大學(xué)高等數(shù)學(xué)_13多元函數(shù)微分法及其應(yīng)用_偏導(dǎo)數(shù)_全微分

1、推廣推廣第八章第八章 一元函數(shù)微分學(xué)一元函數(shù)微分學(xué) 多元函數(shù)微分學(xué)多元函數(shù)微分學(xué) 注意注意: 善于類比善于類比, 區(qū)別異同區(qū)別異同多元函數(shù)微分法多元函數(shù)微分法 及其應(yīng)用及其應(yīng)用 第八章 第一節(jié)第一節(jié)一、區(qū)域一、區(qū)域二、多元函數(shù)的概念二、多元函數(shù)的概念三、多元函數(shù)的極限三、多元函數(shù)的極限四、多元函數(shù)的連續(xù)性四、多元函數(shù)的連續(xù)性機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 多元函數(shù)的基本概念多元函數(shù)的基本概念 )(0oPPU00 PP一、一、 區(qū)域區(qū)域1. 鄰域鄰域點(diǎn)集, ) ,(0PPU稱為點(diǎn) P0 的 鄰域鄰域. .例如例如, ,在平面上, ),(),(0yxPU(圓鄰域)在空間中, ),(),(0zy

2、xPU(球鄰域)說(shuō)明：說(shuō)明：若不需要強(qiáng)調(diào)鄰域半徑 , ,也可寫成. )(0PU點(diǎn) P0 的去心鄰域去心鄰域記為0PP)()(2020yyxx)()()(202020zzyyxx機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 在討論實(shí)際問(wèn)題中也常使用方鄰域,平面上的方鄰域?yàn)?),() ,U(0yxP。0P因?yàn)榉洁徲蚺c圓鄰域可以互相包含.,0 xx0 yy機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 2. 區(qū)域區(qū)域(1) 內(nèi)點(diǎn)、外點(diǎn)、邊界點(diǎn)設(shè)有點(diǎn)集 E 及一點(diǎn) P : 若存在點(diǎn) P 的某鄰域 U(P) E , 若存在點(diǎn) P 的某鄰域 U(P) E = , 若對(duì)點(diǎn) P 的任一任一鄰域 U(P) 既含 E中的內(nèi)點(diǎn)也含 EE

3、則稱 P 為 E 的內(nèi)點(diǎn)內(nèi)點(diǎn)；則稱 P 為 E 的外點(diǎn)外點(diǎn) ;則稱 P 為 E 的邊界點(diǎn)邊界點(diǎn) .機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 的外點(diǎn) ,顯然, E 的內(nèi)點(diǎn)必屬于 E , E 的外點(diǎn)必不屬于 E , E 的邊界點(diǎn)可能屬于 E, 也可能不屬于 E . (2) 聚點(diǎn)聚點(diǎn)若對(duì)任意給定的 , ,點(diǎn)P 的去心機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 ) ,(PUE鄰域內(nèi)總有E 中的點(diǎn) , 則稱 P 是 E 的聚點(diǎn)聚點(diǎn).聚點(diǎn)可以屬于 E , 也可以不屬于 E (因?yàn)榫埸c(diǎn)可以為 所有聚點(diǎn)所成的點(diǎn)集成為 E 的導(dǎo)集導(dǎo)集 .E 的邊界點(diǎn) )D(3) 開(kāi)區(qū)域及閉區(qū)域 若點(diǎn)集 E 的點(diǎn)都是內(nèi)點(diǎn)，則稱 E 為開(kāi)集；

4、若點(diǎn)集 E E , 則稱 E 為閉集； 若集 D 中任意兩點(diǎn)都可用一完全屬于 D 的折線相連 , 開(kāi)區(qū)域連同它的邊界一起稱為閉區(qū)域.則稱 D 是連通的 ; 連通的開(kāi)集稱為開(kāi)區(qū)域 ,簡(jiǎn)稱區(qū)域 ;機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 。 。 E 的邊界點(diǎn)的全體稱為 E 的邊界, 記作E ;例如，例如，在平面上0),( yxyx41),(22yxyx0),( yxyx41),(22yxyx開(kāi)區(qū)域閉區(qū)域機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 xyo21xyoxyoxyo21 整個(gè)平面 點(diǎn)集 1),(xyx是開(kāi)集， 是最大的開(kāi)域 , 也是最大的閉域；但非區(qū)域 .機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 11oxy

5、對(duì)區(qū)域 D , 若存在正數(shù) K , 使一切點(diǎn) PD 與某定點(diǎn) A 的距離 AP K , 則稱 D 為有界域有界域 , 界域界域 .否則稱為無(wú)無(wú)3. n 維空間維空間n 元有序數(shù)組),(21nxxx),(21nxxx的全體稱為 n 維空間維空間,Rnn 維空間中的每一個(gè)元素稱為空間中的kx數(shù)稱為該點(diǎn)的第 k 個(gè)坐標(biāo)坐標(biāo) .記作即機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 RRRRnnkxxxxkn,2, 1,R),(21一個(gè)點(diǎn)點(diǎn), 當(dāng)所有坐標(biāo)時(shí)，0kx稱該元素為 nR中的零元,記作 O .的距離距離記作2222211)()()(),(nnyxyxyxyx中點(diǎn) a 的 鄰域鄰域?yàn)?,(21nyyyy與點(diǎn))

6、,(,R),(axxxaUn機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 ),(R21nnxxxx中的點(diǎn),),(yxyx或規(guī)定為 ),(R21nnxxxx中的點(diǎn)與零元 O 的距離為22221nxxxx.,3, 2, 1xxn通常記作時(shí)當(dāng)0Raxaxn滿足與定元中的變?cè)? ax 記作nR二、多元函數(shù)的概念二、多元函數(shù)的概念 引例引例: : 圓柱體的體積 定量理想氣體的壓強(qiáng) 三角形面積的海倫公式,2hrV,(為常數(shù)）RVTRp )2(cbapcba0, 0),(hrhr0, 0),(TTVTVcbacbacba, 0, 0, 0),( )()(cpbpappS機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 hr定義定義

7、1. 設(shè)非空點(diǎn)集,RnD DPPfu, )(或點(diǎn)集 D 稱為函數(shù)的定義域定義域 ; 數(shù)集DP,Pfuu)(稱為函數(shù)的值域值域 .特別地 , 當(dāng) n = 2 時(shí), 有二元函數(shù)2R),(),(Dyxyxfz當(dāng) n = 3 時(shí), 有三元函數(shù)3R),(),(Dzyxzyxfu映射R:Df稱為定義在 D 上的 n 元函數(shù)元函數(shù) , 記作),(21nxxxfu機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 xzy例如, 二元函數(shù)221yxz定義域?yàn)?),(22 yxyx圓域說(shuō)明說(shuō)明: 二元函數(shù) z = f (x, y), (x, y) D圖形為中心在原點(diǎn)的上半球面., )sin(,yxz 又如機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè)

8、返回 結(jié)束 的圖形一般為空間曲面 .12R),(yx三元函數(shù) )arcsin(222zyxu定義域?yàn)?),(222zyxzyx圖形為4R空間中的超曲面.單位閉球xyzo三、多元函數(shù)的極限三、多元函數(shù)的極限定義定義2. 設(shè) n 元函數(shù),R),(nDPPf點(diǎn) , ) ,(0PUDP,-)(APf則稱 A 為函數(shù)(也稱為 n 重極限)當(dāng) n =2 時(shí), 記20200)()(yyxxPP二元函數(shù)的極限可寫作：Ayxf),(lim0APfPP)(lim0P0 是 D 的聚若存在常數(shù) A ,對(duì)一記作，時(shí)的極限當(dāng)0)(PPPfAyxfyyxx),(lim00都有機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 對(duì)任意正數(shù)

9、 , 總存在正數(shù) ,切例例1. 設(shè))0(1sin)(),(222222yxyxyxyxf求證：.0),(lim00yxfyx證證:01sin)(2222yxyx故0),(lim00yxfyx,0 0),( yxf,022時(shí)當(dāng)yx22yx 222yx , 總有機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 要證 例例2. 設(shè)0, 00,sinsin),(11yxyxyxyxfxy求證：.0),(lim00yxfyx證：證：0),(yxf故0),(lim00yxfyx, 0 20),( 22yxyxfyx 222 yx ,2 時(shí)，當(dāng)022yxxyyx11sinsin總有 2 要證機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回

10、結(jié)束 若當(dāng)點(diǎn)),(yxP趨于不同值或有的極限不存在，解解: 設(shè) P(x , y) 沿直線 y = k x 趨于點(diǎn) (0, 0) ,22),(yxyxyxf222200lim),(limxkxxkyxfxkxyx在點(diǎn) (0, 0) 的極限.),(yxf故則可以斷定函數(shù)極限則有21kkk 值不同極限不同值不同極限不同 !在 (0,0) 點(diǎn)極限不存在 .以不同方式趨于,),(000時(shí)yxP不存在 .例例3. 討論函數(shù)函數(shù)機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 例例4. 求22222200)()cos(1limyxyxyxyx解解: 因,)(2224122yxyx222222)()cos(1yxyxyx而

11、620)cos1 (4limrrr此函數(shù)定義域不包括 x , y 軸,222yxr令則62)cos1 (4rr6402limrrr2cos1r22r故22222200)()cos(1limyxyxyxyx機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 僅知其中一個(gè)存在,推不出其它二者存在. 二重極限),(lim00yxfyyxx),(limlim00yxfxxyy及不同不同. 如果它們都存在, 則三者相等.例如例如,),(22yxyxyxf顯然),(limlim00yxfyyxx與累次極限),(limlim00yxfyx),(limlim00yxfxy0,0但由例3 知它在(0,0)點(diǎn)二重極限不存在 .例

12、3 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 四四、 多元函數(shù)的連續(xù)性多元函數(shù)的連續(xù)性 定義定義3 . 設(shè) n 元函數(shù))(Pf定義在 D 上,)()(lim00PfPfPP0)(PPf在點(diǎn)如果函數(shù)在 D 上各點(diǎn)處都連續(xù), 則稱此函數(shù)在 D 上,0DP 聚點(diǎn)如果存在否則稱為不連續(xù),0P此時(shí)稱為間斷點(diǎn) .則稱 n 元函數(shù)機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 連續(xù).連續(xù), 例如例如, 函數(shù)0,00,),(222222yxyxyxyxyxf在點(diǎn)(0 , 0) 極限不存在, 又如又如, 函數(shù)11),(22yxyxf上間斷.122 yx 故 ( 0, 0 )為其間斷點(diǎn).在圓周機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 結(jié)論結(jié)論

13、: 一切多元初等函數(shù)在定義區(qū)域內(nèi)連續(xù).定理定理：若 f (P) 在有界閉域 D 上連續(xù), 則機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 ,0) 1 ( K)()2(Pf, ,Mm* (4) f (P) 必在D 上一致連續(xù) .;,)(DPKPf使在 D 上可取得最大值 M 及最小值 m ;(3) 對(duì)任意，DQ;)(Qf使(有界性定理) (最值定理) (介值定理) (一致連續(xù)性定理) 閉域上多元連續(xù)函數(shù)有與一元函數(shù)類似的如下性質(zhì):(證明略) .11lim00yxyxyx解解: : 原式) 11(1) 1(lim200yxxyyxyx21例例5. .求222)3arcsin(),(yxyxyxf1322yx

14、4222yx例例6. 求函數(shù)的連續(xù)域.解解:02 yx2yx 111lim00yxyx機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 2oyx2內(nèi)容小結(jié)內(nèi)容小結(jié)1. 區(qū)域 鄰域 :, ) ,(0PU) ,(0PU 區(qū)域連通的開(kāi)集 空間nR2. 多元函數(shù)概念n 元函數(shù)),(21nxxxf常用二元函數(shù) (圖形一般為空間曲面)三元函數(shù)DP)(Pfu nR機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 APfPP)(lim0,0 ,0 時(shí)，當(dāng)00 PP有)( APf3. 多元函數(shù)的極限4. 多元函數(shù)的連續(xù)性1) 函數(shù)連續(xù)在0)(PPf)()(lim00PfPfPP2) 閉域上的多元連續(xù)函數(shù)的性質(zhì):有界定理 ;最值定理 ; 介

15、值定理3) 一切多元初等函數(shù)在定義區(qū)域內(nèi)連續(xù)P11 題 2; 4; 5 (3), (5) ( 畫圖 ) ; 8P72 題 3; 4機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 思考與練習(xí)思考與練習(xí)解答提示解答提示: :P11 題 2. ),(),(2yxftytxtf稱為二次齊次函數(shù) .P11 題 4.xyxyxyxyxyxyxf2)()(),(P11 題 5(3).定義域 0:yyxDP11 題 5(5).定義域22222:RzyxrD2xy DyxoRxyoDr機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 P12 題 8.間斷點(diǎn)集02),(2 xyyxP72 題 3.定義域104:222yxxyD240422

16、001limlimxkxkyxyxxyx)0,21(),(lim021fyxfyx43ln2P72 題 4. 令 y= k x ，0若令xy 42200limyxyxyx212202limxxxDxy42yx1機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 , 則 可見(jiàn)極限不存在 作業(yè)作業(yè)P11 5 (2), (4), (6) 6 (2), (3), (5), (6) 7，9 , 10第二節(jié) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 備用題備用題1. 設(shè),),(222yxyxfxy求. ),(2yxfxy解法解法1 令uyxvxy23vuy 3vuux ),(vuf32)(2vuu32)( vu,2xyu yxv )

17、,(2yxxyf2)(2xy2y2y222yxy機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 1 .設(shè),),(222yxyxfxy求. ),(2yxfxy解法解法2 令uvyx2vuxy2vy uvx ),(2xyyxf),(2vuuvf22vuv即),(2yxxyf222yxy),(2vuuvf機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 yxyxxx200limxxxx320lim)(lim320 xxx,12.yxxyxyx)1ln(lim00是否存在？解解：xxy取所以極限不存在.333,0,)1ln(yxyx利用yxxyxyx)1ln(lim00機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 3. 證明),(yxf

18、)0 , 0(),(,22yxyxyx)0 , 0(),(,0yx在全平面連續(xù).證證:,)0 , 0(),(處在yx),(yxf為初等函數(shù) , 故連續(xù).又220yxyxyxyx222222221yxyx2221yx 2200limyxyxyx0)0 , 0(f故函數(shù)在全平面連續(xù) .由夾逼準(zhǔn)則得機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 第二節(jié)機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 一、一、 偏導(dǎo)數(shù)概念及其計(jì)算偏導(dǎo)數(shù)概念及其計(jì)算二二 、高階偏導(dǎo)數(shù)、高階偏導(dǎo)數(shù) 偏 導(dǎo) 數(shù) 第八章 一、一、 偏導(dǎo)數(shù)定義及其計(jì)算法偏導(dǎo)數(shù)定義及其計(jì)算法引例引例:研究弦在點(diǎn) x0 處的振動(dòng)速度與加速度 , 就是),(txu0 xox

19、u中的 x 固定于求一階導(dǎo)數(shù)與二階導(dǎo)數(shù).),(txux0 處,),(0txu),(0txu關(guān)于 t 的機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 將振幅定義定義1.),(yxfz 在點(diǎn)), (), (lim000yfyfx存在,xyxyxfz對(duì)在點(diǎn)),(),(00的偏導(dǎo)數(shù)，記為;),(00yxxz),(00yx的某鄰域內(nèi);),(00yxxfxx00 x則稱此極限為函數(shù)極限設(shè)函數(shù))(0 xf)()(00 xfxxfx0limxx; ),(00yxfx;),(00yxxz0ddxxxy. ),(001yxf 機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 xyxfyxxfx),(),(lim000000),(dd0

20、xxyxfx),(00yxfx注意注意:0),(dd0yyyxfy同樣可定義對(duì) y 的偏導(dǎo)數(shù) lim0y),(00yxfy若函數(shù) z = f ( x , y ) 在域 D 內(nèi)每一點(diǎn) ( x , y ) 處對(duì) x,xzxfxz則該偏導(dǎo)數(shù)稱為偏導(dǎo)函數(shù), 也簡(jiǎn)稱為偏導(dǎo)數(shù)偏導(dǎo)數(shù) ,),(, ),(1yxfyxfx),(, ),(2yxfyxfy) ,(0 xf),(0 xfy記為yy00y機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 或 y 偏導(dǎo)數(shù)存在 ,yzyfyz),(zyxfx例如例如, 三元函數(shù) u = f (x , y , z) 在點(diǎn) (x , y , z) 處對(duì) x 的偏導(dǎo)數(shù)的概念可以推廣到二元以上

21、的函數(shù) . lim0 x), (zyf),(zyfxxx?),(zyxfy?),(zyxfzx機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 偏導(dǎo)數(shù)定義為(請(qǐng)自己寫出)二元函數(shù)偏導(dǎo)數(shù)的幾何意義二元函數(shù)偏導(dǎo)數(shù)的幾何意義:00),(dd00 xxyxfxxfxxyy0),(yyyxfzxTM000),(dd00yyyxfyyfxxyy是曲線0),(xxyxfzyTM0在點(diǎn) M0 處的切線對(duì) x 軸的斜率.在點(diǎn)M0 處的切線斜率.是曲線yxz0 xyToxT0y0M機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 對(duì) y 軸的函數(shù)在某點(diǎn)各偏導(dǎo)數(shù)都存在,顯然例如例如, ,0,00,),(222222yxyxyxyxyxfz0)

22、0,(dd)0, 0(xxfxfx0), 0(dd)0, 0(yyfyfy00注意：注意：但在該點(diǎn)不一定連續(xù)不一定連續(xù).上節(jié)例 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 在上節(jié)已證 f (x , y) 在點(diǎn)(0 , 0)并不連續(xù)!例例1 . 求223yyxxz解法解法1:xz)2, 1 (xz解法解法2:) 2, 1(xz在點(diǎn)(1 , 2) 處的偏導(dǎo)數(shù).) 2, 1(yz,32yx yzyx23 ,82312)2, 1 (yz72213462xx1)62(xx81xz231yy 2)23(yy72yz機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 例例2. 設(shè)，）且1, 0(xxxzyzyzxxzyx2ln1 證證:

23、xzyzxxzyxln1 例例3. 求222zyxr的偏導(dǎo)數(shù) . (P14 例4)解解:xryryyxx yz求證,1yxyxxylnz22222zyxx2rxrzzr,ry機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 偏導(dǎo)數(shù)記號(hào)是一個(gè)例例4. 已知理想氣體的狀態(tài)方程求證:1pTTVVpTRVp證證:,VTRp ,pTRV ,RVpT pTTVVp說(shuō)明說(shuō)明:(R 為常數(shù)) , Vp2VTRTVpRpTRVVpTR1不能看作分子與分母的商 !此例表明,機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 整體記號(hào),二、高階偏導(dǎo)數(shù)二、高階偏導(dǎo)數(shù)設(shè) z = f (x , y)在域 D 內(nèi)存在連續(xù)的偏導(dǎo)數(shù)),(, ),(yxfy

24、zyxfxzyx若這兩個(gè)偏導(dǎo)數(shù)仍存在偏導(dǎo)數(shù)，)(xz)(yzx )(xzy ),()(22yxfyzyzyyy則稱它們是z = f ( x , y ) 的二階偏導(dǎo)數(shù) . 按求導(dǎo)順序不同, 有下列四個(gè)二階偏導(dǎo)22xz);,(yxfxxyxz2),(yxfyx);,(2yxfxyzxyx機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 數(shù):類似可以定義更高階的偏導(dǎo)數(shù).例如，例如，z = f (x , y) 關(guān)于 x 的三階偏導(dǎo)數(shù)為3322)(xzxzxz = f (x , y) 關(guān)于 x 的 n 1 階偏導(dǎo)數(shù) , 再關(guān)于 y 的一階) (yyxznn1機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 偏導(dǎo)數(shù)為11nnxzyx

25、e22例例5. 求函數(shù)yxez2.23xyz解解 :xz22xz) ( 223xyzxxyzyzxyz2yxz2 22 yz注意注意: :此處,22xyzyxz但這一結(jié)論并不總成立.yxe2yxe22yxe2yxe22yxe22yxe24機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 的二階偏導(dǎo)數(shù)及 0,)(4222224224yxyxyyxxxyfyfxxy)0, 0(), 0(lim0),(yxfy例如例如,),(yxfx)0 , 0(yxfxfxffyyxxy)0, 0()0,(lim)0 , 0(0二者不等yyy0lim1xxx0lim1),(yxf0, 022 yx0,)(4222224224y

26、xyxyyxxy0,022 yx0,222222yxyxyxyx0, 022 yx機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 例例6. 證明函數(shù)222,1zyxrru滿足拉普拉斯0222222zuyuxu證：證：xu22xu利用對(duì)稱性 , 有,3152322ryryu222222zuyuxuu方程xrr21rxr2131rxrrx4352331rxr5232231rzrzu52223)(33rzyxr2r0機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 ,),()()(00連續(xù)都在點(diǎn)和若yxx,yfx,yfxyyx),(),(0000yxfyxfxyyx則證明 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 定理定理.例如例如,

27、對(duì)三元函數(shù) u = f (x , y , z) ,),(),(),(zyxfzyxfzyxfyxzxzyzyx說(shuō)明說(shuō)明:本定理對(duì) n 元函數(shù)的高階混合導(dǎo)數(shù)也成立.函數(shù)在其定義區(qū)域內(nèi)是連續(xù)的 , 故求初等函數(shù)的高階導(dǎo)數(shù)可以選擇方便的求導(dǎo)順序.),(),(),(zyxfzyxfzyxfxyzzxyyzx因?yàn)槌醯群瘮?shù)的偏導(dǎo)數(shù)仍為初等函數(shù) ,當(dāng)三階混合偏導(dǎo)數(shù)在點(diǎn) (x , y , z) 連續(xù)連續(xù)時(shí), 有而初等(證明略) 證證: :令),(),(),(0000yxxfyyxxfyxF),(),()(00yxfyyxfx則),(yxFxxx)(10 xyxxfyyxxfxx ),(),(010010yxy

28、yxxfyx),(2010),(),(0000yxfyyxf),(),()(00yxfyxxfy)10(1)1,0(21,),()()(00連續(xù)都在點(diǎn)和若yxx,yfx,yfxyyx),(),(0000yxfyxfxyyx則)()(00 xxx機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 定理定理.令),(),(),(0000yxxfyyxxfyxF),(),(0000yxfyyxf同樣)()(00yyyyxyyxxfxy),(4030) 1,0(43),(),(0000yxfyxfxyyx）（）（因yxfyxfxyyx, 0 x故令),(4030yyxxfxy),(2010yyxxfyx在點(diǎn))(00y

29、x ，連續(xù),得機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 0y內(nèi)容小結(jié)內(nèi)容小結(jié)1. 偏導(dǎo)數(shù)的概念及有關(guān)結(jié)論 定義; 記號(hào); 幾何意義 函數(shù)在一點(diǎn)偏導(dǎo)數(shù)存在函數(shù)在此點(diǎn)連續(xù) 混合偏導(dǎo)數(shù)連續(xù)與求導(dǎo)順序無(wú)關(guān)2. 偏導(dǎo)數(shù)的計(jì)算方法 求一點(diǎn)處偏導(dǎo)數(shù)的方法先代后求先求后代利用定義 求高階偏導(dǎo)數(shù)的方法逐次求導(dǎo)法(與求導(dǎo)順序無(wú)關(guān)時(shí), 應(yīng)選擇方便的求導(dǎo)順序)機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 思考與練習(xí)思考與練習(xí)解答提示: P73 題 5，時(shí)當(dāng)022 yx222),(yxyxxyxfx222),(yxyxyyxfy,022 yx當(dāng)0)0 ,(dd)0 , 0(xxfxfx0), 0(dd)0 , 0(yyfyfy00P7

30、3 題 5 , 62223)(2yxyx222222)()(yxyxx即 xy0 時(shí),機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 P73 題6(1),12yxxz22yxyyz,)(12222yxxz,)(2222yxyyxz22222)()(2yxyxyz(2),1yxyxzxxyzyln,) 1(2 .22yxyyxzxxyxyxzyyln1 .12xxyzy222ln機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 作業(yè)作業(yè)P18 1（4）,（6）,（8）； 3； 5； 6（3）； 7； 8； 9（2）第三節(jié) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 ,)(xuuf備用題備用題 設(shè), )(ufz 方程)(uuxytdtp

31、 )(確定 u 是 x , y 的函數(shù) ,)(, )(可微其中uuf)(),(utp連續(xù), 且, 1)( u求.)()(yzxpxzyp解解:xzyuufyz)(xuuxu)()(xpyuuyu)()(ypxu)(1)(uxpyu)(1)(uyp)(uf yzxpxzyp)()(yuxpxuyp)()(0機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 第八章 *二、全微分在數(shù)值計(jì)算中的應(yīng)用二、全微分在數(shù)值計(jì)算中的應(yīng)用 應(yīng)用 第三節(jié)一元函數(shù) y = f (x) 的微分)( xoxAyxxfy)(d近似計(jì)算估計(jì)誤差機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 本節(jié)內(nèi)容本節(jié)內(nèi)容:一、全微分的定義、全微分的定義 全微分一、

32、全微分的定義、全微分的定義 定義定義: 如果函數(shù) z = f ( x, y )在定義域 D 的內(nèi)點(diǎn)( x , y ),(),(yxfyyxxfz可表示成, )(oyBxAz其中 A , B 不依賴于 x , y , 僅與 x , y 有關(guān)，yBxA稱為函數(shù)),(yxf在點(diǎn) (x, y) 的全微分全微分, 記作yBxAfz dd若函數(shù)在域 D 內(nèi)各點(diǎn)都可微,22)()(yx則稱函數(shù) f ( x, y ) 在點(diǎn)( x, y) 可微可微，機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 處全增量則稱此函數(shù)在在D 內(nèi)可微內(nèi)可微.(2) 偏導(dǎo)數(shù)連續(xù)),(),(yxfyyxxfz)()(lim0oyBxA下面兩個(gè)定理給

33、出了可微與偏導(dǎo)數(shù)的關(guān)系:(1) 函數(shù)可微函數(shù) z = f (x, y) 在點(diǎn) (x, y) 可微),(lim00yyxxfyx由微分定義 :得zyx00lim0),(yxf函數(shù)在該點(diǎn)連續(xù)機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 偏導(dǎo)數(shù)存在 函數(shù)可微 即定理定理1 1(必要條件)若函數(shù) z = f (x, y) 在點(diǎn)(x, y) 可微可微 ,則該函數(shù)在該點(diǎn)偏導(dǎo)數(shù)yzxz,yyzxxzzd), (), (yfyfzxxz同樣可證,Byzyyzxxzzd證證: 由全增量公式, )(oyBxAz,0y令)(xoxA必存在,且有得到對(duì) x 的偏增量xxx因此有 xzxx0limA機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回

34、結(jié)束 反例反例: 函數(shù)),(yxf易知,0) 0, 0()0, 0(yxff 但)0, 0()0, 0(yfxfzyx因此,函數(shù)在點(diǎn) (0,0) 不可微 .)(o注意注意: 定理1 的逆定理不成立 .22)()(yxyx22)()(yxyx22)()(yxyx0偏導(dǎo)數(shù)存在函數(shù) 不一定可微 !即:0,2222yxyxyx0, 022 yx機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 ),(yyxxf定理定理2 (充分條件)yzxz,證證：),(),(yxfyyxxfz)1,0(21xyxfx),( yyyxfy),(2xyyxxfx),(1),(yyxf),( yxf),(yyxfyyxfy),(若函數(shù))

35、,(yxfz 的偏導(dǎo)數(shù),),(連續(xù)在點(diǎn)yx則函數(shù)在該點(diǎn)可微分.機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 0lim00yx,0lim00yxzyyxfxyxfyx),(),(yyxfxyxfzyx),(),(yx所以函數(shù)),(yxfz ),(yxyx在點(diǎn)可微.機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 0lim00yx,0lim00yx注意到, 故有)(oxxu推廣推廣: 類似可討論三元及三元以上函數(shù)的可微性問(wèn)題.例如, 三元函數(shù)),(zyxfu ud習(xí)慣上把自變量的增量用微分表示,ud記作uxd故有下述疊加原理uuuuzyxdddd稱為偏微分偏微分.yyudzzudxxuduyduzd的全微分為yyuzzu

36、于是機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 uuuzyxd,d,d例例1. 計(jì)算函數(shù)在點(diǎn) (2,1) 處的全微分. yxez 解解:xz222) 1 , 2(,) 1 , 2(eyzexzyexezd2dd22) 1 , 2(例例2. 計(jì)算函數(shù)的全微分. zyeyxu2sin解解: udxd1yyd) cos(221zeyzydyz,yxeyyxex)d2d(2yxezyez機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 可知當(dāng)*二、全微分在數(shù)值計(jì)算中的應(yīng)用二、全微分在數(shù)值計(jì)算中的應(yīng)用1. 近似計(jì)算近似計(jì)算由全微分定義xy)(),(),(oyyxfxyxfzyx),(yyxxfyyxfxyxfyx),(),(

37、較小時(shí),yyxfxyxfzzyx),(),(dzd及有近似等式:),(yxf機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 (可用于近似計(jì)算; 誤差分析) (可用于近似計(jì)算) 半徑由 20cm 增大解解: 已知,2hrVV,100,20hr) 1(2005. 01002022V即受壓后圓柱體體積減少了 .cm2003例例3. 有一圓柱體受壓后發(fā)生形變,到 20.05cm , 則 rrh2hr 21,05. 0hr)cm(2003高度由100cm 減少到 99cm ,體積的近似改變量. 機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 求此圓柱體例例4.4.計(jì)算的近似值. 02. 204. 1解解: 設(shè)yxyxf),(,

38、則),(yxfx取, 2, 1yx則)02. 2,04. 1(04. 102. 2fyfxffyx)2, 1 ()2, 1 ()2, 1 (08. 102. 0004. 021),(yxfy,1yxyxxyln02. 0,04. 0yx機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 分別表示 x , y , z 的絕對(duì)誤差界,2. 誤差估計(jì)誤差估計(jì)利用yyxfxyxfzyx),(),(zyx,令z 的絕對(duì)誤差界約為yyxxzyxfyxf),(),(z 的相對(duì)誤差界約為yyxxzyxfyxfyxfyxfz),(),(),(),(機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 則特別注意特別注意時(shí)，yxz ) 1 (yx

39、zyxz,)2(時(shí)xyz yxyx類似可以推廣到三元及三元以上的情形.xzz )(2xyyxy x1yx乘除后的結(jié)果相對(duì)誤差變大很小的數(shù)不能做除數(shù)機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 例例5. 利用公式CbaSsin211 . 030,01. 03 . 8,01. 05 .12Cba求計(jì)算面積時(shí)的絕對(duì)誤差與相對(duì)誤差.解：解：aSaSaCbsin211800,01. 0,30,3 . 8, 5 .12CbaCba13. 0S故絕對(duì)誤差約為又CbaSsin21所以 S 的相對(duì)誤差約為SS30sin3 . 85 .1221bCasin21CCabcos2194.2594.2513. 0%5 . 0計(jì)算

40、三角形面積.現(xiàn)測(cè)得機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 bbSccS例例6 6.在直流電路中, 測(cè)得電壓 U = 24 伏 ,解解: 由歐姆定律可知4624IUR( 歐)所以 R 的相對(duì)誤差約為IURIUR0.3 + 0.5 R 的絕對(duì)誤差約為 RR0.8 0.3;定律計(jì)算電阻 R 時(shí)產(chǎn)生的相對(duì)誤差和絕對(duì)誤差 .相對(duì)誤差為 測(cè)得電流 I = 6安, 相對(duì)誤差為 0.5 ,= 0.032 ( 歐 )= 0.8 機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 求用歐姆內(nèi)容小結(jié)內(nèi)容小結(jié)1. 微分定義:),(yxfz zyyxfxyxfyx),(),(zdyyxfxyxfyxd),(d),(22)()(yx2. 重要關(guān)系:)( o函數(shù)可導(dǎo)函數(shù)可導(dǎo)函數(shù)可微函數(shù)可微偏導(dǎo)數(shù)連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)連續(xù)函數(shù)連續(xù)函數(shù)連續(xù)機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 3. 微分應(yīng)用 近似計(jì)算 估計(jì)誤差zyyxfxyxfyx),(),(),(yyxxfyyxfxyxfyx),(),(絕對(duì)誤差相對(duì)誤差),(yxfyyxxzyxfyxf),(),(yyxxzyxfyxfyxfyxfz),(),(),(),(機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 思考與練習(xí)思考與練習(xí)1. P72 題 1 (