信號(hào)分析的基本方法（課堂PPT）

1、2022-2-251第二章 信號(hào)分析的基本方法 2.1 信號(hào)基礎(chǔ)2.2 確定信號(hào)的分析 2.3 隨機(jī)信號(hào) 2.4 信號(hào)通過(guò)線性系統(tǒng) 2022-2-2522.1 信號(hào)基礎(chǔ)2.1.1 信號(hào)表示2.1.2 信號(hào)分類 信號(hào)是信息的載體。人們必須對(duì)所獲得的信號(hào)進(jìn)行分析和處理，才能得到其中的信息。2022-2-2532.2 確定信號(hào)的分析 一般說(shuō)來(lái)，信號(hào)分析就是將（復(fù)雜）信號(hào)分解為若干簡(jiǎn)單分量的疊加，并以這些分量的組成情況對(duì)信號(hào)特性進(jìn)行考察。對(duì)信號(hào)進(jìn)行分析的方法通常有兩類：時(shí)域分析和頻域（譜）分析。 其中時(shí)域分析以波形為基礎(chǔ)，這里不詳細(xì)展開(kāi)。頻域分析則將時(shí)域信號(hào)變換到頻域中進(jìn)行分析，最基本的方法是將信號(hào)分

2、解為不同頻率的余（正）弦分量的疊加，即利用傅里葉變換（級(jí)數(shù)）進(jìn)行分析。 2022-2-2542.2.1 傅里葉級(jí)數(shù)與傅里葉變換 2.2.2 功率（能量）譜 2.2.3 時(shí)域抽樣信號(hào)和抽樣定理2.2.4 相關(guān)函數(shù) 2022-2-2552.1.1 信號(hào)表示n時(shí)域表示n頻域表示2022-2-256時(shí)域表示 信號(hào)是隨時(shí)間變化的物理量（電、光、聲等），可以用函數(shù)解析式描述，也可表示為圖形（波形圖）。 如余弦信號(hào)是一種非常簡(jiǎn)單的信號(hào)，其函數(shù)解析式可以描述為： 000costAtx（2.1） 2022-2-257 從中可以看到體現(xiàn)了信號(hào)的特征三個(gè)參數(shù)幅度 0A、角頻率 0和相位 0。 其波形圖則如2.1所示

3、。 2022-2-258圖2.1 余弦信號(hào)波形 000costAtx0A txt2022-2-259 客觀存在的信號(hào)都是實(shí)數(shù)函數(shù)，但為了方便數(shù)學(xué)上的分析和處理，人們也常常用復(fù)數(shù)形式來(lái)表示這些信號(hào)。 如式（2.1）的余弦信號(hào)也可表示成式（2.2）的復(fù)數(shù)形式： 2022-2-2510 tjjtjeeAeAts000000（2.2） 上述復(fù)數(shù)表示也同樣具有 0A、 0、 0它們體現(xiàn)出信號(hào)變化的規(guī)律。 三個(gè)參數(shù)，2022-2-2511 復(fù)數(shù)（信號(hào)） ts的實(shí)部就是實(shí)信號(hào) tx，即： tstxRe（2.3） 2022-2-2512頻域表示 對(duì)余弦波而言，三個(gè)參數(shù)如能確定的話，函數(shù)或者波形就能唯一確定了。

4、因此不妨考慮用如圖2.2所示的方式來(lái)表示上述余弦波。2022-2-2513圖2.2 余弦信號(hào)的頻譜A000A000(a) 幅度譜(b) 相位譜2022-2-2514 圖2.2在新的坐標(biāo)系（角頻率或頻率為橫軸，振幅和相位為縱軸）中，以兩條線（甚至兩個(gè)點(diǎn)就夠了），表示了時(shí)域波形如圖2.1所示的信號(hào)，或者說(shuō)，表示了信號(hào)所有的特征信息（頻率、幅度和相位）。這種表示法被稱為頻域表示，表示的結(jié)果叫做“頻譜”，對(duì)應(yīng)于振幅或者相位分別為幅度譜和相位譜。 2022-2-2515 上述正弦信號(hào)只有單一頻率，因此其頻譜只包含一根“線”（譜線），人們常稱其為“單色”信號(hào)。而在大多數(shù)應(yīng)用場(chǎng)合中，信號(hào)是由若干不同頻率的單

5、色信號(hào)疊加而成的，稱為“復(fù)合”信號(hào)。從頻域角度看，復(fù)合信號(hào)的頻譜包含若干條甚至無(wú)數(shù)條譜線。如圖2.3所示 。注注：極端情況下，相鄰譜線足夠接近時(shí)，頻譜就可表示成連續(xù)的曲線了，原來(lái)分立的譜線于是簡(jiǎn)化為曲線中的一個(gè)個(gè)點(diǎn)（詳見(jiàn)2.2.1）。2022-2-2516圖2.3 復(fù)合信號(hào)與信號(hào)頻帶 A0帶寬2022-2-2517 考察某個(gè)信號(hào)的所有單色成分，這些成分覆蓋的頻率范圍，被形象地叫做“頻帶”。這個(gè)范圍的大小，就是“帶寬”即頻帶寬度，如圖2.3所示。帶寬是衡量信號(hào)特性的一個(gè)重要指標(biāo)。 2022-2-2518 頻率和幅度對(duì)信號(hào)而言通常比相位具有更重要的意義。以聲波信號(hào)為例： 頻率小于20Hz時(shí)為次聲波

6、，人耳通常聽(tīng)不到，但聲強(qiáng)（與信號(hào)幅度有關(guān)）足夠大時(shí)，人可以感覺(jué)到； 頻率在20Hz到20KHz之間時(shí)為聲波，能夠被人聽(tīng)到； 頻率大于20KHz時(shí)為次聲波，人無(wú)法聽(tīng)見(jiàn)，其方向性好，因此在測(cè)量中具有重要的應(yīng)用價(jià)值。 因此，在信號(hào)的頻域表示中，有時(shí)只使用幅度譜。 2022-2-25192.1.2 信號(hào)分類1按信號(hào)的性質(zhì)分2按信號(hào)的自變量或函數(shù)取值分3按信號(hào)的時(shí)間或頻率定義范圍分可以用多種方法對(duì)信號(hào)進(jìn)行分類，以下是常見(jiàn)的三種方式：2022-2-2520按信號(hào)的性質(zhì) 可分為確定（性）信號(hào)和隨機(jī)信號(hào)兩類： 確定信號(hào)是指在相同的實(shí)驗(yàn)條件下，能夠重復(fù)實(shí)現(xiàn)的信號(hào)。根據(jù)信號(hào)是否具有周期性，又有周期信號(hào)和非周期信號(hào)

7、之分。 隨機(jī)信號(hào)則是在相同的實(shí)驗(yàn)條件下，不能夠重復(fù)的信號(hào)。 2022-2-2521按信號(hào)的自變量或函數(shù)取值 自變量多為時(shí)間，按照它的取值是否連續(xù)，可分為連續(xù)時(shí)間信號(hào)和離散時(shí)間信號(hào)。 在此基礎(chǔ)上按照函數(shù)取值是否連續(xù)，常又分出模擬信號(hào)、抽（采）樣信號(hào)、量化信號(hào)、數(shù)字信號(hào)等，具體分類和特點(diǎn)可參見(jiàn)表2.1及圖2.4。 有時(shí)也僅以函數(shù)取值進(jìn)行分類，將上述模擬信號(hào)和抽樣信號(hào)統(tǒng)稱為模擬信號(hào)，將數(shù)字信號(hào)和量化信號(hào)統(tǒng)稱為數(shù)字信號(hào)。 2022-2-2522表2.1 信號(hào)分類t tf自變量函數(shù)值信號(hào)分類連續(xù)（時(shí)間信號(hào)）連續(xù)模擬信號(hào)離散量化信號(hào)離散（時(shí)間信號(hào)）連續(xù)抽樣信號(hào)離散數(shù)字信號(hào)2022-2-2523圖2.4 各

8、種信號(hào) t tf00(a) 模擬信號(hào)(c) 量化信號(hào)nT0(b) 抽樣信號(hào) tft531nTf531tn0(d) 數(shù)字信號(hào) nf5312022-2-2524按信號(hào)的時(shí)間或頻率定義范圍 在有限的時(shí)間區(qū)間內(nèi)有定義，而在區(qū)間外為零，這類信號(hào)叫做時(shí)域有限信號(hào)，簡(jiǎn)稱時(shí)限信號(hào)。矩形脈沖、正弦脈沖等信號(hào)都屬這種類型。而周期信號(hào)、指數(shù)信號(hào)、隨機(jī)信號(hào)等，則屬于時(shí)域無(wú)限信號(hào)。 2022-2-2525 若信號(hào)的所有頻率成分都局限在某個(gè)范圍之中，那么這個(gè)信號(hào)則屬于頻域有限信號(hào)，簡(jiǎn)稱頻限信號(hào)。正弦信號(hào)、限帶白噪聲等都屬于這種類型。而沖擊函數(shù)、白噪聲、理想采樣信號(hào)等，則屬于頻域無(wú)限信號(hào)，他們的帶寬無(wú)限寬。 2022-2-

9、2526 在信號(hào)理論中，時(shí)域和頻域之間存在著“對(duì)稱性關(guān)系”時(shí)限信號(hào)在頻域上是無(wú)限信號(hào)，而頻限信號(hào)又對(duì)應(yīng)于時(shí)域無(wú)限信號(hào)。這種關(guān)系意味著一個(gè)信號(hào)不可能同時(shí)在時(shí)域和頻域上都是有限的。 2022-2-25272.2.1 傅里葉級(jí)數(shù)與傅里葉變換n 傅里葉級(jí)數(shù)n 傅里葉變換2022-2-2528傅里葉級(jí)數(shù) 形式一 周期（為）信號(hào)可以表示為余（正）弦分量之和，即可記作如下（三角函數(shù)形式的）傅里葉級(jí)數(shù)： 1000sincosnnntnbtnaatf（2.4） 2022-2-2529其中，T20 ttfTaTTd1220 ttntfTaTTndcos2022 ttntfTbTTndsin20222022-2-2

10、530傅里葉級(jí)數(shù) 形式二或者 00cosnnntnctf（2.5） 其中，22nnnbacnnnabarctan2022-2-2531 這些分量可以直觀地表示成類似圖2.3的（實(shí)）頻譜。 2022-2-2532歐拉公式推論 根據(jù)歐拉公式可知：tjntjneetn0021cos0tjntjneejtn0021sin02022-2-2533傅里葉級(jí)數(shù) 形式三 因此傅里葉級(jí)數(shù)還可以表示成以下指數(shù)形式： tjnnneFtf0（2.6） 其中 tetfTFtjnTTnd10222022-2-2534 需注意的是，各分量的系數(shù)是復(fù)數(shù)，可表示成如下形式：njnneFF其中 nF對(duì)應(yīng)于幅度， n對(duì)應(yīng)于相位。

11、2022-2-2535 因此周期信號(hào)或者說(shuō)它的各分量系數(shù)可由如圖2.5所示的（復(fù)）頻譜進(jìn)行表征?？梢钥吹剑瑥?fù)頻譜除正頻率分量外，還包括負(fù)頻率分量。負(fù)頻率的出現(xiàn)是數(shù)學(xué)運(yùn)算（歐拉公式）的結(jié)果，并無(wú)物理意義。 2022-2-2536圖2.5 復(fù)頻譜(a)2022-2-2537圖2.5 復(fù)頻譜(b)2022-2-2538 頻譜分幅（度）譜和相（位）譜兩部分 前者呈偶對(duì)稱，所有諧波分量的幅度（ ）都降為對(duì)應(yīng)實(shí)幅譜（ ）的一半；后者呈奇對(duì)稱，復(fù)譜與實(shí)譜的相位譜值相等。 復(fù)指數(shù)形式的傅里葉級(jí)數(shù)（對(duì)應(yīng)于復(fù)頻譜）是周期信號(hào)頻域分析的最基本方法。0,nFnnC2022-2-2539【例2-1】 【例2-1】 試求

12、圖2.6所示的周期矩形脈沖信號(hào)的頻譜。 tft0.1TE圖2.6 周期矩形脈沖信號(hào) 2022-2-2540解解 上述信號(hào)在（ ）一個(gè)周期內(nèi)可表示為：2211TtT 22021TttEtf 展成三角函數(shù)形式的傅里葉級(jí)數(shù)根據(jù)式（2.4）可得2022-2-2541112T 12212210d1d111TEtETttfTaTT2222sin2dcos2111112211nSaTEnnTEttnETan0dsin22211ttnETbn)(tSa注注: 其中 稱為抽樣函數(shù)，是信息系統(tǒng)研究中的重要函數(shù)之一。 2022-2-2542 因此，周期矩形信號(hào)的三角形式的傅里葉級(jí)數(shù)為 tnnSaTETEtfn111

13、11cos222022-2-2543 展成指數(shù)形式的傅里葉級(jí)數(shù)根據(jù)式（2.6）可得2d1d1112212211111nSaTEtEeTtEeTFtjnTTtjnn ntjnjntjnneeFenSaTEtfn112112022-2-2544其中：njnneFF211nSaTEFn0, 0, 0nnnnFF其幅度譜和相位譜分別如圖2.8所示。2022-2-2545圖2.8周期矩形脈沖信號(hào)復(fù)頻譜2022-2-2546圖2.8周期矩形脈沖信號(hào)復(fù)頻譜2022-2-2547頻譜特點(diǎn)分析 頻譜特點(diǎn)分析1. 離散譜112T無(wú)窮多個(gè)分量對(duì)應(yīng)于無(wú)窮多條譜線，譜線間的離散間隔為基頻 ，幅度隨諧波階次的增高以抽樣函

14、數(shù)規(guī)律衰減。2022-2-25482. 譜零點(diǎn)帶寬 譜圖中 0nF的點(diǎn)，為譜零點(diǎn)。從圖2.8中可見(jiàn)，第一個(gè)譜零點(diǎn)的位置在21n，即包絡(luò)函數(shù)（抽樣函數(shù)）的第一個(gè)“過(guò)零點(diǎn)”。 2022-2-2549 頻譜中高頻分量（幅度）的迅速衰減，使得信號(hào)的大部分能量（約占總量的90%）集中在第一個(gè)零點(diǎn)內(nèi)的各頻率分量上，也就是說(shuō)，信號(hào)的大部分信息是由這些分量攜帶的。 2022-2-2550 人們常將這一頻率范圍 ，稱為（譜零點(diǎn)）帶寬 。這意味著在允許一定失真的條件下，可以讓通信系統(tǒng)只傳輸 內(nèi)的分量，舍棄其他的高頻成分。 20bb2022-2-25513.時(shí)域參數(shù)對(duì)頻譜的影響 時(shí)域參數(shù)主要包括：信號(hào)幅度E、信號(hào)周

15、期 1T和脈沖寬度 。 信號(hào)幅度對(duì)頻譜的特性影響不大。 由于譜間隔為 112T，另外 11 TCn，所以當(dāng) 1T增大時(shí)，譜線間隔會(huì)變密，而譜的幅度 2022-2-2552會(huì)減小。極端情況下，若 1T，周期函數(shù)轉(zhuǎn)換為非周期函數(shù)，這時(shí)離散頻譜將成為連續(xù)頻譜，分量幅值趨于無(wú)窮小。 2022-2-2553由于 2b，當(dāng) 增大時(shí)，帶寬 b減小， 減小時(shí)， b增大。這反映了一個(gè)普遍的規(guī) 律：時(shí)域上壓縮（ 減小），頻域上展寬（ b增大），反之也成立?？紤]一個(gè)極端情況，若 0，即矩形脈沖變成沖擊函數(shù)，則 b，頻譜的高階諧波分量不衰減，成為2022-2-2554所謂的白色譜，參見(jiàn)3.3.2。另外，根據(jù) nC1T

16、ECn，當(dāng) 增大時(shí)， nC增大， 減小 nC也減小，這與能量守恒定律相吻合。 2022-2-2555傅里葉變換與反變換 非周期信號(hào)指那些維持一段時(shí)間便不再重復(fù)出現(xiàn)的信號(hào)。對(duì)非周期信號(hào)進(jìn)行頻域分析的一般思路是：周期信號(hào)的頻譜在 時(shí)的極限，就變?yōu)榉侵芷谛盘?hào)的頻譜，相應(yīng)的變換為傅里葉變換，簡(jiǎn)稱傅氏變換。1T2022-2-2556 傅里葉變換為： tetfFtjd（2.6） F 的物理意義是非周期信號(hào)的頻譜，它有兩個(gè)不同于周期信號(hào)頻譜的特點(diǎn)，其一是連續(xù)譜，其二是密度譜，它對(duì)應(yīng)于頻譜密度的概念，即單位頻率上頻譜分量的大小。2022-2-2557 另外， 一般為復(fù)數(shù)，也可寫成 。 傅里葉變換可由信號(hào)求其頻

17、譜，即由時(shí)域向頻域變換，而傅里葉反（逆）變換則相反，可以在知道頻譜的前提下，反過(guò)來(lái)求原信號(hào)，即由頻域向時(shí)域變換。 FjF2022-2-2558 傅里葉反變換為： d21tjeFtf（2.7） 和 之間的關(guān)系可以簡(jiǎn)單表示成： Ftf（2.8） tf F2022-2-2559 雙向的箭頭表明了兩個(gè)方向的變換：向右的代表傅里葉變換，向左的代表傅里葉反變換。表2.3給出了一些常見(jiàn)信號(hào)的傅里葉變換對(duì)。（略去）2022-2-25602.2.2 功率（能量）譜頻譜是在頻域中描述信號(hào)特征的主要方法之一。除此以外，功率（能量）譜也是很常用的工具，用于表示信號(hào)的功率（能量）在頻域中隨頻率變化的情況，對(duì)研究信號(hào)的功

18、率（能量）分布以及確定信號(hào)所占帶寬等有著非常重要的意義。 2022-2-25612.2.2 功率（能量）譜1能量信號(hào)和功率信號(hào)2能量譜3功率（密度）譜4能量脈寬與帶寬2022-2-25621能量信號(hào)和功率信號(hào)信號(hào)在 1電阻上消耗的（歸一化）能量定義為 ttfEd2（2.9） n如果信號(hào)滿足以下兩個(gè)條件：隨時(shí)間衰減；是非周期（時(shí)限）信號(hào)，則信號(hào)的能量是有限的，稱為能量信號(hào)，其平均功率為零。2022-2-2563 而其他信號(hào)諸如周期信號(hào)、非周期但不衰減的信號(hào)以及隨機(jī)過(guò)程等，它們的能量無(wú)窮大，但平均功率卻有限，故稱為功率信號(hào)。2022-2-25642能量譜可以證明： d21d21d22EFttfE（

19、2.12） 其中 2FE 體現(xiàn)了信號(hào)能量隨頻率變化的情況，稱為能量密度譜，簡(jiǎn)稱能量譜或能譜。 E2022-2-2565 式（2.12）被稱為帕斯瓦爾定律，它表明：對(duì)能量有限的信號(hào)而言，在時(shí)域上積分得到的信號(hào)能量與頻域上積分得到的結(jié)果相等，也就是說(shuō)信號(hào)的總能量等于頻域內(nèi)各頻率分量的連續(xù)和，符合能量守恒定律。 2022-2-2566 能量譜和傅里葉幅度譜之間存在簡(jiǎn)單的關(guān)系。顯然，能量譜 是一個(gè)實(shí)偶函數(shù)，因此信號(hào)能量 也可簡(jiǎn)化表示為 EE 0d1EE（2.13） 2022-2-2567【例2-2】【例2-2】 若已知矩形脈沖信號(hào)的頻譜為 ，求如圖2.9 (a)所示矩形脈沖頻譜的第一個(gè)零點(diǎn)內(nèi)所含的能量

20、。 2SaAF圖2.9 (a)2022-2-2568圖2.9 (b)脈沖信號(hào)頻譜2022-2-2569圖2.9 (c)脈沖信號(hào)能量譜2022-2-2570解解 畫出脈沖的頻譜如圖2.9 (b)所示，繼而畫出其能量譜如圖2.9(c)所示，第一個(gè)過(guò)零點(diǎn)在2處，則區(qū)域 2, 0中的能量為 2022220220d21d1d1SaAFEE2022-2-2571令 2x即 xd2d，則有 2022903. 0dsin2AxxxAEx2022-2-25723功率（密度）譜 對(duì)周期性功率信號(hào) 而言，平均功率為 tf nnTTFttfT2222d1（2.14） 其中 是周期信號(hào)的功率譜，它對(duì)應(yīng)于各頻率分量的功率

21、。式（2.14）是關(guān)于周期信號(hào)的帕斯瓦爾定律，其意義請(qǐng)同學(xué)們參照非周期信號(hào)的相關(guān)定律自行解釋。2nF2022-2-2573 類似于能量信號(hào)，非周期功率信號(hào)對(duì)應(yīng)的是功率譜密度，常記作 ，也是關(guān)于 的偶函數(shù)。 P2022-2-25744能量脈寬與帶寬 利用上述能量公式，可以確定一些雖然衰減但持續(xù)時(shí)間很長(zhǎng)的非周期脈沖信號(hào)的有效脈沖寬度以及帶寬。2022-2-2575有效脈寬 有效脈寬 定義為：集中了脈沖中絕大部分能量的時(shí)間段，即0 ttfEttfdd222200（2.15） 其中 是指時(shí)間間隔 內(nèi)的能量與信號(hào)總能量的比值，一般取0.9以上。02022-2-2576信號(hào)帶寬 所有信號(hào)的能量或功率的主要

22、部分往往集中在一定頻率范圍之內(nèi)，這個(gè)頻率范圍通常用信號(hào)的帶寬來(lái)描述。能量譜和功率譜為定義信號(hào)帶寬提供了有效的方法。根據(jù)實(shí)際系統(tǒng)的不同，信號(hào)帶寬有不同的定義。常用的定義方法有以下幾種：2022-2-2577 能量與信號(hào)總能量之比為 的頻段，一般 取0.9以上； 能量譜或功率譜從最大值下降3dB（為0.707倍）處所對(duì)應(yīng)的頻率間隔，習(xí)慣上被稱為“3dB帶寬”； 繪制與能量譜或功率譜等高等面積的矩形，矩形的寬度被稱為“等效矩形帶寬”。2022-2-25782.2.3 時(shí)域抽樣信號(hào)和抽樣定理 測(cè)控系統(tǒng)（如傳感器）能提供的原始信號(hào)多是連續(xù)信號(hào)，必須經(jīng)過(guò)離散化才能交由計(jì)算機(jī)作進(jìn)一步處理。時(shí)域抽樣（采樣、取

23、樣）指時(shí)間上的離散化，也就是每隔一定時(shí)間間隔提取原始信號(hào)的瞬間值，得到“抽樣信號(hào)”（參見(jiàn)表2.1）。相等的抽樣間隔對(duì)應(yīng)于“均勻抽樣”，否則就是“非均勻抽樣”。 2022-2-25791.理想抽樣 2.實(shí)際抽樣 3.時(shí)域抽樣定理 2022-2-25801.理想抽樣 可以用一個(gè)如圖2.10所示的理想模型（沖激抽樣、理想抽樣）來(lái)研究抽樣過(guò)程。抽樣脈沖是脈寬為零的單位沖激信號(hào)，其頻譜是周期性的。 2022-2-2581圖2.10 (a) tft0(a) 原信號(hào)及頻譜示意 F0mm12022-2-2582圖2.10 (b)(b) 周期性沖激脈沖及頻譜 0ss.T1 tTt.1.T2022-2-2583圖

24、2.10 (c)(c) 抽樣（后）信號(hào)及頻譜示意 tft0. F0ss.T1T2022-2-2584 可以看到，理想抽樣信號(hào)的頻譜是原連續(xù)信號(hào)頻譜的周期性延拓，延拓周期為抽樣頻率，也就是在周期性沖激函數(shù)頻譜各條譜線的位置上，按比例對(duì)原信號(hào)頻譜進(jìn)行復(fù)制。2022-2-25852.實(shí)際抽樣 實(shí)際的抽樣過(guò)程通常是用電子開(kāi)關(guān)來(lái)實(shí)現(xiàn)的，如圖2.11所示，電子開(kāi)關(guān)每隔一定時(shí)間接通一次，每次接通時(shí)間為（這個(gè)值不可能為零）。 tf tfP tP(a) 抽樣電路 tf tP tfP(b) 邏輯表示圖2.11 2022-2-2586 圖2.12示意了這個(gè)過(guò)程的時(shí)域、頻域變化。可以看到，抽樣信號(hào)的頻譜也是原信號(hào)頻譜

25、的“周期性復(fù)制”，只是復(fù)制受到抽樣函數(shù)（矩形脈沖的頻譜特性）的限制。2022-2-2587圖2.12 (a) tft0(a) 原信號(hào)及頻譜示意 F0mm12022-2-2588圖2.12 (b)(b) 周期性脈沖及頻譜 tPt.1T0.nP0Ts.2022-2-2589圖2.12 (c)(c) 抽樣信號(hào)及頻譜示意 tfPt0.T PF0s.注：注：實(shí)際應(yīng)用中還有其他的抽樣形式，如平頂抽樣等。 2022-2-25903.時(shí)域抽樣定理 抽樣是對(duì)原始信號(hào)一種常見(jiàn)的處理方式，雖然這樣的處理會(huì)舍去信號(hào)在抽樣間隔中的波形，但抽樣定律告訴我們：只要滿足一定的條件，抽樣過(guò)程也能保全原信號(hào)的所有特征，也就是說(shuō)，

26、能由抽樣信號(hào)無(wú)失真地恢復(fù)原始信號(hào)。2022-2-2591低通抽樣定理 一個(gè)頻帶限制在 Hf, 0內(nèi)的連續(xù)信號(hào) tx，如果抽樣頻率 sf大于或等于 Hf2，則可以由 抽樣序列無(wú)失真地重建（恢復(fù)）原始信號(hào) 。 tx2022-2-2592 實(shí)際中遇到的許多信號(hào)是帶通信號(hào)。 信號(hào) 的頻帶限制在 范圍內(nèi)，若帶寬 ，則信號(hào) 稱為帶通信號(hào)。 txHLff ,LLHfffB tx2022-2-2593帶通抽樣定理 對(duì)帶通信號(hào)而言，若抽樣頻率滿足 NMBNMfffLHs1212（2.16） 則可以由抽樣序列無(wú)失真地重建恢復(fù)原始信號(hào)。 2022-2-2594其中 NfffMLHHN為不超過(guò)LHHfff的最大正整數(shù)

27、。 可知 10 M，而 sf則在 B2到 B4之間變動(dòng)。 此時(shí)的抽樣頻率低于低通抽樣定律的要求。 2022-2-25952.2.4 相關(guān)函數(shù) 互相關(guān)函數(shù)常被用來(lái)衡量波形之間關(guān)聯(lián)或相似的程度。 2022-2-2596兩個(gè)能量信號(hào) tf1、 tf2之間的互相關(guān)函數(shù) tR12定義為 d2112tfftR（2.17） 2022-2-2597 類似地，若它們是功率信號(hào)，則互相關(guān)函數(shù)則定義為: d1lim222112tffTtRTTT（2.18） 2022-2-2598互相關(guān)函數(shù)的重要特性 (1)l 若對(duì)所有 t，若 012tR，則兩個(gè)信號(hào)互不相關(guān)（似）； l 當(dāng) 0t時(shí)， tRtR2112但 tRtR2

28、112； l ； 1212FFtR2022-2-2599互相關(guān)函數(shù)的重要特性 (2)l 示兩信號(hào)在無(wú)時(shí)差時(shí)的相關(guān)性，其值越大，表示信號(hào)之間越相似。在實(shí)際使用時(shí)，常用由其進(jìn)行歸一化處理之后，所得的歸一化相關(guān)系數(shù) 來(lái)衡量?jī)蓚€(gè)函數(shù)的相似程度。若 ，表明兩函數(shù)完全不相似；若 ，表明兩函數(shù)完全相似。 012R1121120122022-2-25100 當(dāng) 和 為同一信號(hào)時(shí)，則互相關(guān)函數(shù)“變”為自相關(guān)函數(shù) 。 tf1 tf2 tR 對(duì)能量信號(hào)而言，其自相關(guān)函數(shù)與能量譜密度互為傅里葉變換，記作 。 EtR2022-2-25101 對(duì)功率信號(hào)而言，其自相關(guān)函數(shù)與功率譜密度互為傅里葉變換，記作 。該關(guān)系通常被稱

29、為維納辛欽（Wiener-Khintchine）關(guān)系。 PtR注：注：自相關(guān)函數(shù)和譜密度之間的關(guān)系，給譜密度的求解提供了另一條途徑，即先求信號(hào)的自相關(guān)函，然后再取其傅里葉變換即可。2022-2-251022.3 隨機(jī)信號(hào) 隨機(jī)信號(hào)在數(shù)學(xué)上稱為隨機(jī)過(guò)程。隨機(jī)信號(hào)的分析方法可以借鑒確定信號(hào)分析。2022-2-251032.3.1 隨機(jī)變量2.3.2 隨機(jī)過(guò)程2.3.3 隨機(jī)過(guò)程的統(tǒng)計(jì)特性2.3.4 平穩(wěn)隨機(jī)過(guò)程2.3.5 高斯過(guò)程2.3.6 窄帶隨機(jī)過(guò)程2022-2-25104 隨機(jī)變量 的概率分布函數(shù) 是 的取值小于或等于 的概率，即X xFXXx xXPxFX（2.19） 在許多問(wèn)題中，采用概

30、率密度函數(shù) 比采用概率分布函數(shù)更方便。概率密度函數(shù)被定義為概率分布函數(shù)的導(dǎo)數(shù)。 xPX2022-2-25105 概率密度函數(shù)和概率分布函數(shù)之間的關(guān)系可表述為： 位于區(qū)間 內(nèi)的概率是概率密度函數(shù) 在該區(qū)間上的積分，即 21,xxX xPX xxPxXxPxxXd2121（2.20） 2022-2-25106圖2.13 概率密度函數(shù) xpXx1x2x21xxxP2022-2-25107 若考慮兩個(gè)隨機(jī)變量 、 ，定義二維隨機(jī)變量 的聯(lián)合概率分布函數(shù)為 ，即 小于或等于 同時(shí) 小于或等于 的聯(lián)合概率。 XYYX,yxFYX,XxYy2022-2-25108n類似于單個(gè)（一維）隨機(jī)變量，可定義二維隨機(jī)

31、變量的聯(lián)合概率密度函數(shù)為yxyxFyxPYXYX,2,（2.21） 假設(shè)聯(lián)合概率分布函數(shù)處處連續(xù)，且偏導(dǎo)存在并處處連續(xù)。2022-2-25109隨機(jī)變量的主要數(shù)字特征包括數(shù)學(xué)期望（均值） 和方 差 等。 XE XD xxpxXEXd（2.22） xxpaxaXEXDXXXd22（2.23） 2022-2-25110 反映了隨機(jī)變量 取值的集中位置，有時(shí)也用 表示； 表示的 取值相對(duì)于均值的“離散程度”，也常常表示為 。 XEXXa XDX2X2022-2-251112.3.2 隨機(jī)過(guò)程 如果連續(xù)不斷地進(jìn)行實(shí)驗(yàn)，那么在任一瞬間，都相應(yīng)地得到一個(gè)隨機(jī)變量，此時(shí)的實(shí)驗(yàn)結(jié)果就是一個(gè)隨機(jī)過(guò)程，即在時(shí)間上

32、不斷出現(xiàn)的隨機(jī)變量集合，或者說(shuō)是一個(gè)隨機(jī)的時(shí)間函數(shù)。2022-2-25112 隨機(jī)過(guò)程兼有隨機(jī)變量和時(shí)間函數(shù)的特點(diǎn)，就某一瞬間來(lái)看，它是一個(gè)隨機(jī)變量，就它的一個(gè)樣本來(lái)看，則是一個(gè)時(shí)間函數(shù)。如圖2.14 所示。2022-2-25113圖2.14 隨機(jī)過(guò)程的樣本函數(shù) tx1t tx2t tx3t txnt1t2t.2022-2-25114如，對(duì)通信機(jī)的輸出噪聲進(jìn)行連續(xù)的觀察，觀察結(jié)果將是一個(gè)時(shí)間函數(shù)波形，但具體波形是無(wú)法預(yù)見(jiàn)的，它可能是圖2.14所示的 、 、 等等，所有這些可能結(jié)果的集合就構(gòu)成了隨機(jī)過(guò)程 。每一個(gè)可能的波形，稱為隨機(jī)過(guò)程的一個(gè)實(shí)現(xiàn)或樣本函數(shù)。在一次觀察中，隨機(jī)過(guò)程一定取一個(gè)樣本，

33、然而究竟取哪一個(gè)樣本，則帶有隨機(jī)性。 tx1 tx2 tx3 tX2022-2-251152.3.3 隨機(jī)過(guò)程的統(tǒng)計(jì)特性1數(shù)學(xué)期望2方差3自相關(guān)函數(shù)2022-2-251161數(shù)學(xué)期望隨機(jī)過(guò)程 的數(shù)學(xué)期望定義為 tX xtxxptXEtad;1（2.24） 其中 為 在某個(gè)給定瞬間 所對(duì)應(yīng)的隨機(jī)變量的概率密度函數(shù)，下標(biāo)“1”表示“一維”，即只涉及一個(gè)隨機(jī)變量。 txp;1 tXt2022-2-25117圖2.15 隨機(jī)過(guò)程的數(shù)學(xué)期望 tXt02022-2-25118 反映了隨機(jī)過(guò)程瞬時(shí)值的數(shù)學(xué)期望隨時(shí)間變化的規(guī)律，是隨機(jī)過(guò)程各個(gè)樣本的統(tǒng)計(jì)平均函數(shù)。圖2.15 中較細(xì)的線表示隨機(jī)過(guò)程的若干樣本函數(shù)

34、，較粗的曲線則表示數(shù)學(xué)期望。 ta2022-2-251192方差 隨機(jī)過(guò)程 的方差定義為 tX xtxptaxtatXEtXEtXEtXDtd;12222（2.25） 描述隨機(jī)過(guò)程 在任意瞬間 偏離其數(shù)學(xué)期望的程度。 t2 tXt2022-2-251203自相關(guān)函數(shù) 隨機(jī)過(guò)程 的自相關(guān)函數(shù)可定義為 tX 2121212212121dd,;,xxttxxpxxtXtXEttRX （2.26） 其中 是該隨機(jī)過(guò)程的二維概率密度函數(shù)。 21212,;,ttxxp2022-2-25121 自相關(guān)函數(shù)描述了隨機(jī)過(guò)程在兩個(gè)不同瞬間 、 的取值之間的相關(guān)程度。 1t2t2022-2-251222.3.4 平

35、穩(wěn)隨機(jī)過(guò)程 隨機(jī)過(guò)程分為平穩(wěn)的和非平穩(wěn)的兩類。簡(jiǎn)單地說(shuō)，如果隨機(jī)過(guò)程的統(tǒng)計(jì)規(guī)律不隨時(shí)間變化，則為平穩(wěn)隨機(jī)過(guò)程，否則為非平穩(wěn)隨機(jī)過(guò)程。2022-2-25123n對(duì)平穩(wěn)隨機(jī)過(guò)程而言，數(shù)學(xué)期望和方差都是與時(shí)間無(wú)關(guān)的常數(shù)，自相關(guān)函數(shù)只是時(shí)間間隔 的函數(shù)，與選擇的時(shí)間起點(diǎn)無(wú)關(guān)。 12tt 2022-2-25124 上述關(guān)系通常表示為： ata（2.27） 22t（2.28） RttR21,（2.29） 注：注：在工程實(shí)踐中，人們常常直接用數(shù)學(xué)期望、方差、自相關(guān)函數(shù)三個(gè)數(shù)字特征是否滿足上述特點(diǎn)，來(lái)（狹義地）定義一個(gè)隨機(jī)過(guò)程是否平穩(wěn)。2022-2-25125 平穩(wěn)隨機(jī)過(guò)程的自相關(guān)函數(shù)和功率譜密度函數(shù)也服從維

36、納辛欽關(guān)系，即它們互為傅里葉變換對(duì)： XPR（2.30） 2022-2-25126 許多平穩(wěn)隨機(jī)過(guò)程都具有一個(gè)非常重要的性質(zhì)：在固定時(shí)刻所有樣本的統(tǒng)計(jì)規(guī)律和單一樣本在長(zhǎng)時(shí)間內(nèi)的統(tǒng)計(jì)特性一致，即各個(gè)統(tǒng)計(jì)平均值等于任何一個(gè)樣本的相應(yīng)時(shí)間平均值。具有這種性質(zhì)的平穩(wěn)隨機(jī)過(guò)程被稱為各態(tài)歷經(jīng)（或各態(tài)遍歷）的隨機(jī)過(guò)程。注：注：通信系統(tǒng)中所遇到的信號(hào)和噪聲一般都可視為各態(tài)歷經(jīng)的平穩(wěn)隨機(jī)過(guò)程。2022-2-25127 因此對(duì)各態(tài)歷經(jīng)的隨機(jī)過(guò)程而言，只要對(duì)一個(gè)樣本進(jìn)行分析計(jì)算，便可得知整個(gè)隨機(jī)過(guò)程的統(tǒng)計(jì)特性，這樣就給分析和測(cè)量帶來(lái)了方便。 2022-2-25128 例如只要用直流電表測(cè)出直流成分，就得到有關(guān)隨機(jī)過(guò)

37、程的數(shù)學(xué)期望；在隔斷了直流成分后用均方根電表測(cè)得其均方根（均方差開(kāi)平方），即該隨機(jī)過(guò)程的 。2022-2-251292.3.5 高斯過(guò)程 高斯過(guò)程又稱正態(tài)隨機(jī)過(guò)程，是一種普遍存在的重要隨機(jī)過(guò)程。 高斯過(guò)程是指 維分布都服從高斯分布的隨機(jī)過(guò)程。 n2022-2-25130 為簡(jiǎn)單起見(jiàn)， 維分布的具體表達(dá)式不進(jìn)行討論，這里只給出高斯過(guò)程的一維概率密度函數(shù)：n 22112exp21;axxptxp（2.31） 可以看到，這對(duì)應(yīng)于一個(gè)眾所周知的正態(tài)分布，如圖2.16所示。2022-2-25131圖2.16 正態(tài)分布的概密函數(shù) xpx0a212022-2-251322.3.6 窄帶隨機(jī)過(guò)程 窄帶隨機(jī)過(guò)程

38、是指這樣的隨機(jī)過(guò)程：頻譜被限制在離開(kāi)零頻率相當(dāng)遠(yuǎn)的某個(gè)中心頻率附近一個(gè)窄的頻帶上。在通信系統(tǒng)中，許多實(shí)際的信號(hào)和噪聲，例如無(wú)線廣播系統(tǒng)中的中頻信號(hào)及噪聲，都滿足“窄帶”假設(shè)。2022-2-251332022-2-25134 窄帶信號(hào)的頻譜如圖2.17(a)所示，設(shè)中心頻率為 ，信號(hào)帶寬為 ，窄帶信號(hào)滿足 的條件。 如果在示波器上觀察這個(gè)過(guò)程一個(gè)樣本的波形，如圖2.17(b)示意，可以看到信號(hào)的包絡(luò)和相位是相對(duì)緩慢變化的。 cffcff 2022-2-251352022-2-25136 窄帶隨機(jī)過(guò)程可表示為： tttAtXXcXcos（2.32） 2022-2-25137 為了使用方便，還可將式（2.32）展開(kāi)為： ttXttXtttAtttAtXcQcIcXXcXXsincossinsincoscos（2.33） 其中 、 分別被稱為同相分量和正交分量。 ttAtXXXIcos ttAtXXXQsin2022-2-25138 由上述表達(dá)式可以看出， 的統(tǒng)計(jì)特性與 、 或 、 的統(tǒng)計(jì)特性之間存在特定關(guān)系。 可以證明，對(duì)一個(gè)均值為零的窄帶平穩(wěn)高斯過(guò)程而言，其同相分量和正交分量也是平穩(wěn)高斯過(guò)程，且均值為零、方差與原過(guò)程相同。 tX tAX tX tXI tXQ