D101二重積分概念81359實(shí)用教案

1、解法(ji f): 類(lèi)似定積分解決問(wèn)題的思想:一、引例一、引例(yn l)1.曲頂柱體的體積(tj) 給定曲頂柱體:底： xoy 面上的閉區(qū)域 D頂: 連續(xù)曲面?zhèn)让妫阂?D 的邊界為準(zhǔn)線(xiàn) , 母線(xiàn)平行于 z 軸的柱面求其體積.“大化小, 常代變, 近似和, 求 極限” D),(yxfz 機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 第1頁(yè)/共27頁(yè)第一頁(yè)，共28頁(yè)。1)“大化(d hu)小”用任意(rny)曲線(xiàn)網(wǎng)分D為 n 個(gè)區(qū)域以它們(t men)為底把曲頂柱體分為 n 個(gè)2)“常代變”在每個(gè)3)“近似和”則中任取一點(diǎn)小曲頂柱體k),(kk機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 第2頁(yè)/共27頁(yè)第二頁(yè)，共

2、28頁(yè)。4)“取極限(jxin)”令),(yxfz ),(kkfk),(kk機(jī)動(dòng)(jdng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 第3頁(yè)/共27頁(yè)第三頁(yè)，共28頁(yè)。2. 平面薄片平面薄片(bo pin)的質(zhì)量的質(zhì)量 有一個(gè)平面薄片(bo pin), 在 xoy 平面上占有區(qū)域 D ,計(jì)算(j sun)該薄片的質(zhì)量 M .度為設(shè)D 的面積為 ,則若非常數(shù) ,仍可用其面密 “大化小, 常代變,近似和, 求 極限” 解決.1)“大化小”用任意曲線(xiàn)網(wǎng)分D 為 n 個(gè)小區(qū)域相應(yīng)把薄片也分為小區(qū)域 .機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 yx第4頁(yè)/共27頁(yè)第四頁(yè)，共28頁(yè)。2)“常代變”中任取一點(diǎn)(y din)

3、3)“近似(jn s)和”4)“取極限(jxin)”k),(kk則第 k 小塊的質(zhì)量機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 yx第5頁(yè)/共27頁(yè)第五頁(yè)，共28頁(yè)。兩個(gè)問(wèn)題(wnt)的共性：(1) 解決問(wèn)題的步驟(bzhu)相同(2) 所求量的結(jié)構(gòu)式相同(xin tn)“大化小, 常代變, 近似和,取極限”nkkkkfV10),(limnkkkkM10),(lim曲頂柱體體積: 平面薄片的質(zhì)量: 機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 第6頁(yè)/共27頁(yè)第六頁(yè)，共28頁(yè)。二、二重積分的定義二、二重積分的定義(dngy)及可積性及可積性定義(dngy):將區(qū)域 D 任意(rny)分成 n 個(gè)小區(qū)域任取一點(diǎn)若

4、存在一個(gè)常數(shù) I , 使可積 , 在D上的二重積分.積分和積分域被積函數(shù)積分表達(dá)式面積元素記作是定義在有界區(qū)域 D上的有界函數(shù) , 機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 第7頁(yè)/共27頁(yè)第七頁(yè)，共28頁(yè)。引例(yn l)1中曲頂柱體體積:引例(yn l)2中平面薄板的質(zhì)量:如果(rgu) 在D上可積,也常二重積分記作這時(shí)分區(qū)域D , 因此面積元素可用平行坐標(biāo)軸的直線(xiàn)來(lái)劃 記作機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 第8頁(yè)/共27頁(yè)第八頁(yè)，共28頁(yè)。二重積分存在二重積分存在(cnzi)定理定理:若函數(shù)(hnsh),(yxf定理(dngl)2.),(yxf(證明略)定理1.在D上可積.限個(gè)點(diǎn)或有限個(gè)光滑

5、曲線(xiàn)外都連續(xù) ,積.在有界閉區(qū)域 D上連續(xù),則若有界函數(shù)在有界閉區(qū)域 D 上除去有 例如, 在D :上二重積分存在 ;在D 上 y1xo1D二重積分不存在 . 機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 第9頁(yè)/共27頁(yè)第九頁(yè)，共28頁(yè)。三、二重積分的性質(zhì)三、二重積分的性質(zhì)(xngzh)( k 為常數(shù)(chngsh) 為D 的面積(min j), 則 機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 第10頁(yè)/共27頁(yè)第十頁(yè)，共28頁(yè)。特別(tbi), 由于則5. 若在D上),(yxf6. 設(shè)D 的面積(min j)為 ,則有機(jī)動(dòng) 目錄(ml) 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 第11頁(yè)/共27頁(yè)第十一頁(yè)，共28頁(yè)。7.(二

6、重積分的中值(zhn zh)定理)證: 由性質(zhì)(xngzh)6 可知,由連續(xù)函數(shù)介值定理, 至少(zhsho)有一點(diǎn)在閉區(qū)域D上 為D 的面積 ,則至少存在一點(diǎn)使使連續(xù),因此機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 第12頁(yè)/共27頁(yè)第十二頁(yè)，共28頁(yè)。例例1. 比較下列比較下列(xili)積積分的大小分的大小:其中(qzhng)解: 積分域 D 的邊界(binji)為圓周它與 x 軸交于點(diǎn) (1,0) ,而域 D 位從而于直線(xiàn)的上方, 故在 D 上 y2xo1D機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 第13頁(yè)/共27頁(yè)第十三頁(yè)，共28頁(yè)。例例2. 判斷判斷(pndun)積積分分的正負(fù)號(hào).解: 分積分(

7、jfn)域?yàn)閯t原式 =3D311Dyxo猜想結(jié)果為負(fù) 但不好(b ho)估計(jì) .舍去此項(xiàng)機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 第14頁(yè)/共27頁(yè)第十四頁(yè)，共28頁(yè)。例例3. 估計(jì)估計(jì)(gj)下列下列積分之值積分之值解: D 的面積(min j)為由于(yuy)積分性質(zhì)5即: 1.96 I 210101010Dxyo機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 第15頁(yè)/共27頁(yè)第十五頁(yè)，共28頁(yè)。xyo8. 設(shè)函數(shù)設(shè)函數(shù)(hnsh),(yxfD 位于(wiy) x 軸上方的部分為D1 , 當(dāng)區(qū)域關(guān)于(guny) y 軸對(duì)稱(chēng), 函數(shù)關(guān)于(guny)變量 x 有奇偶性時(shí), 仍1D在 D 上在閉區(qū)域上連續(xù),域D

8、 關(guān)于x 軸對(duì)稱(chēng),則則有類(lèi)似結(jié)果.在第一象限部分, 則有機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 第16頁(yè)/共27頁(yè)第十六頁(yè)，共28頁(yè)。四、曲頂柱體體積四、曲頂柱體體積(tj)的的計(jì)算計(jì)算設(shè)曲頂柱的底為任取平面(pngmin)故曲頂柱體體積(tj)為截面積為截柱體的)(2xy)(1xyzxyoab0 xD機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 第17頁(yè)/共27頁(yè)第十七頁(yè)，共28頁(yè)。ydcxo)(2yx)(1yx同樣(tngyng), 曲頂柱的底為則其體積(tj)可按如下兩次積分計(jì)算DyxfVd),(xyxfyyd),()()(21機(jī)動(dòng)(jdng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 第18頁(yè)/共27頁(yè)第十八頁(yè)

9、，共28頁(yè)。例例4. 求兩個(gè)底圓半徑為求兩個(gè)底圓半徑為R 的直角的直角(zhjio)圓柱圓柱面所圍的體積面所圍的體積.xyzRRo解: 設(shè)兩個(gè)直圓柱(yunzh)方程為利用(lyng)對(duì)稱(chēng)性, 考慮第一卦限部分,其曲頂柱體的頂為則所求體積為222RzxD機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 第19頁(yè)/共27頁(yè)第十九頁(yè)，共28頁(yè)。內(nèi)容內(nèi)容(nirng)小結(jié)小結(jié)1. 二重積分的定義(dngy)2. 二重積分的性質(zhì)(xngzh)(與定積分性質(zhì)相似)3. 曲頂柱體體積的計(jì)算二次積分法機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 第20頁(yè)/共27頁(yè)第二十頁(yè)，共28頁(yè)。被積函數(shù)(hnsh)相同, 且非負(fù), 思考思考(

10、sko)與練習(xí)與練習(xí)解: 由它們(t men)的積分域范圍可知11xyo1. 比較下列積分值的大小關(guān)系:機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 第21頁(yè)/共27頁(yè)第二十一頁(yè)，共28頁(yè)。2. 設(shè)設(shè)D 是第二象限是第二象限(xingxin)的一個(gè)有界閉域的一個(gè)有界閉域 , 且且 0 y 1, 則則的大小(dxio)順序?yàn)?( )提示(tsh): 因 0 y 1, 故故在D上有yox1D機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 第22頁(yè)/共27頁(yè)第二十二頁(yè)，共28頁(yè)。3. 計(jì)算計(jì)算(j sun)解:02機(jī)動(dòng)(jdng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 第23頁(yè)/共27頁(yè)第二十三頁(yè)，共28頁(yè)。4. 證明證明(zh

11、ngmng):其中(qzhng)D 為解: 利用(lyng)題中 x , y 位置的對(duì)稱(chēng)性, 有又 D 的面積為 1 , 故結(jié)論成立 .yox1D1機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 第24頁(yè)/共27頁(yè)第二十四頁(yè)，共28頁(yè)。備用備用(biyng)題題1. 估計(jì)(gj) 的值, 其中(qzhng) D 為解: 被積函數(shù)D 的面積的最大值),(yxf的最小值yox2D1機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 第25頁(yè)/共27頁(yè)第二十五頁(yè)，共28頁(yè)。2. 判斷判斷(pndun)的正負(fù)(zhn f).解：當(dāng)時(shí)，故又當(dāng)時(shí)，于是(ysh)機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 1111xyoD第26頁(yè)/共27頁(yè)第二十六頁(yè)，共28頁(yè)。感謝您的欣賞(xnshng)！第27頁(yè)/共27頁(yè)第二十七頁(yè)，共28頁(yè)。NoImage內(nèi)容(nirng)總結(jié)解法: 類(lèi)似定積分解決問(wèn)題的思想:。用任意曲線(xiàn)網(wǎng)分D為 n 個(gè)區(qū)域。以它們?yōu)榈装亚斨?/p>