中考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)課件 第36課 銳角三角函數(shù)和解直角三角形

1、第36課 銳角三角函數(shù)和解直角三角形 1銳角三角函數(shù)的意義，銳角三角函數(shù)的意義，RtABC中，設(shè)中，設(shè)C90，為為 RtABC的一個銳角，則：的一個銳角，則： 的正弦的正弦 sin . 的余弦的余弦 cos . 的正切的正切 tan .要點梳理要點梳理230、45、60的三角函數(shù)值，如下表：的三角函數(shù)值，如下表：正弦正弦余弦余弦正切正切30456013同角三角函數(shù)之間的關(guān)系：同角三角函數(shù)之間的關(guān)系： sin2cos2 ； tan . 互余兩角的三角函數(shù)關(guān)系式：互余兩角的三角函數(shù)關(guān)系式：(為銳角為銳角) sin ； cos . 函數(shù)的增減性：函數(shù)的增減性：(090) (1)sin，tan的值都隨

2、的值都隨 ； (2)cos都隨都隨 1cossin增大而增大增大而增大增大而減小增大而減小4解直角三角形的概念、方法及應(yīng)用解直角三角形的概念、方法及應(yīng)用 解直角三角形：由直角三角形中除直角外的已知元素，求出所解直角三角形：由直角三角形中除直角外的已知元素，求出所有未知元素的過程叫做解直角三角形有未知元素的過程叫做解直角三角形 直角三角形中的邊角關(guān)系：在直角三角形中的邊角關(guān)系：在RtABC中，中，C90，A、B、C所對的邊分別為所對的邊分別為a、b、c則：則： (1)邊與邊的關(guān)系：邊與邊的關(guān)系： ； (2)角與角的關(guān)系：角與角的關(guān)系： ； (3)邊與角的關(guān)系：邊與角的關(guān)系： .5三角形面積公式：

3、三角形面積公式：S ah .a2b2c2AB90sinAcosB ，cosAsinB ；tanA ，tanBabsinC1 1正確理解三角函數(shù)的概念正確理解三角函數(shù)的概念 書寫三角函數(shù)時，若銳角用一個大寫字母或者一個小寫希臘字書寫三角函數(shù)時，若銳角用一個大寫字母或者一個小寫希臘字母表示的，表示它的正弦時，習(xí)慣省略角的符號，如母表示的，表示它的正弦時，習(xí)慣省略角的符號，如sin A；若銳；若銳角是用三個大寫字母或數(shù)字表示的，表示它的正弦時，不能省略角是用三個大寫字母或數(shù)字表示的，表示它的正弦時，不能省略角的符號，如角的符號，如sinABC，余弦和正切的寫法同理由定義可以看，余弦和正切的寫法同理由

4、定義可以看出，銳角出，銳角A的正弦、余弦、正切都是它所在直角三角形的兩邊的比，的正弦、余弦、正切都是它所在直角三角形的兩邊的比，因此都是正數(shù)；因為銳角因此都是正數(shù)；因為銳角A的取值范圍是的取值范圍是0A90，則三角函，則三角函數(shù)的取值范圍是數(shù)的取值范圍是0sin A1,0cos A0；當(dāng)；當(dāng)A確定時，確定時，三個比值也分別有唯一確定的值與之對應(yīng)三個比值也分別有唯一確定的值與之對應(yīng) 難點正本難點正本 疑點清源疑點清源 2 2解直角三角形在實際問題中的應(yīng)用解直角三角形在實際問題中的應(yīng)用 解直角三角形在實際中有廣泛的應(yīng)用，主要涉及測量、航空、解直角三角形在實際中有廣泛的應(yīng)用，主要涉及測量、航空、航海

5、、工程等領(lǐng)域，常作為習(xí)題出現(xiàn)的有以下幾個方面：度量航海、工程等領(lǐng)域，常作為習(xí)題出現(xiàn)的有以下幾個方面：度量工作、工程建筑、測量距離等解這類問題的一般步驟是：工作、工程建筑、測量距離等解這類問題的一般步驟是： (1)弄清題中名詞術(shù)語的意義，然后根據(jù)題意畫出幾何圖形，弄清題中名詞術(shù)語的意義，然后根據(jù)題意畫出幾何圖形，建立數(shù)學(xué)模型；建立數(shù)學(xué)模型； (2)將實際問題中的數(shù)量關(guān)系歸結(jié)為直角三角形中元素之間的將實際問題中的數(shù)量關(guān)系歸結(jié)為直角三角形中元素之間的關(guān)系，當(dāng)有些圖形不是直角三角形時，可添加適當(dāng)?shù)妮o助線，關(guān)系，當(dāng)有些圖形不是直角三角形時，可添加適當(dāng)?shù)妮o助線，把它們分割成直角三角形；把它們分割成直角三角

6、形； (3)尋求基礎(chǔ)直角三角形，并解這個三角形或設(shè)未知數(shù)進行求尋求基礎(chǔ)直角三角形，并解這個三角形或設(shè)未知數(shù)進行求解解1(2011煙臺煙臺)如果如果ABC中，中，sin Acos B ，則下列最確，則下列最確切的結(jié)論是切的結(jié)論是() AABC是直角三角形是直角三角形 BABC是等腰三角形是等腰三角形 CABC是等腰直角三角形是等腰直角三角形 DABC是銳角三角形是銳角三角形 解析：當(dāng)解析：當(dāng)sinA ，cosB 時，時，AB45， 所以所以ABC是等腰直角三角形是等腰直角三角形基礎(chǔ)自測基礎(chǔ)自測C2(2011湖州湖州)如圖，已知在如圖，已知在RtABC中，中， C90，BC1，AC2，則，則tan

7、 A的值為的值為() A2 B. C. D. 解析：在解析：在RtABC中，中，C90， tanA .B3(2011茂名茂名)如圖，已知如圖，已知45Acos A Csin Atan A Dsin Acos A 解析：當(dāng)解析：當(dāng)45AB，BCAC， 在在RtABC中，中，sinA ，cosA ， sinAcosA.B4(20011鎮(zhèn)江鎮(zhèn)江)如圖，在如圖，在RtABC中，中，ACB90，CDAB，垂足為垂足為D. 若若AC ，BC2，則，則sinACD的值為的值為() A. B. C. D. 解析：在解析：在RtABC中，中，ACB90， AC ，BC2，則，則AB3. 由由CDAB，得，得AC

8、DB， 所以所以sinACDsinB .A5(2011蘇州蘇州)如圖，在四邊形如圖，在四邊形ABCD中，中，E、F分別是分別是AB、AD的的中點若中點若EF2，BC5，CD3，則，則tan C等于等于() A. B. C. D. 解析：連接解析：連接BD，因為，因為E、F分別是分別是AB、 AD的中點，所以的中點，所以EF是是ABD的中位線，的中位線， BD2EF224. 在在BCD中，中，BD4，BC5，CD3. 由由BD2CD2BC2，得，得BDC90， 所以所以tanC .B題型一特殊角三角函數(shù)參與實數(shù)運算題型一特殊角三角函數(shù)參與實數(shù)運算【例【例 1】 計算計算tan45sin454si

9、n30cos45 tan30. 解：原式解：原式1 4 .探究提高探究提高 利用特殊角的三角函數(shù)值進行數(shù)的運算，往往與絕對值、乘方、利用特殊角的三角函數(shù)值進行數(shù)的運算，往往與絕對值、乘方、開方、二次根式相結(jié)合準(zhǔn)確地記住三角函數(shù)值是解決此類題目開方、二次根式相結(jié)合準(zhǔn)確地記住三角函數(shù)值是解決此類題目的關(guān)鍵，所以必須熟記的關(guān)鍵，所以必須熟記題型分類題型分類 深度剖析深度剖析知能遷移知能遷移1計算：計算： (1) tan45的值是的值是_； 解析：解析： tan45 1110.0(2)2sin60_； 解析：解析：2sin602 .(3) _. 解析：解析： |tan301| 1tan301 .1題型

10、二仰角、俯角、方向角有關(guān)問題題型二仰角、俯角、方向角有關(guān)問題【例【例 2】 已知：如圖，在某建筑物已知：如圖，在某建筑物AC上，掛著上，掛著“多彩云南多彩云南”的宣的宣傳條幅傳條幅BC，小明站在點，小明站在點F處，看條幅頂端處，看條幅頂端B，測得仰角為，測得仰角為30，再往條幅方向前行再往條幅方向前行20m到達點到達點E處，看到條幅頂端處，看到條幅頂端B，測得仰角，測得仰角為為60，求宣傳條幅，求宣傳條幅BC的長的長(小明的身高不計，結(jié)果用含有根小明的身高不計，結(jié)果用含有根號的式子表示號的式子表示)解：設(shè)解：設(shè)BCx，在，在RtBCF中，中，tanF ， CF x. 在在RtBCE中，中，ta

11、nBEC ， EC x. FEFCEC， x x20. x20，x10 . 答：宣傳條幅答：宣傳條幅BC的長是的長是10 m.探究提高探究提高 此類問題常與仰角、俯角等知識相關(guān)，通常由視線、水平線、此類問題常與仰角、俯角等知識相關(guān)，通常由視線、水平線、鉛垂線構(gòu)成直角三角形，再利用邊與角之間存在的三角函數(shù)式，鉛垂線構(gòu)成直角三角形，再利用邊與角之間存在的三角函數(shù)式，變形求得物體高度變形求得物體高度知能遷移知能遷移2(2011潛江潛江)五月石榴紅，枝頭鳥兒歌一只小鳥從石五月石榴紅，枝頭鳥兒歌一只小鳥從石榴樹上的榴樹上的A處沿直線飛到對面一房屋的頂部處沿直線飛到對面一房屋的頂部C處從處從A處看房屋處看

12、房屋頂部頂部C處的仰角為處的仰角為30，看房屋底部，看房屋底部D處的俯角為處的俯角為45，石榴樹，石榴樹與該房屋之間的水平距離為與該房屋之間的水平距離為3 m，求出小鳥飛行的距離，求出小鳥飛行的距離AC和和房屋的高度房屋的高度CD.解：作解：作AECD于點于點E. 由題意可知：由題意可知：CAE30，EAD45，AE3 m. 在在RtACE中，中，tanCAE ，即，即tan 30 . CE3 tan 303 3m， AC2CE236(m). 在在RtAED中，中，ADE90EAD904545， DEAE3 (m) DCCEDE(33 )m. 答：答：AC6m，DC(33 )m. 題型三解直角

13、三角形的簡單應(yīng)用題型三解直角三角形的簡單應(yīng)用【例【例 3】 (2010赤峰赤峰)關(guān)于三角函數(shù)有如下的公式：關(guān)于三角函數(shù)有如下的公式： sin()sincoscossin cos()sincossinsin tan()(1tantan0) 利用這些公式可以將一些不是特殊的三角函數(shù)轉(zhuǎn)化為特殊角的利用這些公式可以將一些不是特殊的三角函數(shù)轉(zhuǎn)化為特殊角的 三角函數(shù)來求值，如三角函數(shù)來求值，如tan105tan(4560) (2 )根據(jù)上面的知識，你可以選擇適當(dāng)?shù)墓浇鉀Q下面的實際問題：根據(jù)上面的知識，你可以選擇適當(dāng)?shù)墓浇鉀Q下面的實際問題：如圖，直升飛機在一建筑物如圖，直升飛機在一建筑物CD上方上方A點

14、處測得建筑物頂端點處測得建筑物頂端D點的點的俯角俯角為為60，底端，底端C點的俯角點的俯角為為75，此時直升飛機與建筑物，此時直升飛機與建筑物CD的水平距離的水平距離BC為為42m，求建筑物，求建筑物CD的高的高解：過點解：過點D作作DEAB于于E， 在在RtADE中，中，ADEa60， AEEDtan60BCtan6042 . 在在RtACB中，中，ACB75， ABBCtan75， tan75tan(4530) 2 ， AB42(2 )8442 ， CDBEABAE8442 42 84. 答：建筑物答：建筑物CD的高為的高為84m.探究提高探究提高 在解斜三角形時，通常把斜三角形轉(zhuǎn)化為直角

15、三角形，常見在解斜三角形時，通常把斜三角形轉(zhuǎn)化為直角三角形，常見的方法是作高，作高把斜三角形轉(zhuǎn)化為直角三角形，再利用解的方法是作高，作高把斜三角形轉(zhuǎn)化為直角三角形，再利用解直角三角形的有關(guān)知識解決問題直角三角形的有關(guān)知識解決問題知能遷移知能遷移3(2011安順安順)一次數(shù)學(xué)活動課上，老師帶領(lǐng)學(xué)生去測一一次數(shù)學(xué)活動課上，老師帶領(lǐng)學(xué)生去測一條南北流向的河寬，如圖所示，某學(xué)生在河?xùn)|岸點條南北流向的河寬，如圖所示，某學(xué)生在河?xùn)|岸點A處觀測到河處觀測到河對岸水邊有一點對岸水邊有一點C，測得，測得C在在A北偏西北偏西31的方向上，沿河岸向的方向上，沿河岸向北前行北前行40m到達到達B處，測得處，測得C在在

16、B北偏西北偏西45的方向上，請你根的方向上，請你根據(jù)以上數(shù)據(jù)，求這條河的寬度據(jù)以上數(shù)據(jù)，求這條河的寬度(參考數(shù)值：參考數(shù)值：tan 31 )解：如圖，過點解：如圖，過點C作作CDAB于于D ， 由題意由題意DAC31，DBC45， 設(shè)設(shè)CDBDx， 則則ADABBD40 x， 在在RtACD中，中，tanDAC ，則，則 ， 解得解得x60. 答：這條河的寬是答：這條河的寬是60m.題型四解直角三角形在實際中的應(yīng)用題型四解直角三角形在實際中的應(yīng)用【例【例 4】 (2010杭州杭州) 如圖，臺風(fēng)中心位于點如圖，臺風(fēng)中心位于點P，并沿東北方向，并沿東北方向PQ移動，已知臺風(fēng)移動的速度為移動，已知臺

17、風(fēng)移動的速度為30千米千米/時，受影響區(qū)域的半徑為時，受影響區(qū)域的半徑為200千米，千米，B市位于點市位于點P的北偏東的北偏東75方向上，距離方向上，距離P點點320千米千米處處 (1)說明本次臺風(fēng)會影響說明本次臺風(fēng)會影響B(tài)市；市； (2)求這次臺風(fēng)影響求這次臺風(fēng)影響B(tài)市的時間市的時間 解題示范解題示范規(guī)范步驟，該得的分，一分不丟！規(guī)范步驟，該得的分，一分不丟！解：解：(1)作作BHPQ于點于點H，在，在RtBHP中，由條件知，中，由條件知， PB320，BPQ754530， 得得BH320sin30160200， 本次臺風(fēng)會影響本次臺風(fēng)會影響B(tài)市市 44分分 (2)如圖，若臺風(fēng)中心移動到如圖

18、，若臺風(fēng)中心移動到P1時，臺風(fēng)時，臺風(fēng) 開始影響開始影響B(tài)市，臺風(fēng)中心移動到市，臺風(fēng)中心移動到P2時，時， 臺風(fēng)影響結(jié)束臺風(fēng)影響結(jié)束 由由(1)得得BH160，由條件得，由條件得BP1BP2200， P1P22 240， 88分分 臺風(fēng)影響的時間臺風(fēng)影響的時間t 8(小時小時) 1010分分 探究提高探究提高 此類問題一般求出危險區(qū)域中心的距離，看其是否小于圓形此類問題一般求出危險區(qū)域中心的距離，看其是否小于圓形危險區(qū)域的半徑，其實質(zhì)是判斷圓和直線的位置關(guān)系求影響危險區(qū)域的半徑，其實質(zhì)是判斷圓和直線的位置關(guān)系求影響情況，通常以此為圓心，以臺風(fēng)影響半徑為半徑畫圓，交臺風(fēng)情況，通常以此為圓心，以臺

19、風(fēng)影響半徑為半徑畫圓，交臺風(fēng)行進路線于兩點，這兩點之間的距離就是受影響其間臺風(fēng)所經(jīng)行進路線于兩點，這兩點之間的距離就是受影響其間臺風(fēng)所經(jīng)過的路程，其中最靠近臺風(fēng)方向的一點表示臺風(fēng)開始影響，另過的路程，其中最靠近臺風(fēng)方向的一點表示臺風(fēng)開始影響，另一點表示臺風(fēng)結(jié)束影響一點表示臺風(fēng)結(jié)束影響知能遷移知能遷移4(2010烏魯木齊烏魯木齊)某過街天橋的截面圖為梯形，如圖所某過街天橋的截面圖為梯形，如圖所示，其中天橋斜面示，其中天橋斜面CD的坡度為的坡度為i1 ，(i1 是指鉛直是指鉛直高度高度DE與水平寬度與水平寬度CE的比的比)，CD的長為的長為10m，天橋另一斜面，天橋另一斜面AB坡角坡角ABG45.

20、 (1)寫出過街天橋斜面寫出過街天橋斜面AB的坡度；的坡度； (2)求求DE的長；的長； (3)若決定對該過街天橋進行改建，使若決定對該過街天橋進行改建，使AB斜面的坡度變緩，將其斜面的坡度變緩，將其45坡角改為坡角改為30，方便過路群眾，改建后斜面為，方便過路群眾，改建后斜面為AF.試計算此試計算此改建需占路面的寬度改建需占路面的寬度FB的長的長(結(jié)果精確結(jié)果精確0.01)解：解：(1)在在RtAGB中，中，ABG45， AGBG， AB的坡度的坡度 1. (2)在在RtDEC中，中，tanC ， C30. 又又CD10，DE CD5. (3)由由(1)知，知，AGBG5，在，在RtAFG中

21、，中，AFG30， tanAFG ，即，即 ， 解得解得FB5 53.66. 答：改建后需占路面寬度約為答：改建后需占路面寬度約為3.66 m.2424添加輔助線，把分散條件集中起來添加輔助線，把分散條件集中起來試題試題如圖，如圖，AD是是BC邊上的高，邊上的高，AD DC BD1 2 3， 求求BAC的度數(shù)的度數(shù)學(xué)生答案展示學(xué)生答案展示 不能添加輔助線來考慮，從而無法下手不能添加輔助線來考慮，從而無法下手剖析剖析 如圖，延長如圖，延長BA，過，過C畫畫CEAB，只要求，只要求BAC的外角即可的外角即可易錯警示易錯警示正解過正解過C作作CEBA，交，交BA的延長線于點的延長線于點E. 設(shè)設(shè)AD

22、m，則，則DC2m，BD3m， AC m， AB m. BB，ADBCEB90， BECBDA. m. CE m. 在在RtAEC中，中，sinEAC ， EAC45， BAC135.批閱筆記批閱筆記 如果題目中的條件比較分散，所給的圖形不夠完整，我們?nèi)绻}目中的條件比較分散，所給的圖形不夠完整，我們可以通過作垂線，作平行線等添輔助線的方法，將斜三角形可以通過作垂線，作平行線等添輔助線的方法，將斜三角形的問題轉(zhuǎn)化為解直角三角形的數(shù)學(xué)模型的問題轉(zhuǎn)化為解直角三角形的數(shù)學(xué)模型(化斜為直的思想化斜為直的思想)，把分散的條件集中起來，構(gòu)造直角三角形、相似三角形，以把分散的條件集中起來，構(gòu)造直角三角形、相

23、似三角形，以達到解題目的達到解題目的方法與技巧方法與技巧 1. 準(zhǔn)確理解三角函數(shù)概念，熟練運用正弦、余弦、正切的定準(zhǔn)確理解三角函數(shù)概念，熟練運用正弦、余弦、正切的定義義 2. 形成解直角三角形思考過程的程序：在不同的條件下，應(yīng)形成解直角三角形思考過程的程序：在不同的條件下，應(yīng)有不同的考慮；無論什么條件下，分別求解各未知元素時，應(yīng)有不同的考慮；無論什么條件下，分別求解各未知元素時，應(yīng)盡量代入已知的數(shù)值，少用在前面的求解中剛剛算出的數(shù)值，盡量代入已知的數(shù)值，少用在前面的求解中剛剛算出的數(shù)值，以減少以錯傳誤的機會以減少以錯傳誤的機會 3. 解直角三角形應(yīng)用題的思考方法：解直角三角形應(yīng)用題的思考方法： (1)尋求各類應(yīng)用題的共同思考步驟：尋求各類應(yīng)用題的共同思考步驟： 審題，把情景盡可能弄通、弄細(xì)致，甚至畫個示意圖；審題，把情景盡可能弄通、弄細(xì)致，甚至畫個示意圖； 把示意圖轉(zhuǎn)化為幾何圖；把示意圖轉(zhuǎn)化為幾何圖；思想方法思想方法 感悟提高感悟提高 從要求的量所在的直角三角形分析，解之，若條件不足，從要求的量所在的直角三角