正態(tài)分布及其經(jīng)典習題和答案

1、專題：正態(tài)分布【知識網(wǎng)絡】1、取有限值的離散型隨機變量均值、方差的概念；2、能計算簡單離散型隨機變量的均值、方差,并能解決一些實際問題；3、通過實際問題,借助直觀(如實際問題的直觀圖),熟悉正態(tài)分布、曲線的特點及曲線所表示的意義.【典型例題】例1:(1)隨機變量X服從二項分布,且E(X)=2.4,V(X)=1.44,那么二項分布的參數(shù)n,p的值為()A.n=4,p=0.6B.n=6,p=0.4C.n=8,p=0.3D.n=24,p=0.1答案：B.解析：EXnp2.4,VXnp(1p)1.44.(2)正態(tài)曲線下、橫軸上,從均數(shù)到的面積為().A95%B.50%C.97.5%D.不能確定(與標準

2、差的大小有關)答案：Bo解析：由正態(tài)曲線的特點知.80,標準差為10,理論上說在80(3)某班有48名同學,一次測試后的數(shù)學成績服從正態(tài)分布,平均分為分到90分的人數(shù)是A32B16C8D20答案：Bo解析:數(shù)學成績是XN(80,102),P(80X90)P80809080ZP(0Z1)0.3413,480.341316.1010(4)從1,2,3,4,5這五個數(shù)中任取兩個數(shù),這兩個數(shù)之積的數(shù)學期望為答案：8.5.解析：設兩數(shù)之積為X,X23456810121520P0.10.10.10.10.10.10.10.10.10.1E(X)=8.5.(5)如圖,兩個正態(tài)分布曲線圖：1為1,1(X),2

3、為22(x),那么12,12(填大于,小于)答案：V,.解析：由正態(tài)密度曲線圖象的特征知.例2:甲、乙兩人參加一次英語口語測試,在備選的10道試題中,甲能答對其中的6題,乙能答對其中的8題.規(guī)定每次測試都從備選題中隨機抽出3題進行測試,至少答對2題才算合格(I)求甲答對試題數(shù)E的概率分布及數(shù)學期望;(H)求甲、乙兩人至少有一人測試合格的概率答案：解：(I)依題意,甲答對試題數(shù)E的概率分布如下:甲答對試題數(shù)E的數(shù)學期望0123P1311301026-1,EE=0-130310(H)設甲、乙兩人測試合格的事件分別為A、B,那么C2c1c3C6c4C66020P(A)=3=如1202-,P(B)=3

4、cfc2C；C3056561201415由于事件A、B相互獨立,方法一:,甲、乙兩人測試均不合格的概率為141545,甲、乙兩人至少有一人測試合格的概率為44答：甲、乙兩人至少有一人測試合格的概率為44454545方法二:,甲、乙兩人至少有一個測試合格的概率為2PPABPABPAB1142144431531531545_44答：甲、乙兩人至少有一人測試合格的概率為空.45例3:甲、乙兩名射手在一次射擊中得分為兩個相互獨立的隨機變量X和Y,其分布列如下:X123Pa0.10.6Y123P0.3b0.3(1)求a,b的(2)比擬兩名射手的水平.答案：(1)a=0.3,b=0.4;值;(2)EX10

5、.320.130.62.3,EY10.320.430.3DX0.855,DY0.6所以說甲射手平均水平比乙好,但甲不如乙穩(wěn)定.例4:一種賭博游戲：一個布袋內(nèi)裝有6個白球和6個紅球,除顏色不同外,6個小球完全一樣,中取出6個球,輸贏規(guī)那么為：6個全紅,贏得100元；5紅1白,贏得50元；4紅2白,贏得20元輸?shù)?00元；2紅4白,贏得20元；1紅5白,贏得50元；6全白,贏得100元.而且游戲是免費的每次從袋;3紅3白,.很多人認為這種游戲非常令人心動,現(xiàn)在,請利用我們學過的概率知識解釋我們是否該“心動CkC6k答案：設取出白紅球數(shù)為X,那么X-H(6,6,12),P(Xk)C6C6,其中k=0

6、,1,2,6%X100_50_201001675100P-46277154231設贏得的錢數(shù)為Y,那么丫的分布列為1E(Y)100156cc751005020一100一4627715423129.44,故我們不該“心動.【課內(nèi)練習】1 .標準正態(tài)分布的均數(shù)與標準差分別為.A0與1B.1與0C.0與0D.1與1答案：Ao解析：由標準正態(tài)分布的定義知.2 .正態(tài)分布有兩個參數(shù)與,相應的正態(tài)曲線的形狀越扁平.A越大B,越小C.越大D.越小答案：Co解析：由正態(tài)密度曲線圖象的特征知.1n一2t3 .已在n個數(shù)據(jù)x1,x2,xn,那么一xix正指ni1A.B.C.2D.2答案：Co解析：由方差的統(tǒng)計定義

7、知.4 .設B(n,p),E12,V答案：4.解析：Enp12,Vnp(1p)45.對某個數(shù)學題,甲解出的概率為2,乙解出的概率為-,兩人獨立解題.記X為解出該題的人數(shù),那么34(X)=O,17答案：上.12解析:11P(X0)34121一,P(X1)12344*P(X2)1712P(|a)P(|a)P(|a)(a0)151E(X)012-21226.設隨機變量服從正態(tài)分布N0,1,那么以下結論正確的選項是(2)P(|a)2P(a)1(a0)P(|a)12P(a)(a0)(4)P(|a)1P(|a)(a0)答案：,2,4.解析：P|a0.7.拋擲一顆骰子,設所得點數(shù)為X,那么VX=.,-351

8、735答案：一.解析：PXk-,k1,2,6,按定義計算得EX一,VX一.1262128.有甲乙兩個單位都想聘任你,你能獲得的相應的職位的工資及可能性如下表所示：甲單位1200140016001800概率0.40.30.20.1乙單位1000140018002200概率0.40.30.20.1根據(jù)工資待遇的差異情況,你愿意選擇哪家單位并說明理由.答案：由于E甲=E乙,V甲V乙,應選擇甲單位.解析：E甲=E乙=1400,V甲=40000,V乙=160000.9.交5元錢,可以參加一次摸獎.一袋中有同樣大小的球10個,其中有8個標有1元錢,2個標有5元錢,摸獎者只能從中任取2個球,他所得獎勵是所抽

9、2球的錢數(shù)之和(設為),求抽獎人獲利的數(shù)學期望.答案：解：由于為抽到的2球的錢數(shù)之和,那么可能取的值為2,6,10.P(C；2)-2-2028»P(45小-8-26)ET216C；p(10)-445'-0145c28c264516s104514516245185為抽獎者獲利的可能值,那么5,抽獎者獲利的數(shù)學期望為EE(5)E5故,抽獎人獲利的期望為史557o510.甲乙兩人獨立解某一道數(shù)學題,(1)求該題被乙獨立解出的概率；該題被甲獨立解出的概率為0.6,被甲或乙解出的概率為0.92.(2)求解出該題的人數(shù)的數(shù)學期望和方差答案：解：(1)記甲、乙分別解出此題的事件記為A、B.

10、設甲獨立解出此題的概率為P1,乙為P2.貝UP(A)=P1=0.6,P(B)=P2P(AB)1P(AB)1(1P1)(1P2)P1P2RP20.920.6P20.6P20.92那么0.4P20.32即P20.8(6分)(2) P(0)P(A)P(B)0.40.20.08P(1)P(A)P(B)P(A)P(B)0.60.20.40.80.44P(2)P(A)P(B)0.60.80.48的概率分布為：012P0.080.440.48E00.0810.4420.480.440.961.4,、2_,、2_、2_V()(01.4)0.08(11.4)0.44(21.4)0.480.15680.07040

11、.17280.4,或利用V()E(2)(E)22.361.960.4.【作業(yè)本】A組1 .袋中裝有5只球,編號為1,2,3,4,5,從中任取3球,以X表示取出球的最大號,那么E(X)等于)X345P0.10.30.6A、4B、5C、4.5答案：Co解析：X的分布列為D、4.75故E(X)=30.1+40.3+50.6=4.5.2 .以下函數(shù)是正態(tài)分布密度函數(shù)的是1-x-lf(x)e22B.f(x)2x"2C.x121f(x)e42.2D.f(x)答案：B.解析：選項B是標準正態(tài)分布密度函數(shù).3.正態(tài)總體為0,1概率密度函數(shù)f(x)是A.奇函數(shù)B.偶函數(shù)C.非奇非偶函數(shù)D.既是奇函數(shù)又

12、是偶函數(shù)2x答案：Bo解析：f(x)4 .正態(tài)總體落在區(qū)間0.2,的概率是0.5,那么相應的正態(tài)曲線在x時到達最高點.答案：0.2.解析：正態(tài)曲線關于直線x對稱,由題意知0.2.5 .一次英語測驗由40道選擇題構成,每道有4個選項,其中有且僅有一個是正確的,每個選對得3分,選錯或不選均不得分,總分值120分,某學生選對一道題的概率為0.7,求該生在這次測驗中的成績的期望為；方差為.答案：84;75.6.解析：設X為該生選對試題個數(shù),刀為成績,那么XB(50,0.7),刀=3XE(X)=40X0.7=28V(X)=40X0.7X0.3=8.4故E(刀)=E(3X)=3E(X)=84V(刀)=V(

13、3X)=9V(X)=75.66 .某人進行一個試驗,假設試驗成功那么停止,假設實驗失敗,再重新試驗一次,假設試驗三次均失敗,那么放棄試2、乂驗,假設此人每次試驗成功的概率為一,求此人試驗次數(shù)X的分布列及期望和方差.解：X的分布列為X1P23232919+,2211322113238故E(X)1-2-3-1,V(X)1一4一9一(一)一.39993999817 .甲、乙兩名射擊運發(fā)動,甲射擊一次命中10環(huán)的概率為0.5,乙射擊一次命中10環(huán)的概率為s,假設他們獨立的射擊兩次,設乙命中10環(huán)的次數(shù)為X,那么EX=4,Y為甲與乙命中10環(huán)的差的絕對值.求s的值及Y的3分布列及期望4一一.2答案：解：

14、由可得XB(2,s),故EX2s4,所以s-.有Y的取值可以是0,1,2.甲、乙兩人命中10環(huán)的次數(shù)都是一一,1、2,1、20次的概率是(萬)2(-)2136',一口,1甲、乙兩人命中10環(huán)的次數(shù)都是1次的概率是(一2,一口,1甲、乙兩人命中10環(huán)的次數(shù)都是2次的概率是(一211121222)(33)(2312339121所以P(Y0)369913一;36甲命中10環(huán)的次數(shù)是甲命中10環(huán)的次數(shù)是1所以P(Y2)一362且乙命中10環(huán)的次數(shù)是0次的概率是0且乙命中10環(huán)的次數(shù)是2次的概率是15,故P(Y1)1P(Y0)936玄(3)13611221(22)(33)91P(Y2)萬所以Y的

15、分布列是Y1231315P36236、7所以Y的期望是E(Y)=.98 .一軟件開發(fā)商開發(fā)一種新的軟件,投資50萬元,開發(fā)成功的概率為0.9,假設開發(fā)不成功,那么只能收回10萬元的資金,假設開發(fā)成功,投放市場前,召開一次新聞發(fā)布會,召開一次新聞發(fā)布會不管是否成功都需要花費10萬元,召開新聞發(fā)布會成功的概率為0.8,假設發(fā)布成功那么可以銷售100萬元,否那么將起到負面作用只能銷售60萬元,而不召開新聞發(fā)布會那么可能銷售75萬元.(1)求軟件成功開發(fā)且成功在發(fā)布會上發(fā)布的概率(2)求開發(fā)商盈利的最大期望值.答案：解：(1)設A="軟件開發(fā)成功,B="新聞發(fā)布會召開成功軟件成功開

16、發(fā)且成功在發(fā)布會上發(fā)布的概率是P(AB)=P(A)P(B)=0.72.(2)不召開新聞發(fā)布會盈利的期望值是E1召開新聞發(fā)布會盈利的期望值是E240(10.9)(10050)0.720.9(1故開發(fā)商應該召開新聞發(fā)布會,且盈利的最大期望是40(10.9)(7550)0.9185(萬元);0.8)(6050)100.924.8(萬元)24.8萬元.B組1.某產(chǎn)品的廢品率為0.05,從中取出10個產(chǎn)品,其中的次品數(shù)X的方差是A、0.5B、0.475C、0.05D、2.5答案：Bo解析：XB(10,0.05),V(X)100.050.950.475.2.假設正態(tài)分布密度函數(shù)f(x)12-e2.(xR)

17、,以下判斷正確的選項是A.有最大值,也有最小值C.有最大值,但沒最大值答案：BoB.有最大值,但沒最小值D.無最大值和最小值3.在一次英語測試中,測試的成績服從正態(tài)分布(100,36),那么測試成績在區(qū)間88,112內(nèi)的概率是)A. 0.6826答案:Co解析:P(88XB. 0.3174C.0.由X-N(100,._.88100_112)P(4.袋中有4個黑球,63個白球,9544D.36),1121006)0.P(9974Z2)2P(Z2)10.9544.分,假設取到一個紅球那么得2分,用2個紅球,從中任取X表示得分數(shù),那么E2個球,每取到一個黑球得0分,每取到一個白球得1(X)=；V(X

18、)=E(X)=0X+1X+2X+3X+4X=63366363636142V(X)=0X1+12x6+22x11十336142165注：要求次品數(shù)的數(shù)學期望與方差,應先列出次品數(shù)5.假設隨機變量X的概率分布密度函數(shù)是答案：-5.解析:2,2,E(2X1)2E(X)36162的分布列.x222.2e8,(xR),那么E(2X1)=12(2)6.一本書有500頁,共有100個錯字,隨機分布在任意一頁上,1解：XB(100,),E(X)1005000.2,V(X)100-50050015.求一頁上錯字個數(shù)1(1)0.1996500X的均值、標準差.,14165答案：一；o解析：由題意知,X可取值是0,1,2,3,4.易得其概率分布如下:9162X01234P1111116336636X的標準差«(X)0.04468.7.某公司咨詢熱線 共有10路外