研究生入學(xué)考試中國民航大學(xué)電路PPT學(xué)習(xí)教案

1、會(huì)計(jì)學(xué)1研究生入學(xué)考試中國民航大學(xué)電路研究生入學(xué)考試中國民航大學(xué)電路本章目錄7.2 RLC串聯(lián)電路的零輸入響應(yīng)7.3 RLC串聯(lián)電路的全響應(yīng)7.4 GLC并聯(lián)電路的分析7.1 LC電路中的正弦振蕩CH7 二階電路分析 第1頁/共48頁RLC串聯(lián)電路的微分方程圖1 RLC串聯(lián)二階電路)()()()(SCLRtutututu2c2LcRcCLdddd)( dd)()(dd)()()(tuLCtiLtutuRCtRitutuCtititi 為了得到圖1所示RLC串聯(lián)電路的微分方程，先列出KVL方程RLC串聯(lián)電路的零輸入響應(yīng)第2頁/共48頁 根據(jù)前述方程得到以下微分方程 2CCCS2dd( )dduu

2、LCRCuu ttt 這是一個(gè)常系數(shù)非齊次線性二階微分方程。2CCC2dd0dduuLCRCutt 其特征方程為 21 0LCsRCs 其特征根為 212122RRsLLLC， 零輸入響應(yīng)方程為 RLC串聯(lián)電路的零輸入響應(yīng)第3頁/共48頁 電路微分方程的特征根，稱為電路的固有頻率。當(dāng)R，L，C的量值不同時(shí)，特征根可能出現(xiàn)以下三種情況 CLR221,ss 1. 時(shí)， 為不相等的實(shí)根。過阻尼情況。 3. 時(shí)， 為共軛復(fù)數(shù)根。欠阻尼情況。CLR221,ss 2. 時(shí)， 為兩個(gè)相等的實(shí)根。臨界阻尼情況。21,ssCLR2RLC串聯(lián)電路的零輸入響應(yīng)第4頁/共48頁過阻尼情況 當(dāng) 時(shí)，電路的固有頻率s1，

3、s2為兩個(gè)不相同的實(shí)數(shù)，齊次微分方程的解答具有下面的形式 CLR212C12( )ees ts tu tKK 式中的兩個(gè)常數(shù)K1，K2由初始條件iL(0)和uc(0) 確定。 C12(0)uKKCL01 12 2d( )(0)dtutiK sK stCRLC串聯(lián)電路的零輸入響應(yīng)第5頁/共48頁 求解以上兩個(gè)方程，可以得到 CiusssKCiusssK)0()0(1 )0()0(1LC1212LC2121 由此得到電容電壓的零輸入響應(yīng)，再利用KCL方程和電容的VCR可以得到電感電流的零輸入響應(yīng)。 RLC串聯(lián)電路的零輸入響應(yīng)第6頁/共48頁例1 電路如圖所示，已知R=3,L=0.5H, C=0.2

4、5F, uC(0)=2V, iL(0)=1A，求電容電壓和電感電流的零輸 入響應(yīng)。42138331222221LCLRLRs，解：由R，L，C，計(jì)算固有頻率圖 RLC串聯(lián)二階電路RLC串聯(lián)電路的零輸入響應(yīng)第7頁/共48頁 將固有頻率s1=-2和s2=-4代入式得到 )0(ee)(4221CtKKtutt 利用電容電壓的初始值uC(0)=2V和電感電流的初始值iL(0)=1A得到以下兩個(gè)方程： 4)0(42d)(d2)0( L210C21CCiKKttuKKutK1=6K2=-4)0(V)e4e6()(42Cttutt 最后得到電容電壓的零輸入響應(yīng)為 RLC串聯(lián)電路的零輸入響應(yīng)第8頁/共48頁

5、利用KCL和電容的VCR方程得到電感電流的零輸入響應(yīng) )0(A)e4e3(dd)()(42CCLttuCtititt 從圖示電容電壓和電感電流的波形曲線，可以看出電路各元件的能量交換過程。第9頁/共48頁臨界情況 當(dāng) 時(shí)，電路的固有頻率s1, s2為兩個(gè)相同的實(shí)數(shù)s1=s2=s。齊次微分方程的解答具有下面的形式 CLR2C12( )eeststu tKK t 式中的兩個(gè)常數(shù)K1，K2由初始條件iL(0)和uC(0) 確定。令t=0，得到 C1(0)uKRLC串聯(lián)電路的零輸入響應(yīng)第10頁/共48頁 聯(lián)立求解以上兩個(gè)方程，可以得到 )0()0()0(C1L2C1usCiKuK 由 K1, K2的計(jì)

6、算結(jié)果，得到電容電壓的零輸入響應(yīng)，再利用KCL方程和電容的VCR可以得到電感電流的零輸入響應(yīng)。 求導(dǎo)，再令t=0，得到 CL012d( )(0)dtutiK sKtCRLC串聯(lián)電路的零輸入響應(yīng)第11頁/共48頁例2 電路如圖所示。已知已知R=1 ，L=0.25 H， C=1 F，uC(0)=-1V，iL(0)=0，求電容電壓和電感電 流的零輸入響應(yīng)。22024221222221LCLRLRs，解：由R，L，C，計(jì)算出固有頻率的數(shù)值圖RLC串聯(lián)二階電路RLC串聯(lián)電路的零輸入響應(yīng)第12頁/共48頁 利用電容電壓的初始值uC(0)=-1V和電感電流的初始值iL(0)=0得到以下兩個(gè)方程 0)0(2d

7、)(d1)0( L210C1CCiKKttuKut 將兩個(gè)相等的固有頻率s1=s2=-2 代入，得到 )0(ee)(2221cttKKtuttRLC串聯(lián)電路的零輸入響應(yīng)第13頁/共48頁 得到電感電流的零輸入響應(yīng) )0(Ae4A)e4e2e2(dd)()(2222CCLttttuCtititttt 求解以上兩個(gè)方程得到常數(shù)K1=-1和K2=-2，得到電容電壓的零輸入響應(yīng) )0(V)e2e()(22CtttuttRLC串聯(lián)電路的零輸入響應(yīng)第14頁/共48頁 根據(jù)以上兩個(gè)表達(dá)式畫出的波形曲線，如圖所示。 (a) 電容電壓的波形 (b) 電感電流的波形臨界阻尼情況 )0( A e4)()()0( V

8、)e2e()(2CL22CtttititttutttRLC串聯(lián)電路的零輸入響應(yīng)第15頁/共48頁欠阻尼情況 當(dāng) 時(shí)，電路的固有頻率s1，s2為為兩個(gè)共軛復(fù)數(shù)根，它們可以表示為 CLR2d220221jj122LCLRLRs， 其中 稱為衰減諧振角頻率稱為諧振角頻率稱為衰減系數(shù)220d0 1 2LCLRRLC串聯(lián)電路的零輸入響應(yīng)第16頁/共48頁 齊次微分方程的解答具有下面的形式 C1d2dd( )ecos()sin()ecos()ttu tKtKtKt 式中 122221arctanKKKKK 由初始條件iL(0)和uC(0)確定常數(shù)K1，K2后，得到電容電壓的零輸入響應(yīng)，再利用KCL和VCR

9、方程得到電感電流的零輸入響應(yīng)。 RLC串聯(lián)電路的零輸入響應(yīng)第17頁/共48頁例3 電路如圖所示。已知R=6, L=1H, C=0.04F, uC(0)=3V，iL(0)=0.28A，求電容電壓和電感電流的 零輸入響應(yīng)。j4353312222221LCLRLRs，解：由R，L，C，計(jì)算出固有頻率的數(shù)值圖1 RLC串聯(lián)二階電路RLC串聯(lián)電路的零輸入響應(yīng)第18頁/共48頁 利用電容電壓的初始值uC(0)=3V和電感電流的初始值iL(0)=0.28A得到以下兩個(gè)方程 7)0(43d)(d)0( L210C1CCiKKttuKut 求解以上兩個(gè)方程得到常數(shù)K1=3和K2=4，得到電容電壓和電感電流的零輸

10、入響應(yīng): )0(A )74.734cos(e)4sin(24)4cos(7e04. 0dd)()0( V)1 .534cos(e5)4sin(44cos3e)(33cL33ctttttuCtitttttutttt 將兩個(gè)不相等的固有頻率 s1=-3+j4 和 s2=-3-j4 代入得)0( )4sin(4cose)(213CttKtKtut第19頁/共48頁(a) 衰減系數(shù)為3的電容電壓的波形 (b) 衰減系數(shù)為3的電感電流的波形(c) 衰減系數(shù)為0.5的電容電壓的波形 (d) 衰減系數(shù)為0.5的電感電流的波形 圖 欠阻尼情況畫出的波形曲線，如圖(a)和(b)所示 第20頁/共48頁 可以看出

11、，欠阻尼情況的特點(diǎn)是能量在電容與電感之間交換，形成衰減振蕩。電阻越小，單位時(shí)間消耗能量越少，曲線衰減越慢。 當(dāng)例3中電阻由R=6減小到R=1，衰減系數(shù)由3變?yōu)?.5時(shí)，得到的電容電壓和電感電流的波形曲線，如圖(c)和(d)所示，由此可以看出曲線衰減明顯變慢。假如電阻等于零，使衰減系數(shù)為零時(shí)，電容電壓和電感電流將形成無衰減的等幅振蕩。 RLC串聯(lián)電路的零輸入響應(yīng)第21頁/共48頁例4 電路如圖所示。已知R=0, L=1H, C=0.04F, uC(0)=3V, iL(0)=0.28A，求電容電壓和電感電流的零 輸入響應(yīng)。j551222221LCLRLRs，解：由R，L，C計(jì)算出固有頻率的數(shù)值 圖

12、 RLC串聯(lián)二階電路RLC串聯(lián)電路的零輸入響應(yīng)第22頁/共48頁 將兩個(gè)不相等的固有頻率s1=j5和s2=-j5代入得到 )0()5sin()5cos()(21cttKtKtu 利用電容電壓的初始值uC(0)=3V和電感電流的初始值iL(0)=0.28A 得到以下兩個(gè)方程 7)0(5d)(d3)0( L20C1CCiKttuKut 求解以上兩個(gè)方程得到常數(shù)K1=3和K2=1.4，得到電容電壓和電感電流的零輸入響應(yīng): ) 0(A)655cos(66. 0)5cos(7)5sin(1504. 0dd)() 0(V)255cos(31. 3)5sin(4 . 1)5cos(3)(CLCtttttuC

13、titttttu第23頁/共48頁畫出的電容電壓和電感電流的波形曲線，如圖所示。 圖 無阻尼情況 RLC串聯(lián)電路的零輸入響應(yīng)第24頁/共48頁 從電容電壓和電感電流的表達(dá)式和波形曲線可見，由于電路中沒有損耗，能量在電容和電感之間交換，總能量不會(huì)減少，形成等振幅振蕩。電容電壓和電感電流的相位差為90，當(dāng)電容電壓為零，電場儲(chǔ)能為零時(shí)，電感電流達(dá)到最大值，全部能量儲(chǔ)存于磁場中；而當(dāng)電感電流為零，磁場儲(chǔ)能為零時(shí)，電容電壓達(dá)到最大值，全部能量儲(chǔ)存于電場中。 從以上分析計(jì)算的結(jié)果可以看出，RLC二階電路的零輸入響應(yīng)的形式與其固有頻率密切相關(guān)，我們將響應(yīng)的幾種情況畫在圖6上。RLC串聯(lián)電路的零輸入響應(yīng)第25

14、頁/共48頁圖6第26頁/共48頁 由圖6可見： 1. 在過阻尼情況，s1和s2是不相等的負(fù)實(shí)數(shù)，固有頻率出現(xiàn)在s平面上負(fù)實(shí)軸上，響應(yīng)按指數(shù)規(guī)律衰減。 2.在臨界阻尼情況，s1=s2是相等的負(fù)實(shí)數(shù)，固有頻率出現(xiàn)在s平面上負(fù)實(shí)軸上，響應(yīng)按指數(shù)規(guī)律衰減。 3.在欠阻尼情況，s1和s2是共軛復(fù)數(shù)，固有頻率出現(xiàn)在s平面上的左半平面上，響應(yīng)是振幅隨時(shí)間衰減的正弦振蕩，其振幅隨時(shí)間按指數(shù)規(guī)律衰減，衰減系數(shù) 越大，衰減越快。衰減振蕩的角頻率d 越大，振蕩周期越小，振蕩越快。RLC串聯(lián)電路的零輸入響應(yīng)第27頁/共48頁 圖中按Ke-t畫出的虛線稱為包絡(luò)線，它限定了振幅的變化范圍。 4.在無阻尼情況，s1和s2

15、是共軛虛數(shù)，固有頻率出現(xiàn)在s平面上的虛軸上，衰減系數(shù)為零，振幅不再衰減，形成角頻率為0的等幅振蕩。 顯然，當(dāng)固有頻率的實(shí)部為正時(shí)，響應(yīng)的振幅將隨時(shí)間增加，電路是不穩(wěn)定的。由此可知，當(dāng)一個(gè)電路的全部固有頻率均處于s平面上的左半平面上時(shí)，電路是穩(wěn)定的。 RLC串聯(lián)電路的零輸入響應(yīng)第28頁/共48頁直流激勵(lì)下RLC串聯(lián)電路的響應(yīng) 對(duì)于圖示直流激勵(lì)的RLC串聯(lián)電路，當(dāng)uS(t)=US時(shí)，可以得到以下非齊次微分方程 )0(ddddSCC2C2tUutuRCtuLC第29頁/共48頁 電路的全響應(yīng)由對(duì)應(yīng)齊次微分方程的通解與微分方程的特解之和組成 )()()(CpChCtututu 電路的固有頻率為 LCL

16、RLRs122221， 當(dāng)電路的固有頻率s1s2時(shí)，對(duì)應(yīng)齊次微分方程的通解為 tstsKKtu21ee)(21ch直流激勵(lì)下RLC串聯(lián)電路的響應(yīng) 第30頁/共48頁直流激勵(lì)下RLC串聯(lián)電路的響應(yīng) 微分方程的特解為 Scp)(Utu 全響應(yīng)為 S21CpChC21ee)()()(UKKtutututsts 利用以下兩個(gè)初始條件Cittuut)0(d)(d ),0(L0CC 可以得到S21C)0(UKKu第31頁/共48頁 對(duì)uC(t)求導(dǎo)，再令t=0得到 CisKsKttut)0(d)(dL22110C 求解這兩個(gè)代數(shù)方程，得到常數(shù)K1和K2后就可得到uC(t)。直流激勵(lì)下RLC串聯(lián)電路的響應(yīng)

17、第32頁/共48頁例5 電路如圖所示。已知 R=4，L=1H， C=1/3F， uS(t)=2V，uC(0)=6V，iL(0)=4A。求t0時(shí)，電容電 壓和電感電流的響應(yīng)。3112342122221，LCLRLRs解：先計(jì)算固有頻率直流激勵(lì)下RLC串聯(lián)電路的響應(yīng) 第33頁/共48頁 這是兩個(gè)不相等的負(fù)實(shí)根，其通解為 ttKKtu321chee)( 特解為 V2)(cptu 全響應(yīng)為 V2ee)()()(321CpChCttKKtututu 利用初始條件得到 12)0(3d)(d6V2)0(L210C21CCiKKttuKKut直流激勵(lì)下RLC串聯(lián)電路的響應(yīng) 第34頁/共48頁 聯(lián)立求解以上兩個(gè)

18、方程得到 V8,V1221KK 最后得到電容電壓和電感電流的全響應(yīng) )0(A)e8e4(dd)()()0(V)2e8e12()(3CCL3CttuCtitittutttt直流激勵(lì)下RLC串聯(lián)電路的響應(yīng) 第35頁/共48頁例6 電路如圖所示。已知R=6, L=1H, C=0.04F, uS(t)= (t)V。求t0時(shí)電容電壓的零狀態(tài)響應(yīng)。 解：t0時(shí)，(t)=1V，可以作為直流激勵(lì)處理。首先計(jì)算 電路的固有頻率 j4353312222221LCLRLRs，直流激勵(lì)下RLC串聯(lián)電路的響應(yīng) 第36頁/共48頁 根據(jù)這兩個(gè)固有頻率s1=-3+j4和s2=-3-j4，可以得到全響應(yīng)的表達(dá)式為 )0(V1

19、)4sin()4cos(e)(213CttKtKtut 利用電容電壓的初始值uC(0)=0和電感電流的初始值iL(0)=0得到以下兩個(gè)方程 043d)(d01)0( 210C1CKKttuKut直流激勵(lì)下RLC串聯(lián)電路的響應(yīng) 第37頁/共48頁 求解以上兩個(gè)方程得到常數(shù)K1-1和K2-0.75，得到電容電壓的零狀態(tài)響應(yīng) ) 0(V 1)1 .1434cos(e25. 1 V1)4sin(75. 0)4cos(e)(33Ctttttutt直流激勵(lì)下RLC串聯(lián)電路的響應(yīng) 第38頁/共48頁注：圖(c)和(d)表示當(dāng)電阻由R=6減小到R=1，衰減系數(shù)由3變?yōu)?.5時(shí)的電 容電壓和電感電流零狀態(tài)響應(yīng)的

20、波形曲線。 注：圖(a)和(b)表示畫出的電容電壓和電感電流的波形。 圖9-7第39頁/共48頁RLC并聯(lián)電路的響應(yīng) RLC并聯(lián)電路如圖所示，為了得到電路的二階微分方程，列出KCL方程 )()()()(SCLRtitititi第40頁/共48頁 代入電容，電阻和電感的VCR方程 2L2CLRLCLdddd)( dd)()(dd)()()(tiLCtuCtitiGLtGutitiLtututu 得到微分方程 )(ddddSLL2L2tiitiGLtiLC 這是一個(gè)常系數(shù)非齊次線性二階微分方程。 其特征方程為 012GLsLCs 由此求解得到特征根 LCCGCGs12222 , 1第41頁/共48頁 當(dāng)電路元件參數(shù)G,L,C的量值不同時(shí)，特征根可能出現(xiàn)以下三種情況： 1. 時(shí)，s1,s2為兩個(gè)不相等的實(shí)根。 LCG2 2. 時(shí)，s1,s2為兩個(gè)相等的實(shí)根。 LCG2 3. 時(shí)，s1,s2為共軛復(fù)數(shù)根。 LCG2 當(dāng)兩個(gè)特征根為不相等的實(shí)數(shù)根時(shí)，稱電路是過阻尼的；當(dāng)兩個(gè)特征根為相等的實(shí)數(shù)根時(shí)，稱電路是臨界阻尼的；當(dāng)兩個(gè)特征根為共軛復(fù)數(shù)根時(shí)，稱電路是欠阻尼的。第42頁/共