計(jì)算機(jī)算法回溯法復(fù)習(xí)課程

1、計(jì)算機(jī)算法回溯法問(wèn)題的解向量：回溯法希望一個(gè)問(wèn)題的解能夠表示成一個(gè)n元式(x1,x2,xn)的形式。顯約束：對(duì)分量xi的取值限定。隱約束：為滿足問(wèn)題的解而對(duì)不同分量之間施加的約束。解空間：對(duì)于問(wèn)題的一個(gè)實(shí)例，解向量滿足顯式約束條件的所有多元組，構(gòu)成了該實(shí)例的一個(gè)解空間。注意：同一個(gè)問(wèn)題可以有多種表示，有些表示方法更簡(jiǎn)單，所需表示的狀態(tài)空間更?。ù鎯?chǔ)量少，搜索方法簡(jiǎn)單）。n=3時(shí)的0-1背包問(wèn)題用完全二叉樹表示的解空間(1)針對(duì)所給問(wèn)題，定義問(wèn)題的解空間；(2)確定易于搜索的解空間結(jié)構(gòu)；(3)以深度優(yōu)先方式搜索解空間，并在搜索過(guò)程中用剪枝函數(shù)避免無(wú)效搜索。常用剪枝函數(shù)：用約束函數(shù)在擴(kuò)展結(jié)點(diǎn)處剪去

2、不滿足約束的子樹；用限界函數(shù)剪去得不到最優(yōu)解的子樹。用回溯法解題的一個(gè)顯著特征是在搜索過(guò)程中動(dòng)態(tài)產(chǎn)生問(wèn)題的解空間。在任何時(shí)刻，算法只保存從根結(jié)點(diǎn)到當(dāng)前擴(kuò)展結(jié)點(diǎn)的路徑。如果解空間樹中從根結(jié)點(diǎn)到葉結(jié)點(diǎn)的最長(zhǎng)路徑的長(zhǎng)度為h(n)，則回溯法所需的計(jì)算空間通常為O(h(n)。而顯式地存儲(chǔ)整個(gè)解空間則需要O(2h(n)或O(h(n)!)內(nèi)存空間?；厮莘▽?duì)解空間作深度優(yōu)先搜索，因此，在一般情況下用遞歸方法實(shí)現(xiàn)回溯法。void backtrack (int t) if (tn) output(x); else for (int i=f(n,t);i0) if (f(n,t)=g(n,t) for (int i

3、=f(n,t);in) output(x); else for (int i=0;in) output(x); else for (int i=t;i n) / 到達(dá)葉結(jié)點(diǎn) 更新最優(yōu)解bestx,bestw;return; r -= wi; if (cw + wi bestw) xi = 0; / 搜索右子樹 backtrack(i + 1); r += wi; 給定n個(gè)作業(yè)的集合J1,J2,Jn。每個(gè)作業(yè)必須先由機(jī)器1處理，然后由機(jī)器2處理。作業(yè)Ji需要機(jī)器j的處理時(shí)間為tji。對(duì)于一個(gè)確定的作業(yè)調(diào)度，設(shè)Fji是作業(yè)i在機(jī)器j上完成處理的時(shí)間。所有作業(yè)在機(jī)器2上完成處理的時(shí)間和稱為該作業(yè)調(diào)度

4、的完成時(shí)間和。批處理作業(yè)調(diào)度問(wèn)題要求對(duì)于給定的n個(gè)作業(yè)，制定最佳作業(yè)調(diào)度方案，使其完成時(shí)間和達(dá)到最小。jit這3個(gè)作業(yè)的6種可能的調(diào)度方案是1,2,3；1,3,2；2,1,3；2,3,1；3,1,2；3,2,1；它們所相應(yīng)的完成時(shí)間和分別是19，18，20，21，19，19。易見，最佳調(diào)度方案是1,3,2，其完成時(shí)間和為18。解空間：排列樹void Flowshop:Backtrack(int i) if (i n) for (int j = 1; j = n; j+) bestxj = xj; bestf = f; else for (int j = i; j f1)?f2i-1:f1)+M

5、xj2; f+=f2i; if (f half)|(t*(t-1)/2-counthalf) return; if (tn) sum+; else for (int i=0;i2;i+) p1t=i; count+=i; for (int j=2;j=t;j+) pjt-j+1=pj-1t-j+1pj-1t-j+2; count+=pjt-j+1; Backtrack(t+1); for (int j=2;j=t;j+) count-=pjt-j+1; count-=i; + + - + - + + - - - - +- + + + - - + + - - + - - - +復(fù)雜度分析復(fù)雜度分

6、析計(jì)算可行性約束需要O(n)時(shí)間，在最壞情況下有 O(2n)個(gè)結(jié)點(diǎn)需要計(jì)算可行性約束，故解符號(hào)三角形問(wèn)題的回溯算法所需的計(jì)算時(shí)間為 O(n2n)。在nn格的棋盤上放置彼此不受攻擊的n個(gè)皇后。按照國(guó)際象棋的規(guī)則，皇后可以攻擊與之處在同一行或同一列或同一斜線上的棋子。n后問(wèn)題等價(jià)于在nn格的棋盤上放置n個(gè)皇后，任何2個(gè)皇后不放在同一行或同一列或同一斜線上。1 2 3 4 5 6 7 812345678QQQQQQQQ解向量：(x1, x2, , xn)顯約束：xi=1,2, ,n隱約束： 1)不同列：xi xj 2)不處于同一正、反對(duì)角線：|i-j| |xi-xj|bool Queen:Place

7、(int k) for (int j=1;jn) sum+; else for (int i=1;i=n;i+) xt=i; if (Place(t) Backtrack(t+1); 解空間：子集樹可行性約束函數(shù)：上界函數(shù)：11cxwniiitemplateTypep Knap:Bound(int i)/ 計(jì)算上界 Typew cleft = c - cw; / 剩余容量 Typep b = cp; / 以物品單位重量?jī)r(jià)值遞減序裝入物品 while (i = n & wi = cleft) cleft -= wi; b += pi; i+; / 裝滿背包 if (i n) / 到達(dá)葉結(jié)

8、點(diǎn) for (int j = 1; j = n; j+) bestxj = xj; bestn = cn; return; / 檢查頂點(diǎn) i 與當(dāng)前團(tuán)的連接 int OK = 1; for (int j = 1; j bestn) / 進(jìn)入右子樹 xi = 0; Backtrack(i+1);復(fù)雜度分析復(fù)雜度分析最大團(tuán)問(wèn)題的回溯算法backtrack所需的計(jì)算時(shí)間顯然為O(n2n)。12453選擇合適的搜索順序，可以使得上界函數(shù)更有效的發(fā)揮作用。例如在搜索之前可以將頂點(diǎn)按度從小到大排序。這在某種意義上相當(dāng)于給回溯法加入了啟發(fā)性。定義Si=vi,vi+1,.,vn，依次求出Sn,Sn-1,.,S

9、1的解。從而得到一個(gè)更精確的上界函數(shù)，若cn+Sin) sum+; for (int i=1; i=n; i+) cout xi ; cout endl; else for (int i=1;i=m;i+) xt=i; if (Ok(t) Backtrack(t+1); bool Color:Ok(int k)/ 檢查顏色可用性 for (int j=1;j=n;j+) if (akj=1)&(xj=xk) return false; return true;復(fù)雜度分析復(fù)雜度分析圖m可著色問(wèn)題的解空間樹中內(nèi)結(jié)點(diǎn)個(gè)數(shù)是對(duì)于每一個(gè)內(nèi)結(jié)點(diǎn)，在最壞情況下，用ok檢查當(dāng)前擴(kuò)展結(jié)點(diǎn)的每一個(gè)兒子所相

10、應(yīng)的顏色可用性需耗時(shí)O(mn)。因此，回溯法總的時(shí)間耗費(fèi)是10niim)() 1/() 1()(10nnniinmOmmnmmnm解空間：排列樹templatevoid Traveling:Backtrack(int i) if (i = n) if (axn-1xn != NoEdge & axn1 != NoEdge & (cc + axn-1xn + axn1 bestc | bestc = NoEdge) for (int j = 1; j = n; j+) bestxj = xj; bestc = cc + axn-1xn + axn1; else for (int

11、j = i; j = n; j+) / 是否可進(jìn)入xj子樹? if (axi-1xj != NoEdge & (cc + axi-1xi bestc | bestc = NoEdge) / 搜索子樹 Swap(xi, xj); cc += axi-1xi; Backtrack(i+1); cc -= axi-1xi; Swap(xi, xj); 復(fù)雜度分析復(fù)雜度分析算法backtrack在最壞情況下可能需要更新當(dāng)前最優(yōu)解O(n-1)!)次，每次更新bestx需計(jì)算時(shí)間O(n)，從而整個(gè)算法的計(jì)算時(shí)間復(fù)雜性為O(n!)。 給定n個(gè)大小不等的圓c1,c2,cn，現(xiàn)要將這n個(gè)圓排進(jìn)一個(gè)矩形框

12、中，且要求各圓與矩形框的底邊相切。圓排列問(wèn)題要求從n個(gè)圓的所有排列中找出有最小長(zhǎng)度的圓排列。例如，當(dāng)n=3，且所給的3個(gè)圓的半徑分別為1，1，2時(shí)，這3個(gè)圓的最小長(zhǎng)度的圓排列如圖所示。其最小長(zhǎng)度為242float Circle:Center(int t)/ 計(jì)算當(dāng)前所選擇圓的圓心橫坐標(biāo) float temp=0; for (int j=1;jtemp) temp=valuex; return temp;void Circle:Compute(void)/ 計(jì)算當(dāng)前圓排列的長(zhǎng)度 float low=0, high=0; for (int i=1;i=n;i+) if (xi-rihigh) hi

13、gh=xi+ri; if (high-lown) Compute(); else for (int j = t; j = n; j+) Swap(rt, rj); float centerx=Center(t); if (centerx+rt+r1min) /下界約束 xt=centerx; Backtrack(t+1); Swap(rt, rj); 復(fù)雜度分析復(fù)雜度分析由于算法backtrack在最壞情況下可能需要計(jì)算O(n!)次當(dāng)前圓排列長(zhǎng)度，每次計(jì)算需O(n)計(jì)算時(shí)間，從而整個(gè)算法的計(jì)算時(shí)間復(fù)雜性為O(n+1)!) 上述算法尚有許多改進(jìn)的余地。例如，象1,2,n-1,n和n,n-1, ,

14、2,1這種互為鏡像的排列具有相同的圓排列長(zhǎng)度，只計(jì)算一個(gè)就夠了，可減少約一半的計(jì)算量。另一方面，如果所給的n個(gè)圓中有k個(gè)圓有相同的半徑，則這k個(gè)圓產(chǎn)生的k!個(gè)完全相同的圓排列，只計(jì)算一個(gè)就夠了。 假設(shè)國(guó)家發(fā)行了n種不同面值的郵票，并且規(guī)定每張信封上最多只允許貼m張郵票。連續(xù)郵資問(wèn)題要求對(duì)于給定的n和m的值，給出郵票面值的最佳設(shè)計(jì)，在1張信封上可貼出從郵資1開始，增量為1的最大連續(xù)郵資區(qū)間。例如，當(dāng)n=5和m=4時(shí)，面值為(1,3,11,15,32)的5種郵票可以貼出郵資的最大連續(xù)郵資區(qū)間是1到70。解向量：用n元組x1:n表示n種不同的郵票面值，并約定它們從小到大排列。x1=1是唯一的選擇。可

15、行性約束函數(shù)：已選定x1:i-1，最大連續(xù)郵資區(qū)間是1:r，接下來(lái)xi的可取值范圍是xi-1+1:r+1。如何確定r的值？計(jì)算X1:i的最大連續(xù)郵資區(qū)間在本算法中被頻繁使用到，因此勢(shì)必要找到一個(gè)高效的方法。考慮到直接遞歸的求解復(fù)雜度太高，我們不妨嘗試計(jì)算用不超過(guò)m張面值為x1:i的郵票貼出郵資k所需的最少郵票數(shù)yk。通過(guò)yk可以很快推出r的值。事實(shí)上，yk可以通過(guò)遞推在O(n)時(shí)間內(nèi)解決：for (int j=0; j= xi-2*(m-1);j+) if (yjm) for (int k=1;k=m-yj;k+) if (yj+kyj+xi-1*k) yj+xi-1*k=yj+k; while (yrmaxint) r+;通過(guò)前面具體實(shí)例的討論容易看出，回溯算法的效率在很大程度上依賴于以下因素：(1)產(chǎn)生xk的時(shí)間；(2)滿足顯約束的xk值的個(gè)數(shù)；(3)計(jì)算約束函數(shù)constraint的時(shí)間；(4)計(jì)算上界函數(shù)bound的時(shí)間；(5)滿足約束函數(shù)和上界函數(shù)約束的所有xk的個(gè)數(shù)。好的約束函數(shù)能顯著地減少所生成的結(jié)點(diǎn)數(shù)。但這樣的約束函數(shù)往往計(jì)算量較大。因此，在選擇約束函數(shù)時(shí)通常存在生成結(jié)點(diǎn)數(shù)與約束函數(shù)計(jì)算量之間的折衷。對(duì)于許多問(wèn)題而言，在搜索試探時(shí)選取xi的值順序是任意的。在