概率統(tǒng)計復(fù)習(xí)

1、概率論復(fù)習(xí)第一章 1.基本概念：基本概念：隨機事件，隨機現(xiàn)象、隨機試驗、統(tǒng)計規(guī)律性、樣本點隨機事件，隨機現(xiàn)象、隨機試驗、統(tǒng)計規(guī)律性、樣本點樣本空間、不可能事件、基本事件、隨機事件、必然事件樣本空間、不可能事件、基本事件、隨機事件、必然事件S。2.事件的關(guān)系與運算事件的關(guān)系與運算ABAB發(fā)生發(fā)生事件事件A A 與事件與事件B B 中中至少至少有一個發(fā)生有一個發(fā)生AB AB 發(fā)生發(fā)生事件事件 A A 與事件與事件B B 同時發(fā)生同時發(fā)生AB發(fā)生發(fā)生事件事件 A A 發(fā)生，但事件發(fā)生，但事件 B B 不發(fā)生不發(fā)生事件事件A A 與事件與事件B B互不相容（互斥）互不相容（互斥）AB 事件事件A A

2、與事件與事件B B互為逆事件互為逆事件AB SBA ，注：注：“A A 與與B B 互相對立互相對立”與與“A A 與與B B 互斥互斥”是不是不同的概念同的概念對偶律對偶律 ABA B ABAB , 0( )1P A( )1;()0 P SP()1()P AP A ()()()()P ABP AP BP AB 注注:(1) A,B互不相容（互斥）互不相容（互斥）)()()(BPAPBAP 3.概率的定義和性質(zhì)概率的定義和性質(zhì)(4) 若若A和和B相互獨立，則有相互獨立，則有(2)( )0,P A 則則A未必是不可能事件未必是不可能事件.(3)( )1,P A 則則A未必是必然事件未必是必然事件

3、.()() ()P ABP A P B (5)()( )()P B AP BP AB 思考：什么條件下，思考：什么條件下，?)()()(APBPABP （6）0)()()()( ABPBPAPBAP思考：若思考：若A與與B相互獨立，則相互獨立，則P(AB)=?P(AB)=0，則，則AB未必為未必為.4. 古典概型古典概型（1）拿球模型）拿球模型10個球中有個球中有4個白球，個白球，6個黑球，從中任取個黑球，從中任取5個，其中個，其中2個白球，個白球，3個黑球的概率為多少？個黑球的概率為多少？（2）生日問題）生日問題一個宿舍有一個宿舍有4個學(xué)生，個學(xué)生，:A只有只有1人生日在人生日在12月份；月

4、份；:B4個人的生日在同一個月份；個人的生日在同一個月份；:C4個人的生日不在同一個月份；個人的生日不在同一個月份； :D4人的生日在不同月份；人的生日在不同月份； :E4人中至少有人中至少有2人生日在同一個月份；人生日在同一個月份；5.條件概率與乘法定理條件概率與乘法定理6.全概率公式與貝葉斯公式全概率公式與貝葉斯公式P(AB)P(A|B)P(B) ()(|) (), ( ()0)P ABP B A P AP A ()(|) (), ( ()0)P ABP A B P BP B 1122nnB )P(BB )P(BB )P(B P P( (A A) )= =P P( (A A） P P( (

5、A A）P P( (A A）kkbiii 1P(A B )P(B )k1,2,n.P(A|B )P(B ) = =kP(AB )P(A)k kP P( (B BA A) )= =7.事件的獨立性事件的獨立性)()()(BPAPABP (|)( )( ( )0)P A BP AP B AB事件事件與與相互獨立相互獨立(|)( )( ( )0)P B AP BP A 也也相相互互獨獨立立與與與與與與BABABA,)()(1)(BPAPBAP 8. n重貝努利試驗重貝努利試驗knkknnppCkP )1()(nk,2 , 1 , 0 ，1 1、已知、已知 ()0.4,()0.3 ,P AP B (1

6、)當(dāng)當(dāng)A、B互不相容時，互不相容時，(2)當(dāng)當(dāng)A、B相互獨立時，相互獨立時，(3)當(dāng)當(dāng) 時，時，() _, () _ ;P ABP A B () _, () _ ;P ABP A B () _, () _ ;P ABP A B BA 練習(xí)：練習(xí)： 2、設(shè)三次獨立試驗中，事件、設(shè)三次獨立試驗中，事件A出現(xiàn)的概率相等，若出現(xiàn)的概率相等，若已知已知A至少出現(xiàn)一次的概率為至少出現(xiàn)一次的概率為 ，則在一次試驗中，則在一次試驗中事件事件A出現(xiàn)的概率為出現(xiàn)的概率為 。 19273. 兩個學(xué)生參加某個公司的招聘會，被聘用的概率兩個學(xué)生參加某個公司的招聘會，被聘用的概率分別為分別為0.6和和0.7，則兩個學(xué)生至

7、少有一人被該公司聘用，則兩個學(xué)生至少有一人被該公司聘用的概率為的概率為 4.設(shè)設(shè)，0)( ABP，0)( AP 則下列結(jié)論中錯誤的是（則下列結(jié)論中錯誤的是（ ） (A)事件事件A與與B互不相容；互不相容；)()()(BPAPBAP (B)(C)；)()(APBAP (D)(|)0P B A (1) (1)甲、乙兩人同時命中目標(biāo)的概率；甲、乙兩人同時命中目標(biāo)的概率； (2)(2)恰有一人命中目標(biāo)的概率；恰有一人命中目標(biāo)的概率； (3)(3)目標(biāo)被命中的概率。目標(biāo)被命中的概率。 三、三、計算題：計算題： 、甲、乙兩人各自向同一目標(biāo)射擊，已知甲、甲、乙兩人各自向同一目標(biāo)射擊，已知甲命中目標(biāo)的概率為命

8、中目標(biāo)的概率為 0.70.7，乙命中目標(biāo)的概率為，乙命中目標(biāo)的概率為0.8 0.8 求：求：解解:設(shè)設(shè) 分別表示甲乙命中目標(biāo)分別表示甲乙命中目標(biāo)。則。則BA、 0.70.8P AP B 1P AB 、0.7 0.80.56, P A P B 2P ABAB 、 P ABP AB0.70.20.8 0.3 0.38 3P AB 、 P AP BP AB0.70.80.56 0.94 2、 市場上有甲、乙、丙三家工廠生產(chǎn)的同一品牌市場上有甲、乙、丙三家工廠生產(chǎn)的同一品牌產(chǎn)品，已知三家工廠的市場占有率分別為產(chǎn)品，已知三家工廠的市場占有率分別為1/4、1/4、1/2，且三家工廠的次品率分別為，且三家工

9、廠的次品率分別為 2、1、3，試求市場上該品牌產(chǎn)品的次品率。試求市場上該品牌產(chǎn)品的次品率。第二章 1離散型隨機變量的分布律及其性質(zhì)離散型隨機變量的分布律及其性質(zhì)注：求注：求r.v分布律的步驟分布律的步驟(1)(1)列出列出X的所有可能取值；的所有可能取值； (2)(2)求出求出X的對應(yīng)取值的概率；的對應(yīng)取值的概率；(3)(3)列表列表 （1）離散型隨機變量的分布律）離散型隨機變量的分布律 一個口袋中有一個口袋中有5 5個球，個球，2 2個白球，個白球，3 3個紅球，從個紅球，從中任取三個球，以中任取三個球，以X表示取到的白球的個數(shù)，求表示取到的白球的個數(shù)，求其其分分布律布律. . 從編號為從編

10、號為1 1，2 2，3 3，4 4，5 5的的5 5個球中任取個球中任取3 3個，個，記記 X X為為3 3個球中的最大號碼，求隨機變量個球中的最大號碼，求隨機變量X X的分布律。的分布律。(2) 三個常用的離散型隨機變量三個常用的離散型隨機變量（0-1）分布，二項分布，泊松分布）分布，二項分布，泊松分布（熟記分布律，數(shù)學(xué)期望和方差）（熟記分布律，數(shù)學(xué)期望和方差）2分布函數(shù)的定義與性質(zhì)分布函數(shù)的定義與性質(zhì)( ) F xP Xx)()(aFbFbXaP)(11aFaXPaXP注意注意:（1）)()(aXPaFbFbXaP )()(bXPaFbFbXaP )()(bXPaXPaFbFbXaP （2

11、）若）若)()(21xFxF，21, XX分別為隨機變量分別為隨機變量的分布函數(shù)，則的分布函數(shù)，則 )()(21xFxF 不是任何隨機變量的分布函數(shù)。不是任何隨機變量的分布函數(shù)。因為因為12)()(lim21 xFxFx10)(- )(lim21 xFxFx3連續(xù)型隨機變量的分布律及其性質(zhì)連續(xù)型隨機變量的分布律及其性質(zhì)（1）連續(xù)型隨機變量的概率密度）連續(xù)型隨機變量的概率密度；1)( dxxf0P Xa 對于任何實數(shù)對于任何實數(shù) a,注意：對連續(xù)性隨機變量，有注意：對連續(xù)性隨機變量，有121212= = P xXxP xXxP xXx2121()()( ) xxF xF xf x dx（2）三個

12、常用的連續(xù)型隨機變量）三個常用的連續(xù)型隨機變量均勻分布，指數(shù)分布（參數(shù)為均勻分布，指數(shù)分布（參數(shù)為 ），正態(tài)分布），正態(tài)分布（熟記（熟記 概率密度，數(shù)學(xué)期望和方差）概率密度，數(shù)學(xué)期望和方差）（3）正態(tài)分布）正態(tài)分布標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的分布函數(shù)的分布函數(shù))(x ()1( )xx500.)( abbXaP),(2 NX若若，則，則)a(F)aX(P 1 1a已知已知1.23,4.PXP X 求求(1,4),XN例例4. 設(shè)某種零件的長度服從參數(shù)為設(shè)某種零件的長度服從參數(shù)為 01. 010 ，求這種零件的合格率；求這種零件的合格率； 的正態(tài)分布，規(guī)定長度誤差在的正態(tài)分布，規(guī)定長度誤差在0.02

13、 范圍內(nèi)的為合格品，范圍內(nèi)的為合格品，若任意抽取若任意抽取20個這種零件，個這種零件， 問其中不合格品不超過問其中不合格品不超過2個的個的概率是多少？概率是多少？3隨機變量函數(shù)的分布隨機變量函數(shù)的分布（1）離散型隨機變量函數(shù)的分布）離散型隨機變量函數(shù)的分布隨機變量取值從小到大排列，相同值對應(yīng)概率相加。隨機變量取值從小到大排列，相同值對應(yīng)概率相加。 （2）連續(xù)型隨機變量函數(shù)的分布）連續(xù)型隨機變量函數(shù)的分布)(xg若若不單調(diào)，則先求隨機變量不單調(diào)，則先求隨機變量 )(XgY 的分布函數(shù)的分布函數(shù) ，)(yYPyF 再求出隨機變量再求出隨機變量 Y的概率密度的概率密度 )()(yFyf 其其它它 (

14、 )( )( )0XYfh yh yyfy )(xg若若單調(diào)，則利用如下公式求單調(diào)，則利用如下公式求)(yfY其中其中 h(y) 是是g(x) 的反函數(shù)的反函數(shù)，（具體的請參照教材（具體的請參照教材 P56 ）（3）正態(tài)分布的線性函數(shù)仍服從正態(tài)分布）正態(tài)分布的線性函數(shù)仍服從正態(tài)分布 若若則則22( ,), (0), (,() )XN YaXb aYN aba 2( ,),(0,1)XXNN 若則第三章 1二維隨機變量的聯(lián)合分布，邊緣分布，獨立性二維隨機變量的聯(lián)合分布，邊緣分布，獨立性（1）二維隨機變量關(guān)于）二維隨機變量關(guān)于X,Y的邊緣分布函數(shù)分別為的邊緣分布函數(shù)分別為),()(),()(yFy

15、FxFxFYX ),()()(yxFyFxFYX X和和Y相互獨立，則相互獨立，則（2）二維離散型隨機變量關(guān)于）二維離散型隨機變量關(guān)于X,Y 的邊緣分布律分別為的邊緣分布律分別為 1.1.,iijjjijippppX和和Y相互獨立，則相互獨立，則jiijppp. , 2 , 1, ji（3）二維連續(xù)型隨機變量關(guān)于）二維連續(xù)型隨機變量關(guān)于X,Y的邊緣概率密度分別為的邊緣概率密度分別為)(yfY dxyxf),()(xfX dyyxf),(X和和Y相互獨立，則相互獨立，則)()(),(yfxfyxfYX dxdyyxfDYXPD),(),( （4）兩個常用的二維連續(xù)型隨機變量）兩個常用的二維連續(xù)型

16、隨機變量 其其它它0),(1),(GyxAyxf若二維隨機變量（若二維隨機變量（X,Y）在區(qū)域）在區(qū)域G 上服從上服從 均勻分布，則均勻分布，則其概率密度為其概率密度為其中其中A為為G的面積的面積.),(),(222121 NYX若若, ),(211 NX),(222 NY，則，則X和和Y相互獨立相互獨立0 （5）兩個隨機變量函數(shù)的分布）兩個隨機變量函數(shù)的分布221122(,), (,), XN YN 若若一般，一般，且且X和和Y相互獨立相互獨立, ,則則 有限個相互獨立的正態(tài)隨機變量的線性組合仍然服從有限個相互獨立的正態(tài)隨機變量的線性組合仍然服從正態(tài)分布正態(tài)分布結(jié)論：結(jié)論：),(222212

17、21 bacbaNcbYaX 例例1.1. 二維連續(xù)型隨機變量二維連續(xù)型隨機變量（X，Y）的概率密度為的概率密度為6(1- )01( , )0yxyf x y 其其它它試求試求(X,Y)X和和的邊緣概率密度，并判斷獨立性的邊緣概率密度，并判斷獨立性例例2.2.設(shè)隨機變量設(shè)隨機變量X和和Y相互獨立，且相互獨立，且XN(0,1),Y在區(qū)間在區(qū)間(0,2)上服從均勻分布，求上服從均勻分布，求(X,Y)的概率密度的概率密度第四章 1數(shù)學(xué)期望的概念，性質(zhì)和計算數(shù)學(xué)期望的概念，性質(zhì)和計算（1）離散型隨機變量）離散型隨機變量 122)(kkkpxXE 二維二維 1.)(iiipxXE 1.)(jjjpyYE

18、 11)(jijjiipyxXYE 1)(kkkpxXE一維一維（2）連續(xù)型隨機變量）連續(xù)型隨機變量dxxfxXE)()( )(2XEdxxfx)(2 ,二維二維 dxdyyxfxXE),()( dxdyyxfyYE),()( dxdyyxyfxXYE),()( ,（3） cYbEXaEcbYaXE )()()(一維一維2方差的概念，性質(zhì)和計算方差的概念，性質(zhì)和計算（1） 222)()()()(XEXEXEXEXD ),cov(2)()()(YXYDXDYXD （2） （3） X 與與Y 相互獨立相互獨立 )()()(22YDbXDacbYaXD 3協(xié)方差、相關(guān)系數(shù)的概念，性質(zhì)和計算協(xié)方差、相

19、關(guān)系數(shù)的概念，性質(zhì)和計算),cov(),cov(YXXY ),cov(),cov(),cov(ZYbZXaZcbYaX (1) )()()()()(),cov(YEXEXYEYEYXEXEYX （2） )()(),cov(YDXDYXXY 11 XY )0(11 abaXYPXY )0(11 abaXYPXY 例例1 . 長度為長度為l的細(xì)棒隨意折成兩段，長度分別為的細(xì)棒隨意折成兩段，長度分別為X,Y,則則 xy （3） 不相關(guān)不相關(guān)與與YX)()()(YEXEXYE 0),cov( YX0 XY )()()(YDXDYXD （4） 相互獨立相互獨立與與YX不相關(guān)不相關(guān)與與YX不相關(guān)不相關(guān)與與

20、YX相互獨立相互獨立與與YX但是，若但是，若 ( X ,Y ) N ( 1, 2, 12, 22, ), 則則XY ，即若，即若 ( X ,Y ) N ( 1, 2, 12, 22, ),則則X ,Y 相互獨立相互獨立X ,Y不相關(guān)不相關(guān)例例2 . 設(shè)設(shè)),(YX在區(qū)域在區(qū)域 ( , )|,01Gx yyxx上服從均勻分布，寫出上服從均勻分布，寫出 ),(YX的聯(lián)合概率密度，并求關(guān)于的聯(lián)合概率密度，并求關(guān)于 YX,的邊緣概率密度，判斷的邊緣概率密度，判斷 YX,是否相互獨立；又是否相互獨立；又 YX,是否互不相關(guān)是否互不相關(guān)?第五章 1大數(shù)定律（了解）大數(shù)定律（了解）)()(APAfPn)(1

21、1kPnkkXEXn 2中心極限定理中心極限定理（1）獨立同分布下的中心極限定理）獨立同分布下的中心極限定理 ，2)(,)( kkXDXE設(shè)設(shè) ，nk, 2 , 1 nXXX,21且且相互獨立，則相互獨立，則 nkkX1近似近似服從服從 ).,(2 nnN nkkXn11近似近似服從服從 ),(2nN 設(shè)設(shè) ),(pnBX，則，則 X 近似近似服從服從 (,(1)N np npp 二項分布的正態(tài)近似與二項分布的泊松近似，兩者相二項分布的正態(tài)近似與二項分布的泊松近似，兩者相比，一般在較小時，用泊松分布近似較好；而在比，一般在較小時，用泊松分布近似較好；而在5np 和和(1)5np 時，用正態(tài)分布

22、近似較好時，用正態(tài)分布近似較好注：泊松分布也可作為二項分布的近似分布當(dāng)注：泊松分布也可作為二項分布的近似分布當(dāng)很大，很小，很大，很小，(1),!kkkn knC ppek其中其中.np 例例1. 射擊不斷進(jìn)行，設(shè)每次射中的概率為射擊不斷進(jìn)行，設(shè)每次射中的概率為0.1。試求試求500次射擊中，射中的次數(shù)在區(qū)間次射擊中，射中的次數(shù)在區(qū)間49，55之之間的概率。間的概率。數(shù)理統(tǒng)計復(fù)習(xí)第六章第六章1 基本概念基本概念個體，總體，樣本（簡單隨機樣本），樣本容量，個體，總體，樣本（簡單隨機樣本），樣本容量， 樣本樣本nXXX,21的聯(lián)合分布，統(tǒng)計量的聯(lián)合分布，統(tǒng)計量 2樣本均值樣本均值 niiXnX11性

23、質(zhì)：性質(zhì)： ()()(),()D XE XE XD Xn 212)(11XXnSnii 樣本方差樣本方差 )()(2XDSE 性質(zhì)：性質(zhì)： 注意注意：必須學(xué)會用計算器計算樣本均值：必須學(xué)會用計算器計算樣本均值 2SX 和和考試時在沒有得到監(jiān)考教師允許時使用他人的計算器考試時在沒有得到監(jiān)考教師允許時使用他人的計算器可視為作弊，因此考試時務(wù)必帶好計算器?？梢暈樽鞅?，因此考試時務(wù)必帶好計算器。3.2分布、分布、t分布、分布、F分布的定義、及性質(zhì)分布的定義、及性質(zhì) 上上 分位點以及查表分位點以及查表4抽樣分布定理抽樣分布定理定理定理1 定理定理2、3、4 （教材（教材P134）第七章第七章1矩估計法（

24、用樣本的矩作為總體的矩的估計）矩估計法（用樣本的矩作為總體的矩的估計）（1）樣本均值）樣本均值 niiXnX11是總體均值是總體均值 )(XE的矩估計的矩估計（2） 21)(1XXnnii 是總體方差是總體方差 )(XD的矩估計的矩估計注意注意：樣本方差：樣本方差 2S不是總體方差不是總體方差 )(XD的矩估計的矩估計2極大似然估計法極大似然估計法極大似然估計法的步驟：極大似然估計法的步驟： （1）寫出似然函數(shù)）寫出似然函數(shù) ),()(1 niixfL或或 ),()(1 niixpL（2）似然函數(shù)取對數(shù)，化簡）似然函數(shù)取對數(shù)，化簡 )(ln L（3）求導(dǎo)數(shù)）求導(dǎo)數(shù) dLd)(ln（4）令）令

25、0)(ln dLd，解得參數(shù)，解得參數(shù) 的極大似然估計的極大似然估計 L 其其它它）（0101),(xxxf1 ，其中，其中為待估參數(shù)，為待估參數(shù)，),(21nxxx是取自總體是取自總體X 的樣本值，的樣本值，例例1. 設(shè)總體設(shè)總體X的概率密度為的概率密度為的矩估計值和最大似然估計值的矩估計值和最大似然估計值. 求參數(shù)求參數(shù)3估計的無偏性和有效性估計的無偏性和有效性（1）樣本均值）樣本均值 niiXnX11是總體均值是總體均值 )(XE的無偏估計的無偏估計 （2）樣本方差）樣本方差 2S21)(11XXnnii 是總體方差是總體方差 )(XD的無偏估計的無偏估計 注意：注意： 21)(1XXn

26、nii 不是總體方差不是總體方差 )(XD的無偏估計，的無偏估計， 樣本標(biāo)準(zhǔn)差樣本標(biāo)準(zhǔn)差 S21)(11XXnnii 不是總體標(biāo)準(zhǔn)差不是總體標(biāo)準(zhǔn)差 )(XD的無偏估計的無偏估計 （2）試判斷）試判斷g1和和g2哪一個更有效？哪一個更有效？例例2.已知總體的數(shù)學(xué)期望已知總體的數(shù)學(xué)期望 和方差和方差 都存在，都存在， X1，X2，X3是總體的樣本是總體的樣本.設(shè)設(shè)2（1）證明）證明g1和和g2都是都是 的無偏估計的無偏估計3212613121XXXg ，3211313131XXXg 4參數(shù)的區(qū)間估計參數(shù)的區(qū)間估計單個正態(tài)總體均值單個正態(tài)總體均值 的置信區(qū)間的置信區(qū)間 （方差（方差 2 已知，已知，

27、 方差方差 2 未知）未知） 單個正態(tài)總體方差單個正態(tài)總體方差 2 的置信區(qū)間（均值的置信區(qū)間（均值 未知）未知） 兩個正態(tài)總體均值之差兩個正態(tài)總體均值之差 21 的置信區(qū)間的置信區(qū)間（方差（方差 2221, 已知，方差已知，方差 2221, 未知但未知但 2221 ） 上述上述5種置信區(qū)間的公式附在試卷上，重點訓(xùn)練如何選擇種置信區(qū)間的公式附在試卷上，重點訓(xùn)練如何選擇正確的公式正確的公式例例1. 用一個儀表測量某一物理量用一個儀表測量某一物理量9次，得樣本均值次，得樣本均值56.32,x樣本標(biāo)準(zhǔn)差樣本標(biāo)準(zhǔn)差0.22,s假設(shè)測量值假設(shè)測量值X服從服從正態(tài)分布，試求均值正態(tài)分布，試求均值 的的0.95置信區(qū)間置信區(qū)間.第八章第八章1假設(shè)檢驗的原理及其含義，兩類錯誤假設(shè)檢驗的原理及其含義，兩類錯誤2（1）方差）方差 2 未知時，單個正態(tài)總體均值未知時，單個正態(tài)總體均值 的假設(shè)檢驗的假設(shè)檢驗 ， 00: H01: H 00: H01: H， 00: H01: H（2）方差）方差 2221, 未知但未知但 2221 時兩個正態(tài)總體均值時兩個正態(tài)總體均值 21, 的假設(shè)檢驗的假設(shè)檢驗210: H211: H210: H211: H210: H211: H（3）均值）均值 21 ，未知未知