第三章付里葉變換

1、第三章第三章傅里葉變換傅里葉變換本章的主要內(nèi)容：1、周期信號的傅里葉級數(shù)分析2、典型周期信號的傅里葉級數(shù)3、傅里葉變換4、典型非周期信號的傅里葉變換5、沖激函數(shù)和階躍函數(shù)的傅里葉變換6、傅里葉變換的基本性質(zhì)7、卷積特性（卷積定理）8、周期信號的傅里葉變換9、抽樣信號的傅里葉變換10、抽樣定理第一節(jié)第一節(jié)引言引言傅里葉分析發(fā)展史從本章開始由時域分析轉(zhuǎn)入頻域分析。傅里葉變換是在傅里葉級數(shù)正交函數(shù)展開的基礎(chǔ)上發(fā)展而產(chǎn)生的。傅里葉分析的研究與應(yīng)用經(jīng)歷了一百余年。1822年法國數(shù)學(xué)家傅里葉（J.Fourier,1768-1830）在研究熱傳導(dǎo)理論時發(fā)表了“熱的分析理論”著作，提出并證明了將周期函數(shù)展開為

2、正弦級數(shù)的原理，奠定了傅里葉級數(shù)的理將周期函數(shù)展開為正弦級數(shù)的原理，奠定了傅里葉級數(shù)的理論基礎(chǔ)。論基礎(chǔ)。泊松（Poisson）、高斯（Gauss）等人把這一成果應(yīng)用到電學(xué)中去。伴隨電機制造、交流電的產(chǎn)生與傳輸?shù)葘嶋H問題的需要，三角函數(shù)、指數(shù)函數(shù)以及傅里葉分析等數(shù)學(xué)工具已得到廣泛的應(yīng)用。直到19世紀(jì)末，制造出電容器。20世紀(jì)初，諧振電路、濾波器、正弦振蕩器等一系列問題的解決為正弦函數(shù)與傅里葉分析的在通信系統(tǒng)中的應(yīng)用開辟了廣闊的前景。從此，在通信與控制系統(tǒng)的理論研究和實際應(yīng)用之中，采用采用頻率域（頻域）的分析方法比經(jīng)典的時間域（時域）方法頻率域（頻域）的分析方法比經(jīng)典的時間域（時域）方法有許多突出

3、的優(yōu)點。當(dāng)今，傅里葉分析方法已成為信號分析與系統(tǒng)設(shè)計不可缺少的重要工具。20世紀(jì)70年代，出現(xiàn)的各種二值正交函數(shù)（沃爾什函數(shù)），它對通信、數(shù)字信號處理等技術(shù)領(lǐng)域的研究提供了多種途徑和手段。使人們認(rèn)識到傅里葉分析不是信息科學(xué)與技術(shù)領(lǐng)域中唯一的變換域方法。但傅里葉分析始終有著極其廣泛的應(yīng)用，它是研究其他變換方法的基礎(chǔ)。而且出現(xiàn)了”快速傅里葉變換（FFT）”它給傅里葉分析這一數(shù)學(xué)工具增添了新的生命力。傅里葉分析方法不僅應(yīng)用于電力工程、通信和控制領(lǐng)域之中，而且在力學(xué)、光學(xué)、量子物理和各種線性系統(tǒng)分析等許多有關(guān)數(shù)學(xué)、物理和工程技術(shù)領(lǐng)域中得到廣泛的應(yīng)用。本章討論的路線：本章討論的路線：傅里葉級數(shù)正交函數(shù)傅

4、里葉變換，建立信號頻譜的概念；通過典型信號頻譜以及傅里葉變換性質(zhì)的研究，掌握傅里葉分析方法的應(yīng)用。對于周期信號而言，進(jìn)行頻譜分析可用傅里葉級數(shù)或傅里葉變換；傅里葉級數(shù)相當(dāng)于傅里葉變換的一種特殊表達(dá)形式。最后對研究周期信號與抽樣信號的傅里葉變換，并介紹抽樣定理，抽樣定理奠定了數(shù)字通信的理論基礎(chǔ)。 第二節(jié)第二節(jié)周期信號的傅里周期信號的傅里葉級數(shù)分析葉級數(shù)分析一、三角函數(shù)形式的傅里葉級數(shù)三角函數(shù)形式的傅里葉級數(shù) ）角頻率為任意周期信號（周期設(shè)1112,Tf(t)T則其可展開為三角函數(shù)形式的傅里葉級數(shù)11;nn其中基波角頻率為的分量次諧波角頻率為的分量0111cos()sin()( )nnnaaf t

5、ttbnn1 1、一種三角函數(shù)形式的傅里葉級數(shù)、一種三角函數(shù)形式的傅里葉級數(shù) 011001001010111011cos()11( )( )2( )2( )1,2,in).s (tTTttTtnntTtf t dtf t dtTTf tdtTf tdtttTnaabnn直流分量：其中 余弦分量幅度：正弦分量幅度：為了積分方便，通常取積分區(qū)間為：220111TTT或三角函數(shù)集是一組完備函數(shù)集。110101cos( )( )s)in()nnnnnnf tf tddntctcn或展開為常用形式f(t)2 2、另一種三角函數(shù)形式的傅里葉級數(shù)、另一種三角函數(shù)形式的傅里葉級數(shù) 20200,nnnnnnnn

6、nnddaarctgarctgcacabbab 其 中f(t)傅里葉級數(shù)存在的充分條件：周期信號須滿“狄利克雷”(Dirichlet足)條件，即010( )tTtf t dt 間斷點極值絕一周期內(nèi)僅有限個；一周期內(nèi)僅有限個；一周可期內(nèi)對，積3 3、傅里葉級數(shù)展開的充分條件、傅里葉級數(shù)展開的充分條件 通常所遇到的周期性信號都能滿足此條件，因此，以后除非特殊需要，一般不再考慮這一條件。4 4、基波、諧波、基波、諧波 通常把頻率為：1112wTf稱為基波。頻率為：1112222wTf稱為二次諧波。1112333wTf頻率為：稱為三次諧波。1112333wTf頻率為：稱為三次諧波。 可見，直流分量的大

7、小以及基波與各次諧波的幅度、相位取決于周期信號的波形。1nnc單邊頻譜圖：信號的幅度譜1nn信號的相位譜其中各頻率分量幅度稱為“”；連各譜線頂點的曲線稱為 “譜線包絡(luò)線”。5 5、幅度譜、相位譜、幅度譜、相位譜 0n1w13w1nww1w13w0cnc1c2c3c1nww0離散性諧波性具有、收斂性周期信號的主要特點：二、指數(shù)形式的傅里葉級數(shù)二、指數(shù)形式的傅里葉級數(shù) ）角頻率為任意周期信號（周期設(shè)1112,Tf(t)T則其可展開為指數(shù)形式的傅里葉級數(shù)11( )jtnnnFf te1 1、指數(shù)形式的傅里葉級數(shù)的形式、指數(shù)形式的傅里葉級數(shù)的形式 2.指數(shù)形式的傅里葉級數(shù)中各個量之間的關(guān)系指數(shù)形式的傅

8、里葉級數(shù)中各個量之間的關(guān)系 221n021122(nnnnnnnnnnnjFFaFjbabce當(dāng)時，其中三角函數(shù)形式）)(21nnjnnjbaeFFn010110100()1( )tTtnnjtf tdtTnFnFFcae 記復(fù)函數(shù)：其中直流分量：3.指數(shù)形式表示的信號頻譜指數(shù)形式表示的信號頻譜-復(fù)數(shù)頻譜復(fù)數(shù)頻譜11nnnnF雙邊頻譜圖：復(fù)函數(shù)幅度譜，復(fù)函數(shù)相位譜具有、（負(fù)頻率的結(jié)離散果僅性諧波性收斂性是數(shù)學(xué)處理）Fn一般是復(fù)函數(shù)，所以稱這種頻譜為復(fù)數(shù)頻譜。1w0cnF121c221c1nww01w1nw0n1nww1nw1w0cnF121c221c1nww01w1nw幅度譜與相位譜合并幅度譜

9、與相位譜合并正、負(fù)頻率相應(yīng)項成對合并，才是實際頻譜函數(shù)。正、負(fù)頻率相應(yīng)項成對合并，才是實際頻譜函數(shù)。4.周期信號的功率特性周期信號的功率特性時域和頻域能量守恒定理時域和頻域能量守恒定理f(t)P平均功率時域與頻域的能量守恒：任意周期信號的等于其傅各諧波分量里葉級數(shù)展有效值開式中的平方和周期信號的平均功率平均功率P：在一個周期內(nèi)求平方再求積分。)(2tfP 12220)(21nnnbaannF2100)(121TttdttfT122021nncc帕塞瓦爾定理帕塞瓦爾定理1.函數(shù)的對稱性函數(shù)的對稱性三、函數(shù)的對稱性與傅里葉系數(shù)的關(guān)系三、函數(shù)的對稱性與傅里葉系數(shù)的關(guān)系 要將信號f(t)展開為傅里葉級

10、數(shù)，如果f(t)是實函數(shù)，且它波形滿足某種對稱性，則在其傅里葉級數(shù)中有些項為0，留下的各項系數(shù)的表示式也比較簡單。波形對稱性有兩類：波形對稱性有兩類：（1）對整周期對稱。即偶函數(shù)和奇函數(shù)。（2）對半周期對稱。即奇諧函數(shù)、偶諧函數(shù)。2.傅里葉級數(shù)的系數(shù)求解傅里葉級數(shù)的系數(shù)求解(1)偶函數(shù)信號偶函數(shù)信號1()F n其傅里葉級數(shù)三角展開式中 僅含和，其傅里葉級數(shù)指數(shù)展開式中 直為流項余弦項實函數(shù)。112014cos( )( )()0()nnTtanf tdtTf tfbt1)偶函數(shù)信號：,20nnnnnnacaFFt)(tfE021T21T例如：周期三角波信號是一偶函數(shù))5cos(251)3cos(

11、91)cos(42)(1112twtwtwEEtf其傅里葉級數(shù)表達(dá)式為：1()F n其傅里葉級數(shù)三角展開式中 僅含，其傅里葉級正弦項數(shù)指數(shù)展開式純中 為虛函數(shù)。102011004( )()( sin()Tnnaf tftf tabtTtnd2)奇函數(shù)信號：，0010,290nnnnnncacbFFbj )3sin(31)2sin(21)sin()(111twtwtwEtf其傅里葉級數(shù)表達(dá)式為：t)(tf2E021T21T例如：周期鋸齒波信號是一奇函數(shù)2E（2）奇函數(shù)信號）奇函數(shù)信號其傅里葉級數(shù)三角展開式中僅含和基波奇次諧波1112011201cos()sin4( )4()0)nnnTTnaba

12、bnnnttf tdtTf tdtnT為偶，為奇，（3）奇諧函數(shù)信號（半波對稱函數(shù)）奇諧函數(shù)信號（半波對稱函數(shù) ）002210,2nnnnnnnncacabFarctbagc 奇諧函數(shù)信號奇諧函數(shù)信號：若波形沿時間軸平移半個周期并相對于該軸上下反轉(zhuǎn)，此時波形并不發(fā)生變化，即滿足：00a )2()(1Ttftf例子例子例如：奇諧函數(shù)t)(tf2E021T21T2Et)(tf2E021T21T2E)cos(1twt)(tf2E021T21T2E)sin(1twt)(tf2E021T21T2E)2sin(1tw四、傅里葉有限級數(shù)與最小方均誤差四、傅里葉有限級數(shù)與最小方均誤差010221)( )1(n

13、NNtTtEdtTtt方均誤差：0111( )cos()sin()NnnNnnttaabStn有限項傅里葉級數(shù)：( )(f(t( )NNtStf t其中誤為逼近的差函數(shù)）實際應(yīng)用中，經(jīng)常采用有限項級數(shù)來代替無限項級數(shù)。顯然，有限項數(shù)是一種近似的方法，所選項數(shù)愈多，有限項級數(shù)愈逼近原函數(shù)，其方均誤差愈小。例子例子以下為對稱方波，注意不同的項數(shù)，有限級數(shù)對原函數(shù)的逼近情況，并計算由此引起的方均誤差。t)(tf2E041T41T2Et)(tf)cos(21twE041T41T2E只取基波分量一項)5cos(51)3cos(31)cos(2)(111twtwtwEtf解解：其傅里葉級數(shù)表達(dá)式為：從上面

14、例子看出：（1）n愈大，則愈逼近原信號f(t)。(2) 當(dāng)信號f(t)是脈沖信號時，其高頻分量主要影響脈沖的跳變沿；低頻分量影響脈沖的頂部。f(t)波形變化愈劇烈，所含的高頻分量愈豐富；f(t)變化愈緩慢，所含的低頻分量愈豐富。(3)當(dāng)信號中任一頻譜分量的幅度或相位發(fā)生相對變化時，輸出波形一般要發(fā)生失真。t)(tf)cos(21twE041T41T2E取基波分量和三次諧波分量)3cos(321twE取基波、三次諧波分量和五次諧波分量t)(tf)cos(21twE041T41T2E)cos(21twE)5cos(521twE當(dāng)選取傅里葉有限級數(shù)的項數(shù)N很大時，該峰起值趨于一個常數(shù)，它大約等于總跳

15、變值的9%，并從不連續(xù)點開始以起伏振蕩的形式逐漸衰減下去。此現(xiàn)象稱為吉布斯現(xiàn)象。五、吉布斯（五、吉布斯（Gibbs）現(xiàn)象）現(xiàn)象105 .0t)(tf1n%99n3n舉例舉例3.1：指數(shù)形式的傅里葉級數(shù)函數(shù)形式和將圖示信號展開為三角f(t) -T -T/2 0 T/2 T t 解：解：0)(natf為奇函數(shù)02, 1220, 12)(tTtTTttTtf11)sin()(nntnbtf20111)sin()(4TndttntfTb201111)sin( 124TdttntTTbababavduuvudv分部積分法2011201111112)cos()cos(124TTndtTtntntTnTb1

16、210111421cos()TtdntTnT , 2 , 1,2411nnTn20111111)sin(1214TntnnTTnb11)sin(2)(ntnntf11)90cos(12)(ntnntf常用形式次諧波分量的相位）（第次諧波分量的幅值）（第（直流分量）其中n90n200nnnnnabarctgnbcc112nnnFFbjjnntjnjeentf1)90(1)(ntnjen901112nnFn ，舉例舉例3.2：求其平均功率畫出信號的頻譜圖，并已知信號)45cos(21)3cos()4sin()3sin()sin(21)(ttttttf)435cos(21)24cos()3sin()

17、3cos()2cos(21)(ttttttf解：)435cos(21)24cos()43cos(2)2cos(21)(tttttf常用形式;43,21;2, 1;4,2; 0, 0;2, 2; 155443322110cccccc即其幅度頻譜圖根據(jù)其常用展開式畫出0nC234512其相位頻譜圖根據(jù)其常用展開式畫出0n2345443225. 22121212121252423222120ccccccP作業(yè)P1603-1，3-2，3-3，3-8第三節(jié)第三節(jié)典型周期信號的典型周期信號的傅里葉級數(shù)傅里葉級數(shù)典型周期信號的傅里葉級數(shù)典型周期信號的傅里葉級數(shù)典型周期信號的頻譜分析可利用：典型周期信號的頻譜

18、分析可利用：傅里葉級數(shù)傅里葉級數(shù)或傅里葉變換或傅里葉變換介紹的典型周期信號有如下：介紹的典型周期信號有如下：1、周期矩形脈沖信號、周期矩形脈沖信號2、周期鋸齒脈沖信號、周期鋸齒脈沖信號3、周期三角脈沖信號、周期三角脈沖信號4、周期半波余弦信號、周期半波余弦信號5、周期全波余弦信號、周期全波余弦信號1 1、周期矩形脈沖信號、周期矩形脈沖信號(1)(1)周期矩形脈沖信號的傅里葉級數(shù)求解周期矩形脈沖信號的傅里葉級數(shù)求解周期矩形脈沖：脈寬為，脈沖幅度為E，周期為T1。02/2/E2/1T2/1T1Tt)(tf22,22)(11TtTtutuEtf011102,nnabTanESEa偶函數(shù)解：11110

19、122,0,0,012nnnnnnnnnSaScacccFFETETaEan11111111cos()2( )2jtnnnEEf tTnSatSnaTnEe 三角指數(shù)1,20 ,21fBBBn周期矩形脈沖信號的幅度頻譜中收斂規(guī)律為主要能量集中在第一個零點以內(nèi)，即稱為其頻帶寬度（2）周期矩形脈沖信號的幅度、相位譜）周期矩形脈沖信號的幅度、相位譜1w1TEnC1nww012w24幅度譜0nw1nw相位譜24復(fù)數(shù)頻譜：1w1TEnFw0212w24實數(shù)頻譜：幅度譜與相位譜合并幅度譜與相位譜合并1w0cnCw012w24 周期對稱方波信號是周期矩形信號的一種特殊情況，對稱方波信號有兩個特點：a.是正負(fù)

20、交替正負(fù)交替的信號，其直流分量a0等于零。b.它的脈寬恰等于周期的一半，即 T1/2（3）舉例：周期對稱方波信號的傅里葉級數(shù)）舉例：周期對稱方波信號的傅里葉級數(shù)02E4/1T4/1T1Tt)(tf2E1T解：解：0002,1,3,5.2.nnnSanEEnaba 偶函數(shù)且，奇諧函數(shù)00,1,3,5.0,0,012222nnnnnnnnccaccFFSaSaEncnEn，11121( )1,1,3.sincos()2sin2njnntEf tEnnnnnnte 三角指數(shù)1n周期對稱方波信號的幅度頻譜中 收斂規(guī)律na1ww012w13w14w15w1wna15ww012w幅度譜13w14w0nw1

21、w相位譜13w15w17w(2)(2)周期鋸齒脈沖信號的傅里葉級數(shù)求解周期鋸齒脈沖信號的傅里葉級數(shù)求解周期鋸齒脈沖信號，是奇奇函數(shù)。t)(tf2E021T21T2E解：它是奇函數(shù)0na可求出傅里葉級數(shù)的系數(shù)bn,留給同學(xué)們做。111111)sin(1) 1()3sin(31)2sin(21)sin()(nntnwnEtwtwtwEtf其傅里葉級數(shù)表達(dá)式為：此信號的頻譜只包含正弦分量正弦分量，諧波的幅度以1/n的規(guī)律收斂規(guī)律收斂。(3)(3)周期三角脈沖信號的傅里葉級數(shù)求解周期三角脈沖信號的傅里葉級數(shù)求解周期三角脈沖信號，是偶偶函數(shù)。解：它是偶函數(shù)0nb可求出傅里葉級數(shù)的系數(shù)a0,an,留給同學(xué)

22、們做。此信號的頻譜只包含直流、基波及奇次諧波分量只包含直流、基波及奇次諧波分量，諧波的幅度以1/n2的規(guī)律收斂規(guī)律收斂。t)(tfE021T21T112221112)cos()2(sin142)5cos(251)3cos(91)cos(42)(ntnwnnEEtwtwtwEEtf其傅里葉級數(shù)表達(dá)式為：(4)(4)周期半波余弦信號的傅里葉級數(shù)求解周期半波余弦信號的傅里葉級數(shù)求解周期半波余弦信號，是偶偶函數(shù)。解：它是偶函數(shù)0nb可求出傅里葉級數(shù)的系數(shù)a0,an,留給同學(xué)們做。此信號的頻譜只包含直流、基波及偶次諧波分量只包含直流、基波及偶次諧波分量，諧波的幅度以1/n2的規(guī)律收斂規(guī)律收斂。11112

23、1112)cos()2cos() 1(12)4cos(154)2cos(34)cos(2)(TwtnwnnEEtwtwtwEEtfn其傅里葉級數(shù)表達(dá)式為：t)(tfE021T21T1T1T(5)(5)周期全波余弦信號的傅里葉級數(shù)求解周期全波余弦信號的傅里葉級數(shù)求解周期全波余弦信號，是偶偶函數(shù)。解：令余弦信號為00012)cos()(TwtwEtf此信號的頻譜只包含直流、基波及偶次諧波分量只包含直流、基波及偶次諧波分量，諧波的幅度以1/n2的規(guī)律收斂規(guī)律收斂。1021111)2cos(141) 1(42)6cos(351)4cos(151)2cos(3142)(nntnwnEEtwtwtwEEt

24、f其傅里葉級數(shù)表達(dá)式為：t)(tfE021T21T1T1T則，全波余弦信號為：)cos()()(01twEtftf作業(yè)P1603-4，3-6，3-7，3-10，3-11(a)，3-12，第四節(jié)第四節(jié)傅里葉變換傅里葉變換一、傅里葉變換（非周期信號）1.1.傅里葉變換引入傅里葉變換引入 10101111111f(t),0,( ),1(T()()0ntTtjtjtnnnF nFF ndf tfntdtTee 設(shè)為任意非周期信號（周期）則其指數(shù)展開式由于周期信號的周期T1，譜線的間隔w10，則離散譜變成連續(xù)譜離散譜變成連續(xù)譜。 由于周期信號的周期T1，譜線的長度F(nw1)趨于零，則其頻譜失去頻譜失去

25、應(yīng)有的意義。應(yīng)有的意義。 但從物理意義上講，既然是一個信號，那么必然有能量，無論如何分解，必須存在頻譜分布。2.2.頻譜密度的概念頻譜密度的概念 11011T1102limlimT()()defFFnnF：定義信號的頻譜值頻譜密度函數(shù)單位頻帶 對非周期信號不能采用周期信號的頻譜定義方式。而必須引入一個新的量。頻譜密度函數(shù)：在T1，譜線的間隔w10 ,不趨于零，而趨近于有限值，且變成一個連續(xù)函數(shù)，簡稱為頻譜函數(shù)。( )( )j tf tf tFdte 定義：傅里葉正變換F1()()12( )j tdf tFFe 定義：傅里葉逆變換F( )fdtt 傅里葉變換存在的充分條件：3.3.傅里葉變換定義

26、傅里葉變換定義wnw1dwnw12)()(11wFwnwF1nw由：得：)()(wFtfFT)()(tfwFIFT4.4.非周期信號的幅度頻譜與相位頻譜非周期信號的幅度頻譜與相位頻譜)()()(wjewFwF頻譜函數(shù)F(w)：一般是復(fù)函數(shù)。)( wF：是F(w)的模，它代表信號中各頻率分量的相對相對大小。)(w：是F(w)的相位函數(shù)，它代表信號中各頻率分量的相位關(guān)系相位關(guān)系。人們習(xí)慣上也把：wwF)(：為非周期信號的幅度頻譜；ww)(：為非周期信號的相位頻譜。()( )( ) c( )os)s(n)i(jFFjttFe 指數(shù)轉(zhuǎn)三角形式：coss1( )()()() i22(n)f tdjdtF

27、tF 5.5.傅里葉變換形式的三角形式傅里葉變換形式的三角形式( ) t連續(xù)性收斂性具有、（除）() () F 雙邊頻譜圖：密度幅度譜，相位譜6.6.傅里葉變換的特點傅里葉變換的特點非周期信號和周期信號一樣，可以分解成許多不同頻率的正、余弦分量。由于非周期信號的周期趨于無限大，基波趨于無限小，于是它包含了從零到無限高的所有頻率分量包含了從零到無限高的所有頻率分量。由于周期趨于無限大，因此，對任一能量有限（功率無限）的信號（如單脈沖信號），在各頻率點的分量幅度趨于零。非周期信號的頻譜用頻譜密度頻譜密度來表示?？闯觯褐芷谛盘柶漕l譜為離散譜；（傅里葉級數(shù)）非周期信號其頻譜為連續(xù)譜；（傅里葉變換）周期

28、信號與非周期信號，傅里葉級數(shù)與傅里葉變換，離散譜與連續(xù)譜，在一定條件下可以互相轉(zhuǎn)化并統(tǒng)一起來。7.7.傅里葉變換的存在充分條件傅里葉變換的存在充分條件 傅里葉變換存在的充分條件是在無限內(nèi)滿足絕對可積條件：dttf)( 借助奇異函數(shù)（如沖激函數(shù)）的概念，可使許多不滿足絕對可積條件的信號不滿足絕對可積條件的信號，如周期信號、階躍信號、符號函數(shù)等存在傅里葉變換存在傅里葉變換。第五節(jié)第五節(jié)典型非周期信號典型非周期信號的傅里葉變換的傅里葉變換典型非周期信號的傅里葉變換典型非周期信號的傅里葉變換 本節(jié)主要介紹以下幾種典型的非周期信號的頻譜。1、單邊指數(shù)信號2、雙邊指數(shù)信號3、奇雙邊指數(shù)信號4、矩形脈沖信號

29、5、鐘形脈沖信號6、符號函數(shù)7、升余弦脈沖信號一、單邊指數(shù)信號的傅里葉變換一、單邊指數(shù)信號的傅里葉變換 (1)( )(0)( )atu tf tae：單邊指數(shù)（復(fù)函數(shù)）22()1()1),aFarctFaajg 其傅里葉變換為：代入傅里葉變換定義公式中jwaejwadtedteeadtetfwFtjwatjwajwtatjwt1)(1)0()()(0)(0)(0解：單邊指數(shù)信號的頻譜如下：02w)()(awarctgw2( )(0()atufttae01t時域波形頻域頻譜221( )Fa0a1wa21a3(2)( )(0)a tf tae偶雙邊：指數(shù)（正實函數(shù)）二、雙邊指數(shù)信號的傅里葉變換二、

30、雙邊指數(shù)信號的傅里葉變換 222222( )( ),0(aFaaaF 其傅里葉變換為：代入傅里葉變換定義公式中220)(0)(00211)(1)(1)0()()(waajwajwaejwaejwadteedteedteeadtetfwFtjwatjwajwtatjwtatjwttajwt解：雙邊指數(shù)信號的頻譜如下：頻域頻譜( )(0)a tf tae01t時域波形222( )aFa0a2wa1a3相位等0(3)( )(0),0,0fatattaetet：奇雙邊指數(shù)2222()()2(),022,02jaaFF（純虛函數(shù)）三、奇雙邊指數(shù)信號的傅里葉變換三、奇雙邊指數(shù)信號的傅里葉變換 頻域頻譜01

31、t時域波形( )(0)00atatf taetet，0a1wa222( )aFa02w0202)(www222(4)( )ftttE uu矩形脈沖：2( ),0,( )0,( )0)2( )E SaFFFE SaF（實函數(shù)）的門函數(shù)（脈寬為)(tg四、矩形脈沖信號的傅里葉變換四、矩形脈沖信號的傅里葉變換 22( )E u tu tf t0tw()2SFEa0E22. 0EE13. 0( )2SFE a0w22112,2fBwfw時域有限時域有限的矩形脈沖信號，在頻域頻域上是無限分布無限分布。通常，認(rèn)為信號占有頻率范圍（頻帶）為2(5)( )ttEfe：鐘形脈沖五、鐘形脈沖信號的傅里葉變換五、鐘

32、形脈沖信號的傅里葉變換（高斯脈沖）（高斯脈沖） 2222( )( ),0EFFEee （正實函數(shù)）其傅里葉變換為：2( )tf tEe0tEeE22( )FEe w0E2eE因為鐘形脈沖信號是一正實函數(shù)，所以其相位頻為相位頻為零。零。10(6)0sgn( )0010,0lim,0ttattttaateet，：符號函數(shù)，（純虛函數(shù)）六、符號函數(shù)的傅里葉變換六、符號函數(shù)的傅里葉變換 (2(),02,02)()2FFj 其傅里葉變換為：sgn( ) t0t110w)(wF0w)(w22 這種信號不滿足絕對可積條件，但它卻存在傅里葉變換。采用符號函數(shù)與雙邊指數(shù)衰減函數(shù)相乘，求出奇雙邊指數(shù)的頻譜，再取極

33、限，從而求得符號函數(shù)的頻譜。( )2F,02,02( ) （純虛函數(shù)）七、升余弦脈沖信號的傅里葉變換七、升余弦脈沖信號的傅里葉變換 升余弦脈沖信號：)0()cos(12)(ttEtf其傅里葉變換為：221)(1)sin()(wwSaEwwwEwF)cos(12)(tEtf0tE2E222)(wFw02EE34 它的頻譜是由三項構(gòu)成的，他們都是矩形脈沖的頻譜，只是有兩項沿頻率軸左、右平移了w代入傅里葉變換定義公式中)(2)(2)(442)cos(12)()(000wSaEwSaEwSaEdteeEdteeEdteEdtetEdtetfwFjwttjjwttjjwtjwtjwt解：221)(1)s

34、in()(wwSaEwwwEwF化簡得：作業(yè)P1643-15，3-16，3-17，3-18，3-19，3-20，3-21，3-22，3-23，3-24，3-25，3-26，3-27，3-28，3-29，第六節(jié)第六節(jié)沖激函數(shù)和階躍函沖激函數(shù)和階躍函數(shù)的傅里葉變換數(shù)的傅里葉變換（1）沖激函數(shù)的傅里葉正變換沖激函數(shù)的傅里葉正變換 f(t)= t(1(), 1)(0)FF（正實函數(shù)）一、沖激函數(shù)的傅里葉變換一、沖激函數(shù)的傅里葉變換 單位沖激函數(shù)的頻譜等于常數(shù)頻譜等于常數(shù)，即：在整個頻率整個頻率范圍內(nèi)頻譜是均勻分布均勻分布的。 在時域中變化異常劇烈的沖激函數(shù)包含幅度相等的所有頻率分量。 稱此頻譜為“均勻

35、譜均勻譜”或“白色譜白色譜”。0)(t) 1 (tw01)(wF其傅里葉變換為：（2）沖激函數(shù)的傅里葉反變換）沖激函數(shù)的傅里葉反變換 其傅里葉變換為：直流信號 f(t)=E (2)(,)20EFEF （正實函數(shù)）)()(wwF求f(t)沖激函數(shù)的頻譜等于常數(shù)。沖激函數(shù)的頻譜等于常數(shù)。反過來，直流信號的頻譜是沖激函數(shù)直流信號的頻譜是沖激函數(shù)。w01)(w)(tf021t求解直流信號的傅里葉變換解：采用寬度為的矩形脈沖 的極限而求得。22( )E u tu tf t0t( )2SFEa0w22w0)2(E)(w)(tf0Et當(dāng) 時，矩形脈沖成為直流信號f(t)=E,其傅氏變換為：若令)2(limw

36、SaEwF)(limkwSakk2k比較上兩式可得到：)(2wEwF當(dāng)E=1時，)(2wwF)(211)(wtFTFT二、沖激偶信號的傅里葉變換二、沖激偶信號的傅里葉變換 沖激偶函數(shù)沖激偶函數(shù)：)(tf)( t)( )(ttf01t1w0)(wFw0)(w22(,0( ),2,( )0)2FjF （純虛函數(shù)）其傅里葉變換為：推導(dǎo)：推導(dǎo)：解：解： dwetIFTjwt21)(:兩邊求導(dǎo)：dwejwdttdjwt)(21)(得：jwdttdFT)(nFTnnjwdttd)()(推廣：推廣： nnnFTndwwdjt)()(2 222( ),10,0,02,021( )( )FjF （復(fù)函數(shù)）三、階

37、躍信號的傅里葉變換三、階躍信號的傅里葉變換 階躍函數(shù)：階躍函數(shù)u(t)不滿足絕對可積條件，但它仍存在傅里葉變換。2121)(tu)sgn(t)()f tu t01t 222( )1F w0可見：單位階躍函數(shù)u(t)的頻譜的頻譜在w=0點存在存在一個沖激函數(shù)，沖激函數(shù)，即：u(t)含有直流分量含有直流分量。此外：由于u(t)不是純直流信號不是純直流信號，它在t=0點有跳變，因此在頻譜中還存在其他頻率分量存在其他頻率分量。第七節(jié)第七節(jié)傅里葉變換傅里葉變換的基本性質(zhì)的基本性質(zhì)v傅里葉變換的性質(zhì)傅里葉變換的性質(zhì)傅里葉變換建立了時間函數(shù)f(t)與頻譜函數(shù)F(w)之間的對應(yīng)關(guān)系。其中，一個函數(shù)確定之后，另

38、一函數(shù)隨之被唯一地確定。1、對稱性 2、線性（疊加性）3、奇偶虛實性 4、反折5、共軛性能 6、尺度變換特性7、時移特性 8、頻移特性9、微分特性 10、積分特性v傅里葉變換的性質(zhì)傅里葉變換的性質(zhì)( )F( )()(t)ffF t與具相同表達(dá)式， 與具相同表達(dá)式）(1)( )(:f tF 若對稱性FT()2( )F tf 則FTw0)2()(w)(tf01tt0)1 ()(t)(wf01w( )2SFEa0w220t)(tf1220w)(2)(2wfwf12cw2cw0tcw2cw2)(tFv傅里葉變換的性質(zhì)傅里葉變換的性質(zhì)1122(2):f ( )( ), f ( )( )tFtF 線性若性

39、FFTT11122122f ( )f ( )( )(aa)attFaF 則FT其中，其中，a1,a2為常數(shù)為常數(shù)f( )( )( );f( )( )f( )( );f( )( )( )tFtFtFtF 則當(dāng)為時，為偶函，為奇函當(dāng)為函時，為實偶函；實函數(shù)實偶實當(dāng)為函時，為虛奇函當(dāng)為時，為偶函虛函數(shù)奇，為奇函。v傅里葉變換的性質(zhì)傅里葉變換的性質(zhì)(3)f( )( )tF 奇偶虛實：若性F為復(fù)函數(shù)為復(fù)函數(shù)(5)f( )( )tF 若共軛性：F*f ( )(),f ()( )ttFF 則FF(4):f( )( )tF 若反折性Ff()()Ft 則Fv傅里葉變換的性質(zhì)傅里葉變換的性質(zhì)1f(),0Faaat

40、a 則F(6)f( )( )tF 尺度變換：若性Fv傅里葉變換的性質(zhì)傅里葉變換的性質(zhì)當(dāng)信號在時域中壓縮（當(dāng)信號在時域中壓縮（a0)，等效于在頻域中擴展。，等效于在頻域中擴展。當(dāng)信號在時域中擴展（當(dāng)信號在時域中擴展（a0)，等效于在頻域中壓縮。，等效于在頻域中壓縮。當(dāng)信號在時域中當(dāng)信號在時域中 沿縱軸反折（沿縱軸反折（a=-1)，說明信號在時域中，說明信號在時域中沿縱軸反折等效于在頻域中頻譜也沿縱軸反折。沿縱軸反折等效于在頻域中頻譜也沿縱軸反折。即：信號的波形壓縮即：信號的波形壓縮a倍，信號隨時間變化加快倍，信號隨時間變化加快a倍，則倍，則它所包含的頻率分量增加它所包含的頻率分量增加a倍。即頻譜

41、展寬倍。即頻譜展寬a倍。根據(jù)能倍。根據(jù)能量守恒定律，各頻率分量的大小必然減小量守恒定律，各頻率分量的大小必然減小a倍。倍。在通信系統(tǒng)中，通信速度與占用頻帶寬度是一對矛盾。在通信系統(tǒng)中，通信速度與占用頻帶寬度是一對矛盾。(7)f( )( )tF 若時移性：F00000f()( ),0f(1)j ttjaaaFttttFatee 則FFv傅里葉變換的性質(zhì)傅里葉變換的性質(zhì) 信號在時域中延時信號在時域中延時t-t0（沿時間軸右移），等效于（沿時間軸右移），等效于在頻域中相位產(chǎn)生偏差（在頻域中相位產(chǎn)生偏差（-wt0),其幅度譜不變。其幅度譜不變。v例例3-23-2求下列所示三脈沖信號的頻譜。求下列所示三

42、脈沖信號的頻譜。0)(tfE22TTt解：令解：令f0(t)表示矩形單脈沖信號表示矩形單脈沖信號0t)(0tf122)2()(0wSaEwF0w22)(0wFE)()()()(000TtfTtftftf由時移特性可得：由時移特性可得：)cos(21)2()1)()(0wTwSaEeewFwFjwTjwT0wT2)(wFE3其頻譜如下：其頻譜如下：T42v例例3-33-3求雙求雙Sa信號的頻譜。信號的頻譜。解：令解：令f0(t)表示為表示為Sa信號波形信號波形0t)(0tfcw)2()()(twSatwSawtfccc0t2)2(0tf0t)(tfcw2由時移特性得：由時移特性得：ccwwwww

43、F01)(00w)(0wF1cc已知已知F0(w)表示為表示為Sa信號頻譜信號頻譜ccwjwjFTwwwweewFtf0)()2(2200可得可得幅度譜：幅度譜：ccwwwwwwF0)sin(2)(0w)(wF2cccw雖然單雖然單Sa信號的頻譜最為信號的頻譜最為集中，但它含有直流分量，集中，但它含有直流分量，使得它在實際傳輸過程中使得它在實際傳輸過程中帶來不便，而雙帶來不便，而雙Sa信號的信號的頻譜能消去直流分量。頻譜能消去直流分量。(8)f( )( )tF 若頻移性：F000f( )(),0jttFe 則F000000f( )()()s1cosin,f( )()()22ttFFtFjFt調(diào)

44、制性：v傅里葉變換的性質(zhì)傅里葉變換的性質(zhì)頻譜搬移技術(shù)在通信中應(yīng)用廣泛。如調(diào)幅、同步解調(diào)、頻譜搬移技術(shù)在通信中應(yīng)用廣泛。如調(diào)幅、同步解調(diào)、變頻等過程都是在頻譜搬移的基礎(chǔ)上完成的。變頻等過程都是在頻譜搬移的基礎(chǔ)上完成的。頻域上右移頻域上右移w0,等效等效時域中信號調(diào)制時域中信號調(diào)制。即乘以因子。即乘以因子tjwe0v例例3-43-4已知矩形調(diào)幅信號如圖所示已知矩形調(diào)幅信號如圖所示其中其中G(t)為矩形脈沖，脈幅為為矩形脈沖，脈幅為E，脈寬為，脈寬為 ，試求其頻譜。，試求其頻譜。)cos()()(0twtGtf0t2)(tfE2解：解：G(t)矩形脈沖的頻譜為：矩形脈沖的頻譜為：0w2)(wGE)2

45、()(wSaEwG根據(jù)頻移特性：根據(jù)頻移特性：f(t)的頻譜的頻譜F(w)為為2)(22)(2)(21)(21)(0000wwSaEwwSaEwwGwwGwF其頻譜圖為：其頻譜圖為：w00w20w)(wG2E0wv例例3-53-5已知余弦信號已知余弦信號利用頻移定理求利用頻移定理求其頻譜。其頻譜。)cos()(0twtf解：已知直流信號的頻譜是位于解：已知直流信號的頻譜是位于w=0點的沖激函數(shù)，即點的沖激函數(shù)，即)(2)(1)(wwFtfFT利用頻移定理，可求得利用頻移定理，可求得)()()()cos()(000wwwwwFtwtfFT其頻譜位于其頻譜位于0,頻譜圖如下：頻譜圖如下：w0w0w

46、0)(wF余弦、正弦信號即為單頻信號。余弦、正弦信號即為單頻信號。(10)f( )( )tF 微分性：若F( )( )( )( )nnnnnnf tddtjtFFfdtjd 則，F(xiàn)Fv傅里葉變換的性質(zhì)傅里葉變換的性質(zhì)(9)f( )( )tF 若積分性：F ( )( )( )( )( )(00)tFfFfdtjtjdtfF 則，F(xiàn)Fv例子例子已知單位階躍信號已知單位階躍信號u(t)的傅里葉變換的傅里葉變換利用時域微分定理，求利用時域微分定理，求 (t)及及 (t) 。)(1)(wjwtu解：解：1)(1)()(wjwjwdttdutFTjwjwdttdtFT1)()( v例例3-63-6已知三角

47、脈沖信號已知三角脈沖信號利用微分特性求其頻譜利用微分特性求其頻譜F(w).)2(0)2()21 ()(tttEtf解：解：f(t)的波形如右的波形如右tdttdf)(E022t)(tfE022求導(dǎo)求導(dǎo)再求導(dǎo)再求導(dǎo)t22)(dttfdE2022E2E4求其頻譜求其頻譜最后求出最后求出f(t)的頻譜的頻譜F(w).將將f(t)取一階與二階導(dǎo)數(shù)：取一階與二階導(dǎo)數(shù)：2)20(02)02(2)(ttEtEdttdf)(2)2()2(2)(22tttEdttfd求出二階導(dǎo)數(shù)的頻譜求出二階導(dǎo)數(shù)的頻譜F2(w).)()()()()()()(22222wFwwFjwwFdttfdwFtfFTFT求得求得f(t)

48、的頻譜為：的頻譜為：22)()(22222jwjwFTeeEwFdttfd)(2)2()2(2)(22tttEdttfd)(1)(22wFwwF)4(2)4(4sin24sin4222cos2222)(22222222wSaEwwEwwEwwEeewEwFjwjw其頻譜圖其頻譜圖02E)4(2)(wSaEwF4848wv例例3-73-7求下列截平斜變信號的頻譜求下列截平斜變信號的頻譜)()0(1)2(0)(000ttttttttf解：利用積分特性求解：利用積分特性求y(t)的頻譜的頻譜Y(w).已知：矩形脈沖信號已知：矩形脈沖信號f(t) ，其積分就是，其積分就是y(t)t)(tf01t00t

49、ttdfty)()(100t求積分求積分通過積分特性通過積分特性求其頻譜求其頻譜最后求出最后求出y(t)的頻譜的頻譜Y(w).已知矩形脈沖信號已知矩形脈沖信號f(t)的頻譜的頻譜根據(jù)積分特性求出根據(jù)積分特性求出y(t)的頻譜的頻譜Y(w).01)0(F)(1tft01t020t20tt)(tf01t00t時移時移)2()(01wtSawF200)2()(tjwewtSawF時移時移tdfty)()()()2(1)()0()(1)(200wewtSajwwFwFjwwYwtj作業(yè)P168 3-20，3-21，3-22，3-23，3-24，3-25，3-26，3-27，3-28，3-29，3-30

50、，第八節(jié)第八節(jié)卷積特性卷積特性（卷積定理）（卷積定理）卷積特性是傅里葉變換性質(zhì)之一，由于它卷積特性是傅里葉變換性質(zhì)之一，由于它在通信系統(tǒng)和信號處理中的重要地位應(yīng)在通信系統(tǒng)和信號處理中的重要地位應(yīng)用最廣。所以單獨以一節(jié)來講。用最廣。所以單獨以一節(jié)來講。共分二個定理：共分二個定理：時域卷積時域卷積定理定理頻域卷積頻域卷積定理定理卷積特性卷積特性v、時域卷積定理、時域卷積定理給定兩個時間函數(shù)給定兩個時間函數(shù)已知：已知：)()(21t、ftf( (w w) )F F( (t t) )f f( (w w) )F F( (t t) )f f2 2F FT T2 21 1F FT T1 1( (w w) )

51、F F( (w w) )F F( (t t) )f f( (t t) )f f2 21 1F FT T2 21 1 則：則：時域卷積時域卷積頻域相乘。頻域相乘。即：兩個時間即：兩個時間函數(shù)卷積的頻譜函數(shù)卷積的頻譜等于各個時間函數(shù)等于各個時間函數(shù)頻譜的乘積。頻譜的乘積。v證明：證明：根據(jù)卷積定義根據(jù)卷積定義 dtfftftf)(*)()(*)(2121則：則：)()()()()()()()()(*)()(*)(211221212121wFwFdefwFdewFfddtetffdtedtfftftfjwjwjwtjwtFT v、頻域卷積定理、頻域卷積定理給定兩個時間函數(shù)給定兩個時間函數(shù)已知：已知：

52、)()(21t、ftf( (w w) )F F( (t t) )f f( (w w) )F F( (t t) )f f2 2F FT T2 21 1F FT T1 1( (t t) )f f( (t t) )f f2 21 1( (w w) )F F( (w w) )F F2 21 1I IF FT T2 21 1 則：則：頻域卷積頻域卷積時域相乘。時域相乘。即：兩個時間即：兩個時間函數(shù)函數(shù)頻譜頻譜的卷積的卷積等效于各個時間函數(shù)等效于各個時間函數(shù)的乘積（乘的乘積（乘以系數(shù)）。以系數(shù)）。2 21 1v例例3-3-已知余弦脈沖信號已知余弦脈沖信號 )2(0)2()cos()(tttEtf解：把余弦

53、脈沖信號看成是矩形脈沖信號解：把余弦脈沖信號看成是矩形脈沖信號(t) 與周期余弦信與周期余弦信號相乘。號相乘。t)(tfE022 利用卷積定理求其的頻譜。利用卷積定理求其的頻譜。t)(tfE022 t)(tGE022 乘乘以以等等于于t tcos1022 時域：時域：頻域：頻域：w tF cos)(0 )(0w2)(wGE2 40w3)(wFE23 5卷卷積積等等于于已知：已知：)cos()()(ttGtf )2()(wSaEwG )()()cos( wwtFT 2)(22)(2)()(*)(21)cos()(wSaEwSaEwwwGttGFT化簡得：化簡得： 2)(1)2cos(2)(wwE

54、wFv例例3-3-題目同例已知三角脈沖信號題目同例已知三角脈沖信號利用卷積定理求其頻譜利用卷積定理求其頻譜F(w).)2(0)2()21 ()(tttEtf解：兩個同樣矩形脈沖的解：兩個同樣矩形脈沖的卷積卷積即為三角脈沖。如下：即為三角脈沖。如下：t)(tfE022卷積卷積tE2044 )(tG等于等于tE2044 )(tG時域卷積等于頻域相乘。時域卷積等于頻域相乘。乘以乘以等于等于0w8)(wG2E4 40w3)(wFE23 50w8)(wG2E4 4即求出三角脈沖的頻譜即求出三角脈沖的頻譜F(w).)4(22)(wSaEwG )4(2)4(22)()(222wSaEwSaEwGwF v補充

55、例子補充例子3.3.：)F()(的求圖示信號tf -2 -1 0 1 2 t f(t) 2 按定義求傅里葉變換）法解：（11012211)(其它tttfdttfjFetj)()(dtdtdteeetjtjtj211112211112111eeetjtjtjjjjeeeejjjjj221 SaSa224質(zhì)求利用傅里葉變換線性性）法解：（2 SaSatgtgF224)()(22)()()(42tgtgtf 24)(2)(2)(42SatgSatgSaEtEg，即請同學(xué)們畫出頻譜圖請同學(xué)們畫出頻譜圖 422FSaSa用畫出頻譜圖：用畫出頻譜圖：v補充補充3.3.：已知f(t)=g2(t)cos(50

56、0t)，求其頻譜函數(shù)cos(100t)cos(1000t)()500cos()(2tgttf1（）法 利用傅里葉變換線性性和頻移性求)(212500500tgeetjtjeetjtjtgtg50025002)()(21v 解： 2( )( )22g tSag tSa即50050022( )2500( )2500jtjtg tSag tSaee， 500500SaSaF )500()500(2122GGF利用信號的調(diào)制作用求）法解：（2)()500cos()(2tgttf Satg2)(2 500500SaSaFv頻譜圖頻譜圖 500500FSaSa Sav補充例子補充例子3.3.：)F(12)

57、(2的求信號ttf222et212et即對稱性求解：利用傅里葉變換的)(2)()()(ftFFtfeF 2)(v頻譜圖：頻譜圖：22( )1f tteF 2)()F()4cos(sin)(的求信號ttttf頻移性和對稱性求解：利用傅里葉變換的 sin22)(2 Satg)()(212sin22ggtt)(2)()()(ftFFtfv補充例補充例. .：eetjtjtttf4421sin)(22( )(4)(4)2Fgg000f( )(),0jttFe F)F()(的求圖示信號tfv補充例補充例3.3.：)(tft時移性和微積分性求解：利用傅里葉變換的) 1() 1() 1(1211)(tutu

58、tuttf性即不可直接套用微積分, 01)(f) 1() 1() 1() 1(21)(, 1)(21tutututtftf設(shè)) 1() 1() 1(121) 1() 1(21)(2tttttututf tg221 112ft Satg22 ，)0( )( )( )(FjFdftft 22( )f tFSa 22( )( )(0)Saf tFSaj ， jSa)( 12( )( )2(0)f tFFFSaSaj ， 3)(jSav頻譜圖：頻譜圖：()()3S aFj ()()3SaFj作業(yè)P1693-31，3-32，3-33，3-34，第九節(jié)第九節(jié)周期信號的周期信號的傅里葉變換傅里葉變換一、周期

59、信號的傅里葉變換一、周期信號的傅里葉變換 周期信號周期信號-傅里葉級數(shù)傅里葉級數(shù)非周期信號非周期信號- 傅里葉變換傅里葉變換周期無窮大周期無窮大求和變求積分求和變求積分 周期信號不滿足絕對可積條件，但在允許沖激函數(shù)周期信號不滿足絕對可積條件，但在允許沖激函數(shù)存在并認(rèn)為它有意義的前提下，絕對可積條件就成為不存在并認(rèn)為它有意義的前提下，絕對可積條件就成為不必要的限制。也就有周期信號的傅里葉變換。必要的限制。也就有周期信號的傅里葉變換。目的：目的：把周期信號與非周期信號的分析方法統(tǒng)一起來，把周期信號與非周期信號的分析方法統(tǒng)一起來，使傅里葉變換得到廣泛應(yīng)用。使傅里葉變換得到廣泛應(yīng)用。v1.正弦、余弦周

60、期信號的傅里葉變換正弦、余弦周期信號的傅里葉變換 111cos()()()t ：余弦信號F111sin()()()tj 正弦信號：F000f( )(),0jttFe F21( ) t F000,02()jte Fv頻譜頻譜0ttwtf1cos)( 10ttwtf1sin)( 1w0w0w0)(wFw0w0w0)(wjF v例子例子0t2)(tfE2其頻譜圖為：其頻譜圖為：w00w20w)(wG2E0w有限長的余弦信號有限長的余弦信號 有限長余弦信號有限長余弦信號f0(t)的寬度的寬度 增大時，頻譜增大時，頻譜F0( )越來越集中越來越集中到到1的附近，當(dāng)?shù)母浇?，?dāng) ，有限長余弦信號就變成無窮長