高中數(shù)學(xué)-解三角形知識(shí)點(diǎn)匯總及典型例題

1、解三角形的必備知識(shí)和典型例題及詳解一、知識(shí)必備：1直角三角形中各兀素間的關(guān)系：在厶 ABC中，C= 90 °, AB= c, AC= b, BC= a。1三邊之間的關(guān)系：a2+ b2 = c2。勾股定理2銳角之間的關(guān)系：A+ B= 90°3邊角之間的關(guān)系：銳角三角函數(shù)定義sin A= cos B= a , cosA= sin B= , tan A= 。ccb2 斜三角形中各兀素間的關(guān)系：在厶ABC中, A B C為其內(nèi)角，a、 c分別表示A、B、C的對(duì)邊。1三角形內(nèi)角和：A+ B+ C= n。2正弦定理：在一個(gè)三角形中，各邊和它所對(duì)角的正弦的比相等-abc R為外接圓半徑s

2、in A sinB sinC3余弦定理：三角形任何一邊的平方等于其他兩邊平方的和減去這兩邊與它們夾角的余弦的積的兩倍O2 2 2 2 2 2 2 2 2a = b + c 2bccosA;b = c + a 2cacosBc = a + b 2abcosC。3 三角形的面積公式：1 1 11S = aha= bhb= chc ha、hb、he分別表示 a、b、c 上的咼；2 2 21 1 12S = absin C= bcsin A= acsin B；2 2 24解三角形：由三角形的六個(gè)兀素即三條邊和三個(gè)內(nèi)角中的三個(gè)兀素其中至少有一個(gè)是邊求其他未知兀素的問(wèn)題叫做解三角形.廣義地，這里所說(shuō)的兀素

3、還可以包括三角形的高、中線、角平分線以及內(nèi)切圓半徑、外接圓半徑、面積等等主要類型：1兩類正弦定理解三角形的問(wèn)題：第1兩角和任意一邊，求其他的兩邊及一角第2、兩角和其中一邊的對(duì)角，求其他邊角2兩類余弦定理解三角形的問(wèn)題：第1三邊求三角第2、兩邊和他們的夾角，求第三邊和其他兩角5三角形中的三角變換三角形中的三角變換，除了應(yīng)用上述公式和上述變換方法外，還要注意三角形自身的特點(diǎn)。1角的變換因?yàn)樵?ABC 中，A+B+Cn，所以 sin(A+B)=sinC ; cos(A+B)= cosC; tan(A+B)= tanC。.A B C A B . Csincos，cossin ；2 2 2 22判定三角

4、形形狀時(shí)，可利用正余弦定理實(shí)現(xiàn)邊角轉(zhuǎn)化，統(tǒng)一成邊的形式或角的形式6.求解三角形應(yīng)用題的一般步驟：1分析：分析題意，弄清和所求；2建模：將實(shí)際問(wèn)題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問(wèn)題，寫出與所求，并畫出示意圖；3求解：正確運(yùn)用正、余弦定理求解；4檢驗(yàn)：檢驗(yàn)上述所求是否符合實(shí)際意義。二、典例解析題型1:正、余弦定理例 1. 1在 ABC 中， A 32.00, B 81.8°, a 42.9cm,解三角形；2在 ABC中，a 20cm, b 28 cm, a 40°，解三角形角度精確到1°，邊長(zhǎng)精確到1cm。解：1根據(jù)三角形內(nèi)角和定理，C 180° (A B) 180°

5、 (32.0° 81.8°) 66.2° ；0根據(jù)正弦定理，b至?xí)x 絲疇色8°.1(cm)；sin Asin32.0°asi nC 42.9si n66.2°根據(jù)正弦疋理， c °74.1(cm).si nA si n32.02根據(jù)正弦定理,sin Bbsin A 28sin40°a 2°0.8999.因?yàn)?0° v B v 180°，所以 B 64°，或 B 116°.當(dāng) B 64° 時(shí)，C 180° (A B) 180° (40&#

6、176; 64°) 76°,as inCsin A20s in76°sin 40°30(cm).當(dāng)B 116°時(shí)，ooooo asinC 20s in 24°C 180 (A B) 180(40116 ) 24 , c013(cm).sinA si n40點(diǎn)評(píng)：應(yīng)用正弦定理時(shí)1應(yīng)注意兩邊和其中一邊的對(duì)角解三角形時(shí)，可能有兩解的情形；2對(duì)于解三角形中的復(fù)雜運(yùn)算可使用計(jì)算器3，求tan A的值和 ABC的面積。2解法一：先解三角方程，求出角A的值osi nA cos Ai 2 cos(A45 )2J2cos(A 45 )12.又0 A 1

7、80：A 4560 , A105.tan A tan(45160 )-231.3題型2:三角形面積例 2 在 ABC 中，sin A cosA , AC 2 , ABsinA sin105 sing560) sin45 co$60 cos45 sin60SABC2 AC ABsinA 2 2 3后)。解法二：由sinA cos A計(jì)算它的對(duì)偶關(guān)系式 si nA cos A的值。sinA cos A2 1(si nA cos A)12sin Acos A一2叮 0 A 180 , si nA 0,cos A 0.1另解(si n2A2)2(si nA cos A) 1 2si nAcosAsin

8、 A cos A+得si nA從而tan A一得cos Asin A cosA、2644, 2 . 6以下解法略去。點(diǎn)評(píng)：本小題主要考查三角恒等變形、三角形面積公式等根本知識(shí)，著重?cái)?shù)學(xué)考查運(yùn)算能力，是一道三角的根底試題。兩種解法比擬起來(lái)，你認(rèn)為哪一種解法比擬簡(jiǎn)單呢？題型3:三角形中的三角恒等變換問(wèn)題例3 在 ABC中，a、b、c分別是/ A、/ B/ C的對(duì)邊長(zhǎng)， a、b、c成等比數(shù)列，且 a2bsin Bc2=ac be,求/ A的大小及的值。c分析：因給出的是 a、b、c之間的等量關(guān)系，要求/ 代 需找/ A與三邊的關(guān)系，故可用余弦定理。2 bK o j n 口的值。由b2=ac可變形為

9、=a，再用正弦定理可求c解法一： a、b、c成等比數(shù)列， b2=ac。2 2 2 2 2又 a c =ac bc,. b +c a =bc。在厶ABC中，由余弦定理得:cosA=b2c2 a2 _ be _ i2bc 2bc 2在厶ABC中，由正弦定理得sinB=bsin A2/ b =ac,/ A=602bsinB b sin 60=si n60cac解法二：在 ABC中,由面積公式得 1 bcsin A=1 acsin B。2 22 2/ b =ac,Z A=60 °,. bcsin A=b sin B。/. bsin B =sin A=仝。c評(píng)述：解三角形時(shí)，找三邊一角之間的關(guān)

10、系常用余弦定理，找兩邊兩角之間的關(guān)系常用正弦定理。題型4:正、余弦定理判斷三角形形狀例4 .在 ABC中，假設(shè)2cosBsin A= sinC，那么 ABC的形狀一定是A.等腰直角三角形B.直角三角形C.等腰三角形D.等邊三角形答案：C解析：2sinAcosB= sin C =sin A+ B=sinAcosB+cosAsinBsin A B= 0 ,二 A= B另解：角化邊點(diǎn)評(píng)：此題考查了三角形的根本性質(zhì)，要求通過(guò)觀察、分析、判斷明確解題思路和變形方向，通暢解題途徑題型5:三角形中求值問(wèn)題B c例5. ABC的三個(gè)內(nèi)角為 A、B、C，求當(dāng)A為何值時(shí)，cosA 2cos取得最大值，并求出這個(gè)最

11、大值。B+C n AB+C A解析：由 A+B+Cn，得-=2 2，所以有 cos =sin 2。B+CA2AAA 1 2 3cosA+2cos' =cosA+2si n ' =1 2si n ' + 2si n = 2(sin ) + ;2 2 2 2 ' 2 2， 2'AA口亠QQ當(dāng)sin 2 = 2，即卩人=3 時(shí)，cosA+2cos 三-取得最大值為 ？。點(diǎn)評(píng)：運(yùn)用三角恒等式簡(jiǎn)化三角因式最終轉(zhuǎn)化為關(guān)于一個(gè)角的三角函數(shù)的形式，通過(guò)三角函數(shù)的 性質(zhì)求得結(jié)果。題型6:正余弦定理的實(shí)際應(yīng)用75°,然后求例6.2021遼寧卷文，理如圖， A,B,

12、C,D都在同一個(gè)與水平面垂直的平面內(nèi)，B, D為兩島上的兩座燈塔的塔頂。測(cè)量船于水面A處測(cè)得B點(diǎn)和D點(diǎn)的仰角分別為30°,于水面C處測(cè)得B點(diǎn)和D點(diǎn)的仰角均為60° ,AC=0.1km。試探究圖中B, D間距離與另外哪兩點(diǎn)間距離相等，B, D的距離計(jì)算結(jié)果精確到0.01km,21.414 ,2.449解：在厶ABC中，/ DAC=30 , /ADC=60 -Z DAC=30,所以 CD=AC=0.1 又Z BCD=180 60°- 60° =60°,故CB> CAD底邊AD的中垂線，所以 BD=BAABACACs in603返J6因此，BD

13、= 200.33km。在厶ABC中,20sinBCA_ siABC'即 AB= sin 15故B, D的距離約為 0.33km。點(diǎn)評(píng)：解三角形等內(nèi)容提到高中來(lái)學(xué)習(xí)，又近年加強(qiáng)數(shù)形結(jié)合思想的考查和對(duì)三角變換要求的降低, 對(duì)三角的綜合考查將向三角形中問(wèn)題伸展，但也不可太難，只要掌握根本知識(shí)、概念，深刻理解其中 根本的數(shù)量關(guān)系即可過(guò)關(guān)。三、思維總結(jié)1 解斜三角形的常規(guī)思維方法是:12兩角和一邊如 A、B C，由A+B+C= n求C由正弦定理求 a、b;兩邊和夾角如a、b、c，應(yīng)用余弦定理求 c邊；再應(yīng)用正弦定理先求較短邊所對(duì)的角,然后利用A+B+C= n,求另一角;3兩邊和其中一邊的對(duì)角如a

14、、b、A應(yīng)用正弦定理求B,由A+B+C=n求C,再由正弦定理或余弦定理求 c邊，要注意解可能有多種情況;4三邊 a、b、c,應(yīng)余弦定理求 A B,再由A+BC = n ,求角C。2.三角學(xué)中的射影定理：在 abc中，b a cosC c cos A，3.兩內(nèi)角與其正弦值：在厶 abc中，A B sin A sin B，4解三角形問(wèn)題可能出現(xiàn)一解、兩解或無(wú)解的情況，這時(shí)應(yīng)結(jié)合“三角形中大邊對(duì)大角定理及幾何作圖來(lái)幫助理解。三、課后跟蹤訓(xùn)練1. 2021上海文數(shù)18.丨假設(shè) ABC的三個(gè)內(nèi)角滿足sin A:sin B :sinC 5:11:13，那么 ABC A一定是銳角三角形.C一定是鈍角三角形.

15、(D)解析：由 sin A:sin B :sin C5:11:13 及正弦定理得 a:b:c=5:11:132 2由余弦定理得 cosc 2 5 1113'0,所以角C為鈍角2. 2021天津理數(shù) 7在厶ABC中，內(nèi)角 A,B,C的對(duì)邊分別是a,b,c，假設(shè)a2 3bC ,sin C 2；3sin B，貝y a=(A30°B600C1200D1500B一定是直角三角形.可能是銳角三角形，也可能是鈍角三角形【答案】A【解析】此題主要考查正弦定理與余弦定理的根本應(yīng)用，屬于中等題。由正弦定理得2R2 疏 c 2 ,b , 2R所以2 2 2b +c -acosA=2bc尿c I旦，

16、所以a=3002bc22bc【溫馨提示】解三角形的根本思路是利用正弦、余弦定理將邊化為角運(yùn)算或?qū)⒔腔癁檫呥\(yùn)算。，貝U cosB =3. 2021 湖北理數(shù)3.在 ABC 中，a=15,b=10,A=60【答案】D【解析】根據(jù)正弦定理sin Ab15sin B 可得 sin6010 3而解得sinB 3,又因?yàn)閎 a，那么B A，故B為銳角，所以cosB V1 sin2B ，故D正確. 34. 2021廣東理數(shù)11.a,b,c分別是 ABC的三個(gè)內(nèi)角A,B,C所對(duì)的邊，假設(shè)a=1,b=3 , A+C=2B,sinC=解：由A+C=2B及A+B+C=180°知，B=60°.由正

17、弦定理知， ，即si nA - 由si nA sin 602b 知，A B 60，那么 A 30 ,180 A B 180" 30 6090，sinC sin90 1AC5 2021湖南卷文在銳角 ABC中，BC 1,B 2A,那么的值等于，AC的取值范cos A圍為解析設(shè) A，B2 .由正弦定理得ACBCAC1AC2sin 2sin2cos1cos2.由銳角ABC 得 029045 ,又0180 3903060 ,故30452cos.322AC2cos(2, 3).6. 2021全國(guó)卷I理在 ABC中，內(nèi)角a、b、c的對(duì)邊長(zhǎng)分別為a、b、C ,a c 2b,且 sin AcosC

18、3cos Asin C,求 b22分析：此題事實(shí)上比擬簡(jiǎn)單，但考生反響不知從何入手.對(duì)條件1a c 2b左側(cè)是二 次的右側(cè)是一次的，學(xué)生總感覺(jué)用余弦定理不好處理 ，而對(duì)條件2sin AcosC 3cosAsinC,過(guò)多的關(guān)注兩角和與差的正弦公式，甚至有的學(xué)生還想用現(xiàn)在已經(jīng)不再考的積化和差，導(dǎo)致找不到突破口而失分.解法：在 ABC中那么二'sin AcosC 3cos Asin C，由正弦定理及余弦定理2ac,2,2 2 ,2 22bc亠 a b c 3 c 有：a32ab角化邊化簡(jiǎn)并整理得:2(a22 2 2 2 2c) b .又由a c 2b 4b b .解得b 4或b 0舍.7 .

19、在 ABC中， A BC成等差數(shù)列，求tan A tanC紹哺的值。解析：因?yàn)?A B、C成等差數(shù)列，又A+ B+ C= 180°,所以 A+ C= 120 °,從而 A C = 60°,故 tan A C2 2.A .C.3 .由兩角和的正切公式，得_ an 2一 “ 2一3。4 + A* C1 tan tan2 2所以 tan A tanC 33tanAtanC,2 2 2 2AC匚丄 AC匚tan tan3 tan tan 3。22 22點(diǎn)評(píng)：在三角函數(shù)求值問(wèn)題中的解題思路，一般是運(yùn)用根本公式，將未知角變換為角求解,同時(shí)結(jié)合三角變換公式的逆用。8. 2021

20、四川卷文在ABC中，A B為銳角，角A B、C所對(duì)的邊分別為a、b c,且sin A ,sin B51010I求A B的值;解|.A、B為銳角,二 cos A1 sin2 A假設(shè)ab2 1,求 asin A5 ,sin B.105105,cos B1sin2 B3 1010、b、c的值。cos(AB)cos AcosBsin Asin B 空53、105. 107q105 0II丨由B 一4i C襄 sin C 2由旦sin Absin Bc得sin C5a 10b.2c,即 a 2b,c 5b又 a b 2 1a 、2,c9. 2021陜西文數(shù)17本小題總分值12分 在厶ABC中， B=45

21、° ,D是BC邊上的一點(diǎn)，AD=10,AC=14,DC=6,求 AB 的長(zhǎng).解 在厶 ADC中, AD=10,AC=14,DC=6, 由余弦定理得cos AD2 DC2 AC2 =100 36 1961cos,2AD *DC2 10 62ADC=120 , ADB=60在厶 ABD中，AD=10,B=45° , ADB=60 ,由正弦定理得ABAD ,sin ADB sin B二 AB=ADsin ADB 10sin 6010 訃=廬 上 56 sin Bsin 45屈T10. 2021遼寧文數(shù)17本小題總分值12分在 ABC中，a、b、c分別為內(nèi)角 A B、C的對(duì)邊，且

22、2asin A (2b c)sin B (2c b)sin C1求A的大?。籲假設(shè)sin B sin C 1，試判斷 ABC的形狀.解：I由，根據(jù)正弦定理得2a2 (2b c)b (2c b)c2 2 2即 a b c bc由余弦定理得a2 b2 c2 2bccosA故 cos A ,A 12022 2 25由I得 sin A sin B sin C sinBsinC.1又 sinB sinC 1，得 sinB sinC2因?yàn)?0 B 90 ,0 C 90 ,故B C所以ABC是等腰的鈍角三角形。11. 2021遼寧理數(shù)17本小題總分值12分在厶ABC中，a, b, c 分別為內(nèi)角A, B,

23、C 的對(duì)邊，且2asinA (2a c)sin B (2c b)sinC.I求A的大??；n求sin B sin C的最大值.2解：I由，根據(jù)正弦定理得2a (2b c)b (2c b)c即a2 b2 c2 bc2 2 2由余弦定理得a b c 2bccosA故 cosA 1, A=120°6 分25由I得：si nB si nC sin B si n(60 B)V3icosB si nB22si n(60 B)故當(dāng)B=30°時(shí)，sinB+sinC 取得最大值1。補(bǔ)充：海倫公式：有一個(gè)三角形，邊長(zhǎng)分別為 a、b、c,三角形的面積 S可由以下公式求得：S - y/p(p-a(p

24、-b)(p-c)而公式里的p為半周長(zhǎng)周長(zhǎng)的一半：根本關(guān)系轉(zhuǎn)化：倒數(shù)關(guān)系：二 L ； tosusEco 二 L； Umticota 二 L商的關(guān)系：sin a亠<JS£rtann =cotd 二sin a平方關(guān)系：sin a 4-cos 二 1 ； 1 * Zn 二 sec a ； 1 +cot a - esc a和差角公式sin(d + 戸二 si n a cos + cos * sinsin(d -= sin a cos p - cos sin fco5(ft + ) = costfcos -5in«sinfcos(tr-0二 cos cos +5in asinft

25、o 口口 +tanfitan a - tan Stav(a 一苗二 -r 1 + tana tan 8icottf cottf 1rot a + | =rcot Xotorcotp -cotffsin(n-+y = sin a-cos cos y +cos a. sincosy+cos酒 cospsiny-sirid sinsiny cos(£r+p+y) = cos a cos 0 cgs y-cos 我 sin 0 sin y-sin & cos siny-sinttsm cos ya _# cos 和差化積sina + sin 0 = 2sin 蘭寸-7衛(wèi)盤+卩.0si

26、na- sinp 二 2cos-sin -£L“科aSa-B<05 a + COS p - ZCO5 - CO5 - r 盤 +0 . casfl-co5= -2 sin sin ?tan fl + tan 8 -cos a cossin(ff +£)口訣：正加正，正在前，余加余，余并肩正減正，余在前，余減余，負(fù)正弦積化和差sin orcos = y sin (a + 0)十亍 in (a 一0) casasin= -sin(a + )-sin(a -)二 j + ) + cos(asinffsin = cos (a + p) - cos(a _0)倍角公式二倍角si

27、n2ft - 2sine cosennj_ncos2a =cas a-sin =2ccs a-l-L - 2sin a 2tanatan2tr =1- tan2 a三倍角三倍角公式推導(dǎo)sin 3a) 3sina -4sin3a=sin 2acosa+cos2as ina=2sina 1-sin2a)+ 1-2sin2a)sina=3si na-4si n3acos3a t 4cosA3a -3cosa=cos 2a+a)=cos2acosa-s in 2as ina=2cosA2a-1cosa-2 1-cosA2a)cosa=4cosA3a-3cosasin3a t 4si nasin 60°+a)sin 60° -a)=3si na-4si nA3a=4sina 3/4-sinA2a)=4sina V3/2 -sina V3/2 +sina=4s in a(s in60 +sin a)(s in60 °ina)=4s in a*2s in 60+a)/2cos 60 ° -a)/2*2si n 60 ° -a)/2cos 60 ° +a)/2=4sinasin