流體力學 第1章

1、 流體力學流體力學李忠賢李忠賢E-mail: E-mail: 南京信息工程大學大氣科學學院南京信息工程大學大氣科學學院2流體力學是研究流體（宏觀）運動規(guī)律，以及流體流體力學是研究流體（宏觀）運動規(guī)律，以及流體與固體之間相互作用等方面的一門學科。與固體之間相互作用等方面的一門學科。水 液體 空氣 氣體流體 地球物理流體海洋 大氣自然界的物質,按照其凝聚態(tài)（或分子平均間距）的不同，可以分為固體、液體和氣體，液體和氣體統(tǒng)稱為流體。第第1 1章章 流體力學的基礎概念流體力學的基礎概念 3(1)(1)流動性流動性流體的抗拉強度很小，只有在適當?shù)募s束下才能承受壓力；處于靜止狀態(tài)的流體不能承受任何剪切力作用

2、，即在不論怎樣小的剪切力作用下，流體將發(fā)生連續(xù)不斷的變形，直到剪切力消失時，流體的變形才會停止。流體的這一特性稱之為流動性。1.1 流體的主要物理性質流體的主要物理性質第第1 1節(jié)節(jié) 流體的物理性質和宏觀模型流體的物理性質和宏觀模型 4(2)(2)黏性黏性處于相對運動狀態(tài)流體對剪切形變的阻礙的度量。當流體層之間存在相對運動時，流體就會反抗這種相對運動，使流體漸漸失去相對運動；這種阻礙流體相對運動的特性，稱為黏性。1.1 流體的主要物理性質流體的主要物理性質第第1 1節(jié)節(jié) 流體的物理性質和宏觀模型流體的物理性質和宏觀模型 5(3)(3)壓縮性壓縮性流體體積在外力作用下可以改變的特性。液體的壓縮性

3、一般情況下很小，可略去不計，可視為不可壓縮流體。例如，水在溫度不變條件下，每增加一個大氣壓，體積減少率為0.005%。但在壓力變化很大或很突然時，則液體的壓縮性必須考慮。氣體的壓縮性一般較大，一般不能當做不可壓縮流體處理。例如，空氣在溫度不變條件下，當壓力由1個標準大氣壓增加到1.1個標準大氣壓時，體積減小率為0.1。真實流體都是可壓縮的，不可壓縮流體是一種抽象的理論模型，是對流場中體積（密度）變化較小的實際流體的一種近似。1.1 流體的主要物理性質流體的主要物理性質第第1 1節(jié)節(jié) 流體的物理性質和宏觀模型流體的物理性質和宏觀模型 6 在普通物理的質點力學中，通常把實際物體抽象概括在普通物理的

4、質點力學中，通常把實際物體抽象概括為為“質點質點”這樣一個理論模型，較簡便地研究物體的運這樣一個理論模型，較簡便地研究物體的運動規(guī)律。動規(guī)律。 流體力學中也需要把實際流體抽象概括為一個宏觀理流體力學中也需要把實際流體抽象概括為一個宏觀理論模型，再來討論它的運動規(guī)律。這里理論模型不是質論模型，再來討論它的運動規(guī)律。這里理論模型不是質點力學中的點力學中的“質點質點”，而是下文所介紹的連續(xù)介質。，而是下文所介紹的連續(xù)介質。7實際流體是由無數(shù)流體分子（實際流體是由無數(shù)流體分子（2.7X102.7X101919/cm/cm3 3）構成的不連續(xù)）構成的不連續(xù)的離散系。的離散系。若以若以單個分子單個分子為研

5、究對象，由于其運動的隨機性，相應的物為研究對象，由于其運動的隨機性，相應的物理量（如分子速度）理量（如分子速度）隨時間作隨機變化隨時間作隨機變化，同時由于分子間存，同時由于分子間存在間距，則物理量（如分子速度）在在間距，則物理量（如分子速度）在空間上存在不連續(xù)性空間上存在不連續(xù)性。因而將流體視為分子構成的粒子系求解流體運動方程是不可因而將流體視為分子構成的粒子系求解流體運動方程是不可能的。能的。1.2 流體的連續(xù)介質假設流體的連續(xù)介質假設日常生活中所指的流體運動，屬于經典力學范疇的宏觀運動，日常生活中所指的流體運動，屬于經典力學范疇的宏觀運動，它并不要求涉及分子運動和分子的微觀結構。它并不要求

6、涉及分子運動和分子的微觀結構。連續(xù)介質假設：連續(xù)介質假設：把離散分子構成的實際流體抽象為由無數(shù)把離散分子構成的實際流體抽象為由無數(shù)流體流體質點質點沒有空隙的連續(xù)分布而構成的連續(xù)介質這樣一種理想的沒有空隙的連續(xù)分布而構成的連續(xù)介質這樣一種理想的物理模型。物理模型。使用這一模型可以簡化流體運動的數(shù)學分析，描述流體物理性使用這一模型可以簡化流體運動的數(shù)學分析，描述流體物理性質的各種物理量均視為時間和空間的連續(xù)函數(shù)，可直接應用質的各種物理量均視為時間和空間的連續(xù)函數(shù)，可直接應用牛頓定律及相應的數(shù)學工具（如，微積分）。牛頓定律及相應的數(shù)學工具（如，微積分）。89流體質點，是宏觀質點，每一個質點均包含大量

7、分子，流體質點，是宏觀質點，每一個質點均包含大量分子，流體質點所具有的宏觀物理性質是所含分子相應物理性流體質點所具有的宏觀物理性質是所含分子相應物理性質的統(tǒng)計平均。質的統(tǒng)計平均。在微觀上足夠大在微觀上足夠大，以保證流體質點中包含足夠多的分子，以保證流體質點中包含足夠多的分子，對它們進行統(tǒng)計平均能取得穩(wěn)定的宏觀量值，不會因，對它們進行統(tǒng)計平均能取得穩(wěn)定的宏觀量值，不會因少量分子出入流體質點而影響該宏觀量值；同時，又少量分子出入流體質點而影響該宏觀量值；同時，又要要求宏觀上充分地小求宏觀上充分地小，要求流體質點的線尺度和流動范圍，要求流體質點的線尺度和流動范圍相比要充分地小，以致可以把流體質點近似

8、地看成在幾相比要充分地小，以致可以把流體質點近似地看成在幾何沒有維度的點。何沒有維度的點。流體質點流體質點10例如，在通常條件下，例如，在通常條件下，1cm3的空氣中含有的空氣中含有2.7x1019個分個分子。因此，取子。因此，取10-3cm為邊長的立方體作為流體質點，它為邊長的立方體作為流體質點，它對于一般流動規(guī)模已是充分地小，可當作一點（宏觀上對于一般流動規(guī)模已是充分地小，可當作一點（宏觀上充分?。?，而它還含有充分?。?，而它還含有2.7x1010個分子，可認為它在微個分子，可認為它在微觀上充分大，足夠具有確定的統(tǒng)計平均效應。觀上充分大，足夠具有確定的統(tǒng)計平均效應。對于大多數(shù)情況的流體，一般

9、均可以當做連續(xù)介質來對于大多數(shù)情況的流體，一般均可以當做連續(xù)介質來考慮，但對稀薄氣體運動或空氣動力學中的激波區(qū)考慮，但對稀薄氣體運動或空氣動力學中的激波區(qū)則流體連續(xù)介質模型不能使用。在則流體連續(xù)介質模型不能使用。在50km50km左右（平流左右（平流層頂以下）的高空大氣，仍然可以作為連續(xù)介質。層頂以下）的高空大氣，仍然可以作為連續(xù)介質。本課程僅討論連續(xù)介質模型適用的情況。本課程僅討論連續(xù)介質模型適用的情況。1112(1)拉格郎日拉格郎日(Lagrange)方法（隨體觀點）方法（隨體觀點）該方法觀察流體運動的出發(fā)點是設法描述該方法觀察流體運動的出發(fā)點是設法描述每一個流體每一個流體質點自始至終的運

10、動過程質點自始至終的運動過程，即它們的位置隨時間變化，即它們的位置隨時間變化的規(guī)律。的規(guī)律。第第2 2節(jié)節(jié) 流體的速度和加速度流體的速度和加速度 2.1 描寫流體運動的兩種方法描寫流體運動的兩種方法13kzj yi xzyxrr,考慮確定的參考系，取流體質點考慮確定的參考系，取流體質點的位置矢徑為的位置矢徑為 ，且可以表示，且可以表示為：為：rrO Ox xy yz z笛卡爾坐標系笛卡爾坐標系如果如果x,y,z在流體域內連續(xù)取值，在流體域內連續(xù)取值，則上式就描述了流體域所有流體則上式就描述了流體域所有流體質點的位置。質點的位置。14假定某一流體質點的初始時刻假定某一流體質點的初始時刻 位置位于

11、點：位置位于點：tzyxrr,000tzyxzztzyxyytzyxxx,000000000)(000zyx，則該流體質點不同時刻的位置矢徑為則該流體質點不同時刻的位置矢徑為 ，可以表示為：，可以表示為：0tr分量形式：分量形式：變量x,y,z為Lagrange變量。15Lagrange觀點下有：觀點下有：tzyxzztzyxyytzyxxx,000000000據(jù)速度的定義，求位置矢量隨時間的變化率，即：據(jù)速度的定義，求位置矢量隨時間的變化率，即：000000000000000000000000,du xyz tx xyz tdtddv xyz ty xyz tV xyz tr xyz tdt

12、dtdw xyz tz xyz tdt，或者Lagrange觀點下流體運動的速度觀點下流體運動的速度16例1-2-1 已知Lagrange變量 ， 求流體運動的速度。000tttxx eyy ezz e 17(2)歐拉歐拉(Euler)方法（場的觀點）方法（場的觀點）該方法觀察流體運動的出發(fā)點是設法描述任意瞬時流體該方法觀察流體運動的出發(fā)點是設法描述任意瞬時流體質點的質點的物理量物理量(例如，溫度、壓強、速度矢量等例如，溫度、壓強、速度矢量等)在空間在空間場的分布場的分布。18tzyxwwtzyxvvtzyxuu, 流體運動的流速矢量是空間和時間的函數(shù)流體運動的流速矢量是空間和時間的函數(shù): :

13、 tzyxVV,分量形式：分量形式：Euler觀點下流體運動的速度場觀點下流體運動的速度場19tzyxwwtzyxvvtzyxuu,tzyxVV,分量形式：分量形式：上式通常稱為流速場或流場。上式通常稱為流速場或流場。Euler觀點下流體運動的速度場觀點下流體運動的速度場變量u,v,w為Euler變量變量。20若某時刻流場不隨空間變化若某時刻流場不隨空間變化-均勻流場均勻流場；反之，為反之，為非均勻流場非均勻流場；若流場不隨時間變化若流場不隨時間變化-定常（穩(wěn)定）流場定常（穩(wěn)定）流場；反之，為反之，為非定常（不穩(wěn)定）場非定常（不穩(wěn)定）場。幾個與流場幾個與流場 有關的基本概念有關的基本概念tzy

14、xVV,Euler觀點下流體運動的速度場觀點下流體運動的速度場axvayuntvmtu21例例1-2-2 已知已知Lagrange變量變量 ，其中，其中 均為常數(shù)均為常數(shù),且且 ，求流體運動的加速度求流體運動的加速度 。2t kt kt kxaeybezce , , ,a b c k0k 2.2 流體運動的加速度流體運動的加速度加速度是指流體質點的速度矢量隨時間的變化率，即：加速度是指流體質點的速度矢量隨時間的變化率，即：22dVd radtdt 22已知已知Euler變量，求流體運動的加速度場變量，求流體運動的加速度場tzyxwwtzyxvvtzyxuu,tyvtxu2例如流體速度場如下：例

15、如流體速度場如下：EulerEuler觀點下的流體運動的加速度場觀點下的流體運動的加速度場23dtdzzVdtdyyVdtdxxVtVdtVd 求解Euler觀點下的流體運動流體運動的加速度場, , ,daV x y z tdt24ijkxyz 引入引入那勃勒算子那勃勒算子 dVVV dxV dyV dzdttx dty dtz dtkdtdzjdtdyidtdxkwj viuVdVVVVVVdttt =dVVVVVuvwdttxyz dVVVVVuvwdttxyzxVuvwyz 25定義微商算符：定義微商算符：上式適用于任意物理量，包括如力、速度、位移等矢量，上式適用于任意物理量，包括如力、

16、速度、位移等矢量，以及如溫度、氣壓等標量。以及如溫度、氣壓等標量。 ()dVdtt26物理意義？ ()dVdtt27微商算符微商算符 的常用形式：的常用形式：( )()( )Vt ( )0ddt( )( )dtdt()()0V 普通情況下：普通情況下：物理量的局地變化由兩部分組成，個別變化和平流變化。物理量的局地變化由兩部分組成，個別變化和平流變化。 ()dVtdt ()dVdtt2828dVVVVdtt流體運動加速度場產生的原因流體運動加速度場產生的原因流體運動加速度場產生的原因：流體運動加速度場產生的原因：流場的非定常性和非均勻性。流場的非定常性和非均勻性。定常流場定常流場0Vt均勻流場均

17、勻流場()0VV29例題例題1-2-3已知流體運動的速度場如下，分別求流體運已知流體運動的速度場如下，分別求流體運動的加速度場；并說明各種情況下產生加速度的原因。動的加速度場；并說明各種情況下產生加速度的原因。axvayu（a為常數(shù)）；為常數(shù)）；tyvtxu2（m、n為常數(shù)）；為常數(shù)）； ntvmtu30例題例題1-2-4已知流體運動的速度場已知流體運動的速度場 ，求流體運動的加速度場。求流體運動的加速度場。21uxtvyt31第第3節(jié)節(jié) 跡線和流線跡線和流線流體運動的物理圖象？流體運動的物理圖象？直觀和形象地描述流體的運動情況直觀和形象地描述流體的運動情況跡線和流線的概念跡線和流線的概念引入

18、引入323.1 跡線跡線用拉格朗日方法描述流體的流動時，用拉格朗日方法描述流體的流動時，流體質點在流動流體質點在流動過程中所形成的軌跡，稱為流體質點的跡線。過程中所形成的軌跡，稱為流體質點的跡線。每個流體質點都具有自己的跡線。同一空間點，在不每個流體質點都具有自己的跡線。同一空間點，在不同瞬時，可能為不同的流體質點所占據(jù)，因此，不同同瞬時，可能為不同的流體質點所占據(jù)，因此，不同流體質點的跡線在空間相互間是可能相交的。流體質點的跡線在空間相互間是可能相交的。33tzyxrr,000參數(shù)方程參數(shù)方程跡線跡線消去參數(shù)消去參數(shù) t跡跡 線線-拉格郎日拉格郎日(Lagrange)變量密切相關變量密切相關

19、34例例1-3-1 假設流體運動的假設流體運動的Lagrange變量為：變量為：0012020cosxytgtyxx 0012020sinxytgtyxy 0zz )(202022yxyx0zz 解：消去參數(shù)解：消去參數(shù) t ，即可得，即可得跡線方程跡線方程： 求求跡線方程？跡線方程？35為了用幾何的方法來表示流動流體的速度場，為了用幾何的方法來表示流動流體的速度場，在某在某一瞬時一瞬時t，可以在流動流體所占據(jù)的空間中畫出一系，可以在流動流體所占據(jù)的空間中畫出一系列曲線，使得列曲線，使得曲線上的每一點的切線方向正好與該曲線上的每一點的切線方向正好與該時刻該處的流速方向相同，這樣的曲線，稱為該瞬

20、時刻該處的流速方向相同，這樣的曲線，稱為該瞬時的流線。時的流線。3.2 流線流線362015年年1月月1日日00時的流線。時的流線。2015年年2月月1日日00時的流線。時的流線。37同一瞬時，每個空間點上均只可能有一個流體同一瞬時，每個空間點上均只可能有一個流體速度矢量，因此，除非在速度等于零或等于無速度矢量，因此，除非在速度等于零或等于無窮大這兩種特殊情況下，同一瞬時的流線在空窮大這兩種特殊情況下，同一瞬時的流線在空間是不可能相交的。間是不可能相交的。非定常流場的局地速度是隨時在變化的，因此，非定常流場的局地速度是隨時在變化的，因此，其流線是隨時變化的空間曲線。其流線是隨時變化的空間曲線。

21、38式中式中x、y、z、t為四個相互獨立的變量，積分時將為四個相互獨立的變量，積分時將t作常數(shù)處理。作常數(shù)處理。tzyxwdztzyxvdytzyxudx,積分積分 流線流線設設 為流線的線元矢量：為流線的線元矢量：rd流線的求解流線的求解39例例1-3-21-3-2已知流體運動的速度場如下：已知流體運動的速度場如下： 求出求出t=0t=0時刻，過點時刻，過點M M（1,11,1）的流線方程。）的流線方程。 22222222(1) (2)cycxuuxyxycxcyvvxyxy40下列有關流線的描述正確嗎？下列有關流線的描述正確嗎？定常流場定常流場 流線不隨時間變化流線不隨時間變化流線不隨時間

22、變化流線不隨時間變化 定常流場定常流場()(1) (2) ku kxu kxtv kyv kyt為 常 數(shù)41定常流動即流體質點經過某固定空間位置時流速是相同定常流動即流體質點經過某固定空間位置時流速是相同的，其流線是一些不隨時變化的空間曲線，而且其每條的，其流線是一些不隨時變化的空間曲線，而且其每條流線上的所有流體質點的跡線均和這條流線相重合。流線上的所有流體質點的跡線均和這條流線相重合。42例例1-3-3 流體運動的速度場由流體運動的速度場由Euler變量表示為：變量表示為： 其中其中 k 為常數(shù)：為常數(shù)： （1）求流線方程；）求流線方程； （2）請問同一地點不同時刻流速是否相同？同一流體

23、質）請問同一地點不同時刻流速是否相同？同一流體質點不同時刻的流速是否相同？點不同時刻的流速是否相同？ (3) 求出求出 t =0時刻，過點（時刻，過點（a，b，c）的跡線方程。）的跡線方程。0,wkyvkxu43第第4節(jié)節(jié) 速度分解速度分解剛體運動的速度構成：剛體運動的速度構成：經典力學中，剛體運動的速度經典力學中，剛體運動的速度剛體上任一質點剛體上任一質點A的速度的速度VA可以分為隨同剛體上任意一點可以分為隨同剛體上任意一點M0的平動的平動VM0和繞和繞M0的相對轉動線速度。的相對轉動線速度。有平動和轉動速度有平動和轉動速度44流動性和壓縮性等流動性和壓縮性等形變形變流體運動的速度構成流體運

24、動的速度構成0()()RDV MV MVV平動、轉動平動、轉動亥姆霍茲速度分解定理：流體運動的速度可分解亥姆霍茲速度分解定理：流體運動的速度可分解為為平動速度、轉動線速度和形變線速度平動速度、轉動線速度和形變線速度三部分。三部分。45選擇參考點 及鄰近一點)(0000zyxM，)(000zzyyxxM ，)(0000zyxM，)(000zzyyxxM ，222zyxr ),()(0000tzyxVMV，),()(000tzzyyxxVMV ，某瞬時某瞬時t ，以位于流動流體中的任意一個空間點，以位于流動流體中的任意一個空間點M0處的流體處的流體質點為基點，對流體微團內的任意一個與質點為基點，對

25、流體微團內的任意一個與M0點的相對失徑為點的相對失徑為 處的流體質點處的流體質點M的流動速度進行速度分解。的流動速度進行速度分解。()xyz，460()()uuuu Mu MxyzxyzzzvyyvxxvMvMv )()(0zzwyywxxwMwMw )()(0某瞬時某瞬時t47zzuyyuxxuMuMu )()(0zxw 21zxw 21yxv 21yxv 21zxwzuyxvyuxxuMuMu 2121)()(0yyuxvzxwzu 2121 11A12A13Ay z 48xwzuAxvyuAxuA 21,21,131211yuxvxwzuzy 21,21)()()(1312110yzzA

26、yAxAMuMuzy 定義:49zzvyyvxxvMvMv )()(0zyw 21xyu 21zywzvyyvxyuxvMvMv 2121)()(0zzvywxyuxv 2121 21A22A23Az x y方向作類似處理：50zzwyywxxwMwMw )()(0yzv 21xzu 21zzwyzvywxzuxwMwMw 2121)()(0 xxwzuyzvyw 2121 31A32A33Ax y z方向作類似處理：51)()()()()()()()()(333231023222101312110 xyzAyAxAMwMwzxzAyAxAMvMvyzzAyAxAMuMuyxxzzy 0DMV

27、Ar0RMVr0()V M亥姆霍茲速度分解定理：流體運動的速度可分解為平動速度、轉動線速度和形變線速度三部分。521 2 3ijAAij（） ，形變張量矩陣形變張量矩陣333231232221131211AAAAAAAAAA 233211311322122133121212wvuAAAyzxuwvAAAzxyvuwAAAxyz，53流體轉動的角速度流體轉動的角速度 1 2 111 222ijkxyzuvwwvuwvuijkyzzxxy54剛體運動：轉動是作為一個整體來進行的； 流體運動：流體的轉動角速度是一個局地量，流體域內各點可以以不同的角速度轉動。 0RMVr55例例1-4-1 已知流場：

28、已知流場： 其中其中 m為常數(shù)，計算坐標原點為常數(shù)，計算坐標原點O 附近點附近點 的轉動線速度和形變線速度。的轉動線速度和形變線速度。)(0000zyxP，mwmyvmxu,O)(0000zyxP，r kzjyixr000 0DMVAr0RMVr56第第5節(jié)節(jié) 渦度、散度和形變率渦度、散度和形變率 0()()RDV MV MVV0RMVr0DMVAr引進其他的物理量，表引進其他的物理量，表征流體質點在運動過程征流體質點在運動過程中的各種特征。中的各種特征。流體質點運動流體質點運動位置變化位置變化形狀大小變化形狀大小變化流體質點自身可以旋轉。流體質點自身可以旋轉。575.1 渦度渦度V 定義渦度

29、矢為矢量微商符 和速度矢 的矢性積，即：V渦度的定義 ijkwvuwvuVijkxyzyzzxxyuvw CurlV rotV58V dl 表示流體沿閉合曲線流動趨勢的程度。渦度的物理意義首先引入速度環(huán)流 的概念在流體中取任一閉合曲線 , 沿閉合曲線對該曲線上的沿閉合曲線對該曲線上的每一點的流速分量求和：每一點的流速分量求和： 59 =()lV dlV dVnd 應用斯托克斯（Stokes）公式，線積分 曲面積分：l dn d60當閉合曲線l向內無限收縮（閉合曲線所圍面積趨向零）00()()limlimV dVndVndd 渦度是度量流體旋轉程度的物理量。渦度是度量流體旋轉程度的物理量。0()

30、/limVn表示流體沿閉合曲線流動趨勢的程度。61渦度與流體旋轉角速度的關系2V 例1-5-1流體質點在xoy平面上圍繞oz軸作逆時針圓周運動（假設旋轉角速度大小為a），其流速與流體質點到oz軸的距離成正比，試求流體的渦度場。 62與渦度有關的幾個問題：A 直線有旋運動B 無旋圓周運動C 有旋圓周運動V ,uky vkx 2222,kykxuvxyxy63例1-5-2已知流體運動的速度場為已知流體運動的速度場為 ，求流體運動的渦度。求流體運動的渦度。 420uytvxtw ijkwvuwvuVijkxyzyzzxxyuvw645.2 散度散度定義散度為矢量微商符 和速度矢 的數(shù)性積，即：VuvwDVxy