隨機(jī)試驗(yàn) 樣本空間 隨機(jī)事件

1、概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)（2008 2009 學(xué)年第學(xué)年第 一一 學(xué)期）學(xué)期）課程名稱：概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)課程名稱：概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)年年 級：級：2007教教 研研 室：公共數(shù)學(xué)教研室室：公共數(shù)學(xué)教研室任課教師：任課教師：西南科技大學(xué)理學(xué)院西南科技大學(xué)理學(xué)院 在我們所生活的世界上，在我們所生活的世界上， 充滿了不確定性充滿了不確定性 從扔硬幣、擲骰子和玩撲克等簡單的從扔硬幣、擲骰子和玩撲克等簡單的機(jī)會游戲，到過馬路時是否遇到綠燈等復(fù)機(jī)會游戲，到過馬路時是否遇到綠燈等復(fù)雜的社會現(xiàn)象；從新生兒的性別，到世間雜的社會現(xiàn)象；從新生兒的性別，到世間萬物的繁衍生息；萬物的繁衍生息；，我們無時無刻不，

2、我們無時無刻不面臨著不確定性和隨機(jī)性面臨著不確定性和隨機(jī)性. 將將不定性數(shù)量化不定性數(shù)量化，來嘗試回答這些，來嘗試回答這些問題，是直到問題，是直到2020世紀(jì)初葉才開始的世紀(jì)初葉才開始的. . 還還不能說這個努力已經(jīng)十分成功了，但就不能說這個努力已經(jīng)十分成功了，但就是那些已得到的成果，已經(jīng)給人類活動是那些已得到的成果，已經(jīng)給人類活動的一切領(lǐng)域帶來了一場革命的一切領(lǐng)域帶來了一場革命. . 這場革命為研究新的設(shè)想，發(fā)展自這場革命為研究新的設(shè)想，發(fā)展自然科學(xué)知識，繁榮人類生活，開拓了道然科學(xué)知識，繁榮人類生活，開拓了道路路. . 而且也改變了我們的思維方法，使而且也改變了我們的思維方法，使我們能大膽

3、探索自然的奧秘我們能大膽探索自然的奧秘. . 下面我們就來開始一門下面我們就來開始一門“將不定將不定性數(shù)量化性數(shù)量化”的的課程的學(xué)習(xí)，這就是課程的學(xué)習(xí)，這就是第一章第一章 概率論的基本概念概率論的基本概念 第一節(jié)第一節(jié) 隨機(jī)試驗(yàn)隨機(jī)試驗(yàn) 第二節(jié)第二節(jié) 樣本空間樣本空間 隨機(jī)事件隨機(jī)事件 教學(xué)重點(diǎn)教學(xué)重點(diǎn) 事件的運(yùn)算關(guān)系事件的運(yùn)算關(guān)系 教學(xué)內(nèi)容教學(xué)內(nèi)容 一一 隨機(jī)試驗(yàn)隨機(jī)試驗(yàn) 1 現(xiàn)象現(xiàn)象 (1) 確定性想象確定性想象(必然現(xiàn)象必然現(xiàn)象) 是指在一定的是指在一定的條件下條件下,必然會出現(xiàn)某種確定的結(jié)果必然會出現(xiàn)某種確定的結(jié)果. (2) 隨機(jī)現(xiàn)象隨機(jī)現(xiàn)象(偶然現(xiàn)象偶然現(xiàn)象)是在個別試驗(yàn)中是在個別試

4、驗(yàn)中其結(jié)果呈現(xiàn)不確定性其結(jié)果呈現(xiàn)不確定性,在大量重復(fù)試驗(yàn)中在大量重復(fù)試驗(yàn)中其結(jié)果又具有統(tǒng)計(jì)規(guī)律的現(xiàn)象其結(jié)果又具有統(tǒng)計(jì)規(guī)律的現(xiàn)象. 從觀察試驗(yàn)開始從觀察試驗(yàn)開始 研究隨機(jī)現(xiàn)象研究隨機(jī)現(xiàn)象,首先要對研究對象進(jìn)行首先要對研究對象進(jìn)行觀察試驗(yàn)觀察試驗(yàn). 這里的這里的試驗(yàn)試驗(yàn)是一個含義廣泛的術(shù)是一個含義廣泛的術(shù)語語.它包括各種各樣的科學(xué)試驗(yàn)它包括各種各樣的科學(xué)試驗(yàn),甚至對某一甚至對某一事物的某一特征的觀察也認(rèn)為是一種試驗(yàn)事物的某一特征的觀察也認(rèn)為是一種試驗(yàn). . , : 出現(xiàn)的情況出現(xiàn)的情況和反面和反面觀察正面觀察正面拋一枚硬幣拋一枚硬幣THE1 : 的情況的情況. .和反面和反面觀察正面觀察正面將一枚

5、硬幣拋擲三次將一枚硬幣拋擲三次, ,THE2出現(xiàn)出現(xiàn) . , : 3觀察出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù)觀察出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù)拋一顆骰子拋一顆骰子E . : 4內(nèi)內(nèi)接接到到的的呼呼喚喚次次數(shù)數(shù)記記錄錄電電話話交交換換臺臺一一分分鐘鐘E . : 6溫溫度度和和最最低低溫溫度度記記錄錄某某地地一一晝晝夜夜的的最最高高E : 觀察正面觀察正面將一枚硬幣拋擲三次將一枚硬幣拋擲三次, ,HE7出現(xiàn)的次數(shù)出現(xiàn)的次數(shù). .5 : E在一批燈泡中任意抽取一支在一批燈泡中任意抽取一支,測試它的壽命測試它的壽命.上述試驗(yàn)具有下列共同的特點(diǎn)上述試驗(yàn)具有下列共同的特點(diǎn):(1) 試驗(yàn)可以在相同的條件下重復(fù)進(jìn)行試驗(yàn)可以在相同的條件下重復(fù)進(jìn)行; (2)

6、 每次試驗(yàn)的可能結(jié)果不止一個每次試驗(yàn)的可能結(jié)果不止一個, 并且能事并且能事先明確試驗(yàn)的所有可能的結(jié)果先明確試驗(yàn)的所有可能的結(jié)果; (3) 進(jìn)行一次試驗(yàn)之前不能確定哪一個結(jié)果會出現(xiàn)進(jìn)行一次試驗(yàn)之前不能確定哪一個結(jié)果會出現(xiàn). 在概率論中將具有上述特點(diǎn)的試驗(yàn)稱為在概率論中將具有上述特點(diǎn)的試驗(yàn)稱為.E簡單地說簡單地說,隨機(jī)試驗(yàn)是對隨機(jī)現(xiàn)象的觀察隨機(jī)試驗(yàn)是對隨機(jī)現(xiàn)象的觀察.注注:(1)說明了試驗(yàn)的可觀測性。說明了試驗(yàn)的可觀測性。 (2)(3)說明了試驗(yàn)結(jié)果的說明了試驗(yàn)結(jié)果的不確定性不確定性,即隨機(jī)性即隨機(jī)性,這是有別這是有別于確定性試驗(yàn)的本質(zhì)特征于確定性試驗(yàn)的本質(zhì)特征.因此因此,概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)是對概率

7、論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)是對隨機(jī)現(xiàn)象的統(tǒng)計(jì)規(guī)律進(jìn)行演繹和歸納的科學(xué)隨機(jī)現(xiàn)象的統(tǒng)計(jì)規(guī)律進(jìn)行演繹和歸納的科學(xué),是是從數(shù)量上從數(shù)量上研究隨機(jī)現(xiàn)象的客觀規(guī)律的一門數(shù)學(xué)學(xué)科研究隨機(jī)現(xiàn)象的客觀規(guī)律的一門數(shù)學(xué)學(xué)科. . : 6溫度和最低溫度溫度和最低溫度記錄某地一晝夜的最高記錄某地一晝夜的最高E試驗(yàn)是在一定條件下進(jìn)行的試驗(yàn)是在一定條件下進(jìn)行的 壽命試驗(yàn)壽命試驗(yàn) 測試在同一工藝條件下生產(chǎn)測試在同一工藝條件下生產(chǎn)出的燈泡的壽命出的燈泡的壽命. : 的情況的情況. .和反面和反面觀察正面觀察正面將一枚硬幣拋擲三次將一枚硬幣拋擲三次, ,THE2出現(xiàn)出現(xiàn) : 觀察正面觀察正面將一枚硬幣拋擲三次將一枚硬幣拋擲三次, ,HE7出現(xiàn)

8、的次數(shù)出現(xiàn)的次數(shù). .試驗(yàn)有一個需要觀察的目的試驗(yàn)有一個需要觀察的目的,目的不同試驗(yàn)的目的不同試驗(yàn)的結(jié)果也不同結(jié)果也不同我們注意到我們注意到根據(jù)這個目的根據(jù)這個目的, 試驗(yàn)被觀察到多個不同的結(jié)果試驗(yàn)被觀察到多個不同的結(jié)果. 試驗(yàn)的全部可能結(jié)果試驗(yàn)的全部可能結(jié)果,是在試驗(yàn)前就明確的是在試驗(yàn)前就明確的;或者雖不能確切知道試驗(yàn)的全部可能結(jié)果或者雖不能確切知道試驗(yàn)的全部可能結(jié)果,但可但可知道它不超過某個范圍知道它不超過某個范圍. 試驗(yàn)是在一定條件下進(jìn)行的試驗(yàn)是在一定條件下進(jìn)行的試驗(yàn)有一個需要觀察的目的試驗(yàn)有一個需要觀察的目的 的的集集合合的的所所有有可可能能結(jié)結(jié)果果所所組組成成一一個個隨隨機(jī)機(jī)試試驗(yàn)驗(yàn)

9、 E 的的稱為隨機(jī)試驗(yàn)稱為隨機(jī)試驗(yàn) E 記為記為 . S , , 稱為稱為的每個結(jié)果的每個結(jié)果即即樣本空間中的元素樣本空間中的元素E . 樣本點(diǎn)樣本點(diǎn) , 樣本空間樣本空間樣本點(diǎn)樣本點(diǎn)e. S樣本空間樣本空間=一個隨機(jī)試驗(yàn)的所有可能的結(jié)果一個隨機(jī)試驗(yàn)的所有可能的結(jié)果,注意注意:樣本空間是隨隨機(jī)試驗(yàn)的目的而發(fā)生改變的樣本空間是隨隨機(jī)試驗(yàn)的目的而發(fā)生改變的. 即樣本空間的元素是由試驗(yàn)的目的所確定的即樣本空間的元素是由試驗(yàn)的目的所確定的 例如例如,試驗(yàn)是將一枚硬幣拋擲兩次試驗(yàn)是將一枚硬幣拋擲兩次,觀察正面觀察正面H、反面反面T出現(xiàn)的情況出現(xiàn)的情況: S=(H,H), (H,T), (T,H), (T

10、,T)第第1次次第第2次次HHTHHTTT(H,T)：(T,H):(T,T)：(H,H): 在每次試驗(yàn)中必有在每次試驗(yàn)中必有一個樣本點(diǎn)出現(xiàn)且僅一個樣本點(diǎn)出現(xiàn)且僅有一個樣本點(diǎn)出現(xiàn)有一個樣本點(diǎn)出現(xiàn) .則樣本空間則樣本空間如果試驗(yàn)是測試某燈泡的壽命：如果試驗(yàn)是測試某燈泡的壽命：則樣本點(diǎn)是一非負(fù)數(shù)，由于不能確知壽命的上界，則樣本點(diǎn)是一非負(fù)數(shù)，由于不能確知壽命的上界， 所以可以認(rèn)為任一非負(fù)實(shí)數(shù)都是一個可能結(jié)果，所以可以認(rèn)為任一非負(fù)實(shí)數(shù)都是一個可能結(jié)果，S = t ：t 0樣本空間樣本空間故故 若試驗(yàn)是將一枚硬幣拋擲兩次若試驗(yàn)是將一枚硬幣拋擲兩次,觀察正面出現(xiàn)觀察正面出現(xiàn)的次數(shù)：的次數(shù)： 則樣本空間則樣本

11、空間 0,1,2S 由以上兩個例子可見由以上兩個例子可見,樣本空間的元素是由試驗(yàn)樣本空間的元素是由試驗(yàn)的目的所確定的的目的所確定的. 調(diào)查城市居民（以戶為單位）煙、酒的年支調(diào)查城市居民（以戶為單位）煙、酒的年支出，結(jié)果可以用（出，結(jié)果可以用（x，y）表示，）表示，x，y分別是煙、分別是煙、酒年支出的元數(shù)酒年支出的元數(shù). 也可以按某種標(biāo)準(zhǔn)把支出分為高、中、低三也可以按某種標(biāo)準(zhǔn)把支出分為高、中、低三檔檔. 這時，樣本點(diǎn)有（高這時，樣本點(diǎn)有（高,高）高）,（高（高,中），中），(低低,低）等低）等9種，樣本空間就由這種，樣本空間就由這9個樣本點(diǎn)構(gòu)成個樣本點(diǎn)構(gòu)成 .這時，樣本空間由坐標(biāo)平面第一象限內(nèi)一

12、定區(qū)域這時，樣本空間由坐標(biāo)平面第一象限內(nèi)一定區(qū)域內(nèi)一切點(diǎn)構(gòu)成內(nèi)一切點(diǎn)構(gòu)成 . . 1本空間本空間寫出下列隨機(jī)試驗(yàn)的樣寫出下列隨機(jī)試驗(yàn)的樣例例 . , : 出現(xiàn)的情況出現(xiàn)的情況和反面和反面觀察正面觀察正面拋一枚硬幣拋一枚硬幣THE1 : 1S , TH : 2S 1,2,3 , 0 : 觀察正面觀察正面將一枚硬幣拋擲三次將一枚硬幣拋擲三次, ,HE7出現(xiàn)的次數(shù)出現(xiàn)的次數(shù). . . : 3內(nèi)接到的呼喚次數(shù)內(nèi)接到的呼喚次數(shù)記錄電話交換臺一分鐘記錄電話交換臺一分鐘E : 3S 3, 1,2, , 0 , 8 2其其中中個個大大小小完完全全相相同同的的球球一一個個袋袋中中裝裝在在例例 , 4 , 4 攪

13、勻后從中任取攪勻后從中任取個是紅色的個是紅色的個是白色的個是白色的有有 . , 間間求求此此隨隨機(jī)機(jī)試試驗(yàn)驗(yàn)的的樣樣本本空空一一球球 : S , 紅球紅球白球白球 請注意請注意： 實(shí)際中實(shí)際中,在進(jìn)行隨機(jī)試驗(yàn)時在進(jìn)行隨機(jī)試驗(yàn)時,我們往往我們往往會關(guān)心會關(guān)心滿足某種條件的那些樣本點(diǎn)所組成的集合滿足某種條件的那些樣本點(diǎn)所組成的集合. 例如在測試某燈泡的壽命這一試驗(yàn)中例如在測試某燈泡的壽命這一試驗(yàn)中,若規(guī)定若規(guī)定燈泡的壽命燈泡的壽命 (小時小時) 小于小于500為次品為次品, 那么我們關(guān)心那么我們關(guān)心燈泡的壽命燈泡的壽命 是否滿足是否滿足 .t500t 或者說或者說, 我們關(guān)心我們關(guān)心滿足這一條件的

14、樣本點(diǎn)組成的一個集合滿足這一條件的樣本點(diǎn)組成的一個集合 .500t t 這就是：這就是： . , , 等表示等表示常用常用隨機(jī)事件簡稱事件隨機(jī)事件簡稱事件CBA試驗(yàn)試驗(yàn) 的樣本空間的樣本空間 的子集稱為的子集稱為 的的隨機(jī)事件隨機(jī)事件.EES : 樣本空間為樣本空間為 . 654321,S 如在擲骰子試驗(yàn)中，觀察擲出的點(diǎn)數(shù)如在擲骰子試驗(yàn)中，觀察擲出的點(diǎn)數(shù) .事件事件 B=擲出奇數(shù)點(diǎn)擲出奇數(shù)點(diǎn)事件事件 A=擲出擲出1點(diǎn)點(diǎn) 1,3,5 . 5,6 1 . 事件事件 C 出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù)大于出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù)大于44 基本事件基本事件:(相對于觀察目的不可再分解的事件相對于觀察目的不可再分解的事件)事件事件 B=

15、擲出奇數(shù)點(diǎn)擲出奇數(shù)點(diǎn)如在擲骰子試驗(yàn)中，觀察擲出的點(diǎn)數(shù)如在擲骰子試驗(yàn)中，觀察擲出的點(diǎn)數(shù) . 事件事件 Ai =擲出擲出i點(diǎn)點(diǎn), i =1,2,3,4,5,6由一個樣本點(diǎn)組成的單點(diǎn)集由一個樣本點(diǎn)組成的單點(diǎn)集.基本事件基本事件 當(dāng)且僅當(dāng)集合當(dāng)且僅當(dāng)集合A中的一個樣本點(diǎn)出現(xiàn)時中的一個樣本點(diǎn)出現(xiàn)時,稱稱事件事件A發(fā)生發(fā)生.如在擲骰子試驗(yàn)中，觀察擲出的點(diǎn)數(shù)如在擲骰子試驗(yàn)中，觀察擲出的點(diǎn)數(shù) . : 樣本空間為樣本空間為 . 654321,S 事件事件 B=擲出奇數(shù)點(diǎn)擲出奇數(shù)點(diǎn) 1,3,5 B發(fā)生當(dāng)且僅當(dāng)發(fā)生當(dāng)且僅當(dāng)B中的樣本點(diǎn)中的樣本點(diǎn)1,3,5中的某一個中的某一個出現(xiàn)出現(xiàn).兩個特殊的事件：兩個特殊的事件：

16、必件事例如，在擲骰子試驗(yàn)中，例如，在擲骰子試驗(yàn)中，“擲出點(diǎn)數(shù)小于擲出點(diǎn)數(shù)小于7”是必是必然事件然事件;即在試驗(yàn)中必定發(fā)生的事件，常用即在試驗(yàn)中必定發(fā)生的事件，常用S表示表示; 不件可事能即在一次試驗(yàn)中不可能發(fā)生的事件，常用即在一次試驗(yàn)中不可能發(fā)生的事件，常用 表示表示 .而而“擲出點(diǎn)數(shù)擲出點(diǎn)數(shù)8”則是不可能事件則是不可能事件.然2, AACBASE、的樣本空間為的樣本空間為設(shè)試驗(yàn)設(shè)試驗(yàn)1 . 的事件的事件試驗(yàn)試驗(yàn) E1. : 包含關(guān)系 BA發(fā)發(fā)生生必必然然導(dǎo)導(dǎo)致致事事件件如如果果事事件件是事件是事件或稱事件或稱事件包含事件包含事件則稱事件則稱事件發(fā)生發(fā)生 ( , AAB , ) 記作記作的子事

17、件的子事件B . ABBA 或或 , 都有都有對于任何事件對于任何事件 A . SA 相等關(guān)系 , 與與則稱事件則稱事件且且若若AABBA , 記作記作或稱等價或稱等價相等相等事件事件 B . BA 2. : 和事件 的的至少有一個發(fā)生所構(gòu)成至少有一個發(fā)生所構(gòu)成、事件事件BA . 記作記作的和的和與事件與事件事件叫做事件事件叫做事件BA . BA , 稱事件稱事件類似地類似地 2中至少有一個發(fā)中至少有一個發(fā)、nAAA1 生的事件為事件生的事件為事件. 21的和事件的和事件、nAAA記之為記之為 ,21nAAA 簡記為簡記為. 1iniA 稱事件稱事件 2件為件為中至少有一個發(fā)生的事中至少有一個

18、發(fā)生的事、AA1. 2的和事件的和事件、事件事件AA1 記之為記之為 ,21 AA 簡記為簡記為. 1iiA 3. : 積事件 同同時時發(fā)發(fā)生生所所構(gòu)構(gòu)成成的的事事件件、事事件件BA . 記作記作的積事件的積事件與事件與事件叫做事件叫做事件BA. ABBA或或 , 稱事件稱事件類似地類似地 21同同時時發(fā)發(fā)生生所所構(gòu)構(gòu)成成的的、nAAA 的事件為事件的事件為事件. 21的積事件的積事件、nAAA記之為記之為 ,21nAAA 簡記為簡記為. 1iniA 稱事件稱事件 21件為事件為事、同時發(fā)生所構(gòu)成的事、同時發(fā)生所構(gòu)成的事、AA. 21的積事件的積事件、件件AA 記之為記之為 ,21 AA 簡記

19、為簡記為. 1iiA 例如例如 ,5 , 3 , 2 , 1, 4 , 2 CB CB 則則 性質(zhì)性質(zhì) ; , 1BABBAA ; , 2BBABABAA CB 則則; , BBAABA ; , 3AAAAAA ., , 4BBAAABAB 則則若若 , 5 , 4 , 3 , 2 , 1 . 24. : 互斥事件 , 即即不能同時發(fā)生不能同時發(fā)生、若事件若事件BA . 相容事件相容事件. , BABA 記為記為可將可將當(dāng)兩事件互不相容時當(dāng)兩事件互不相容時 在一次試驗(yàn)在一次試驗(yàn)與事件與事件若事件若事件BA5. : 對立事件 ,滿足條件滿足條件、即即發(fā)生發(fā)生中必有且只有其中之一中必有且只有其中之

20、一BA ABSAB 且且 , 、或稱事件或稱事件為互逆事件為互逆事件與事件與事件則稱事件則稱事件BABA . 的對立事件記為的對立事件記為事件事件互為對立事件互為對立事件A . A . 容的容的基本事件是兩兩互不相基本事件是兩兩互不相 , ABAB 事事件件與與事事件件互互斥斥事事件件或或互互不不則稱則稱為為 : 對立事件與互斥事件的關(guān)系 . , 但互斥不一定對立但互斥不一定對立對立一定互斥對立一定互斥 兩事件兩事件A、B互斥：互斥：兩事件兩事件A、B互逆或互為對立事件互逆或互為對立事件即即A與與B不可能同時發(fā)生不可能同時發(fā)生.AB 除要求除要求A、B互斥互斥( )外，還要求外，還要求 AB

21、ABS6. : 差事件 不發(fā)生所構(gòu)不發(fā)生所構(gòu)發(fā)生而事件發(fā)生而事件稱事件稱事件BA , 記作記作的差事件的差事件與事件與事件成的事件為事件成的事件為事件BA . BA ABABABA 系及運(yùn)算可以用下列系及運(yùn)算可以用下列以上事件之間的各種關(guān)以上事件之間的各種關(guān) . 各種圖示來直觀地表示各種圖示來直觀地表示BA BABABAB互斥互斥、 BAA 對立事件對立事件BABA ABABAAABABAB ; , : 1BAABABBA 交換律交換律 , : 2CBACBA 結(jié)合律結(jié)合律 ; BCACAB , : 3BCACCBA 分配律分配律 ; CBCACAB 事件的運(yùn)算滿足的規(guī)律事件的運(yùn)算滿足的規(guī)律

22、: 4對偶律對偶律摩根律摩根律德德 , , BAABBABA , 1111iniiniiniiniAAAA , 1111iiiiiiiiAAAA 5AA BABA 6 . ABA 即差積轉(zhuǎn)換即差積轉(zhuǎn)換 例題1 設(shè)一個工人生產(chǎn)了設(shè)一個工人生產(chǎn)了3個零件個零件.若記若記:iA 第i個零件是正品.(i=1,2,3)試表示下列事件試表示下列事件 1) 沒有一個零件是次品沒有一個零件是次品 2) 只有第一個零件是次品只有第一個零件是次品 3) 恰有一個零件是次品恰有一個零件是次品 4) 至少有一個零件是次品至少有一個零件是次品 5) 沒有一件是正品沒有一件是正品 6) 至少有一件是正品至少有一件是正品 3檢驗(yàn)?zāi)撤N圓柱形產(chǎn)品檢驗(yàn)?zāi)撤N圓柱形產(chǎn)品按長度和直徑兩個指標(biāo)按長度和直徑兩個指標(biāo)例例 , , . 直徑合格直徑合格長度合格長度合格若設(shè)若設(shè)是否為合格品是否為合格品 BA , 產(chǎn)品為合格品產(chǎn)品為合格品的運(yùn)算表示事件的運(yùn)算表示事件、試用試用 CBA . 產(chǎn)產(chǎn)品品為為不不合合格格品品 D 解解 度和直徑兩個指標(biāo)度和直徑兩個指標(biāo)產(chǎn)品為合格品必須是長產(chǎn)品為合格品必須是長 , 因此因此合格合格ABC 度和直徑兩個指標(biāo)度和直徑兩個指標(biāo)產(chǎn)品為不合格品是指長產(chǎn)品為不合格品是指長 , 因此因此格格中至少有一個指