D87方向?qū)?shù)與梯71787實用教案

1、),(zyxPl定理定理(dngl):則函數(shù)在該點沿任意方向(fngxing) l 的方向(fngxing)導(dǎo)數(shù)存在 ,證明證明(zhngmng): 由函數(shù)由函數(shù)且有在點 P 可微 ,得機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 P故第1頁/共17頁第一頁，共18頁。機動(jdng) 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 對于(duy)二元函數(shù)為, ) 的方向(fngxing)導(dǎo)數(shù)為Plxyo特別特別: : 當 l 與 x 軸同向 當 l 與 x 軸反向向角第2頁/共17頁第二頁，共18頁。例例1. 求函數(shù)求函數(shù) 在點 P(1, 1, 1) 沿向量(xingling)3) 的方向(fngxing)導(dǎo)數(shù) .機動

2、 目錄(ml) 上頁 下頁 返回 結(jié)束 解解: 向量 l 的方向余弦為第3頁/共17頁第三頁，共18頁。例例2. 求函求函數(shù)數(shù) 在點P(2, 3)沿曲線(qxin)朝 x 增大(zn d)方向的方向?qū)?shù).解解:將已知曲線用參數(shù)方程將已知曲線用參數(shù)方程(fngchng)表示為表示為它在點 P 的切向量為xoy2P第4頁/共17頁第四頁，共18頁。例例3. 設(shè)設(shè)是曲面(qmin)在點 P(1, 1, 1 )處指向外側(cè)(wi c)的法向量,解解: 方向(fngxing)余弦為而方向的方向?qū)?shù).在點P 處沿求函數(shù)機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 nn第5頁/共17頁第五頁，共18頁。二、梯度二、梯度

3、(t d) 方向?qū)?shù)(do sh)公式令向量(xingling)這說明方向：f 變化率最大的方向模 : f 的最大變化率之值方向?qū)?shù)取最大值：機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 )cos,cos,(cos0l),cos(0lGG)1(0l0lGlf,0方向一致時與當Gl:GGlfmaxzfyfxfG,第6頁/共17頁第六頁，共18頁。1. 定義定義(dngy)即同樣(tngyng)可定義二元函數(shù)稱為(chn wi)函數(shù) f (P) 在點 P 處的梯度記作(gradient),在點處的梯度 G說明:函數(shù)的方向?qū)?shù)為梯度在該方向上的投影.向量第7頁/共17頁第七頁，共18頁。例例4.證:Pxozy

4、試證.)()(radg0rrfrf處矢徑 r 的模 ,r第8頁/共17頁第八頁，共18頁。內(nèi)容內(nèi)容(nirng)小結(jié)小結(jié)1. 方向方向(fngxing)導(dǎo)數(shù)導(dǎo)數(shù) 三元(sn yun)函數(shù) 在點沿方向 l (方向角的方向?qū)?shù)為 二元函數(shù) ),(yxf在點的方向?qū)?shù)為沿方向 l (方向角為機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 第9頁/共17頁第九頁，共18頁。2. 梯度梯度(t d) 三元(sn yun)函數(shù) ),(zyxf在點),(zyxP處的梯度(t d)為 二元函數(shù) ),(yxf在點),(yxP處的梯度為3. 關(guān)系關(guān)系方向?qū)?shù)存在偏導(dǎo)數(shù)存在 可微機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 0gradl

5、flf梯度在方向 l 上的投影.第10頁/共17頁第十頁，共18頁。思考思考(sko)與練習(xí)與練習(xí)1. 設(shè)函數(shù)(hnsh)(1) 求函數(shù)在點 M ( 1, 1, 1 ) 處沿曲線(qxin)在該點切線方向的方向?qū)?shù);(2) 求函數(shù)在 M( 1, 1, 1 ) 處的梯度梯度與(1)中切線方向切線方向 的夾角 .機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 第11頁/共17頁第十一頁，共18頁。曲線(qxin) 12 32tztytx1. (1)在點解答解答(jid)提提示示:機動(jdng) 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 函數(shù)沿 l 的方向?qū)?shù)lM (1,1,1) 處切線的方向向量第12頁/共17頁第十二

6、頁，共18頁。機動(jdng) 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 ll2. P73 題題 16第13頁/共17頁第十三頁，共18頁。3. 函數(shù)(hnsh)在點處的梯度(t d)解解:機動 目錄(ml) 上頁 下頁 返回 結(jié)束 第14頁/共17頁第十四頁，共18頁。指向(zh xin) B( 3, 2 , 2) 方向的方向?qū)?shù)是 .在點A( 1 , 0 , 1) 處沿點A4. 函數(shù)函數(shù)(hnsh)提示提示(tsh):則機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 , ) 1 ,2,2(AB0ABl 第15頁/共17頁第十五頁，共18頁。P51 2，3，6，7，8，10 作業(yè)作業(yè)(zuy)第八節(jié) 目錄 上頁 下頁 返回(fnhu) 結(jié)束 第16頁/共17頁第十六頁，共18頁。感謝您的欣賞(xnshng)！第17頁/共17頁第十七頁，共18頁。NoImage內(nèi)容(nirng)總結(jié)定理:。第1頁/共17頁。第2頁/共17頁。3) 的方向?qū)?shù) .。解: 向量 l 的方向余弦為。它在點 P 的切向量為。處矢徑 r 的模 ,。梯度(t d)在方向 l 上的投影.。