呂氏解析幾何ch.5-4,5.

1、1、 二次曲線的直徑二次曲線的直徑當(dāng)直線平行于二次曲線的某個非漸近方向時當(dāng)直線平行于二次曲線的某個非漸近方向時, 它與二次曲線總它與二次曲線總交于兩點交于兩點, 從而決定二次曲線的一條弦從而決定二次曲線的一條弦.證證 過點過點(x0; y0)平行于非漸近方向平行于非漸近方向X : Y 的直線與二次曲線的直線與二次曲線的交點的交點. 由由00,xy給出給出. 與確定中心情況一樣與確定中心情況一樣, (x0; y0)是兩交點所成弦的中點是兩交點所成弦的中點的充要條件是的充要條件是00,xy0:這證明了平行于方向這證明了平行于方向X:Y的弦的中點滿足方程：的弦的中點滿足方程：由于由于X : Y 是非

2、漸近方向是非漸近方向,即即這證明了這證明了是一條直線是一條直線.反之，若點反之，若點(x0; y0)在這條直線上在這條直線上, 則過則過(x0; y0)且且平行于方向平行于方向X : Y 的直線與二次曲線的交點所成弦，其中點的直線與二次曲線的交點所成弦，其中點 就就是是(x0; y0).00,xy00,xy00,xy則共軛于非漸近方向則共軛于非漸近方向X:Y的直徑為的直徑為且直徑通過曲線中心且直徑通過曲線中心(0, 0).則共軛于非漸近方向則共軛于非漸近方向X:Y的直徑：的直徑：且平行于它的漸近方向且平行于它的漸近方向1:0.此曲線為線心二次曲線此曲線為線心二次曲線, 由定理由定理(5.4.2

3、)知其直徑僅有一條知其直徑僅有一條, 即即為此線心二次曲線的中心直線。為此線心二次曲線的中心直線。解：解： 因為因為12,=1,1F x yxyFx yxy 所以，直徑的方程為：所以，直徑的方程為：110X xyYxy -10.X Yxy即： 因為已知曲線的漸近方向為：因為已知曲線的漸近方向為：:1:1XY ，所以，對于非漸近，所以，對于非漸近:X Y,:XYX Y一定有因此曲線的共軛于非漸近方向的直徑為10.xy定理定理因此非漸近方向因此非漸近方向X:Y的共軛方向的共軛方向是漸近方向是漸近方向;0時，時，是非漸近方向是非漸近方向.(5.4-5): .X YXYXYX Y非漸近方向的共軛方向為

4、非漸近方向，而的共軛方向就是,5.4-5YYkkXX設(shè)代入得221211a kkakka=0.2211kkba對橢圓是： =0.22bkka即： =-.22bkka對雙曲線是： =. : ,XYX Y 2211122220,a Xa XYa Y12,0,XF x yYFx y平行于非漸近方向平行于非漸近方向X:Y的弦的中點軌跡是直徑的弦的中點軌跡是直徑如果此直徑的方向如果此直徑的方向221112221323332220a xa xya ya xa ya12,0,XF x yYFx y 12221112:XYa Xa Ya Xa Y 與與X:Y垂直垂直. 則二次曲線則二次曲線F(x，y) = 0

5、關(guān)于直徑關(guān)于直徑12,0,XF x yYFx y對稱對稱, 從而有如下概念：從而有如下概念： 二次曲線的對稱軸都可以按如下方法找到二次曲線的對稱軸都可以按如下方法找到.我們知道方向我們知道方向X:Y與它的共軛方向與它的共軛方向垂直的條件是垂直的條件是: 12221112:XYa Xa Ya Xa Y 122211120X a Xa YY a Xa Y22121122 0aYXaaXY或改寫上面的方程為：改寫上面的方程為： 11121222a Xa Ya Xa YXY：因此有實數(shù)因此有實數(shù)使使5.5-1由于由于X, Y不全為不全為0, 必有必有這一方程叫二次曲線這一方程叫二次曲線 的特征方程的特

6、征方程.它的判別式它的判別式因此特征方程總因此特征方程總是實根是實根. 特征方程的根叫特征方程的根叫特征根特征根, 或特征值或特征值. 特征方程的兩個根是特征方程的兩個根是再由方程再由方程可以解出方向可以解出方向叫對應(yīng)于叫對應(yīng)于的主方向的主方向.是二次曲線的對稱軸是二次曲線的對稱軸.12 ,0,iiX F x yYFx y這時直線 iiiXY當(dāng)0時， 對應(yīng)的主方向： 是非漸近方向， iiiXY當(dāng)=0時， 對應(yīng)的主方向： 是漸近方向，由此可見：由此可見：故對稱軸的求法是故對稱軸的求法是:X Y002120II120II21122112212 00aaa aa即與1122120aaa定理定理5.5

7、.4. 中心二次曲線至少有兩條對稱軸中心二次曲線至少有兩條對稱軸, 非中心二次非中心二次曲線只有一條對稱軸曲線只有一條對稱軸.證證 由特征方程我們可以解得兩特征根為由特征方程我們可以解得兩特征根為(1)當(dāng)二次曲線為中心曲線時當(dāng)二次曲線為中心曲線時, I2 6= 0, 如果特征方程的判別式如果特征方程的判別式這時的中心曲線為這時的中心曲線為圓圓(包括點圓和虛圓包括點圓和虛圓). 它的特征根為一對二重根它的特征根為一對二重根1122=0 .aa將其代入將其代入(5.5-1), 則得到兩個恒等式則得到兩個恒等式. 它被任何方向它被任何方向X:Y所滿足所滿足, 所以所以任何實方向都是圓的非漸近主方向任

8、何實方向都是圓的非漸近主方向, 從而通過圓心的任何直線都是從而通過圓心的任何直線都是圓的對稱軸圓的對稱軸.如果特征方程的判別式如果特征方程的判別式那么特征根為兩不等的非零實根那么特征根為兩不等的非零實根得相應(yīng)的兩個非漸近主方向為得相應(yīng)的兩個非漸近主方向為將它們分別代入將它們分別代入(5.5-1)這兩個主方向這兩個主方向相互垂直相互垂直, 從而又從而又互相共軛互相共軛, 因此因此非圓的中心二非圓的中心二次曲線有且只有一對互相垂直又互相共軛的對稱軸次曲線有且只有一對互相垂直又互相共軛的對稱軸.(2)當(dāng)二次曲線為非中心曲線時當(dāng)二次曲線為非中心曲線時, I2 = 0. 這時兩特征根為這時兩特征根為所以它只有一個非漸近主方向所以它只有一個非漸近主方向, 從而非中心二次曲線只有一條從而非中心二次曲線只有一條對稱軸對稱軸.解解 因為因為所以曲線為中心曲線所以曲線為中心曲線, 它的特征方程為它的特征方程為這個方程得兩特征根為這個方程得兩特征根為1所以曲線的對稱軸為所以曲線的對稱軸為與與即即x + y = 0與與x - y = 0.12111 12,0,11II 解：因為 2-2 =0，所以曲線為非中心曲線所以曲線為非中心曲線, 它的特征方程為它的特征方程為這個方程得兩特征根為這個