一元二次方程根與系數(shù)的關系復習課

1、 一元二次方程根與系數(shù)的關系一元二次方程根與系數(shù)的關系acxxabxxxxacbxax2121212,)0(0則的兩根為若方程qxxpxxxxqpxx2121212,0則：，的兩根為若方程推論1推論20,2121221xxxxxxxx）（方程是為根的一元二次以兩個數(shù)說出下列各方程的說出下列各方程的兩根之和兩根之和與與兩根之積兩根之積：(1) x2 - 2x - 1=0(3) 2x2 - 6x =0(4) 3x2 = 4(2) 2x2 - 3x + =021x1+x2=2x1x2=-1x1+x2=x1+x2=3x1+x2=0 x1x2=x1x2=0 x1x2= -234134在使用在使用韋達定理

2、韋達定理時，應注意：時，應注意： 、不是一般式的要先化成一般式；、不是一般式的要先化成一般式； 、在使用、在使用X1+X2= 時，注意時，注意“ ”不要漏寫不要漏寫。（3） 前提是方程有實數(shù)根即前提是方程有實數(shù)根即0幾種常見的求代數(shù)式的值幾種常見的求代數(shù)式的值21113xx、2121xxxx ) 2)(2.(621xx4)(22121xxxx1221. 5xxxx212221xxxx 21212212)(xxxxxx21. 7xx221)(xx 212214)(xxxx22211xx、2212212xxxx、221)(4xx 、引申引申:1、若、若ax2 bx c 0 (a 0 0)（1）若兩

3、根互為相反數(shù)）若兩根互為相反數(shù), （2）若兩根互為倒數(shù)）若兩根互為倒數(shù), （3）若一根為）若一根為0, （4）若一根為）若一根為1, （5）若一根為）若一根為 1, （6）若）若a、c異號異號, 補充規(guī)律：則b0;則ac;則c0 ;則abc0 ;則abc0;方程一定有兩個實數(shù)根.例1、已知方程x2-(k+1)x+3k=0的一個根是2 , 求它的另一個根及k的值。解法一：設方程的另一個根為x1.由韋達定理，得x1 2= k+1x1 2= 3k解這方程組，得x1 =3 k =2答：方程的另一個根是3 , k的值是2。作用作用1 1：已知方程一根，求另一根及未知數(shù)。：已知方程一根，求另一根及未知數(shù)。

4、例1、已知方程x2-(k+1)x+3k=0的一個根是2 , 求它的另一個根及k的值。解法二：設方程的另一個根為x1.把x=2代入方程，得 4-2(k+1)+3k=0解這方程，得 k= - 2由韋達定理，得x123k即2 x1 6 x1 3答：方程的另一個根是3 , k的值是2。作用作用1 1：已知方程一根，求另一根及未知數(shù)。：已知方程一根，求另一根及未知數(shù)。解：設方程的兩根分別為 和 ， 則： 而方程的兩根互為倒數(shù) 即 所以： 得： 例例2.方程方程 的兩根互為倒的兩根互為倒數(shù)，求數(shù)，求k的值。的值。01232kkxx1x2x1221kxx121 xx112k1k例3.方程3x2+x+k=0的

5、兩根之積為-3,求k的值。解：設方程的兩根分別為x1和x2， 則：x1x2= 3-3=k k=-9例1.已知兩個數(shù)的和是1，積是-2，求這兩 個數(shù)。 解法一:設兩數(shù)分別為x,y則:1 yx2 yx解得:x=2y=1或 1y=2解法二:設兩數(shù)分別為一個一元二次方程的兩根則:022aa求得1, 221aa這兩個數(shù)為2和-作用作用2：已知：已知兩個數(shù)的和與積，求兩數(shù)兩個數(shù)的和與積，求兩數(shù)例例2.2.已知兩數(shù)之和為已知兩數(shù)之和為1414，乘積為，乘積為- -5151，求這兩數(shù)，求這兩數(shù). .設這兩數(shù)為設這兩數(shù)為 m, n， 解：解：1451mnmn 則m, n可以看作是方程可以看作是方程 x2- -1

6、4x- -51=0的兩個根的兩個根173mn 317mn 或這兩數(shù)為這兩數(shù)為17，- -3作用作用2：已知：已知兩個數(shù)的和與積，求兩數(shù)兩個數(shù)的和與積，求兩數(shù)作用作用3 3：求代數(shù)式的值：求代數(shù)式的值例1、已知2x2-x-2=0的兩根是x1 , x2 。求下列代數(shù)式的值。(1) x12+x22 （2） （3） （x1-x2)22111xx解：x1+x2= , x1 x2=-121x12+x22 (x1x2)2 -2x1x2491-2-)21(2=）（2）x1+x2= , x1 x2=-1212111xx+2121xxxx +=21-1-21=（3）x1+x2= , x1 x2=-121（x1-x

7、2)2=x12+x22-2x1x2=(x1+x2)2-4x1x24171-4-212=）（）（作用作用3 3：求代數(shù)式的值：求代數(shù)式的值(4) (x1+1)(x2+1) （5） x1-x2 （6）121xx +（4）x1+x2= , x1 x2=-121原式=x1x2+x1+x2+1=211211-=+（5）x1+x2= , x1 x2=-1=21-xx221)(xx 212214)(xxxx）（）1-4-21(2=217=21（6）x1+x2= , x1 x2=-12121211xxxx+=原式1211xxx+=011-1=+=x121-17xx）（2112)8(xxxx+（7）x1+x2=

8、 , x1 x2=-121(x1-x2)2=(x1+x2)2-4x1x24171-4-212=）（）（217-21=xx212112-1-1xxxxxx=2171-217=（8）x1+x2= , x1 x2=-1212121221212121222-)(xxxxxxxxxxxx+=+=原式49-1-1-2-)21(2=）（例2.已知方程的兩個實數(shù)根 是且 求k的值。 解：由根與系數(shù)的關系得 x1+x2=-k， x1x2=k+2 又 x12+ x2 2 = 4 即(x1+ x2)2 -2x1x2=4 K2 -2(k+2）=4 K2 -2k-8=0 解得：k=4 或k=-2022kkxx2, 1x

9、x42221 xx = = K K2 2-4k-8-4k-8當當k=4k=4時，時， =-8=-80 0k=4(k=4(舍去）舍去）當當k=-2k=-2時，時， =4=40 0 k=-2 k=-2 1.已知已知a、b是一元二次方程是一元二次方程x2+3x-7=0的的兩個實數(shù)根，求代數(shù)式兩個實數(shù)根，求代數(shù)式a2+4a+b的值的值 解：a、b是一元二次方程x2+3x-7=0的兩個實數(shù)根 a2+3a-7=0，a+b=-3， 則a2+4a+b=a2+3a+a+b=7-3=4作業(yè)：已知m、n是方程x2-3x+1=0的兩根，求2m2+4n2-6n+2014的值。2.已知x1、x2是方程x2+(m-2)x+

10、2=0的兩個實數(shù)根，求(2+mx1+x12)(2+mx2+x22)的值。解：x12+(m-2)x1+2=0 , x22+(m-2)x2+2=0 x12+2=2x1-mx1 , x22+2=2x2-mx2 又x1x2=2 原式=(2x1-mx1+mx1)(2x2-mx2+mx2) =2x12x2 =4x1x2 =42 =8作業(yè)：已知x1、x2是方程x2-2013x+1=0的兩個實數(shù)根，求(1-2015x1+x12)(1-2015x2+x22)的值。 3. 3.已知已知 m2 2+ +2m- -2009= =0，n2+2n- -2009=0（mn）求）求(m- -1)(n- -1).解解:由已知條

11、件得，由已知條件得， m, n是方程是方程 x2 2+ +2x- -2009= =0的兩個不相等的實數(shù)根，的兩個不相等的實數(shù)根，由韋達定理得：由韋達定理得： m+n=- -2, mn=- -2009(m- -1)(n- -1)= mn- - (m+n)+1= - - 2009- -(- -2)+1= - - 20064.已知3m2-2m-5=0 , 5n2+2n-3=0 .其中m,n為實數(shù)，求 的值 。nm1-解： 3m2-2m-5=0 與05-12-132=nn由于m, 的關系沒有給定，故應分兩種情況：n1當m= 時，n101-=nm當m 時，可知m, 是方程3x2-2x-5=0的兩個根，則

12、n1n1nm1-nmnm14-)1(2+=）（35-4-)32(2=38=3801-=nm綜合，得 或5.已知：已知：x1、x2是方程是方程x2-x+a=0的兩個實數(shù)根，的兩個實數(shù)根，且且 ，求，求a的值的值. 解：據(jù)題意得x1+x2=1；x1x2=a3a2+2a-1=0，即. . 1 1a a3 31 1a a 或或又=1-4a0， a4 41 1a=1/3舍去，a= -1.3112221=+xx3112221=+xx322212221=+xxxx3)(2-)(22121221=+xxxxxx32-12=aa*6.(孝感中考)已知關于 x 的一元二次方程 x2(2m1)xm20 有兩個實數(shù)根

13、 x1和 x2.(1)求實數(shù) m 的取值范圍；(2)當 x21x220 時，求 m 的值 7. 7. 已知方程已知方程x2 2+3+3x+1=0+1=0的兩個根為的兩個根為 求求 的值。的值。, , 解解：234 1 150,. 由韋達定理得：2（）31 ，22223)2 121 (92222（）0,3 ， 同為負數(shù) 8.已知關于已知關于 x 的方程的方程 x2 2+2+2（m-2m-2）x+m+m2 2+4=0+4=0 有兩個實數(shù)根有兩個實數(shù)根，并且這，并且這兩個根的平方和兩個根的平方和比比兩根的積大兩根的積大2121。求。求m m的值。的值。 解解=4(m-2)2-4(m2+4) =-16

14、m0 m0 設方程兩個根為設方程兩個根為x1、x2，則由題意：，則由題意： x1+x2 = -2(m-2) , x1x2 = m+4 x12+x22 - x1x2=21 (x1+x2)2 - 3x1x2 = 21 4(m-2)2 - 3(m2+4) = 21 m2 - 16m - 17 = 0 m1 = -1 ，m2=17（不符合（不符合m0，舍去舍去） m = -1 9.當當m為何值時，為何值時，2x2- -3mx+ +2m+ +3=0的一個根的一個根是另一個根的兩倍是另一個根的兩倍.解：設兩根分別為解：設兩根分別為,2 ,則由韋達定理得：則由韋達定理得：3222322mm2 得得23322

15、322mm即29922 (23)mm即2230,mm整理得：(3)1)0mm即(31mm 或298(23)mm 代入得，0 31mm 或10.已知一元二次方程2x2-mx-2m+1=0的兩根的平方和是 ，求的m值 。429解：設方程兩根為x1,x2. 則212-,22121+=+mxxmxx4292221=+xx4292-)(21221=+xxxx429212-2-)2(2=+mm解得：m1=-11, m2=3當m=-11時，方程為2x2+11x+23=0, =112-42230,方程無實數(shù)根，m=-11不合題意，舍去當m=3時，方程為2x23x5=0, =(-3)2-42(-5) 0,方程有

16、兩個不相等的實數(shù)根.m的值為311已知x1，x2是關于x的一元二次方程kx2+4x-3=0的兩個不相等的實數(shù)根。求k的取值范圍；是否存在這樣的實數(shù)k，使 成立？若存在，求k的值；若不存在，請說明理由23222121xxxx解：42-4k(-3) 0且k0 k 且k034假設存在. kxxkxx3,42121, 2322121xxxx又28kk舍去）不符合解得：,34(2, 421kkk存在滿足條件的k值，且k=41.已知關于x的一元二次方程(k-1)x2+(2k+2)x+k=0有兩個不相等的實數(shù)根。 求實數(shù)k的取值范圍；是否存在實數(shù)k，使方程的兩個實數(shù)根的倒數(shù)和等于？若存在，求出k的值；若不存

17、在，請說明理由。解：（2k+2)2-4k(k-1) 0且k-10 k 且k131假設存在假設存在,設方程的兩根為設方程的兩根為x1，x2 1-,1-22-2121kkxxkkxx=+=+11121=+xx2121xxxx=+1-1-22-kkkk=+，舍去）（不符合31-32-=kk不存在滿足條件的不存在滿足條件的k13.是否存在實數(shù)m，使關于x的一元二次方程x2-2(m-2)x+m2=0的兩實數(shù)根的平方和為56，若存在，求出m的值；若不存在，請說明理由。解：假設存在解：假設存在,設方程的兩根為設方程的兩根為x1，x2 x1+x2=2(m-2)=2m-4 , x1x2=m2又又x12+x22=

18、56 , (x1+x2)2-2x1x2=56(2m-4)2-2m2=56 即即m2-8m-20=0解得：解得：m1=10 ,m2=-2當當m=10時，方程為時，方程為x2-16x+100=0, =(-16)2-41000，方程無實數(shù)根，方程無實數(shù)根， m=10不合題意，舍去不合題意，舍去當當m=-2時，方程為時，方程為x2+8x+4=0 , =82-440,方程無方程無實數(shù)根，實數(shù)根， m=-2不合題意，舍去不合題意，舍去不存在滿足條件的不存在滿足條件的m例例1.1.求求作一個一元二次方程，使它的兩根分別是方程作一個一元二次方程，使它的兩根分別是方程 x2 2- -6 6x+2=0+2=0的兩

19、根平方的倒數(shù)的兩根平方的倒數(shù). .解：設方程解：設方程x2 2- -6 6x+2=0+2=0的兩根為的兩根為m, , n,設所求方程的兩根為設所求方程的兩根為x1 1, , x2122212221111xxmnx xmn，6,2mnmn22222211mnmnm n而222()2mnmnm n8221114mn21804xx所求方程為243210 xx 即作用作用4 4：求：求作一個一元二次方程作一個一元二次方程 2.甲、乙兩同學解方程甲、乙兩同學解方程x2+px+q=0，甲看錯了一，甲看錯了一次項系數(shù)次項系數(shù)p，解得根為，解得根為4和和-9；乙看錯了常數(shù)項；乙看錯了常數(shù)項q，解得根為解得根為2和和3；求原方程；求原方程。 解：解：甲看錯了一次項系數(shù)，解得根為甲看錯了一次項系數(shù)，解得根為4和和-9，得，得q=4(-9)=-36， 乙看錯了常數(shù)項，解得根為乙看錯了常數(shù)項，解得根為2和和3，得，得p=-（2+3）=-5 則則原原方程方程為為：x2-5x-36=0，例例1 1：已知方程已知方程 x2- -2(k-1)x+k2- -2=0解：解：（1 1）設方程的兩個根為）設方程的兩個根為x1 1, ,x2 2，22122124(1)4(2)02(1)020kkxxkx xk 12801(2)(2)0kkkk32122