抽屜原理習習題精選

1、抽屜原理習題精選（含答案）1木箱里裝有紅色球3個、黃色球5個、藍色球7個，若蒙眼去摸，為保證取出的球中有兩個球的顏色相同，則最少要取出多少個球2一幅撲克牌有54張，最少要抽取幾張牌，方能保證其中至少有3張牌有相同的點數(shù)3有11名學生到老師家借書，老師的書房中有、四類書，每名學生最多可借兩本不同類的書，最少借一本。試證明：必有兩個學生所借的書的類型相同4有50名運動員進行某個項目的單循環(huán)賽，如果沒有平局，也沒有全勝。試證明：一定有兩個運動員積分相同。5體育用品倉庫里有許多足球、排球和籃球，某班50名同學來倉庫拿球，規(guī)定每個人至少拿1個球，至多拿2個球，問至少有幾名同學所拿的球種類是一致的6某校有

2、55個同學參加數(shù)學競賽，已知將參賽人任意分成四組，則必有一組的女生多于2人，又知參賽者中任何10人中必有男生，則參賽男生的人數(shù)為多少人7有黑色、白色、藍色手套各5只（不分左右手），至少要拿出多少只（拿的時候不許看顏色），才能使拿出的手套中一定有兩雙是同顏色的。8一些蘋果和梨混放在一個筐里，小明把這筐水果分成了若干堆，后來發(fā)現(xiàn)無論怎么分，總能從這若干堆里找到兩堆，把這兩堆水果合并在一起后，蘋果和梨的個數(shù)是偶數(shù)，那么小明至少把這些水果分成了多少堆9從1，3，5，99中，至少選出多少個數(shù)，其中必有兩個數(shù)的和是100。10某旅游車上有47名乘客，每位乘客都只帶有一種水果。如果乘客中有人帶梨，并且其中任

3、何兩位乘客中至少有一個人帶蘋果，那么乘客中有多少人帶蘋果。11某個年級有202人參加考試，滿分為100分，且得分都為整數(shù)，總得分為10101分，則至少有多少人得分相同122006名營員去游覽長城，頤和園，天壇。規(guī)定每人最少去一處，最多去兩處游覽，至少有幾個人游覽的地方完全相同13某校派出學生204人上山植樹15301株，其中最少一人植樹50株，最多一人植樹100株，則至少有多少人植樹的株數(shù)相同答案：1將紅、黃、藍三種顏色看作三個抽屜，為保證取出的球中有兩個球的顏色相同，則最少要取出4個球。3（2-1）+1=42將14種點數(shù)看作是14個抽屜，最少要抽取29張牌，方能保證其中至少有3張牌有相同的點

4、數(shù)。14（3-1）+1=29（撲克牌中的點數(shù)說明：A-K分別為113點，大小王點數(shù)相同，共14種點數(shù)。）3證明：A、B、C、D四類書，根據(jù)題目條件，這些學生借書的組合可能有十種，分別是：A、B、C、D、AB、AC、AD、BC、BD、CD因為有11名學生到老師家借書，而只有10種借書情況，將這十種借書情況看作是十個抽屜，因此必有兩個學生所借的書的類型相同。1110=1.11+1=24證明，所謂單循環(huán)賽即每個運動員都與其它運動員進行一場比賽。即每個人要參加49場比賽，這樣如果假設沒有運動員積分相同，因為沒有全勝，則運動員的積分就有48勝、47勝2勝、1勝、0勝共49個積分情況，而50名運動員需要有

5、50個不同的積分結果，這里“49個積分情況”與“需要50個積分結果”出現(xiàn)了矛盾，所以假設“沒有運動員積分相同”是錯誤的，因此一定有兩個運動員積分相同。5方法同第3題，拿球的種類組合可以有以下六種：足球、排球、籃球、足排、足籃、排籃，這六種組合看作六個抽屜，至少有9名同學所拿的球種類是一致的。506=8.28+1=96則參賽男生46人。7至少要拿出10只才能使拿出的手套中一定有兩雙是同顏色的。8至少把這些水果分成了5堆。分四種情況：9至少選出51個數(shù)，其中必有兩個數(shù)的和是100。1046乘客帶蘋果。11提示：分值從0100，共101種可能的分值，10101（012100）21，則至少有3人得分相

6、同。12至少有335個人游覽的地方完全相同。13則至少有5人植樹的株數(shù)相同。第四講：最不利原則一、最不利原則在日常生活和生產(chǎn)中，我們常常會遇到求最大值或最小值的問題，解答這類問題，常常需要從最不利的情況出發(fā)分析問題，這就是最不利原則。例1口袋里有同樣大小和同樣質地的紅、黃、藍三種顏色的小球各20個。問：一次最少摸出幾個球，才能保證至少有4個小球顏色相同分析與解：如果碰巧一次取出的4個小球的顏色都相同，就回答是“4”，那么顯然不對，因為摸出的4個小球的顏色也可能不相同。回答是“4”是從最“有利”的情況考慮的，但為了“保證至少有4個小球顏色相同”，就要從最“不利”的情況考慮。如果最不利的情況都滿足

7、題目要求，那么其它情況必然也能滿足題目要求?！白畈焕钡那闆r是什么呢那就是我們摸出（）個紅球、（）個黃球和（）個藍球，此時三種顏色的球都是（）個，卻無4個球同色。這樣摸出的9個球是“最不利”的情形。這時再摸出一個球，無論是紅、黃或藍色，都能保證有4個小球顏色相同。所以回答應是最少摸出（）個球。通過上面分析，列式為：例2一把鑰匙只能開一把鎖，現(xiàn)有10把鑰匙和10把鎖，最少要試驗多少次就一定能使全部的鑰匙和鎖相匹配分析與解：從最不利的情形考慮。用10把鑰匙依次去試第一把鎖，最不利的情況是試驗了9次，前8次都沒打開，第9次無論打開或沒打開，都能確定與這把鎖相匹配的鑰匙（若沒打開，則第10把鑰匙與這把

8、鎖相匹配）。同理，第二把鎖試驗8次第九把鎖只需試驗1次，第十把鎖不用再試（為什么）。通過上面分析，列式為：例3在一副撲克牌中，最少要取出多少張，才能保證取出的牌中四種花色都有分析與解：一副撲克牌有大、小王牌各1張，“紅桃”、“黑桃”、“方塊”、“梅花”四種花色各13張，共計有54張牌。最不利的情形是：取出四種花色中的三種花色的牌各13張，再加上2張王牌。這41張牌中沒有四種花色。剩下的正好是另一種花色的13張牌，再抽1張，四種花色都有了。因此最少要拿出42張牌，才能保證四種花色都有。熱身操1.口袋里有同樣大小和同樣質地的紅、黃、藍三種顏色的小球各20個。問：一次最少摸出幾個，才能保證至少有5個

9、小球顏色相同2.口袋里有同樣大小和同樣質地的紅、黃、藍三種顏色的小球共20個，其中紅球4個、黃球6個、藍球10個。問：一次最少取出幾個，才能保證至少有6個小球顏色相同3.口袋里有三種顏色的筷子各10根。問：（1）至少取幾根才能保證三種顏色的筷子都取到（2）至少取幾根才能保證有顏色不同的兩雙筷子（3）至少取幾根才能保證有顏色相同的兩雙筷子4.一個布袋里有紅色、黃色、黑色襪子各20只。問：最少要拿多少只襪子才能保證其中至少有2雙顏色不相同的襪子第六講：抽屜原理抽屜原理抽屜原理又叫狄里克雷原理，是指：把n+1個元素，任意放入n個抽屜，則其中必有一個抽屜里至少有2個元素. 抽屜原理有時也被稱為鴿巢原理

10、（“如果有五個鴿子籠，養(yǎng)鴿人養(yǎng)了6只鴿子，那么當鴿子飛回籠中后，至少有一個籠子中裝有2只鴿子”）。它是德國數(shù)學家狄利克雷首先明確的提出來并用以證明一些數(shù)論中的問題，因此，也稱為狄利克雷原理。它是組合數(shù)學中一個重要的原理。原理1 把多于n個的物體放到n個抽屜里，則至少有一個抽屜里有2個或2個以上的物體。原理2 把多于mn(m乘以n)個的物體放到n個抽屜里，則至少有一個抽屜里有m+1個或多于m+1個的物體。例1：把4枝筆放進3個筆筒里，不管怎么放，總有一個筆筒里至少放進2枝筆，這是為什么我們從最不利的原則去考慮：答：如果我們先讓每個筆筒里放（）枝筆，最多放（）枝。剩下的（）枝還要放進其中的一個筆筒

11、。所以不管怎么放，總有一個筆筒里至少放進（）枝筆。練習：7只鴿子飛回5個鴿舍，至少有2只鴿子要飛進同一個鴿舍里。為什么答：如果一個鴿舍里飛進一只鴿子，5個鴿舍最多飛進（）只鴿子，還剩下（）只鴿子。所以，無論怎么飛，至少有（）只鴿子要飛進同一個籠子里。例2：把5本書進2個抽屜中，不管怎么放，總有一個抽屜至少放進3本書。這是為什么例3：把7本書進2個抽屜中，不管怎么放，總有一個抽屜至少放進多少本書為什么例4：把9本書進2個抽屜中，不管怎么放，總有一個抽屜至少放進多少本書為什么做一做：8只鴿子飛回3個鴿舍，至少有（）只鴿子要飛進同一個鴿舍。為什么計算方法：至少數(shù)商數(shù)+1練習：1、某班32名小朋友是在

12、5月份出生的，能否找到兩個生日是在同一天的小朋友2、一只紙板箱里裝有許多型號相同但顏色不同的襪子，顏色有紅、黃、黑、白四種。不允許用眼睛看，那么至少要取出多少只襪子，才能保證有5雙同色的襪子3、禮堂里有253人開會，這253人中至少有多少人的屬相相同4、體育組有足球、籃球和排球，上體育課前，老師讓一班的41名同學往操場拿球，每人最多拿兩個。問：至少有幾名同學拿球的情況完全一樣5、口袋里放有足夠多的紅、白兩種顏色的球，有若干人輪流從袋中取球，每人取三個球。要保證有4人取出的球的顏色完全相同，至少應有多少人取球6、幼兒園小朋友分200塊餅干，無論怎樣分都有人至少分到8塊餅干，這群小朋友至多有多少名

13、7、圖書館有甲、乙、丙、丁四類圖書，規(guī)定每個同學最多可以借兩本不同類的圖書，至少有多少個同學借書，才能保證有兩個人所借的圖書類別相同8、要把85個球放入若干個盒子中，每個盒子中最多放7個。問：至少有幾個盒子中放球的數(shù)目相同9、把125本書分給五（2）班學生，如果其中至少有1人分到至少4本書，那么，這個班最多有多少人10、某班有個小書架，40個同學可以任意借閱，小書架上至少要有多少本書，才能保證至少有一個圖形能借到兩本或兩本以上的書HER新思路教育、有黑色、白色、黃色的筷子各8根，混雜放在一起，黑暗中想從這些筷子之中取出顏色不同的兩雙筷子，至少要取出多少根才能保證達到要求12、一副撲克牌（大王、

14、小王除外）有四種花色，每種花色有13張，從中任意抽牌，最少要抽幾張，才能保證有四張牌是同一張花色的13、在從1開始的10個奇數(shù)中任取6個，一定有兩個數(shù)的和是20。14、在任意的10人中，至少有兩個人，他們在這10個人中認識的人數(shù)相等15、一副撲克牌有54張，至少要抽取幾張牌，方能保證其中至少有2張牌有相同的點數(shù)16、某班有49個學生，最大的12歲，最小的9歲，是否一定有兩個學生，他們是同年同月出生的17、某校五年級學生共有380人，年齡最大的與年齡最小的相差不到1歲，我們不用去查看學生的出生日期，就可斷定在這380個學生中至少有兩個是同年同月同日出生的，你知道為什么嗎18、有紅色、白色、黑色的

15、筷子各10根混放在一起，讓你閉上眼睛去摸，（1）你至少要摸出幾根才敢保證有兩根筷子是同色的（2）至少拿幾根，才能保證有兩雙同色的筷子為什么19、任意4個自然數(shù)，其中至少有兩個數(shù)的差是3的倍數(shù)，這是為什么20、從任意3個整數(shù)中，一定可以找到兩個。使得它們的和是一個偶數(shù)，這是為什么21、從任意的5個整數(shù)中，一定可以找到3個數(shù)，使這3個數(shù)的和是3的倍數(shù)，這是為什么 HER新思路教育22、從1到50的自然數(shù)中，任取27個數(shù)，其中必有兩個數(shù)的和等于52，這是為什么23、在100米的路段上栽樹，至少要栽多少棵樹，才能保證至少有兩棵樹之間的距離小于10米（兩端各栽一棵）24、從110這10個數(shù)中，任取多少個

16、數(shù)，才能保證這些數(shù)中一定能找到兩個數(shù)，使其中的一個數(shù)是另一個數(shù)的倍數(shù)25、任意取多少自然數(shù)，才能保證至少有兩個自然數(shù)的差是7的倍數(shù)26、有尺寸、規(guī)格相同的6種顏色的襪子各20只，混裝在箱內(nèi)，從箱內(nèi)至少取出多少只襪子才能保證有3雙襪子 HER新思路教育27、把135塊餅干分給16個小朋友，若每個小朋有至少分得一塊餅干，那么不管怎么分，一定會有兩個小朋友分得的餅干數(shù)目相同，這是為什么28、學校買來歷史、文藝、科普三種圖書若干本，每個同學從中任意借兩本，那么至少要多少名學生一起來借書，其中才一定有兩人所借的圖書種類相同29、（1）從1到100的自然數(shù)中，任取52個數(shù)，其中必有兩個數(shù)的和為102. H

17、ER新思路教育（2）從1到100的所有奇數(shù)中，任取27個不同的數(shù)，其中必有兩個數(shù)的和等于102 ，請說明理由。抽屜原理練習題1木箱里裝有紅色球個、黃色球個、藍色球個，若蒙眼去摸，為保證取出的球中有兩個球的顏色相同，則最少要取出多少個球解：把種顏色看作個抽屜，若要符合題意，則小球的數(shù)目必須大于，故至少取出個小球才能符合要求。2一幅撲克牌有54張，最少要抽取幾張牌，方能保證其中至少有2張牌有相同的點數(shù)解：點數(shù)為1(A)、2、3、4、5、6、7、8、9、10、11(J)、12(Q)、13(K)的牌各取1張，再取大王、小王各1張，一共15張，這15張牌中，沒有兩張的點數(shù)相同。這樣，如果任意再取1張的話

18、，它的點數(shù)必為113中的一個，于是有2張點數(shù)相同。311名學生到老師家借書，老師是書房中有、四類書，每名學生最多可借兩本不同類的書，最少借一本。試證明：必有兩個學生所借的書的類型相同。證明：若學生只借一本書，則不同的類型有、四種，若學生借兩本不同類型的書，則不同的類型有AB、AC、AD、BC、BD、CD六種。共有10種類型，把這10種類型看作10個“抽屜”，把11個學生看作11個“蘋果”。如果誰借哪種類型的書，就進入哪個抽屜，由抽屜原理，至少有兩個學生，他們所借的書的類型相同。4有50名運動員進行某個項目的單循環(huán)賽，如果沒有平局，也沒有全勝，試證明：一定有兩個運動員積分相同。|證明：設每勝一局

19、得一分，由于沒有平局，也沒有全勝，則得分情況只有1、2、349，只有49種可能，以這49種可能得分的情況為49個抽屜，現(xiàn)有50名運動員得分，則一定有兩名運動員得分相同。5體育用品倉庫里有許多足球、排球和籃球，某班50名同學來倉庫拿球，規(guī)定每個人至少拿個球，至多拿個球，問至少有幾名同學所拿的球種類是一致的|解題關鍵：利用抽屜原理。|解：根據(jù)規(guī)定，多有同學拿球的配組方式共有以下種：足排藍足足排排藍藍足排足藍排藍。以這種配組方式制造個抽屜，將這50個同學看作蘋果509 55由抽屜原理km/n 可得，至少有人，他們所拿的球類是完全一致的。6某校有55個同學參加數(shù)學競賽，已知將參賽人任意分成四組，則必有

20、一組的女生多于2人，又知參賽者中任何10人中必有男生，則參賽男生的人生為_人。|解：因為任意分成四組，必有一組的女生多于2人，所以女生至少有4219（人）；因為任意10人中必有男生，所以女生人數(shù)至多有9人。所以女生有9人，男生有55946（人）7、 證明：從1，3，5，99中任選26個數(shù)，其中必有兩個數(shù)的和是100。解析：將這50個奇數(shù)按照和為100，放進25個抽屜：（1，99），（3，97），（5，95），（49 ，51）。根據(jù)抽屜原理，從中選出26個數(shù)，則必定有兩個數(shù)來自同一個抽屜，那么這兩個數(shù)的和即為100。8.某旅游車上有47名乘客，每位乘客都只帶有一種水果。如果乘客中有人帶梨，并且其

21、中任何兩位乘客中至少有一個人帶蘋果，那么乘客中有_人帶蘋果解析：由題意，不帶蘋果的乘客不多于一名，但又確實有不帶蘋果的乘客，所以不帶蘋果的乘客恰有一名，所以帶蘋果的就有46人。9.一些蘋果和梨混放在一個筐里，小明把這筐水果分成了若干堆，后來發(fā)現(xiàn)無論怎么分，總能從這若干堆里找到兩堆，把這兩堆水果合并在一起后，蘋果和梨的個數(shù)是偶數(shù)，那么小明至少把這些水果分成了_堆。解析：要求把其中兩堆合并在一起后，蘋果和梨的個數(shù)一定是偶數(shù)，那么這兩堆水果中，蘋果和梨的奇偶性必須相同。對于每一堆蘋果和梨，奇偶可能性有4種：（奇，奇），（奇，偶），（偶，奇），（偶，偶），所以根據(jù)抽屜原理可知最少分了4+1=5筐。10

22、. 有黑色、白色、藍色手套各5只（不分左右手），至少要拿出_只（拿的時候不許看顏色），才能使拿出的手套中一定有兩雙是同顏色的。解析：考慮最壞情況，假設拿了3只黑色、1只白色和1只藍色，則只有一雙同顏色的，是再多拿一只，不論什么顏色，則一定會有兩雙同顏色的，所以至少要那6只。11.從前25個自然數(shù)中任意取出7個數(shù),證明:取出的數(shù)中一定有兩個數(shù),這兩個數(shù)中大數(shù)不超過小數(shù)的倍.證明:把前25個自然數(shù)分成下面6組: 1; 2,3; 4,5,6; 7,8,9,10; 11,12,13,14,15,16; 17,18,19,20,21,22,23, 因為從前25個自然數(shù)中任意取出7個數(shù),所以至少有兩個數(shù)取

23、自上面第組到第組中的某同一組,這兩個數(shù)中大數(shù)就不超過小數(shù)的倍.12一副撲克牌有四種花色，每種花色各有13張，現(xiàn)在從中任意抽牌。問最少抽幾張牌，才能保證有4張牌是同一種花色的？解析：根據(jù)抽屜原理，當每次取出4張牌時，則至少可以保障每種花色一樣一張，按此類推，當取出12張牌時，則至少可以保障每種花色一樣三張，所以當抽取第13張牌時，無論是什么花色，都可以至少保障有4張牌是同一種花色，選B。13從1、2、3、4、12這12個自然數(shù)中，至少任選幾個，就可以保證其中一定包括兩個數(shù)，他們的差是7？【解析】在這12個自然數(shù)中，差是7的自然樹有以下5對：12，511，410，39，28，1。另外，還有2個不能

24、配對的數(shù)是67?？蓸嬙斐閷显?，共構造了7個抽屜。只要有兩個數(shù)是取自同一個抽屜，那么它們的差就等于7。這7個抽屜可以表示為12，511，410，39，28，167，顯然從7個抽屜中取8個數(shù)，則一定可以使有兩個數(shù)字來源于同一個抽屜，也即作差為7，所以選擇D。15某幼兒班有40名小朋友，現(xiàn)有各種玩具122件，把這些玩具全部分給小朋友，是否會有小朋友得到4件或4件以上的玩具？分析與解：將40名小朋友看成40個抽屜。今有玩具122件，122=3402。應用抽屜原理2，取n40，m3，立即知道：至少有一個抽屜中放有4件或4件以上的玩具。也就是說，至少會有一個小朋友得到4件或4件以上的玩具。16一個布袋中

25、有40塊相同的木塊，其中編上號碼1，2，3，4的各有10塊。問：一次至少要取出多少木塊，才能保證其中至少有3塊號碼相同的木塊？分析與解：將1，2，3，4四種號碼看成4個抽屜。要保證有一個抽屜中至少有3件物品，根據(jù)抽屜原理2，至少要有421=9（件）物品。所以一次至少要取出9塊木塊，才能保證其中有3塊號碼相同的木塊。17六年級有100名學生，他們都訂閱甲、乙、丙三種雜志中的一種、二種或三種。問：至少有多少名學生訂閱的雜志種類相同？分析與解：首先應當弄清訂閱雜志的種類共有多少種不同的情況。訂一種雜志有：訂甲、訂乙、訂丙3種情況；訂二種雜志有：訂甲乙、訂乙丙、訂丙甲3種情況；訂三種雜志有：訂甲乙丙1

26、種情況?？偣灿?31=7（種）訂閱方法。我們將這7種訂法看成是7個“抽屜”，把100名學生看作100件物品。因為1001472。根據(jù)抽屜原理2，至少有14115（人）所訂閱的報刊種類是相同的。18籃子里有蘋果、梨、桃和桔子，現(xiàn)有81個小朋友，如果每個小朋友都從中任意拿兩個水果，那么至少有多少個小朋友拿的水果是相同的？分析與解：首先應弄清不同的水果搭配有多少種。兩個水果是相同的有4種，兩個水果不同有6種：蘋果和梨、蘋果和桃、蘋果和桔子、梨和桃、梨和桔子、桃和桔子。所以不同的水果搭配共有4610（種）。將這10種搭配作為10個“抽屜”。8110=81（個）。根據(jù)抽屜原理2，至少有819（個）小朋友

27、拿的水果相同。19學校開辦了語文、數(shù)學、美術三個課外學習班，每個學生最多可以參加兩個（可以不參加）。問：至少有多少名學生，才能保證有不少于5名同學參加學習班的情況完全相同？分析與解：首先要弄清參加學習班有多少種不同情況。不參加學習班有1種情況，只參加一個學習班有3種情況，參加兩個學習班有語文和數(shù)學、語文和美術、數(shù)學和美術3種情況。共有1337（種）情況。將這7種情況作為7個“抽屜”，根據(jù)抽屜原理2，要保證不少于5名同學參加學習班的情況相同，要有學生7（5-1）129（名）。20. 在1，4，7，10，100中任選20個數(shù)，其中至少有不同的兩對數(shù)，其和等于104。析：解這道題，可以考慮先將4與1

28、00，7與97，49與55，這些和等于104的兩個數(shù)組成一組，構成16個抽屜，剩下1和52再構成2個抽屜，這樣，即使20個數(shù)中取到了1和52，剩下的18個數(shù)還必須至少有兩個數(shù)取自前面16個抽屜中的兩個抽屜，從而有不同的兩組數(shù)，其和等于104；如果取不到1和52，或1和52不全取到，那么和等于104的數(shù)組將多于兩組。解：1，4，7，10，100中共有34個數(shù)，將其分成4，100，7，97，49，55，1，52共18個抽屜，從這18個抽屜中任取20個數(shù)，若取到1和52，則剩下的18個數(shù)取自前16個抽屜，至少有4個數(shù)取自某兩個抽屜中，結論成立；若不全取1和52，則有多于18個數(shù)取自前16個抽屜，結論亦成立。21. 任意5個自然數(shù)中，必可找出3個數(shù)，使這三個數(shù)的和能被3整除。分析：解這個問題，注意到一個數(shù)被3除的余數(shù)只有0，1，2三個，可以用余數(shù)來構造抽屜。解：以一個數(shù)被3除的余數(shù)0、1、2構造抽屜，共有3個抽屜。任意五個數(shù)放入這三