電子科大-微分方程

1、1第九章第九章電子科技大學(xué)應(yīng)用電子科技大學(xué)應(yīng)用數(shù)學(xué)學(xué)院數(shù)學(xué)學(xué)院2014.022014.022解解)(xyy 設(shè)設(shè)所所求求曲曲線線為為，xxy2dd xxyd22,1 yx時(shí)時(shí)其中其中,2Cx , 1 C得得.12 xy所所求求曲曲線線方方程程為為例例 一一 曲曲線線 通通 過過點(diǎn)點(diǎn) (1,2),且且 在在 該該 曲曲 線線上上任任 一一 點(diǎn)點(diǎn)),(yxM處處的的切切線線的的斜斜率率為為x2,求求這這曲曲線線的的方方程程. 第一節(jié)第一節(jié) 基本概念基本概念，代代入入將將2, 1 yx3凡含有未知函數(shù)的導(dǎo)數(shù)或微分的方程叫凡含有未知函數(shù)的導(dǎo)數(shù)或微分的方程叫微分方程微分方程. .例例,xyy , 0dd

2、)(2 xxtxt,e32xyyy , yxxz 若未知函數(shù)是一元函數(shù)，稱若未知函數(shù)是一元函數(shù)，稱常微分方程常微分方程，否，否則稱則稱偏微分方程偏微分方程. . 本章只討論前者本章只討論前者. 方程中所含未知函數(shù)的導(dǎo)數(shù)的最高階方程中所含未知函數(shù)的導(dǎo)數(shù)的最高階,稱為微稱為微分方程的分方程的階階 ., 0),( yyxF一階微分方程一階微分方程);,(yxfy 高階高階( (n階階) )微分方程微分方程, 0),()( nyyyxF).,()1()( nnyyyxfy4使方程成立的函數(shù)稱微分方程的使方程成立的函數(shù)稱微分方程的解解. .微分方程的解的分類：微分方程的解的分類：(1)(1)通解通解:

3、: 微分方程的解中含有任意常數(shù)微分方程的解中含有任意常數(shù), ,且任且任意常數(shù)的個(gè)數(shù)與微分方程的階數(shù)相同意常數(shù)的個(gè)數(shù)與微分方程的階數(shù)相同. .(2)(2)特解特解: : 確定了通解中任意常數(shù)以后的解確定了通解中任意常數(shù)以后的解. ., yy 例例;excy 通通解解, 0 yy;cossin21xcxcy 通解通解初始條件初始條件: : 用來確定任意常數(shù)的條件用來確定任意常數(shù)的條件. .5過定點(diǎn)的積分曲線過定點(diǎn)的積分曲線; 00),(yyyxfyxx一階一階:二階二階: 0000,),(yyyyyyxfyxxxx過定點(diǎn)且在定點(diǎn)的切線的斜率為定值的積分曲線過定點(diǎn)且在定點(diǎn)的切線的斜率為定值的積分曲線

4、.初值問題初值問題: : 求微分方程滿足初始條件的解的問題求微分方程滿足初始條件的解的問題. .6第二節(jié)第二節(jié) 可分離變量的微分方程可分離變量的微分方程( )( )g y dyf x dx xxfyygd)(d)(設(shè)函數(shù)設(shè)函數(shù))(yG和和)(xF是依次為是依次為)(yg和和)(xf的某個(gè)原函數(shù)的某個(gè)原函數(shù), CxFyG )()(為微分方程的通解為微分方程的通解.兩邊積分兩邊積分,為為可分離變量的方程可分離變量的方程. . 稱稱則則7解解分分離離變變量量, ,xxyyd2d2 , , 積積分分 Cxy 21, , 所所以以通通解解為為 Cxy 21. . 例例1 18解解例例2 29第三節(jié)第三節(jié)

5、 一階線性微分方程一階線性微分方程)()(ddxQyxPxy 一階線性微分方程一階線性微分方程的標(biāo)準(zhǔn)形式的標(biāo)準(zhǔn)形式:, 0)( xQ當(dāng)當(dāng)上方程稱為上方程稱為齊次的齊次的. .上方程稱為上方程稱為非齊次的非齊次的. ., 0)( xQ當(dāng)當(dāng)例如例如d dd d2,yyxxx ,sindd2ttxtx 1,yy 2cos,yyx 線性的線性的;非線性的非線性的.一、線性方程一、線性方程10. 0)(dd yxPxy,d)(dxxPyy ,d)(d xxPyy,lnd)(lnCxxPy 齊次方程的通解為齊次方程的通解為.ed)( xxPCy1. 線性齊次方程線性齊次方程一階線性微分方程的一階線性微分方

6、程的解法解法使用分離使用分離變量法變量法這這里里記記號(hào)號(hào) xxPd)(表表示示)(xP的的某某個(gè)個(gè)確確定定的的原原函函數(shù)數(shù). . 112.2. 線性非齊次方程線性非齊次方程).()(ddxQyxPxy 常數(shù)變易法把相對(duì)應(yīng)的齊次方程通解中的常數(shù)變易為待定函數(shù)把相對(duì)應(yīng)的齊次方程通解中的常數(shù)變易為待定函數(shù)的方法的方法. .實(shí)質(zhì)實(shí)質(zhì): : 未知函數(shù)的變量代換未知函數(shù)的變量代換.作變換作變換 xxPxuyd)(e )(,e)()(e )(d)(d)( xxPxxPxPxuxuy代代入入原原方方程程得得和和將將yy ),(e )(d)(xQxuxxP 12,de)()(d)(CxxQxuxxP 積分得積分

7、得所以一階線性非齊次微分方程的通解為所以一階線性非齊次微分方程的通解為:de)(ed)(d)(CxxQyxxPxxP xxQCxxPxxPxxPde)(eed)(d)(d)( 對(duì)應(yīng)齊次方對(duì)應(yīng)齊次方程的通解程的通解非齊次方程特解非齊次方程特解,e )()(d)( xxPxQxu代代入入原原方方程程得得和和將將yy ),(e )(d)(xQxuxxP xxPxuyd)(e )(13求求方方程程的的通通解解23.xyye 先先求求對(duì)對(duì)應(yīng)應(yīng)的的齊齊次次方方程程的的通通解解30dyydx 3.xyce 再再設(shè)設(shè)為為原原方方程程的的解解，代代入入得得3( )xyc x e 3332( )3 ( )3 (

8、)xxxxc x ec x ec x ee 解解例例1 1得得到到5( )xc xe 51( )5xc xeC通通解解531().5xxyeC e 14求求方方程程的的通通解解23.xyye ( )3,P x 2( ),xQ xe d dd de ee ed d332xxxyexC e ed d35xxexC 351().5xxeeC 解法解法2 2de)(ed)(d)(CxxQyxxPxxP 例例1 115Review)()(ddxQyxPxy 一階線性微分方程一階線性微分方程的標(biāo)準(zhǔn)形式的標(biāo)準(zhǔn)形式:, 0)( xQ當(dāng)當(dāng)上方程稱為上方程稱為齊次的齊次的.上方程稱為上方程稱為非齊次的非齊次的.,

9、 0)( xQ當(dāng)當(dāng). 0)(dd yxPxyd de e( ).P xxyC 1. 線性齊次方程線性齊次方程16ReviewReview常數(shù)變易法常數(shù)變易法 xxPxuyd)(e )(,e)()(e )(d)(d)( xxPxxPxPxuxuy),(e )(d)(xQxuxxP 2.2. 線性非齊次方程線性非齊次方程).()(ddxQyxPxy ,de)()(d)(CxxQxuxxP ddddddeeedeeed( )( )( )( ).P xxP xxP xxyCQ xx 170)()( yxQyxPy(3)線性微分方程的解的結(jié)構(gòu)線性微分方程的解的結(jié)構(gòu)先討論先討論二階二階齊次線性方程齊次線性

10、方程如如果果)(),(21xyxy是是方方程程( (3 3) )的的兩兩個(gè)個(gè)解解, ,則則它它們們的的任任意意線線性性組組合合 也是也是(3)的解的解. .)()(2211xyCxyCy 定理定理1 1(4)進(jìn)一步，進(jìn)一步，如果)(),(21xyxy線性無關(guān),則則(4)就是就是(3)的的通解通解. .1. 1. 齊次線性方程解的結(jié)構(gòu)齊次線性方程解的結(jié)構(gòu)180)()()(1)1(1)( yxPyxPyxPynnnn(2)推論推論(齊次線性方程的疊加原理齊次線性方程的疊加原理) 如如果果)(),(),(21xyxyxyn是是n階階齊齊次次方方程程 的的n個(gè)線性無關(guān)的解個(gè)線性無關(guān)的解, , 則它們的

11、任意線性組合則它們的任意線性組合，)()()(2211xyCxyCxyCynn 即為方程即為方程(2)的通解的通解. .192. 2. 非齊次線性方程解的結(jié)構(gòu)非齊次線性方程解的結(jié)構(gòu)回顧：回顧：)()(ddxQyxPxy 一階線性微分方程一階線性微分方程de)(ed)(d)(CxxQyxxPxxP xxQCxxPxxPxxPde)(eed)(d)(d)( 對(duì)應(yīng)齊次方對(duì)應(yīng)齊次方程的通解程的通解非齊次方程特解非齊次方程特解202. 2. 非齊次線性方程解的結(jié)構(gòu)非齊次線性方程解的結(jié)構(gòu). yYy定理定理2 2設(shè)設(shè))(xy 是二階非齊次線性方程是二階非齊次線性方程 (5)的一個(gè)特解的一個(gè)特解, ,)(xY

12、是是與與(5)對(duì)對(duì)應(yīng)應(yīng)的的齊齊次次線線性性方方程程 0)()( yxQyxPy(3)()()(xfyxQyxPy 的通解的通解, , 那么那么(5)的通解為的通解為21(1)為二階為二階常系數(shù)常系數(shù)齊次線性微分方程齊次線性微分方程, , 常系數(shù)齊次線性微分方程常系數(shù)齊次線性微分方程 0 cyybya由由定定理理 1 1 知知, ,若若求求得得齊齊次次方方程程(1)的的兩兩個(gè)個(gè)特特解解)()(21xyxy，, , 且且 )(/ )(21xyxy常常數(shù)數(shù), ,則則(1)的的通通解解為為 )()(1211xyCxyCy , ,其其中中21,CC為為任任意意常常數(shù)數(shù). . 例例如如, ,0 yy, ,

13、 有有兩兩個(gè)個(gè)特特解解 xyxycos,sin21 , , 它它們們顯顯然然線線性性無無關(guān)關(guān), , 于是方程通解為于是方程通解為 .cossin21xCxCy 其中其中a, ,b, ,c是常數(shù)是常數(shù). .稱稱22(1)0 cyybya下下面面來來尋尋找找方方程程(1)的的形形如如 rxye 的的特特解解. . 將將rxye 代代入入方方程程(1), ,得得 而而0e rx, ,于于是是有有 (2) 代數(shù)方程代數(shù)方程(2)稱為微分方程稱為微分方程(1)的的特征方程特征方程, ,它的根稱為它的根稱為特征根特征根. . 23(3)情形情形 1 1 若若0 , , 則則特特征征方方程程(2)有有兩兩個(gè)

14、個(gè)相相異異的的實(shí)實(shí)根根 得得到到方方程程(1)的的兩兩個(gè)個(gè)特特解解xry1e1 , ,xry2e2 , , 而而Cxyxyxrr )(2121e)(/ )(, , 故故它它們們線線性性無無關(guān)關(guān), , 因因此此(1)的的通通解解為為 xrxrCCy21ee21 . . 下下面面來來尋尋找找方方程程(1)的的形形如如 rxye 的的特特解解. . 24情情形形 2 2 若若 0 , , 則則特特征征方方程程(2)有有兩兩個(gè)個(gè)相相等等的的實(shí)實(shí)根根 只只得得到到方方程程(1)的的一一個(gè)個(gè)特特解解 xry1e1 , , 需需要要求求另另一一個(gè)個(gè)特特解解 2y, ,使使 12/ yy常常數(shù)數(shù). . 設(shè)設(shè))

15、(/12xuyy , , 即即xrxuy1e)(2 , , 代代入入方方程程(1), ,并并約約去去 xr1e, ,得得 取取特特解解 xu , , 即即得得xrxy1e2 , , 于于是是(1)的的通通解解為為 xrxCCy1e)(21 . . 25情情形形 3 3 若若 0 , , 則則特特征征方方程程(2)有有一一對(duì)對(duì)共共軛軛復(fù)復(fù)根根 ir 2, 1, , 方方程程(1)有有兩兩個(gè)個(gè)特特解解 xiy)(1e , ,xiy)(2e , , )sincos(e21xCxCyx . . 由由歐歐拉拉公公式式知知 由由疊疊加加原原理理, , xiyyyxyyyxx sine2/ )(cose2/

16、 )(212211 仍仍然然是是(1)的的解解, , 且且線線性性無無關(guān)關(guān), , 所所以以方方程程(1)的的通通解解為為 )sin(cose)sin(cose21xixyxixyxx 2602 cbrar0 cyybya小結(jié)小結(jié) 特征根的情況特征根的情況通解的表達(dá)式通解的表達(dá)式 21rr 21rr ir 2, 1實(shí)根實(shí)根實(shí)根實(shí)根復(fù)根復(fù)根xrxrCCy21ee21 xrxCCy1e)(21 )sincos(e21xCxCyx 27解解特征方程為特征方程為故所求通解為故所求通解為例例1 1例例2 2.052的的通通解解求求方方程程 yyy解解特征方程為特征方程為,0522 rr解得解得,2121i

17、r ，故所求通解為故所求通解為).2sin2cos(e21xCxCyx 28解解特征方程為特征方程為故所求通解為故所求通解為例例3 3例例4 4.0136的的通通解解求求方方程程 yyy解解特征方程為特征方程為,01362 rr解得解得,2321ir ，故所求通解為故所求通解為).2sin2cos(e213xCxCyx 29解解特征方程為特征方程為故通解為故通解為求求微微分分方方程程0dd2dd22 ststs滿滿足足初初始始條條件件 0122 rr, , 特特征征根根為為 121 rr, , ttCCs e )(21. . 2)0(, 4)0( ss的的特特解解. . 4)0(1 Cs, ,

18、 ttCCCs e)(212, , 2) 0( 12 CCs, , 22 C, , 所所以以所所求求特特解解為為 tts e)24(. . 例例5 5P205P20530n階常系數(shù)齊次線性方程階常系數(shù)齊次線性方程01)1(1)( yPyPyPynnnn特征方程為特征方程為0111 nnnnPrPrPr特征方程的根特征方程的根通解中的對(duì)應(yīng)項(xiàng)通解中的對(duì)應(yīng)項(xiàng)rk重重實(shí)實(shí)根根若若是是rxkkxCxCCe)(1110 ik 根根重重共共軛軛復(fù)復(fù)若若是是xkkkkxxDxDDxxCxCC e sin)(cos)(11101110 31)(xfqyypy 二階常系數(shù)非齊次線性方程二階常系數(shù)非齊次線性方程對(duì)應(yīng)

19、齊次方程對(duì)應(yīng)齊次方程, 0 qyypy通解結(jié)構(gòu)通解結(jié)構(gòu), yYyf(x)常見類型常見類型),(xPm,e)(xmxP ,cose)(xxPxm ,sine)(xxPxm 難點(diǎn)難點(diǎn)：如何求特解？如何求特解？ 方法方法：待定系數(shù)法待定系數(shù)法.* *常系數(shù)非齊次線性微分方程常系數(shù)非齊次線性微分方程 32其其中中 是是常常數(shù)數(shù), ,)(xPm是是m次次多多項(xiàng)項(xiàng)式式. . 設(shè)設(shè)xxQy e )( , ,其中其中)(xQ是多項(xiàng)式是多項(xiàng)式, , xxxQxQy e )(e )()( , , xxxxQxQxQy e )(e )(2e )()(2 , , 代代入入方方程程)(xfqyypy , , 整整理理并

20、并約約去去x e, ,得得 )()()2(2xPQqpQpQm ( (* *) ) 情情形形1 1 若若 不不是是特特征征根根, , 即即02 qp , , 則則可可設(shè)設(shè))(xQ為為次次數(shù)數(shù)與與)(xPm次次數(shù)數(shù)相相同同的的多多項(xiàng)項(xiàng)式式: : )()(xQxQm , , xmxQy e )( . . 即即 型型一、一、)(e)(xPxfmx 則則33)()()2(2xPQqpQpQm ( (* *) ) 情情形形2 2 若若 是是特特征征方方程程的的單單根根, , 即即02 qp , , )()(xxQxQm , , xmxxQy e )( . . 即即 而而02 p , , 則則令令 情情形

21、形3 3 若若 是是特特征征方方程程的的二二重重根根, , 即即02 qp , , )()(2xQxxQm , , xmxQxy e )(2 . . 即即 且且02 p , , 則則令令 然然后后根根據(jù)據(jù)恒恒等等式式( (* *) )來來確確定定)(xQ, ,從從而而得得到到特特解解 y. . 34綜上討論綜上討論 )(xQ不是特征根不是特征根 )(exPqyypymx 設(shè)特解為設(shè)特解為，)(xQm是單特征根是單特征根 ，)(xxQm是二重特征根是二重特征根 ，xxQy e)( 其中其中，)(2xQxm)()()2(2xPQqpQpQm 代入原方程代入原方程, ,或利用下式或利用下式來確定來確

22、定Q(x). .35解解對(duì)應(yīng)齊次方程通解對(duì)應(yīng)齊次方程通解特征方程特征方程, 0322 rr特征根特征根，1321 rr,ee231xxCCY 求求微微分分方方程程1332 xyyy的的通通解解. . 因因?yàn)闉? 不不是是特特征征根根, , 故故設(shè)設(shè)特特解解baxy , , 代代入入原原方方程程, ,得得 13)( 32 xbaxa, , 31, 1 ba, , 所所以以特特解解 xy 31, , 即即原原方方程程的的通通解解為為 31ee321 xCCyxx. . 例例1 136.e232的的通通解解求求方方程程xxyyy 解解對(duì)應(yīng)齊次方程通解對(duì)應(yīng)齊次方程通解特征方程特征方程, 0232 rr

23、特征根特征根，2121 rr.ee221xxCCY 是是單單根根，2 ),()(BAxxxQ 其其中中代入代入xBAxA 22，121 BA，于于是是xxxy2e )121( 原方程通解為原方程通解為.e ) 121(ee2221xxxxxCCy 例例2 2,e )(2xxQy 設(shè)設(shè)得得，)()()2(2xPQqpQpQm 37解解對(duì)應(yīng)齊次方程通解對(duì)應(yīng)齊次方程通解特征方程特征方程, 0962 rr特征根特征根，32, 1 r.e )(321xxCCY 求求微微分分方方程程xxyyy3e96 的的通通解解. . 因因?yàn)闉? 是是二二重重特特征征根根, , 故故設(shè)設(shè)特特解解為為xxQy3e )(

24、, , 其其中中232)()(bxaxbaxxxQ , , xbax 26, , 解解得得 0,61 ba, , 所所以以特特解解 xxy33e61 , , 即即原原方方程程的的通通解解為為 xxxxCCy33321e61e )( . . 代入代入得得例例3 3，)()()2(2xPQqpQpQm 38由由歐歐拉拉公公式式, , 其其中中 ixPxPxPnl2)(2)()( ixPxPnl2)(2)( , , ixPxPxPnl2)(2)()( ixPxPnl2)(2)( 互互為為共共軛軛的的m次次多多項(xiàng)項(xiàng)式式, , ,maxnlm . . 型型二二、xxPxxPxfnlx sin)(cos)

25、(e)( 2ee)(2ee)(e)(ixPxPxfxixinxixilx xixixPxP)()(e)(e)( 39由由第第一一種種情情況況可可知知, , 可可求求m次次多多項(xiàng)項(xiàng)式式)(xQm, , 使使ximkxQxy)(1e)( 為為方方程程 xixPqyypy)(e)( 的的特特解解, , 其其中中 是是特特征征方方程程的的單單根根不不是是特特征征方方程程的的根根 iik , 1 , 0 , , )(),(xPxP互互為為共共軛軛的的m次次多多項(xiàng)項(xiàng)式式 由由于于xixP)(e)( 與與xixP)(e)( 共共軛軛, , 故故ximkxQxy)(2e)( 必必為為方方程程 xixPqyyp

26、y)(e)( 的的特特解解, , 由由疊疊加加原原理理, , xixixPxPxf)()(e)(e)()( 40由由疊疊加加原原理理, , ximkximkxQxxQxyy)()(21e)(e)( 是是原原方方程程的的一一個(gè)個(gè)特特解解. . 化化簡(jiǎn)簡(jiǎn): : e)(e)(eximximxkxQxQxy 共軛共軛其其中中)(),()2()1(xRxRmm是是( (實(shí)實(shí)系系數(shù)數(shù)) )m次次多多項(xiàng)項(xiàng)式式. . )sin(cos)(exixxQxmxk )sin(cos)(xixxQm sin)(cos)(e)2()1(xxRxxRxmmxk 41解解求求微微分分方方程程xxyy2cos 的的通通解解.

27、 . 特特征征方方程程 012 r, , ir , , 所所以以對(duì)對(duì)應(yīng)應(yīng)齊齊次次方方程程的的通通解解為為 xCxCYsincos21 . . ii2 不不是是特特征征根根, , 所所以以應(yīng)應(yīng)設(shè)設(shè)特特解解為為 xdcxxbaxy2sin)(2cos)( , , xbaxcxdcxay2sin)22(2cos)22()( , , 于是于是xdcxaxbaxcy2sin)444(2cos)444()( , , 代代入入原原方方程程, ,得得 ，xxxdcxaxbaxc2cos2sin)334(2cos)334( 例例4 442，xxxdcxaxbaxc2cos2sin)334(2cos)334( 所

28、所以以 0303413034cdaabc, , 解解得得 9/4003/1dcba. . 所所以以特特解解為為xxxy2sin942cos31 . . 所所以以原原方方程程的的通通解解為為 xxxxCxCy2sin942cos31sincos21 . . 43解解求求微微分分方方程程xyy4cos22 的的通通解解. . 特特征征方方程程 02 rr, ,特特征征根根 1 , 0 r, , 所所以以對(duì)對(duì)應(yīng)應(yīng)齊齊次次方方程程的的通通解解為為 xCCxYe)(21 . . 原原方方程程轉(zhuǎn)轉(zhuǎn)化化為為xyy8cos1 . . 先先求求1 yy的的特特解解： 0 , , 單單根根, , 設(shè)設(shè)axy 1, ,