平衡隨機過程和各態(tài)歷經(jīng)過程PPT教案

1、平衡隨機過程和各態(tài)歷經(jīng)過程平衡隨機過程和各態(tài)歷經(jīng)過程第1頁/共76頁12121212( ,; , ,)( ,)XnnXnnPx xx t ttPx xx ttt第2頁/共76頁11( ; )XPx t1111( ; )( ;)XXPx tPx t1t 1111( ; )( ;0)()XXXPx tPxPx222111( )()XXE XtX Px dx 第3頁/共76頁2221112222( )( )()()( )( )XXXXXxD X tE X tMxMPxdxE XtEX tM 顯然，X(t)的均方值、方差都與時間t無關(guān) 。由此知，當隨機過程為平穩(wěn)過程時，該過程的所有樣本函數(shù)總是它們均值

2、水平直線上下波動，樣本曲線偏離水平直線的幅度正好是( )XD X x。第4頁/共76頁第5頁/共76頁密度函數(shù)的時間間隔，令，則：12,t t1212( ,; , )XPx xt t12121212( ,; , )( ,;,)XXPx x t tPx x tt1t 12121212( ,; , )( ,;0,)( ,;)XXXPx x t tPx xPx x12121221( ,; , )( ,;0,)XXPx x t tPx xtt21tt21tt第6頁/共76頁12,t t121212121212121212( , )( )( )(; , )(;)( )XXXXRt tE X t X tx

3、 x Px x t t dx dxx x Px xdx dxR 1212122( , )( , )( )( )( )( )( )XXXXXXXXXXCt tRt tMt MtRMMRMC又 2( )( )XXXCRM 第7頁/共76頁第8頁/共76頁第9頁/共76頁第10頁/共76頁數(shù)和二維概率密度函數(shù)。( )XE X tM21212( ),( , )( )( )( )XXE XtRt tE X t X tR 21tt12 ( ),( , )XE E tRt t11( , )XPx t1212( ,; , )XPx xt t第11頁/共76頁與時間間隔有關(guān)，即2( )E Xt 111212(

4、,; ,)( ,;,)XnnXPxxttPxxtt111( ; )()XXPx tPx( )XE X tM121212( ,; , )( ,; )XXPx x t tPx x第12頁/共76頁21tt12( , )( )XXRt tR 222111( )()XXE Xtx Pxdx 綜上所述，嚴平穩(wěn)一定是寬平穩(wěn) 反之不一定成立，除非是高斯過程（正態(tài)過程）。類似地，我們還可以給出兩個隨機過程聯(lián)合寬平穩(wěn)定義。定義聯(lián)合寬平穩(wěn)：對于平穩(wěn)過程 若1( ), ( )X tY t1221( , )( ),XYXYRt tRtt 則稱( ), ( )X t Y t聯(lián)合寬平穩(wěn)。 第13頁/共76頁則X1(t)是

5、寬平穩(wěn)。對于12( ),( )X tY XttY1( )X tY1(,)YnP yy1( )X tY221( )E XtE Y 2( ),XttY2( ) E E tE tYtE Y第14頁/共76頁22122122121 2( , )( )( )XRt tE Xt XtE tYt Yt t E Y12,t t2( )XttY( )S t( )()X tS t10( )0Tf tT其它第15頁/共76頁12( ),( , )XE X tRt t,( )()tX tX t時()Yg X ( ) ( )E Yg x f x dx001( )()( )()TTE X ttfdS tdTt 011(

6、)( )( )t TTtE X tSdSdTT常數(shù) 第16頁/共76頁120( , )( ,)( )() ()()() () ( )XXTRt tRt tE X t X tE S tS tS tS tfd,t 01( )( ) ()1( ) ()( )ttTXE X tSSdTSSdRT第17頁/共76頁111212( ; ),( ,; , )XXPx tPx x t t1( ),( ),nx tx t第18頁/共76頁01,nt tt01( ), ( ),( )nnx tx tx t0( ) ( ), ( ),nX tx tx t1,( )t X t1111( )( )nkhE X tx t

7、n121211( , )( )( )nXkkkRt tx t x tn( ),1,2,ix t i 第19頁/共76頁111( )2TxTMx t drT1( ) ( ),( ),nX tx tx t1xM( )E X t111( )lim( )2TTTx tx t dtT第20頁/共76頁221( )lim( )2TTTx tx t dtT1( )lim( )2TnnTTx tx t dtT12( )( )( )nx tx tx t( )nx t( )( ),1,2nx tE X tn1( )()lim( )()2TTTX t X tX t X tdtT第21頁/共76頁( ),( )()X

8、 tX t X t1( ) ( ),( )nX tx tx t第22頁/共76頁( )( )XX tE X tM1( )( ),( )( )Xnxx tE X tMx tE X tM第23頁/共76頁11( )lim( )2TTtx tx t dtT( )E X t1( )lim( ),1,2,2TnTTE X tx t dt nT( )()( )()( )XX t X tE X t X tR第24頁/共76頁( )()( )()( )nnXx t x tE X t X tR1( )lim( )()2TXnnTTRx t x tdtT第25頁/共76頁0( )cos()X tAt0,A2001

9、( )cos()02E X tAtd第26頁/共76頁000200022000020( )()cos()cos()coscos(22 )21coscos(22 )22cos( )2XE X t X tE AtAtAEtAdAR X(t)為一寬平穩(wěn)過程。 01( )limcos()2TTTX tAtdtT00cossinlim0TATT( ,)XRt t第27頁/共76頁00020cos() cos()( )()limcos2TTTAtdrX t X tA ( )( )0X tE X t0( )()( )()( )2XX t X tE X t X tRA 第28頁/共76頁( ) ()( ) (

10、)( )XYX t Y tE X t Y tR第29頁/共76頁2201lim1( )02TXXTRMdTT( )XRXM第30頁/共76頁( )0E X t( )XRe 2201lim1( )2TXXTRMdrTT2| |02| |0222201lim1021lim12111lim02TTTTTTTedrTTedTTeTTT X(t)是均值各態(tài)歷經(jīng)的。第31頁/共76頁改為互相關(guān)函數(shù)即可。2211101lim1 ( )( )02XTTBRdT111( )()()()( )BE X tX tX tX t第32頁/共76頁0|( )|XRdr ( ),( )XE X tR11( )( )lim(

11、 )2TTTX tE X tx t dtT111( )()( )lim()( )2TXTTRX tX tx tx t dtT第33頁/共76頁第34頁/共76頁圖4.2第35頁/共76頁4.9計式可算出自相關(guān)函數(shù)的一系列近似值，從而可作出自相關(guān)函數(shù)的近似圖形，見圖4.3。TtN 1()2ktkt1,2,( )kNx t對( ),1,2,kkxx tkNrr t 第36頁/共76頁111( )( )lim( )2NTkTTkE X tx tX t dtxTN1( )()( )lim( )()2TXTTRX tX tX t X tdrT11(),0,1,2,()N rXrkk rkRx xNrrm

12、 mn第37頁/共76頁第38頁/共76頁2(0)( )XRE Xt( )( )()XRE X t X t2(0)( )XRE Xt0( )XR令 =0( )()XXRR( )()XXCC( )( )(),()( )(),XXRE X t X tRE X t X tut 第39頁/共76頁0(0)|( )|XXRR( )()X tX t2|( )()| 0EX tX t22( )2( )()()E XtX t X tXt022( )2( )()()0E XtE X t X tE Xt22( )2( )()()0E XtE X t X tE Xt( )()( )XE X t X tR22( )2

13、( )()0 xE XtRE Xt第40頁/共76頁22()( ,)XE Xtx Px tdx( ; )( ;)XXPx tPx t22( )()(0)XE XtE XtR2(0)2( )0XXRR(0)XXRR|( )|(0)XXCC|( )|22( )( , )XE Xtx Px t dxv對于 第41頁/共76頁()( )XXRtTR( )()X tX tT()( )()( )()( )xXRTE X t X tTE X t X tR2lim( )( )XXXRRM 222( )(0)( )( )( )XXXD X tRRE XtEX t第42頁/共76頁29( )161 3XR( ),

14、( )E X tD X t229lim( )lim16161XXMR4XM 2(0)( )25 169XXXRR 222( )( )( )XXXXXXCRM第43頁/共76頁0222(0)(0)(0)0XXXXXXCRM22222( )1XXXXE XtM|( )|1X第44頁/共76頁0()0.05X0000第45頁/共76頁( )X1,0(0)X00( )Xd圖圖4.3 自相關(guān)系數(shù)自相關(guān)系數(shù)第46頁/共76頁( ), ( )X t Y t( )XYR( )XYC2( )(0)(0)XYXYRRR222( )(0)(0)XYXYXYCCC第47頁/共76頁1( )(0)(0)2XYXYRRR

15、2211( )(0)(0)22XYXYXYCCC( )( )(0)(0)XYXYXYCCC( )1XY( )0XY( )( )X tY t和第48頁/共76頁( )cos()X tt(, ) ( )2sin2X tAxostt( )( )0,( )( )1E AE BD AD B()0E AB 第49頁/共76頁( ),X tY Y111,(),aX ta( )N t1( )()( )Y taX tN t( )XYR( )XYR第50頁/共76頁否是寬平穩(wěn)過程。( )cos ()X tAt2220( )200aaeat aa第51頁/共76頁第52頁/共76頁( )()X tt ( )x t

16、dt 1( ) ( ),( ), nX tx tx t1( ),( )nx tx t第53頁/共76頁( )S t(,) ( )S( )( )j tSS t edt1( )( )2j tS tSed1( )( )FFS ts ( )( )F S tS第54頁/共76頁1 ( )( )FSS t( )S*( )()SS22*;,Zabi zabzabi2*2222(1)()( )z zbia biabiabz( )S t( )s t dt ( )S t221( )( )2St dtSd第55頁/共76頁( )S t(,) 2( )Ssin( ) t dt ( ),1,2,nx tdtn第56頁/

17、共76頁1( ) ( ),( ),nX xx tx t21lim( )2TeTTWx tT 第57頁/共76頁( )x t( )Tx t( )X t( )x t( )x t( )Tx t( )Tx t( )x t第58頁/共76頁( )| |( )0| |Tx ttTxttT( )Tx t dt ( )Tx t( )( )( )j tTj tTTTTxx t edtx t edt1( )()2jtTTxtxedt( )Tx( )Tx t第59頁/共76頁1( ) ( ),( ),nX tx tx t( , )x t e( , )Tx t e( , )Tx t e21lim( )2TeTTWx

18、tdtT21lim( , )2TTTx t edtT第60頁/共76頁11lim( , )( , )22Tj tTTTTx t exe eddtT()11lim( , )( , )22TjtTTTTxex t e edt dT11lim( , )(, )22TTtxe xe dT*11lim( , )( , )22TTtxe xe dT211lim( , )22TTxedT1( , )2XGe d第61頁/共76頁21( , )lim( , )2XTTGexeT21( , )lim( , )2XTTGexeT( , )Txe( , )Tx t e第62頁/共76頁1( ) ( ),( ),nX

19、 tx tx t221( )( , )lim( , )21lim( , )2XXTTTTGE GeExeTEXeT第63頁/共76頁11lim( , )22eTTWxe dT21lim( , )2TeTTTWxt edtT211lim( , )22eTTWE WExedT第64頁/共76頁211lim( , )22TTE xedT1( )2XGd21lim( , )2TeTTWE WEx t edtT221lim| ( , )| 21lim( )2TTTTTTEx t edtTE x tdtT第65頁/共76頁( )xG2( )E Xt22( )(0)XXE XtR2221lim( )21li

20、m2TTTTXXTTWE XtdttdtT21lim2(0)2XXTTRT第66頁/共76頁21( )(0)( )2XXWE XtRGd21( )( , )lim( , )2XsTTGGexeT第67頁/共76頁0( )( )cos()X tX tt為0, a2是在(0, )( )X t21lim( )2TTTWE XtdtT22200( )cos ()E XtE at22022200220cos(22 )222cos (22 )22sin(2)2aaEtaatdaat顯然該過程不平穩(wěn)。第68頁/共76頁22201limsin()222TTTaWtdtT5.2 功率譜密度與自相關(guān)函數(shù)的關(guān)系通過對隨機過程的分