初三經(jīng)典幾何證明練習題(含答案)

1、初三幾何證明題經(jīng)典題（一）1 已知：如圖， 0 是半圓的圓心， C、E 是圓上的兩點， CD AB, EF 丄 AB, EGL CO 求證：CD= GF.ABCD 內(nèi)部的一點，/ PAD=ZPDA= 15（初二）3、已知：如圖，在四邊形ABCD 中, AD= BC, M N 分別是 AB CD 的2、已知：如圖，P 是正方形求證： PBC 是正三角形.中點，AD BC 的延長線交 MN 于 E、F.求證：/DEN=ZF.經(jīng)典題(二)1 已知： ABC 中，H 為垂心(各邊高線的交點)(1) 求證：AH= 2OM(2) 若/ BAC= 600,求證：AH= AO,O 為外心，且 OML BC 于

2、 MA2、設(shè) MN 是圓 O 外一條直線，過 O 作 OAL MN 于 A,自 A 引圓的兩條割線交圓 O 于 B、C 及 D、E,連接 CD并延長交 MN 于 Q,連接 EB 并延長交 MN 于 P.求證：AP= AQ3、如圖，分別以 ABC 的 AB 和 AC 為一邊，在厶 ABC 的外側(cè)作正方形OPL BC求證：BC=20P證明：分別過 F、A D 作直線 BC 的垂線，垂足分別是/ OF=OD DIN/ OP/ FL PN=PL OP 是梯形 DFLN 的中位線 DN+FL=2OP/ ABFG 是正方形/ABM 丄 FBL=90又/ BFL+ZFBL=90/ABM2BFL又/ FLB=

3、ZBMA=90 , BF=ABBFLAABM FL=BM同理 AMCACND CM=DN BM+CN=FL+DN BC=FL+DN=2OP1 如圖，四邊形 ABCD 為正方形, 于F.求證：CE= CF.GABFG 和正方形 ACDE 點 0 是 DF 的中點,L、MNG經(jīng)典題（二）DE/ AC, AE= AC, AE 與 CD相交B證明：連接 BD 交 AC 于 0。過點 E 作EGL AC于 G/ ABCD 是正方形 BDLAC 又 EGL AC BD/ EG 又 DE/ AC 0DEG 是平行四邊形又/ COD=90 0DEG1 矩形111 EG=OD= BD=丄 AC)AE222 /

4、EAG=30/ AC=AE / ACE 玄 AEC=75又/ AFD=90 -15 =75/CFE=/ AFD=75 =ZAEC CE=CF2、如圖，四邊形 ABCD 為正方形，DE/ AC 且 CE= CA 直線 EC 交 DA 延長線于 F.求證：AE= AF.證明：連接 BD,過點 E 作 EGL AC 于 G/ ABCD 是正方形 BDLAC,又 EGL AC BD/ EG 又 DE/ AC ODEG!平行四邊形又/ COD=90 ODEG!矩形I111I EG =OD = BD=丄 AC CE222: / GCE=30|/ AC=EC1=180 - / FAC- / GCE=180

5、-135 -30 =15 / F=/ CEA AE=AF3、設(shè) P 是正方形求證：PA= PF.證明：過點 F 作FGL CE 于 G, CD! CG，. HCGF 是矩形/ HCF=/ GCF FH=FG HCGF 是正方形 CG=GF/ APL FP / APB+/ FPG=9C-/ APB+/ BAP=90/ FPG 玄 BAP 又/ FGP 玄PBAFGPAPBA設(shè) AB= x,z： y=(x-y+z): x化簡得(x-y) y= (x-y) z /x-y豐0 y=z即 BP=FGABC 一邊 BC上的任一點， PF丄 AP, CF平分/ （初二）FH 丄 CD 于HDCE ABP 也

6、厶 PGF FG: PB=PG AB4、如圖，PC 切圓 O 于 C, AC 為圓的直徑，PEF為圓的割線，AE、AF 與直線 PO 相交于 B D. 求證：AB= DC, BC= AD.（初三）1證明：過點 E 作 EK/ BD,分別交 連接 OH MH EC/ EH=FHOHL EF,./ PHO=90 又 PCLOC POC=90 P、C H O 四點共圓/ HCOMHPO又 EK/ BDHPOMHEK/HCMNHEM H C E、M 四點共圓/ECMMEHM又/ ECMMEFA/EHMMEFA HIM/ AC/ EH=FH經(jīng)典題（四）1 已知： ABC 是正三角形， P 是三角形內(nèi)一點

7、，PA= 3, 求/ APB 的度數(shù).（初二）解：將 ABP 繞點 B 順時針方向旋轉(zhuǎn) 60得厶BCQ 連接 則厶 BPQ 是正三角形 / BQP=60 , PQ=PB=3在厶 PQC 中, PQ=4, CQ=AP=3 PC=5 PQC 是直角三角形 / PQC=90/BQC2BQP+ZPQC=60 +90=150 / APB=/ BQC=150 2、設(shè) P 是平行四邊形ABCD 內(nèi)部的一點，且/ PBA=/ PDA求證：/ PAB=/ PCB （初二） 證明：過點 P 作 AD 的平行線，過點 兩平行線相交于點 E,連接 BE/ PE/ AD, AE/ PD ADPE 是平行四邊形 PE=A

8、D又 ABCD 是平行四邊形 AD=BC PE=BC又 PE/ AD AD/ BC PE/ BC BCPE 是平行四邊形；AC AF 于 M K,取 EF 的中點1 EM=KMI/ EK / BD OB AO ODEM AM -KM OB=ODI又 AO=CO四邊形 ABCD 的對角；線互相平分 ABCD 是平行四邊形I AB=DC , BC=AD又/ ADP= / ABP / AEP= / ABP A、E、B、P 四點共圓 / BEP= / PAB / PAB= / PCBCA 作 PD 的平行線, / BEP=/ PCB ADPE 是平行四邊形； / ADP 玄 AEP3、設(shè) ABCD 為

9、圓內(nèi)接凸四邊形，求證： AB- CM AD- BC= AC- BD.（初三）證明：在 BD 上去一點 E,使/ BCEN ACD/ CD=CD / CAD=/ CBDBE3A ADCBE BCAD一AC AD- BC=BE- AC./ BCE 玄 ACD/ BCE+Z ACEh ACD+/ ACE即/ BCA=/ ECD/BG=BC；/BAC=/BDCBA3AEDCAB ACDE CD AB- CD=DE AC.4、平行四邊形 ABCD 中，設(shè) E、F 分別是 BC AB 上的一點，AE 與 CF 相交于 P,且AE= CF.求證：/ DPA=/ DPC (初二)證明：過點 D 作 DGL A

10、E 于 G 作 DHLFC 于 H,連接 DF、DE1 1SAADE=2AE DQSAFDCFC DH1又SAADE=SFDZAGP/APOZADP AD PA. 又 BD+P PB. CG+PG PC. + +得 AD+BD+CG+PD+PPA+PB+PC AB+CG+DG=AB+CG+AG=AB+AC+PB+PC=L/ AB=AC=T. LV2由(1)( 2)可知：.3wLV2.2、已知：P 是邊長為 1 的正方形 ABCD 內(nèi)的一點，求 PA+ PB+ PC 的最小值. 解：將ABCP 繞點 B 順時針旋轉(zhuǎn) 60 得厶 BEF,連接 PE,則厶 BPE 是正三角形 PE=PBPA+ PB

11、+ PC=PA+PE+EF要使 PA+ PB+ PC 最小，貝 U PA PE、EF 應(yīng)該在一條直線上（如圖）此時 AF=PA+PE+EF過點 F 作 FGL AB 的延長線于 G則/ GBF=180 - / ABF=180 -150 =303、P 為正方形 ABCD 內(nèi)的一點，并且 PA= a, PB= 2a, PC= 3a,求正方形的邊長.證明：將厶 ABP 繞點 B 順時針旋轉(zhuǎn) 90得厶 BCQ 連接 PQ則厶 BPQ 是等腰直角三角形，PQ=2PB=_2x2a=22a PA+ PB+ PC 的最小值是.3又 QC=AP=aQP+QC=(2. 2 a)2+=9=PC PQC 是直角三角形

12、 / BQC=135BC=BQ+CQ-2BQ CQ cos / BQC=PE?+PA!-2PB PAcos1352 22=4a +a -2x2axax(-)2解得BC=.5 2 2a/正方形的邊長為5，2,：2a4、如圖， ABC 中，/ ABC=/ ACB= 80, D E 分別是 AB AC 上的點，/ DCA= 30,/ EBA= 20,求/ BED 的度數(shù).解：在 AB 上取一點 F,使/ BCF=60, CF 交 BE 于 G 連接 EF DG/ ABC=80，/ ABE=20 ,二/ EBC=60，又/ BCG=60BCG 是 正三角形 BG=BC/ACB=80，/BCG=60 F

13、CA=20EBA=/ FCA又/A=ZA,AB=AC-ABE ACF/. AE=AF1/AFE=ZAEF=(180-/A)=802又/ ABC=80 =ZAFE/. EF/ BC/ EFG2BCG=60 EFG 是等邊三角形 EF=EG / FEG2EGF2EFG=60/ ACB=80，/DCA=30 BCD=50/BDC=180 -/BCD-/ABC=180 -50-80=50/BCD/ BDC. BC=BD 前已證 BG=BC- BD=BG1/BGD/BDG=(180-/ABE =80/FGD=180 -/BGD/EGF=180 -80-60=40又/ DFG=180 - / AFE-/

14、EFG=180 -80 -60 =40/FGD/DFG，. DF=DG EF=EG DE=DE-EFDAEGD1 1/BED 玄 FED=2/FEGg 60=305、如圖， ABC 內(nèi)接于OO 且 AB 為OO 的直徑，/ ACB 的平分線交OO 于點 D,過點 D 作OO 的切線 PD 交 CA的延長線于點 P,過點 A 作 AE 丄 CD 于點 E,過點 B 作 BF 丄 CD 于點 F,若 AC=6 BC=8 求線段 PD 的 長。 | 解：T/ACD/BCDAD=BD. AD=BD/ AB 為OO 的直徑/ ADB=90 ABD 是等腰直角三角形/ ACB=90 , AC=6 BC=8

15、 / AB=10 / AD=ABcos / DAB=1CK又 AE CD / ACD=45在 ADE 中，DE=AD-AE2DE= (5 J?2- (3/2)2= 32DE=42 CD=CE+DE=32+4.2=72757535 PC= PD, PA=PDVPC=PA+A丄 PD=PD+6 解得 PD=575741 證明：過點 G 作 GHL AB 于 H,連接 OE/ EG! CO EF AB/ EGO=90，/ EFO=90/ EGO# EFO=180 E、G O F 四點共圓 / GEO# HFG/ EGO# FHG=90EG3A FHGEO _ GO. -=-FG HG/ GHL AB

16、, CD 丄 AB GH/ CD.GO COHG CD.EO COFG CD/ EO=CO CD=GF2 證明：作正三角形 ADM 連接 MP# MAD=60，/ PAD=15 # MAP# MAD# PAD=75# BAD=90，/ PAD=15# BAP=/ BAD-# PAD=90 -15 =75# BAP=/ MAP/ MA=BA AP=APMAPA BAP# BPA=/ MPA MP=BP同理/ CPD# MPD MP=CPACE 是等腰直角三角形CE=AE=AC cos / CAE=&丄=3.22/ PDA 玄 PCD / P=Z PPDMA PCD PDPCPAPDADCD5、_

17、272一7# PAD=Z PDA= 15 PA=PD / BAP=/ CDP=75/ BA=CDBAPZCDP /BPA=ZCPD/BPAZ MPAZCPDZMPDZMPAZMPD=75ZBPC=360 -75 X4=60/ MP=BP MP=CP BP=CPBPC 是正三角形3 證明：連接 AC,取 AC 的中點 G,連接 NG MG/ CN=DN CG=DG1 GN/ AD, GNAD2ZDENZGNM/ AM=BM AG=CG1 GM/ BC, GM 丄 BC2ZF=ZGMN/ AD=BC GN=GMZGMNZGNMZDENZF1 證明：（1）延長 AD 交圓于 F,連接 BF,過點 O

18、 作 OG!AD 于 G/ OGL AF AG=FG/ AB=ABZF=ZACB又 ADLBC BELACZBHD+ZDBH=90ZACB+ZDBH=90ZACB 玄 BHDZF=ZBHD BH=BF 又 AD 丄 BC DH=DF AH=AG+GH=FG+GH=GH+DH+DF+GH=2GH+2GH=DH =2GD又 ADLBC OMLBC OGL AD四邊形 OMD 是矩形 OM=GD AH=2OM（2）連接 OB OCvZBAC=60.ZBOC=120/ OB=OC OMLBC1ZBOM 丄ZBOC=60/-ZOBM=302 BO=2OM由（1 ）知 AH=2OM. AH=BO=AO2 證明：作點 E 關(guān)于 AG 的對稱點