(huán)系統(tǒng)穩(wěn)定性試判斷閉環(huán)系統(tǒng)穩(wěn)定性0,2Pv-1

35、80owL(w)w四系統(tǒng)具有遲延環(huán)節(jié)的穩(wěn)定性分析四系統(tǒng)具有遲延環(huán)節(jié)的穩(wěn)定性分析具有遲延環(huán)節(jié)的控制系統(tǒng)，其開環(huán)傳遞函數包含有遲延環(huán)節(jié)的傳遞函數se svnjjvmiiesTssTKsHsG11)1()1()()(幅值和相角分別為 )j(H)j(G/)j(H)j(G/)j(H)j(G)j(H)j(G1111 當當+時，時， 的幅值一般趨近于零的幅值一般趨近于零(m(mn n），因而），因而G(j)H(jG(j)H(j) )曲線曲線( (即奈氏曲線即奈氏曲線) )隨著隨著從從0+0+，以，以螺旋狀趨于螺旋狀趨于原點原點，并且與并且與GHGH平面的負實軸有無限個交點平面的負實軸有無限個交點。這時，若要

36、閉環(huán)系。這時，若要閉環(huán)系統(tǒng)穩(wěn)定，奈氏曲線與負實軸的交點都必須位于統(tǒng)穩(wěn)定，奈氏曲線與負實軸的交點都必須位于(-l(-l，j0)j0)點的右側。點的右側。 )j(H)j(G例例6-116-11 設控制系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數為 sessssHsG)2)(1(1)()(若=0, 2, 4。繪出各自的奈氏曲線，并分析閉環(huán)系統(tǒng)的穩(wěn)定性。遲延環(huán)節(jié)的存在不利于系統(tǒng)的穩(wěn)定。遲延環(huán)節(jié)的存在不利于系統(tǒng)的穩(wěn)定。 遲延時間遲延時間越大，越易使系統(tǒng)不穩(wěn)定。越大，越易使系統(tǒng)不穩(wěn)定。 0時，即相當于系統(tǒng)無遲延環(huán)節(jié)，時，即相當于系統(tǒng)無遲延環(huán)節(jié)，不包圍不包圍(-l，j0)點，所以閉環(huán)系統(tǒng)是點，所以閉環(huán)系統(tǒng)是穩(wěn)定的。穩(wěn)定的。 2時，曲

37、線剛好通過時，曲線剛好通過(-1，j0)點，點，所以閉環(huán)系統(tǒng)處于穩(wěn)定邊界所以閉環(huán)系統(tǒng)處于穩(wěn)定邊界(又稱臨又稱臨界穩(wěn)定，認為也是不穩(wěn)定的界穩(wěn)定，認為也是不穩(wěn)定的)。 4時，曲線包圍時，曲線包圍(-l，j0)點，所點，所以閉環(huán)系統(tǒng)是不穩(wěn)定的。以閉環(huán)系統(tǒng)是不穩(wěn)定的。 例例 已知系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數為已知系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數為 用奈氏判據判別系統(tǒng)穩(wěn)定性。用奈氏判據判別系統(tǒng)穩(wěn)定性。 例例 已知系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數為已知系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數為 用奈氏判據判別系統(tǒng)穩(wěn)定性。用奈氏判據判別系統(tǒng)穩(wěn)定性。 根據奈氏判據已知，如果系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數沒有極點在根據奈氏判據已知，如果系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數沒有極點在右半右半s s平面

38、上，則閉環(huán)系統(tǒng)穩(wěn)定的充分必要條件是系統(tǒng)的開環(huán)平面上，則閉環(huán)系統(tǒng)穩(wěn)定的充分必要條件是系統(tǒng)的開環(huán)幅相頻率特性不包圍幅相頻率特性不包圍(-1(-1，j0)j0)點。因此點。因此 要求閉環(huán)系統(tǒng)具有一定的相對穩(wěn)定性，就必須使奈氏曲線要求閉環(huán)系統(tǒng)具有一定的相對穩(wěn)定性，就必須使奈氏曲線不但不包圍不但不包圍(-1(-1，j0)j0)點，而且還要求奈氏曲線對點，而且還要求奈氏曲線對(-l(-l，j0)j0)點有點有一定的遠離程度，即要求有一定的穩(wěn)定裕量。一定的遠離程度，即要求有一定的穩(wěn)定裕量。 對于一個最小相位系統(tǒng)，曲線越靠近點對于一個最小相位系統(tǒng)，曲線越靠近點(-1(-1，j0)j0)，系統(tǒng)階，系統(tǒng)階躍響應的

39、振蕩就越強烈，系統(tǒng)的相對穩(wěn)定性就越差。因此，躍響應的振蕩就越強烈，系統(tǒng)的相對穩(wěn)定性就越差。因此，可可用曲線對點用曲線對點(-1(-1，j0)j0)的接近程度來表示系統(tǒng)的相對穩(wěn)定性。的接近程度來表示系統(tǒng)的相對穩(wěn)定性。通通常，這種接近程度是以相角裕度（相位裕量）和幅值裕度（幅常，這種接近程度是以相角裕度（相位裕量）和幅值裕度（幅值裕量）來度量。值裕量）來度量。 相角裕度和幅值裕度是系統(tǒng)開環(huán)頻率指標，它們與閉環(huán)系相角裕度和幅值裕度是系統(tǒng)開環(huán)頻率指標，它們與閉環(huán)系統(tǒng)的動態(tài)性能密切相關。統(tǒng)的動態(tài)性能密切相關。6.46.4 穩(wěn)定性裕量穩(wěn)定性裕量)(cwcwgwwgK1ReIm1. 幅值裕量幅值裕量Kg 或或h相角交界頻率相角交界頻率 g：開環(huán)幅相曲線上，相角為開環(huán)幅相曲線上，相角為-180o點的頻率稱為點的頻率稱為相角交界相角交界 頻率