二次函數(shù)與幾何綜合類存在性問(wèn)題_

1、二次函數(shù)與幾何綜合類二次函數(shù)與幾何綜合類存在性問(wèn)題存在性問(wèn)題 二次函數(shù)與三角形、四邊形和相似三角形常常綜合在二次函數(shù)與三角形、四邊形和相似三角形常常綜合在一起運(yùn)用，解決這類問(wèn)題需要用到一起運(yùn)用，解決這類問(wèn)題需要用到數(shù)形結(jié)合數(shù)形結(jié)合思想，把思想，把“數(shù)數(shù)”與與“形形”結(jié)合起來(lái)，互相滲透存在探索型問(wèn)題是指在給結(jié)合起來(lái)，互相滲透存在探索型問(wèn)題是指在給定條件下，判斷定條件下，判斷某種數(shù)學(xué)現(xiàn)象是否存在某種數(shù)學(xué)現(xiàn)象是否存在、某個(gè)結(jié)論是否出某個(gè)結(jié)論是否出現(xiàn)現(xiàn)的問(wèn)題解決這類問(wèn)題的一般思路是先的問(wèn)題解決這類問(wèn)題的一般思路是先假設(shè)假設(shè)結(jié)論的某一結(jié)論的某一方面方面存在存在，然后在這個(gè)假設(shè)下進(jìn)行，然后在這個(gè)假設(shè)下進(jìn)行

2、演繹推理演繹推理，若推出矛盾，若推出矛盾，即可否定假設(shè)；若推出合理結(jié)論，則可肯定假設(shè)即可否定假設(shè)；若推出合理結(jié)論，則可肯定假設(shè) 考向互動(dòng)探究考向互動(dòng)探究探究一二次函數(shù)與三角形的結(jié)合探究一二次函數(shù)與三角形的結(jié)合 例例12013重慶重慶如圖如圖1，對(duì)稱軸為直線，對(duì)稱軸為直線x1的拋物線的拋物線yax2bxc(a0)與與x軸的交點(diǎn)為軸的交點(diǎn)為A、B兩點(diǎn)，其中點(diǎn)兩點(diǎn)，其中點(diǎn)A的坐標(biāo)的坐標(biāo)為為(3，0)(1)求點(diǎn)求點(diǎn)B的坐標(biāo)；的坐標(biāo)；(2)已知已知a1，C為拋物線與為拋物線與y軸的交點(diǎn)軸的交點(diǎn)若點(diǎn)若點(diǎn)P在拋物線上，且在拋物線上，且SPOC4SBOC，求點(diǎn)求點(diǎn)P的坐標(biāo)；的坐標(biāo)；設(shè)點(diǎn)設(shè)點(diǎn)Q是線段是線段AC上

3、的動(dòng)點(diǎn)，作上的動(dòng)點(diǎn)，作QDx軸交拋物線于點(diǎn)軸交拋物線于點(diǎn)D，求線段，求線段QD長(zhǎng)度的最大值長(zhǎng)度的最大值圖圖1例題分層分析例題分層分析 (1)拋物線的解析式未知，不能通過(guò)解方拋物線的解析式未知，不能通過(guò)解方程的方法確定點(diǎn)程的方法確定點(diǎn)B的坐標(biāo)，根據(jù)二次函數(shù)的的坐標(biāo)，根據(jù)二次函數(shù)的對(duì)稱性，能求出對(duì)稱性，能求出B點(diǎn)的坐標(biāo)嗎？點(diǎn)的坐標(biāo)嗎？ (2)要求拋物線解析式應(yīng)具備哪些條件？要求拋物線解析式應(yīng)具備哪些條件？由由a1，A(3，0)，B(1，0)三個(gè)條件試一三個(gè)條件試一試；試； (3)根據(jù)根據(jù)SPOC4SBOC列出關(guān)于列出關(guān)于x的方程，的方程，解方程求出解方程求出x的值；的值； (4)如何用待定系數(shù)法求

4、出直線如何用待定系數(shù)法求出直線AC的解析的解析式？式？ (5)D點(diǎn)的坐標(biāo)怎么用點(diǎn)的坐標(biāo)怎么用x來(lái)表示？來(lái)表示？ (6)QD怎樣用含怎樣用含x的代數(shù)式來(lái)表示？的代數(shù)式來(lái)表示？ (7)QD與與x的函數(shù)關(guān)系如何？是二次函數(shù)的函數(shù)關(guān)系如何？是二次函數(shù)嗎？如何求出最大值？嗎？如何求出最大值？解：(1)由題意知：點(diǎn) A 與點(diǎn) B 關(guān)于直線 x1 對(duì)稱，A(3，0)，B(1，0)(2)當(dāng) a1 時(shí)，則 b2，把 A(3，0)(3)代入 yx22xc 中得 c3，該拋物線解析式為 yx22x3.SBOC12OBOC121332，SPOC4SBOC4326.又 SPOC12OC|xp|6，|xp|4，xp4.當(dāng)

5、 xp4 時(shí)，yp4224321；當(dāng) xp4 時(shí)，yp(4)22(4)35.點(diǎn) P 的坐標(biāo)為(4，21)或(4，5)A(3，0)，C(0，3)，則直線 AC 的解析式為 yx3.設(shè)點(diǎn) Q 為(a，a3)，點(diǎn) D 為(a，a22a3)，QDyQyDa3(a22a3)a23a.當(dāng) a32（1）32時(shí)，QD 有最大值，其最大值為：322332 94.解題方法點(diǎn)析解題方法點(diǎn)析以二次函數(shù)、三角形為背景的有關(guān)以二次函數(shù)、三角形為背景的有關(guān)點(diǎn)存在性問(wèn)題點(diǎn)存在性問(wèn)題是以是以二次函數(shù)的圖象和解析式為背景，二次函數(shù)的圖象和解析式為背景，判斷三角形滿足某些的判斷三角形滿足某些的條件時(shí)，點(diǎn)是否存在的問(wèn)題條件時(shí)，點(diǎn)是否

6、存在的問(wèn)題，這類問(wèn)題有點(diǎn)的對(duì)稱點(diǎn)、線，這類問(wèn)題有點(diǎn)的對(duì)稱點(diǎn)、線段、三角形等類型之分這類試題集代數(shù)、幾何知識(shí)于一段、三角形等類型之分這類試題集代數(shù)、幾何知識(shí)于一體，數(shù)形結(jié)合，靈活多變體，數(shù)形結(jié)合，靈活多變 (中考中考.廣安廣安)如圖，已知拋物線如圖，已知拋物線y=x2+2x+3交交x軸于軸于A、B兩兩點(diǎn)（點(diǎn)點(diǎn)（點(diǎn)A在點(diǎn)在點(diǎn)B的左側(cè)），與的左側(cè)），與y軸交于點(diǎn)軸交于點(diǎn)C。（1）求點(diǎn)）求點(diǎn)A、B、C的坐標(biāo)。的坐標(biāo)。（2）若點(diǎn)）若點(diǎn)M為拋物線的頂點(diǎn)，連接為拋物線的頂點(diǎn)，連接BC、CM、BM，求，求BCM的面積。的面積。（3）連接）連接AC，在，在x軸上是否存在點(diǎn)軸上是否存在點(diǎn)P使使ACP為等腰三角為等

7、腰三角形，若存在，請(qǐng)求出點(diǎn)形，若存在，請(qǐng)求出點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由。 探究二二次函數(shù)與四邊形的結(jié)合探究二二次函數(shù)與四邊形的結(jié)合 例例22013棗莊棗莊 如圖如圖2，在平面直角坐標(biāo)系中，二次函，在平面直角坐標(biāo)系中，二次函數(shù)數(shù)yx2bxc的圖象與的圖象與x軸交于軸交于A、B兩點(diǎn)，兩點(diǎn)，B點(diǎn)的坐標(biāo)為點(diǎn)的坐標(biāo)為(3，0)，與，與y軸交于軸交于C(0，3)，點(diǎn)，點(diǎn)P是直線是直線BC下方拋物線上下方拋物線上的動(dòng)點(diǎn)的動(dòng)點(diǎn)(1)求這個(gè)二次函數(shù)的解析式；求這個(gè)二次函數(shù)的解析式；(2)連接連接PO、PC，并將，并將POC沿沿y軸對(duì)折，得到四邊形軸對(duì)折，得到四邊形POPC，那么

8、是否存在點(diǎn)，那么是否存在點(diǎn)P，使得四邊形，使得四邊形POPC為菱形？若為菱形？若存在，求出此時(shí)點(diǎn)存在，求出此時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由；存在，請(qǐng)說(shuō)明理由；(3)當(dāng)點(diǎn)當(dāng)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)到什么位置時(shí)，四運(yùn)動(dòng)到什么位置時(shí)，四邊形邊形ABPC的面積最大？求出此時(shí)的面積最大？求出此時(shí)P點(diǎn)點(diǎn)的坐標(biāo)和四邊形的坐標(biāo)和四邊形ABPC的最大面積的最大面積例題分層分析例題分層分析(1)圖中已知拋物線上幾個(gè)點(diǎn)？圖中已知拋物線上幾個(gè)點(diǎn)？將將B、C的坐標(biāo)代入求拋物線的解析式；的坐標(biāo)代入求拋物線的解析式；(2)畫(huà)出四邊形畫(huà)出四邊形POPC，若四邊形，若四邊形POPC為菱形，那么為菱形，那么P點(diǎn)點(diǎn)必在必在OC的垂

9、直平分線上，由此能求出的垂直平分線上，由此能求出P點(diǎn)坐標(biāo)嗎？點(diǎn)坐標(biāo)嗎？(3)由于由于ABC的面積為定值，求四邊形的面積為定值，求四邊形ABPC的最大面的最大面積，即求積，即求BPC的最大面積的最大面積解：(1)將 B、C 兩點(diǎn)的坐標(biāo)代入 yx2bxc，得93bc0，c3，解得b2，c3.這個(gè)二次函數(shù)的解析式為 yx22x3.(2)假設(shè)拋物線上存在點(diǎn) P(x，x22x3)，使得四邊形 POPC 為菱形連接 PP交 CO 于點(diǎn) E.四邊形 POPC 為菱形，PCPO，PECO，OEEC32，P 點(diǎn)的縱坐標(biāo)為32，即 x22x332，解得 x12 102，x22 102(不合題意，舍去)存在點(diǎn) P(

10、2 102，32)，使得四邊形 POPC 為菱形(3)過(guò)點(diǎn) P 作 y 軸的平行線交 BC 于點(diǎn) Q，交 OB 于點(diǎn) F，設(shè) P(x，x22x3)由 x22x30 得點(diǎn) A 的坐標(biāo)為(1，0)B 點(diǎn)的坐標(biāo)為(3，0)，C 點(diǎn)的坐標(biāo)為(0，3)，直線BC 的解析式為：yx3，Q 點(diǎn)的坐標(biāo)為(x，x3)，AB4，CO3，BO3，PQx2+3x.S四邊形ABPCSABCSBPQSCPQ12AB CO12PQBF12PQFO12ABCO12PQ(BFFO)12ABCO12PQBO124312(x23x)332x292x632x322758.當(dāng) x32時(shí)，四邊形 ABPC的面積最大此時(shí) P 點(diǎn)的坐標(biāo)為3

11、2，154 ，四邊形 ABPC 的最大面積為758.解題方法點(diǎn)析解題方法點(diǎn)析求四邊形面積的函數(shù)關(guān)系式，一般是利用求四邊形面積的函數(shù)關(guān)系式，一般是利用割補(bǔ)法割補(bǔ)法把四把四邊形面積轉(zhuǎn)化為三角形面積的和或差邊形面積轉(zhuǎn)化為三角形面積的和或差（2010黔東南州）黔東南州）如圖如圖，在平面直角坐標(biāo)系中在平面直角坐標(biāo)系中RtAOB RtCDA，且且A（-1，0），），B（0，2）拋物線拋物線y=ax2+ax-2經(jīng)過(guò)點(diǎn)經(jīng)過(guò)點(diǎn)C（1）求拋物線的解析式求拋物線的解析式；（2）在拋物線在拋物線（對(duì)稱軸的右側(cè)對(duì)稱軸的右側(cè)）上是否存在兩點(diǎn)上是否存在兩點(diǎn)P、Q，使四邊形使四邊形ABPQ為正方形為正方形？若存在若存在，求點(diǎn)

12、求點(diǎn)P、Q的坐標(biāo)的坐標(biāo)；若若不存在不存在，請(qǐng)說(shuō)明理請(qǐng)說(shuō)明理由由 探究三二次函數(shù)與相似三角形的結(jié)合探究三二次函數(shù)與相似三角形的結(jié)合 例例32013涼山?jīng)錾饺鐖D如圖3，拋物線，拋物線yax22axc(a0)交交x軸于軸于A、B兩點(diǎn)，兩點(diǎn)，A點(diǎn)坐標(biāo)為點(diǎn)坐標(biāo)為(3，0)，與，與y軸交于點(diǎn)軸交于點(diǎn)C(0，4)，以，以O(shè)C、OA為邊作矩形為邊作矩形OADC交拋物線于點(diǎn)交拋物線于點(diǎn)G.(1)求拋物線的解析式；求拋物線的解析式；(2)拋物線的對(duì)稱軸拋物線的對(duì)稱軸l在邊在邊OA(不包括不包括O、A兩點(diǎn)兩點(diǎn))上平行移動(dòng)，分別交上平行移動(dòng)，分別交x軸于點(diǎn)軸于點(diǎn)E，交，交CD于點(diǎn)于點(diǎn)F，交，交AC于點(diǎn)于點(diǎn)M，交拋物線

13、于點(diǎn)，交拋物線于點(diǎn)P，若點(diǎn)，若點(diǎn)M的橫坐的橫坐標(biāo)為標(biāo)為m，請(qǐng)用含，請(qǐng)用含m的代數(shù)式表示的代數(shù)式表示PM的長(zhǎng)；的長(zhǎng)； (3)在在(2)的條件下，連接的條件下，連接PC，則在，則在CD上方的上方的拋物線部分是否存在這樣的點(diǎn)拋物線部分是否存在這樣的點(diǎn)P，使得以，使得以P、C、F為頂點(diǎn)的三角形和為頂點(diǎn)的三角形和AEM相似？若存在，求出相似？若存在，求出此時(shí)此時(shí)m的值，并直接判斷的值，并直接判斷PCM的形狀；若不存的形狀；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由在，請(qǐng)說(shuō)明理由圖圖3例題分層分析例題分層分析 (1)將將_代入代入yax22axc，求出拋物線的，求出拋物線的解析式；解析式；(2)根據(jù)根據(jù)_的坐標(biāo)，用待定系數(shù)法求

14、出直線的坐標(biāo)，用待定系數(shù)法求出直線AC的的解析式；解析式；(3)根據(jù)拋物線和直線根據(jù)拋物線和直線AC的解析式如何表示出點(diǎn)的解析式如何表示出點(diǎn)P、點(diǎn)、點(diǎn)M的坐標(biāo)和的坐標(biāo)和PM的長(zhǎng)？的長(zhǎng)？(4)由于由于PFC和和AEM都是直角，都是直角，F(xiàn)和和E對(duì)應(yīng)，則若以對(duì)應(yīng)，則若以P、C、F為頂點(diǎn)的三角形和為頂點(diǎn)的三角形和AEM相似時(shí)，分兩種情況進(jìn)行討相似時(shí)，分兩種情況進(jìn)行討論：論：PFC_，PFC_解：(1)C(0，4)，A(3，0)在拋物線 yax22axc(a0)上，c4，9a6ac0，解得a43，c4.所求拋物線的解析式為 y43x283x4.(2)設(shè)直線 AC 的解析式為 ykxb(k0)，A(3，

15、0)，C(0，4)在直線 AC 上，3kb0，b4，解得k43，b4.直線 AC 的解析式為 y43x4，Mm，43m4，Pm，43m283m4.點(diǎn) P 在 M 的上方，PM43m283m443m443m283m443m443m24m.(3)若PFCAEM，此時(shí)PCM 是直角三角形且PCM90.則PFAECFME，即PFCFAEME.又AEMAOC，AEAOMECO，即AEMEAOCO，PFCFAOCO34.PFPEEF43m283m4443m283m，CFOEm，43m283mm34.m0，m2316.若PFCMEA，此時(shí)PCM 是等腰三角形且 PCCM.則PFMEFCEA，即PFFCMEE

16、A.由得AOCOAEME34，OCOA43，PFFCOCOA43.同理，PF43m283m，CFOEm，43m283mm43.m0，m1.綜上可得，存在這樣的點(diǎn) P 使以 P、C、F 為頂點(diǎn)的三角形與AEM 相似，此時(shí) m 的值為2316或 1，PCM 為直角三角形或等腰三角形解題方法點(diǎn)析解題方法點(diǎn)析此類問(wèn)題常涉及運(yùn)用待定系數(shù)法求二次函數(shù)、一次函此類問(wèn)題常涉及運(yùn)用待定系數(shù)法求二次函數(shù)、一次函數(shù)的解析式，矩形的性質(zhì)，相似三角形的判定和性質(zhì)，直數(shù)的解析式，矩形的性質(zhì)，相似三角形的判定和性質(zhì)，直角三角形、等腰三角形的判定要注意的是當(dāng)角三角形、等腰三角形的判定要注意的是當(dāng)相似三角形相似三角形的對(duì)應(yīng)邊和對(duì)應(yīng)角不明確的對(duì)應(yīng)邊和對(duì)應(yīng)角不明確時(shí)，要時(shí)，要分類討論分類討論，以免漏解，以免漏解 （2011棗莊）如圖，在平面直角坐標(biāo)系xoy中，拋物線y=x