材料力學靜不定PPT學習教案

1、會計學1材料力學靜不定材料力學靜不定第1頁/共52頁靜定問題靜定問題：若未知力（外力或內(nèi)力）的個數(shù)等于獨立的平衡方程的個數(shù)，僅用靜力平衡方程即可解出全部未知力，這類問題稱為靜定問題，相應(yīng)的結(jié)構(gòu)稱靜定靜定結(jié)構(gòu)。結(jié)構(gòu)。超靜定問題：超靜定問題：若未知力（外力或內(nèi)力）的個數(shù)多于獨立的平衡方程的個數(shù)，僅用靜力平衡方程便無法確定全部未知力，這類問題稱為超靜定問題超靜定問題或靜不定問題靜不定問題.引例引例: 在日常生活中乃至在工程中我們常常遇到僅靠靜力平衡方程無法求得約束反力的例子?！皟蓚€和尚抬水吃，沒水吃”，恐怕是最早說到超靜定問題的例子了。第2頁/共52頁多余約束：多余約束：在靜定結(jié)構(gòu)上加上的一個或幾個

2、約束，對于維持平衡來說是不必要的約束（但對于特定地工程要求是必要的）稱多余約束。對應(yīng)的約束力稱多余約束反力多余約束反力（B固端約束） 由于超靜定結(jié)構(gòu)能有效降低結(jié)構(gòu)的內(nèi)力及變形，在工程上（如等）應(yīng)用非常廣泛。超靜定次數(shù)：超靜定次數(shù)：未知力個數(shù)與平衡方程數(shù)之差，也等于多余約束數(shù)相應(yīng)的結(jié)構(gòu)稱超靜定結(jié)構(gòu)超靜定結(jié)構(gòu)或靜不定結(jié)靜不定結(jié)構(gòu)構(gòu)。12PA11AE22AECRABRB第3頁/共52頁根據(jù)結(jié)構(gòu)及其約束的特點，超靜定結(jié)構(gòu)分為三類：根據(jù)結(jié)構(gòu)及其約束的特點，超靜定結(jié)構(gòu)分為三類：二、二、超靜定問題超靜定問題分類分類、外力超靜定結(jié)構(gòu)外部約束存在多余約束。、外力超靜定結(jié)構(gòu)外部約束存在多余約束。 如：如：為為一一

3、次次外外力超靜定力超靜定 A BP第4頁/共52頁3、內(nèi)內(nèi)、 外超靜定結(jié)構(gòu)外超靜定結(jié)構(gòu)、內(nèi)力超靜定結(jié)構(gòu)僅在內(nèi)部存在多余約束。、內(nèi)力超靜定結(jié)構(gòu)僅在內(nèi)部存在多余約束。 如：封閉剛架在一般的橫截面上有三種如：封閉剛架在一般的橫截面上有三種 內(nèi)部約束力內(nèi)部約束力N N、Q Q及及M M。內(nèi)力超靜定結(jié)構(gòu)內(nèi)力超靜定結(jié)構(gòu) A B m P第5頁/共52頁三、三、 拉（壓）桿超靜定問題的解法：拉（壓）桿超靜定問題的解法：1. 1. 比較變形法比較變形法把超靜定問題轉(zhuǎn)化為靜定問題解，但必須滿足原結(jié)構(gòu)的變形約束條件。（1）選取基本靜定結(jié)構(gòu)（靜定基如圖），B端解除多余約束，代之以約束反力BR解解：例例1. 桿上段為銅

4、，下段為鋼桿桿上段為銅，下段為鋼桿，222,EA 彈性模量截面積下段長桿的兩端為固支桿的兩端為固支,求兩段的軸力求兩段的軸力。111,EA 彈性模量截面積上段長12FC11AE22AEBABR第6頁/共52頁（3）比較兩次計算的變形量，其值應(yīng)該滿足變形相容條件，建立方程求解。（2）求靜定基僅在原有外力作用下以及僅在代替約束的約束反力作用下于解除約束處的位移0ABAC12FC11AE22AEBA)(111AEFACCBR為負值）BBABBRAEAER)(222111)122211122211122211AEAEFAERAEAEFAERBA第7頁/共52頁解: (1) 畫A結(jié)點受力圖，建立平衡方程

5、F未知力個數(shù)2個，平衡方程數(shù)1個，故為一次超靜定。2. 幾何分析法幾何分析法例2. ，F(xiàn)1N2N3N解超靜定問題的關(guān)鍵是找出求解所有未知約束反力所缺少的補充方程。結(jié)構(gòu)變形后各部分間必須象原來一樣完整、連續(xù)、滿足約束條件-即滿足變形相容條件。A123A,3 ,3311AEAE桿為在F力作用下，求各桿內(nèi)力。1、2桿抗拉剛度為x21:0NNFxyFNNFy31cos2:0第8頁/共52頁A21321(3)代入物理關(guān)系，建立補充方程21cos313333333311111111cosAENAENAENAENA3(2)如圖三桿鉸結(jié)，畫A節(jié)點位移圖,列出變形相容條件。要注意所設(shè)的變形性質(zhì)必須和受力分析所中

6、設(shè)定的力的性質(zhì)一致。由對稱性知第9頁/共52頁(4)聯(lián)立、求解：333113211331cos21coscos2AEAEFNAEAEFNcoscos:333111AELNAELN得第10頁/共52頁三. 拉（壓）桿超靜定問題解法的討論拉（壓）桿超靜定問題解法的討論1、解拉（壓）超靜定問題必須正確地畫出結(jié)構(gòu)解拉（壓）超靜定問題必須正確地畫出結(jié)構(gòu) 的變形圖，的變形圖，2 2、然后分析結(jié)構(gòu)特點，找出結(jié)構(gòu)變形前后的不、然后分析結(jié)構(gòu)特點，找出結(jié)構(gòu)變形前后的不 變量或者等量關(guān)系，變量或者等量關(guān)系，3 3、再用數(shù)學方法刻畫它、再用數(shù)學方法刻畫它, ,從而給出補充方程。從而給出補充方程。觀察問題的角度不同所采

7、用的方法也會有很大差觀察問題的角度不同所采用的方法也會有很大差異。同一題，不同的解法難、易、繁、簡也相去異。同一題，不同的解法難、易、繁、簡也相去甚遠。我們必須仔細分析找出最恰當?shù)霓k法來。甚遠。我們必須仔細分析找出最恰當?shù)霓k法來。第11頁/共52頁1.1.比較變形法比較變形法 常用于結(jié)構(gòu)較為簡單，一些特定節(jié)點位移已知且常用于結(jié)構(gòu)較為簡單，一些特定節(jié)點位移已知且 計算也較為簡單的問題。計算也較為簡單的問題。2. 2. 幾何法分析變形幾何法分析變形 是求解超靜定桿系的基本方法，常用于各桿的是求解超靜定桿系的基本方法，常用于各桿的變變 形關(guān)系較為簡單，超靜定次數(shù)較低的桿系的求解形關(guān)系較為簡單，超靜定

8、次數(shù)較低的桿系的求解。但是，一般情況下分析變形尋找等量關(guān)系較為困難。但是，一般情況下分析變形尋找等量關(guān)系較為困難。第12頁/共52頁1 11 12 2 用力法解靜不定系統(tǒng)用力法解靜不定系統(tǒng)力法是一種力法是一種直接求解未知反力直接求解未知反力的方法。的方法?；舅枷牖舅枷? 是以是以未知約束反力未知約束反力X（反力偶（反力偶M）為未知數(shù)建立）為未知數(shù)建立 變形方程變形方程。變形比較法變形比較法: 是一種求解靜不定梁的直接通過幾何關(guān)系建立是一種求解靜不定梁的直接通過幾何關(guān)系建立補充補充方程方程的方法。的方法。第13頁/共52頁1、對于彈性體，變形量與外力成正比、對于彈性體，變形量與外力成正比2、

9、未知力產(chǎn)生的變形量，是單位力產(chǎn)生變形量的、未知力產(chǎn)生的變形量，是單位力產(chǎn)生變形量的X （M）倍。）倍。3、而單位力產(chǎn)生的變形量可用莫爾積分法求解。、而單位力產(chǎn)生的變形量可用莫爾積分法求解。通過計算這些變形量，最終求解出未知約束反力。通過計算這些變形量，最終求解出未知約束反力?；驹恚夯驹恚旱?4頁/共52頁簡支梁中點有支撐并受均布載荷作用的力法分析。簡支梁中點有支撐并受均布載荷作用的力法分析。例：例：第15頁/共52頁一一 取基本結(jié)構(gòu)（去多余約束，補多余反力）取基本結(jié)構(gòu)（去多余約束，補多余反力）在基本結(jié)構(gòu)中，在基本結(jié)構(gòu)中，C點的撓度由點的撓度由q及及X1載荷產(chǎn)生。載荷產(chǎn)生。用疊加法：用疊

10、加法：第16頁/共52頁二二 求求C點的總變形點的總變形1）由外載荷）由外載荷q作用引起的沿作用引起的沿X1方向的位移方向的位移1 P符號中：第符號中：第1個下腳標個下腳標“1”表示該位移在表示該位移在X1 作用點處作用點處沿著沿著X1方向發(fā)生；第方向發(fā)生；第2個下腳標個下腳標“P”表示該位移是由表示該位移是由實際載荷實際載荷P引起的。引起的。第17頁/共52頁2）由多余約束反力）由多余約束反力X1作用引起的沿作用引起的沿X1方向的位移方向的位移1 X1C點的總位移：點的總位移：1 P1 X11 X1需要尋找新算法。需要尋找新算法。符號中：第符號中：第1個下腳標個下腳標“1”表示該位移在表示該

11、位移在X1 作用點處作用點處沿著沿著X1方向發(fā)生；第方向發(fā)生；第2個下腳標個下腳標“X1”表示該位移是由表示該位移是由多余約束反力多余約束反力X1引起的。引起的。第18頁/共52頁若以若以1表示基本結(jié)構(gòu)在外力表示基本結(jié)構(gòu)在外力(q)及多余約束反力及多余約束反力(X1)的共同作用下的共同作用下C點沿點沿X1方向的位移。方向的位移。則則C點的總位移：點的總位移： 1 1 P1 X1第19頁/共52頁1 又由于又由于C點是絞支座，則點是絞支座，則1沿沿X1方向的實際位移為零：方向的實際位移為零：即：即： 1 1 P1 X10由于實際載荷由于實際載荷P已知，故已知，故1 P可用單位力法求出；可用單位力

12、法求出；而多余約束反力而多余約束反力X1未知，故未知，故1 X1需要考慮如何計算。需要考慮如何計算。第20頁/共52頁三三 計算計算1 X1(X1引起的沿引起的沿X1方向的位移方向的位移)直接計算直接計算1 X1較困難。較困難。先在先在X1作用處沿作用處沿X1方向假想施加一個單位力，求出僅在方向假想施加一個單位力，求出僅在該單位力作用下的變形該單位力作用下的變形11。即：即：1 X1 = 11 X1由：由：1 P1 X1 =0 式中，式中，11 及及1 P均可用單位力法求出，則均可用單位力法求出，則X1可求得?？汕蟮?。 1 P11 X1 =0 約束反力約束反力X1是單位力的是單位力的X1 倍。

13、倍?？筛鶕?jù)可根據(jù)“彈性體的變形與力成正比彈性體的變形與力成正比”這一特點考慮。這一特點考慮。根據(jù)根據(jù)“彈性體的變形與力成正比彈性體的變形與力成正比”這一特點：這一特點：單位力的單位力的X1 倍的約束反力倍的約束反力X1產(chǎn)生的變形產(chǎn)生的變形 1 X1也是也是11 的的X1倍。倍。第21頁/共52頁1）1P（僅在外載荷作用下，中點的撓度）：（僅在外載荷作用下，中點的撓度）：2）11 （僅在單位力作用下，中點的撓度）（僅在單位力作用下，中點的撓度）1P5qL4/（384EI）EILLLLEI48)432()4221(123111 P11 X1 =0 單位力的方向取單位力的方向取與與X1方向相同。方向

14、相同。第22頁/共52頁0483845134XEILEIqLEIL48311851qLX1 P11 X1 =0 EIqLP384531第23頁/共52頁力法的基本思想是：力法的基本思想是： 以以未知約束反力未知約束反力X（反力偶（反力偶M）為未知數(shù)建立）為未知數(shù)建立 變形方程變形方程。對于彈性體，變形量與外力成正比，未知力產(chǎn)生的對于彈性體，變形量與外力成正比，未知力產(chǎn)生的變形量，是單位力產(chǎn)生變形量的變形量，是單位力產(chǎn)生變形量的X（M）倍。而單位）倍。而單位力產(chǎn)生的變形量可用莫爾積分法求解。力產(chǎn)生的變形量可用莫爾積分法求解。通過計算這些變形量，最終求解出未知約束反力。通過計算這些變形量，最終求解

15、出未知約束反力。第24頁/共52頁力法可以寫成標準形式的正則方程：力法可以寫成標準形式的正則方程： 11 X1 +1 P=0 當未知力較多時，可以寫成一個線性代數(shù)方程組，當未知力較多時，可以寫成一個線性代數(shù)方程組，而解線性方程組的算法有很多，計算很容易。而解線性方程組的算法有很多，計算很容易。 所以：所以： 力法適合于解未知力較多的靜不定結(jié)構(gòu)。力法適合于解未知力較多的靜不定結(jié)構(gòu)。 特別適合于計算機求解特別適合于計算機求解參考例題：參考例題：第25頁/共52頁三次靜不定剛架三次靜不定剛架第26頁/共52頁一、取基本結(jié)構(gòu)一、取基本結(jié)構(gòu)第27頁/共52頁二、分別計算載荷作用下的變形二、分別計算載荷作

16、用下的變形第28頁/共52頁三、變形計算三、變形計算1 =11 X1 12 X213 X3 1 P02=21 X1 22 X223 X3 2 P03=31 X1 32 X233 X3 3 P0X1 方向的變形：方向的變形：X2 方向的變形：方向的變形：X3 方向的變形：方向的變形：第29頁/共52頁11 X1 12 X213 X3 1 P021 X1 22 X223 X3 2 P031 X1 32 X233 X3 3 P0成為三階線性方程組：成為三階線性方程組：第30頁/共52頁寫為矩陣形式：寫為矩陣形式：0XXX3P2P1P3213332312322211312113P2P1P3213332

17、31232221131211XXX第31頁/共52頁由位移互等定理：由位移互等定理：ijji3P2P1P321333231232221131211XXX系數(shù)矩陣中只有六個獨立的系數(shù)，且是關(guān)于主對角系數(shù)矩陣中只有六個獨立的系數(shù)，且是關(guān)于主對角線的對稱矩陣。線的對稱矩陣。先分別計算出系數(shù)矩陣及非齊次項的列向量。即可先分別計算出系數(shù)矩陣及非齊次項的列向量。即可求出未知量列向量求出未知量列向量X。第32頁/共52頁計算計算1 P：aMC0201)2(3122qaaEIqaEIaqaEIMCP63*2)(430221第33頁/共52頁計算計算11 ：aMC02aa21122aEIaEIaEIaEIMEI

18、MCC34343302201111aMC3201類推出其它系數(shù)。類推出其它系數(shù)。第34頁/共52頁系數(shù)矩陣已知，非齊次項已知，未知量矩陣可得：系數(shù)矩陣已知，非齊次項已知，未知量矩陣可得：3P2P1P321333231232221131211XXX3P2P1P1333231232221131211321XXXEIqaP641EIa34411將將等計算量代入矩陣：等計算量代入矩陣：第35頁/共52頁 超靜定問題超靜定問題 力法正則方程力法正則方程 例題例題 懸臂梁懸臂梁AB如圖所示，如圖所示，A、B端固支端固支。問題為三次超靜定。除掉問題為三次超靜定。除掉A 端固支，得到端固支，得到包含未知反力的

19、靜定結(jié)構(gòu)，稱為靜定基。包含未知反力的靜定結(jié)構(gòu)，稱為靜定基。利用疊加原理，分別畫出外載荷（圖利用疊加原理，分別畫出外載荷（圖b);支反力支反力X1和和X2（圖（圖b和圖和圖c)單獨作用圖。單獨作用圖。0232231EILXEILXyyPAA02221EILXEILXPAA式中，式中， 分別表示外載荷在靜定基中分別表示外載荷在靜定基中X1和和X2方向上產(chǎn)生的位移。方向上產(chǎn)生的位移。PAPAy,第36頁/共52頁按照歸一化要求，改寫按照歸一化要求，改寫002222112212211111XXXXPP式中，式中， 為為Xi 方向上的總位移；方向上的總位移；i 為外載荷為外載荷(P)在靜定基中在在靜定基

20、中在Xi 方向上的位移；方向上的位移；Pi 為未知反力為未知反力Xj =1在靜定基中在靜定基中作用在作用在Xi 方向上的位移；方向上的位移；ij上式稱為上式稱為力法正則方程力法正則方程， 稱為柔度系數(shù)。稱為柔度系數(shù)。ij第37頁/共52頁ljiijlipPidxMMEIdxMMEI00011利用莫爾積分，正則方程中的柔度系數(shù)寫為利用莫爾積分，正則方程中的柔度系數(shù)寫為 提問提問 ：對二次靜不定問題要作幾個彎矩圖，用莫爾圖：對二次靜不定問題要作幾個彎矩圖，用莫爾圖乘法，要作幾次圖乘？三次靜不定問題呢乘法，要作幾次圖乘？三次靜不定問題呢? 提問提問 ：運用前面的知識，證明柔度系數(shù)具有對稱性：運用前面

21、的知識，證明柔度系數(shù)具有對稱性 ij= ji第38頁/共52頁例題例題 懸臂梁懸臂梁AB如圖所示，如圖所示，A、B端固支。求支反力端固支。求支反力。解：畫解：畫靜定基靜定基（圖（圖a),分別畫彎矩圖分別畫彎矩圖b-d;EIPlllPlEIP485)65)(2221(131EIPllPlEIP8)1)(2221(122EIllllEI3)32)(2(1311EIllEI)1)(1(122EIlllEI2)1)(2(1212第39頁/共52頁082048523222132231EIPlEIlXEIlXEIPlEIlXEIlX代入力法正則方程，得代入力法正則方程，得)(243)(221PXPX解聯(lián)立

22、方程組得，解聯(lián)立方程組得，第40頁/共52頁例題例題 內(nèi)力為一次靜不定桁架如圖內(nèi)力為一次靜不定桁架如圖6-15(a)所示，設(shè)各桿所示，設(shè)各桿EI相同，求相同，求兩種情況下的各桿軸力：兩種情況下的各桿軸力：(1) 在力在力P的作用下；的作用下；(2) P = 0，但桿，但桿5升升溫溫 T，已知材料膨脹系數(shù)，已知材料膨脹系數(shù) 。解解：(1) 斷開桿斷開桿5，加一對約束內(nèi)力，加一對約束內(nèi)力X1即得靜定基如圖即得靜定基如圖6-15(b)所示所示。21212212121212 2 22桿號 i桿長Li軸力Ni軸力N0i1aP2aP3a04aP50161P2a2a22/12/12/12/1第41頁/共52

23、頁610011)222(iiiiEAaEAlNN6101)2423(iiiPiPEAPaEAlNNPX4221(2) 僅有桿僅有桿5升溫，正則方程為升溫，正則方程為 11 X1+ 1T = 0 1T = l5 T是因桿是因桿5升溫而引起的相對位移升溫而引起的相對位移 由表中數(shù)據(jù)計算，得到由表中數(shù)據(jù)計算，得到代入正則方程代入正則方程 11 X1+ 1P = 0 得得 PTEAX)21 (221，其余各桿的內(nèi)力請讀者自行算之，其余各桿的內(nèi)力請讀者自行算之。提問：在既受到外載荷作用，又有溫度變化時，如何求解此問題？提問：在既受到外載荷作用，又有溫度變化時，如何求解此問題？第42頁/共52頁二、用卡氏

24、定理解超靜定問題的方法：二、用卡氏定理解超靜定問題的方法：（）解除多余約束，代之以多余未知力（）解除多余約束，代之以多余未知力 X1，X2，Xm。 （）將應(yīng)變能（）將應(yīng)變能U表示為原載荷表示為原載荷P1，P2Pn;及及多余未知力的函數(shù)多余未知力的函數(shù)U=U(P1,P2,Pn;X1,X2,Xm)。（）利用多余約束處的位移條件及卡氏定（）利用多余約束處的位移條件及卡氏定理得：理得：（Ci為為Xi方向的廣義位移，方向的廣義位移，i=1,2,m）iiCXU第43頁/共52頁三、有時，利用三、有時，利用對稱對稱、反對稱性反對稱性可以簡化超靜定問題的可以簡化超靜定問題的 計算。計算。 結(jié)論：結(jié)論：對對稱結(jié)

25、構(gòu)（幾何圖形對稱、約束對稱、剛度對稱對對稱結(jié)構(gòu)（幾何圖形對稱、約束對稱、剛度對稱）而言：）而言： 、若受、若受對稱對稱載荷作用（指按對稱軸對折后重合）載荷作用（指按對稱軸對折后重合） 則在對稱截面上只有對稱的內(nèi)力，即只可能有則在對稱截面上只有對稱的內(nèi)力，即只可能有 M、N,而而Q0,Mt0 、若受、若受反對稱反對稱荷載作用，則在對稱截面上只有反荷載作用，則在對稱截面上只有反 對稱內(nèi)力，即只可能有對稱內(nèi)力，即只可能有Q和和Mt，而而N0，M0。 第44頁/共52頁、有時還可將問題分解成對稱、反對稱問、有時還可將問題分解成對稱、反對稱問題求解，如：題求解，如： aM M N N 2P a 分解為分解為P P a 對稱對稱 Q Q P P 反對稱反對稱 第45頁/共52頁五、內(nèi)力超靜定系統(tǒng)的解法特點五、內(nèi)力超靜定系統(tǒng)的解法特點相對位移相對位移為為0。 例四：用能量法求圖示剛架例四：用能量法求圖示剛架A、B、C三處的約束力。三處的約束力。 已知各桿的已知各桿的EI相同相同(不計不計N、Q的影響）的影響） 解：此為對稱結(jié)構(gòu)受反對稱解：此為對稱結(jié)構(gòu)受反對稱 荷載，