高數(shù)下多元函數(shù)微分法習(xí)題

1、 第八章 習(xí)題課習(xí)題課機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 一、一、 基本概念基本概念 二、多元函數(shù)微分法二、多元函數(shù)微分法 三、多元函數(shù)微分法的應(yīng)用三、多元函數(shù)微分法的應(yīng)用 多元函數(shù)微分法多元函數(shù)微分法一、一、 基本概念基本概念連續(xù)性 偏導(dǎo)數(shù)存在 方向?qū)?shù)存在可微性1. 多元函數(shù)的定義、極限 、連續(xù) 定義域及對(duì)應(yīng)規(guī)律 判斷極限不存在及求極限的方法 函數(shù)的連續(xù)性及其性質(zhì)2. 幾個(gè)基本概念的關(guān)系機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 思考與練習(xí)思考與練習(xí)機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 1. 討論二重極限yxyxyx00lim解法解法101lim1100 xyyx原式解法解法2 令, xky 01l

2、im0kkxx原式解法解法3 令,sin,cosryrx0sincossincoslim0rr原式時(shí), 下列算法是否正確是否正確?分析分析:yxyxyx00lim解法101lim1100 xyyx解法2 令, xky 01lim0kkxx原式機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 此法第一步排除了沿坐標(biāo)軸趨于原點(diǎn)的情況, 此法排除了沿曲線趨于原點(diǎn)的情況. 時(shí)例如xxy21lim2230 xxxx原式此時(shí)極限為 1 .第二步 未考慮分母變化的所有情況, , 1,111xyxxy時(shí)例如解法3 令,sin,cosryrx0sincossincoslim0rr原式機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 此法忽

3、略了 的任意性,時(shí)當(dāng)4, 0r)sin(2sincossincossincos4rr極限不存在 !由以上分析可見, 三種解法都不對(duì), 因?yàn)槎疾荒鼙ＷC自變量在定義域內(nèi)以任意方式趨于原點(diǎn) .特別要注意, 在某些情況下可以利用極坐標(biāo)求極限, 但要注意在定義域內(nèi) r , 的變化應(yīng)該是任意的. 同時(shí)還可看到, 本題極限實(shí)際上不存在 .0,00,)(),(2222232222yxyxyxyxyxf提示提示: 利用 ,222yxyx2122)(41),(yxyxf)0,0(0),(lim00fyxfyx故f 在 (0,0) 連續(xù);, 0), 0()0 ,(yfxf又因0)0 , 0()0 , 0(yxff所

4、以知在點(diǎn)(0,0) 處連續(xù)且偏導(dǎo)數(shù)存在 , 但不可微 . 2. 證明證明:機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 而)0 , 0(f,00時(shí)，當(dāng)yx22)0 , 0()()(yxf22222)()( )()(yxyx0所以 f 在點(diǎn)(0,0)不可微 !232222)()( )()(yxyx機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 例例1. 已知求出 的表達(dá)式. ),(yxf解法解法1 令,yxu),(vuf)(uvu即)(),(xyxyxf,)0,(xxf) 1(),(yxyxf解法解法2 )()(),(yxyxyxyxyxf)(),(xyxyxf以下與解法1 相同., )(),(22yxyxyxyxf

5、,)0(xxf，）（）（vuyvux2121,則xx )(且,yxv)()()(241241uvuvu機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 二、多元函數(shù)微分法二、多元函數(shù)微分法顯示結(jié)構(gòu)隱式結(jié)構(gòu)1. 分析復(fù)合結(jié)構(gòu)(畫變量關(guān)系圖)自變量個(gè)數(shù) = 變量總個(gè)數(shù) 方程總個(gè)數(shù)自變量與因變量由所求對(duì)象判定2. 正確使用求導(dǎo)法則“分段用乘,分叉用加,單路全導(dǎo),叉路偏導(dǎo)”注意正確使用求導(dǎo)符號(hào)3. 利用一階微分形式不變性機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 例例2. 設(shè)其中 f 與F分別具,0),(, )(zyxFyxfxz解法解法1 方程兩邊對(duì) x 求導(dǎo), 得xzdd)0(23FFfxxzdd1F 23FFfx 1

6、 32FFfx12FFfxffx221FffFxfFx有一階導(dǎo)數(shù)或偏導(dǎo)數(shù), 求fxfxzxyfxdddd132ddddFxzFxyFf fx)dd1 (xy.ddxzxyFdd20dd3xzF(99 考研)機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 解法解法2 0),(, )(zyxFyxfxz方程兩邊求微分, 得化簡(jiǎn)消去 即可得yd.ddxzyF d20d3zFyfxd 0dz)d(dddyxfxxfz 0ddd321zFyFxFxfxfd)(xF d1機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 例例3. .設(shè)),(zyxfu 有二階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù), 且,sin2txz , )ln(yxt求.,2yxuxu解解

7、:uzyxtxyxxu1f(3 ftxsin2tx cos2)yxu2 12f(13 ftx cos2) 32f 33f)1cos(2yxtx)cossin2(2yxtxtx 3fyxtx1cos222)( yxxyxt1sin)(yx 1cos tyx 1yx 1機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 練習(xí)題練習(xí)題: 設(shè)函數(shù) f 二階連續(xù)可微, 求下列函數(shù)的二階偏導(dǎo)數(shù).2yxz),()3()()2()() 1 (222xyxfzxyxfzxyfxz機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 解答提示解答提示: )() 1 (2xyfxz : )()2(2xyxfzxyxyfxyz2)(2xyfyz2 f

8、xyxyfxy )1(22222fxy 232fy 2yxz2yxz2 fy2)(22xyfxy 2)1(22xyfxy22第 1 題機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 2222fxyyxz) (2xy21f 2222fxy : ),()3(2xyxfz 22fxyyz機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 三、多元函數(shù)微分法的應(yīng)用三、多元函數(shù)微分法的應(yīng)用1 1.在幾何中的在幾何中的應(yīng)用應(yīng)用求曲線在切線及法平面 (關(guān)鍵: 抓住切向量) 求曲面的切平面及法線 (關(guān)鍵: 抓住法向量) 2. 極值與最值問題極值與最值問題 極值的必要條件與充分條件 求條件極值的方法 (消元法, 拉格朗日乘數(shù)法) 求解最值

9、問題機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 例例4.4.在第一卦限作橢球面1222222czbyax的切平面,使其在三坐標(biāo)軸上的截距的平方和最小, 并求切點(diǎn). 解解: 設(shè), 1),(222222czbyaxzyxF切點(diǎn)為),(000zyxM則切平面的法向量為,220ax,220by202czM即zczybyxax2020201220220220czbyax1切平面方程0)(2020zzcz)(2020yyby )(2020 xxax機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 ),(zyxFFFn 問題歸結(jié)為求222222zcybxas在條件1222222czbyax下的條件極值問題 .設(shè)拉格朗日函數(shù)222

10、222zcybxaF1222222czbyax)0,0,0(zyx機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 切平面在三坐標(biāo)軸上的截距為,02xa,02yb02zc令2222xaxaFx022ax0222222byybybFy0222222czzczcFz1222222czbyaxcbaaaxcbabbycbaccz由實(shí)際意義可知cbacccbabbcbaaaM,為所求切點(diǎn) .機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 唯一駐點(diǎn)例例5.22yxz求旋轉(zhuǎn)拋物面與平面之間的最短距離.解：解：2261zyxd設(shè)為拋物面上任一點(diǎn)， 則 P ),(zyxP22yxz的距離為022zyx問題歸結(jié)為(min)22(2zyx

11、約束條件:022zyx目標(biāo)函數(shù):22 zyx作拉氏函數(shù))()22(),(222yxzzyxzyxF機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 到平面)()22(),(222yxzzyxzyxF.81,41,41zyx令22yxz解此方程組得唯一駐點(diǎn)02)22(2yzyxFy0)2)(22(2zyxFz02)22(2xzyxFx由實(shí)際意義最小值存在 ,241414161mind647故機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 上求一點(diǎn) , 使該點(diǎn)處的法線垂直于練習(xí)題：練習(xí)題：1. 在曲面yxz ,093zyx并寫出該法線方程 .提示提示: 設(shè)所求點(diǎn)為, ),(000zyx則法線方程為000zzyyxx利用113100 xy得3,1,3000zyx平面0y0 x1000yxz 法線垂直于平面點(diǎn)在曲面上機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 2. 在第一卦限內(nèi)作橢球面1222222czbyax的切平面使與三坐標(biāo)面圍成的四面體體積最小,并求此